专题5 三角函数（讲义）-2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版湖北省（技能高考）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 湖北省技能高考《数学二轮讲练测》 专题5 三角函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 角的概念与弧度制 考查角度化弧度、弧长公式 2023-24 单选 5 三角函数的 化简与计算 考查正切函数值求角 2026-23 单选 5 考查同角三角函数基本关系、特殊角三角函数值 2026-27 填空 5 考查同角三角函数基本关系 2025-27 填空 5 考查同角三角函数基本关系 2024-25 多选 5 考查诱导公式 2024-27 填空 5 考查诱导公式，同角三角函数基本关系 2023-26 单选 5 考查正切函数的定义域、值域 2023-21 单选 5 考查诱导公式，同角三角函数基本关系 2022-26 单选 5 考查正切函数的定义 2022-20 单选 5 正弦、余弦函数 的图像和性质 考查诱导公式，正弦、余弦函数的性质 2026-25 多选 5 考查余弦函数的图像与性质 2025-22 单选 5 考查诱导公式，正弦型函数的性质，同角三角函数基本关系 2025-25 多选 5 考查正弦函数的性质 2024-30 填空 5 考查正弦函数的性质 2023-28 填空 5 考查三角函数的周期性与奇偶性 2022-28 填空 5 命题轨迹透视： 三角函数连续五年在湖北省技能高考考试中考查16题，为每年必考题目。本章题型稳定，以单选、多选、填空为主，每题 5 分。高频考点集中：同角三角函数基本关系、诱导公式反复考查；兼顾角度弧度转换、弧长公式，正弦与余弦函数的图像和性质，正切函数的周期性和奇偶性。命题侧重基础化简与求值，难度平稳。复习备考建议：1.夯实基础公式：熟练背记同角三角函数关系式、诱导公式，这是高频考点，重点训练化简、求值计算；掌握角度与弧度互化、弧长公式。2. 梳理函数性质：吃透正弦、余弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性与图像特征，应对单选、填空、多选题。3. 刷题抓题型：以单选、填空为主训练，总结求值类基础题型，控制计算失误，立足基础，不钻研偏难怪题。 【考点1：角的概念与弧度制】 1.（2023·湖北·真题）中国传统扇面文化有着极其深厚的底蕴，折扇通常可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图所示.当扇面的圆心角约为时，扇面称为 “美观扇面”. 若扇形的半径为，则美观扇形的弧长约为（ ） A.　 B. 　C. 　D. 【考点】角度化弧度、扇形弧长公式 （为圆心角弧度数，为半径） 【答案】A 【解析】圆心角的角度转弧度：； 美观扇形的弧长: ，选. 1.任意角的概念 正角：逆时针旋转；负角：顺时针旋转；零角：不旋转. 2.象限角、界限角（轴线角）、终边相同的角 象限角：顶点原点，始边 x 轴正半轴，终边落在哪个象限就是第几象限角. 界限角（轴线角）：终边落在 x 轴或 y 轴上，不属于任何象限. 角度表示：；弧度表示： 通式：终边在 x 轴：；终边在 y 轴： 终边相同的角：角度制；弧度制.终边相同角相差周角整数倍，角本身不一定相等. 3.弧度制 定义：弧长等于半径，圆心角为.换算：；；. 弧长公式：（为弧度），扇形面积：. 1. 终边相同角中，只能取整数，不能是小数、分数. 2. 角度、弧度不可混合书写，例：写法错误. 3. 象限角≠锐角：锐角一定是第一象限角；第一象限角不一定是锐角（如）. 4. 界限角不属于任何象限，不要误判为第一、二等象限角，界限角通式区分：x 轴；y 轴，两个式子不要记混. 5. 弧长、扇形面积公式里必须用弧度，不能直接代入角度计算. 6. 角的正负只代表旋转方向，不代表大小，负角数值可以小于正角. 【预测一：考查任意角的概念】 1. 若将时钟拨慢，则分针转过的角是____________；若时钟从 6 时走到 9 时，则时针转过的角是__________. 【预测二：考查象限角、界限角、终边相同的角】 2. 是（ ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角 3. 与角终边相同的角的集合是（ ） A． B． C． D． 【预测三：考查角度制与弧度制的互化】 4. 对应的角度为（ ） A． B． C． D． 【预测四：考查扇形的弧长公式、面积公式】 5. 已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积是（ ） A． B． C． D． 6. 木雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，某扇环形木雕如图所示，可视为扇形OAB截去扇形OCD所剩余的部分. 已知扇环形的周长为，，则的弧度数为_______，扇环形的面积为_____. 【答案、分析、详解】 1.【答案】； 【分析】拨慢为逆时针旋转，角度为正；时钟正常走动时针顺时针旋转，角度为负.分针分钟转一圈；时针 12 小时转. 【详解】分针每分钟转过角度：. 拨慢 20 分钟，逆时针转：. 时针每小时转过角度：. 6 点到 9 点共 3 小时，顺时针旋转：. 2.【答案】C 【分析】利用终边相同角公式，把角度写成的形式，判断所在象限. 【详解】，根据终边相同角的性质，与终边重合. ，满足第三象限角范围，是第三象限角. 因此是第三象限角，选. 3.【答案】A 【分析】终边相同的角相差的整数倍. 【详解】根据任意角终边相同的定义：所有与角终边相同的角（包括自身），可构成集合，即终边相同的角相差的整数倍. 将代入公式，可得对应角的集合为：，选. 4.【答案】C 【分析】弧度转角度公式：. 【详解】根据弧度与角度换算公式，代入计算： 对应角度为，选. 5.【答案】B 【分析】扇形弧长公式；周长；面积公式. 【详解】设扇形半径为，已知圆心角，由扇形弧长公式，可得弧长. 扇形周长为两条半径长与弧长之和，即，代入周长： ，解得. 将代入弧长公式，得. 由扇形面积公式，代入数据计算扇形面积：，选. 6.【答案】； 【分析】扇环周长 = 外弧长 + 内弧长 + ；弧长公式；扇环面积 = 大扇形面积 − 小扇形面积. 【详解】由条件：，，设圆心角. 外弧长：；内弧长：. 两条直边长度：. 扇环周长由外弧长、内弧长、两条侧边长度组成，列式得： ，化简计算：，解得，即的弧度数为. 扇环面积为大扇形与小扇形的面积差，扇形面积公式为，代入数据： 【考点2：三角函数的化简与计算】 1.（2026·湖北·真题） 是 的（ ）条件 A. 充分不必要　 B.必要不充分 　 C. 充要　 D.既不充分也不必要 【考点】充分条件与必要条件、正切函数值求角 【答案】A 【解析】充分性：若 ，则 ，充分性成立； 必要性：若 ，则 ， 不一定为，必要性不成立. 因此 是 的充分不必要条件. 2.（2026·湖北·真题）若 ，，则 ________. 【考点】同角三角函数基本关系、特殊角三角函数值 【答案】 【解析】由 ，且 为锐角：, . 3.（2025·湖北·真题）若 ，则 ________. 【考点】同角三角函数的基本关系 【答案】 【解析】由 ，得 ，因此 . 4.（2024·湖北·真题）（多选）在 中，若 ，则 （ ） A.    B.    C.    D. 【考点】同角三角函数的基本关系，三角函数符号判断 【答案】CD 【解析】已知 ，两边平方得： 由 ，代入得： 则 . 又 为三角形内角，，.由 ，知 ， 故 ，此时 . 联立方程组： 或 解得： 或 因此，当时，；当时，. 选 CD. 5.（2024·湖北·真题）计算：________. 【考点】 三角函数的诱导公式（终边相同的角、余弦的周期性） 【答案】 【解析】利用余弦的周期性：，化简角度： ，因此：. 6.（2023·湖北·真题）已知函数，给出下列三个结论：① ；② ；③ . 以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，得出的正确命题有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【考点】 三角函数诱导公式、同角三角函数的基本关系 【答案】 C 【解析】首先化简： ①② ⇒ ③：若，，则，故，代入得：，命题成立. ①③ ⇒ ②：若，，则，解得， 结合，，且，得： ，命题成立. ②③ ⇒ ①：若，，则，故， 因此在第一象限但不一定在范围内，无法推出.命题不成立. 综上，正确命题有2个. 7.（2023·湖北·真题）下列函数中，定义域和值域均为的是（ ） A. B. C. D. 【考点】正切、指数、对数、幂函数的定义域与值域 【答案】 【解析】选项 A： 定义域：，不是全体实数；值域为.不符合题意. 选项 B：（指数函数） 定义域：；值域：，只能取正数，不是.不符合题意. 选项 C：（对数函数） 定义域：；值域：.定义域不是，不符合题意. 选项 D：（幂函数） 定义域：；取任意实数时，也能取到全体实数，值域为.符合题意. 综上，选. 8.（2022·湖北·真题）已知函数，给出下列三个结论：① ；② 若，则；③ 若，则.其中是正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【考点】 三角函数诱导公式、同角三角函数的基本关系 【答案】 D 【解析】先化简： ①：计算：，①正确. ②：若，代入得：，②正确. ③：若，则，解得：，③正确. 综上，①②③均正确，选D. 9.（2022·湖北·真题）已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【考点】任意角的三角函数的定义 【答案】D 【解析】根据正切函数的定义：角终边上一点，则. 已知，，代入得：. 1. 三角函数定义：（终边上一点，） 符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦 2. 同角三角函数基本关系： 平方关系：； 商数关系： 用途：知一求二；化简求值；恒等式证明. 3. 诱导公式： 符号口诀：奇变偶不变，符号看象限 偶：中为偶数，函数名不变；奇：奇数，函数名要变. 把看作锐角，判断原角所在象限，定正负号. 常用公式： （义务教育阶段学习） 1. 符号是高频丢分点：用定义、诱导公式、开平方时，先判断角所在象限，确定正负；只写一个值极易错. 2. 是，不是，书写别混淆. 3. 商关系存在前提：，. 4. “奇变偶不变”里是的倍数，不是的倍数，不要乱用. 5. 化简目标：化为单一三角函数；不要盲目展开，优先诱导公式去负、去大角. 6. 终边点求三角函数：恒为正数，带符号代入，不要直接取绝对值. 【预测一：考查三角函数在各象限内的符号】 1. 下列选项中符合为负的是（ ） A. B. C. D. 2. “角是第四象限角” 是 “” 的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【预测二：考查诱导公式】 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【预测三：考查三角函数的定义、诱导公式】 5. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【预测四：考查同角三角函数的基本关系】 6. 已知，是第二象限角，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. （多选）已知，则（ ） A.的值为或 B.当时，的值为 C.当时，的值为 D.当为第三象限角时，的值为 【预测五：考查已知三角函数值求角】 9. （多选）在中，若，则角可能是（ ） A. B. C. D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】D 【分析】根据三角函数在各象限的符号判断. 【详解】A.，是第二象限角，； B.是第四象限角，；也可根据； C.，，是第三象限角，； D.，是第二象限角，；也可根据. 2.【答案】B 【分析】先化简，不等式等价；时角在第三、四象限或 y 轴负半轴. 【详解】若是第四象限角，则，，所以，充分成立； 若，则与异号，可以是第三象限角，不一定是第四象限角，不必要. 所以是充分不必要条件. 3.【答案】D 【分析】利用诱导公式. 【详解】. 4.【答案】B 【分析】观察角度关系：，利用. 【详解】. 5.【答案】A 【分析】先求，由定义求，诱导公式. 【详解】由定义：，. 由诱导公式：. 6.【答案】A 【分析】同角平方关系；第二象限. 【详解】. 第二象限，，. 7.【答案】A 【分析】诱导公式化简：，分子分母同除以化为. 【详解】原式，分子分母同时除以可得：原式， 将代入式子：原式. 8.【答案】ACD 【分析】利用，以及，结合象限判断正负. 【详解】∵， ∴，； A.∵，∴， 解得或，A 正确. B.∵，∴，∴， ∴，解得，B 错误. C.∵，∴，，∴，C 正确. D. 为第三象限角时，，故，∴，D 正确. 9.【答案】AC 【分析】三角形内角，，在内解为. 【详解】∵，三角形内角范围，∴或. 【考点3：正弦、余弦函数的图像与性质】 1.（2026·湖北·真题）（多选）若函数 ，，下列结论正确的是（ ） A. 它们的定义域均为 　 B. 它们的值域均为 C. 它们都是偶函数　 D. 它们的最小正周期均为 【考点】诱导公式、三角函数的性质 【答案】ABD 【解析】利用诱导公式化简：，. A：、 定义域都是全体实数 ，正确；B：两者值域均为 ，正确； C： 是奇函数， 是偶函数，错误；D：、 最小正周期均为 ，正确. 2.（2025·湖北·真题）函数 的图像与直线 的公共点个数为（ ） A. 0　 B. 1　 C. 2 　D. 3 【考点】余弦函数的图像与性质、函数交点问题 【答案】 【解析】分析函数 在 上的图像： 当 时， 从 递减到 ，故 从 递增到 ； 当 时， 从 递增到 ，故 从 递减到 . 结合 ，直线 介于 与 之间，与 在 上有 1 个交点，在 上有 1 个交点，共 2 个公共点. 3.（2025·湖北·真题）（多选）已知函数，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 是增函数 D. 当时， 【考点】诱导公式、三角函数的周期性、单调性，同角三角函数的基本关系式 【答案】 【解析】函数 选项 A：，故 A 选项正确. 选项 B： ，其最小正周期为，故 B 选项正确； 选项 C：由，，可知函数在区间内并非单调递增，故 C 选项错误. 选项 D：当时， 若，则，故 D 选项正确. 综上，答案选. 4.（2024·湖北·真题）若函数 的最大值为 3，最小值为 1，则（1）_____；（2）______. 【考点】正弦函数的值域、三角函数的最值 【答案】（1）；（2） 【解析】因为 且 ，所以 ， 因此 的最大值为 ，最小值为 . 由题意得方程组：，两式相加得 ，代入得 . 5.（2023·湖北·真题）若函数 的最大值为 2，则 （1）常数 的值为________； （2）相应 的取值为__________（写出符合条件的一个取值即可）. 【考点】正弦函数的最值、三角函数取最值的条件 【答案】（1）；（2）（答案不唯一， 均可） 【解析】（1）因为 ，所以 的最大值为 . 由题意 ，解得 . （2）当 时，函数取最大值，此时 ，取 ，得 . 6.（2022·湖北·真题）写出一个最小正周期为 的偶函数 ___. 【考点】三角函数的周期性与奇偶性 【答案】（答案不唯一，形如 均可） 【解析】偶函数：满足 ，，故 是偶函数； 周期： 的最小正周期为 ，符合题目要求. 1.函数、的定义域、值域、周期： 定义域；值域：；最大值，最小值；周期：最小正周期. 2.奇偶性: ：奇函数，图像关于原点对称;：偶函数，图像关于轴对称. 3.单调区间： ：增区间；减区间. ：增区间：减区间. 4.零点： ；. 5.图像：五点法画图 五点：；五点：. 1. 求单调区间、对称轴时勿忘写，技能高考常扣分； 2. 周期公式：最小正周期，只认，负数不要漏掉绝对值； 3. 分清：对称轴；对称轴； 4. 最值条件：时，不是； 5. 比较三角函数大小，先化同名、再统一到同一单调区间，不能直接看角度； 6. 值域易错：最值是，不是； 7. 五点法：是整体取，不是直接代. 【预测：考查正弦、余弦函数的图像与性质】 1. 下列函数中既是奇函数，最小正周期是的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调减区间为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 下列函数，既是偶函数又在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 使得函数为减函数，且值为负数的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案、分析、详解】 1.【答案】 【分析】依次判断奇偶性与最小正周期：是奇函数，是偶函数，周期都是；是奇函数，周期为；是非奇非偶函数，周期为. 【详解】A：：偶函数，不符合奇函数条件；B：：奇函数，最小正周期，不符合周期；C：：奇函数，最小正周期，满足全部条件；D：：非奇非偶函数，不满足. 综上选. 2.【答案】 【分析】单调性和完全一致，在上单调递减区间是. 【详解】在单调递减区间：，只是纵向拉伸，单调性不变，所以单调减区间为. 选. 3.【答案】 【分析】观察图像：从到函数值从下降到，单调递减；单调递增. 【详解】，：当，随增大而减小，单调递减；当，随增大而增大，单调递增.单调递减区间为，选. 4.【答案】 【分析】先判断奇偶性排除奇函数，再看区间单调性. 【详解】A.：奇函数，排除；B.：偶函数，在单调递增，符合条件； C.：偶函数，在递增，递减；即在单调递减，不符合条件； D.：奇函数，排除. 选. 5.【答案】 【分析】符号：时；单调性：单调递减. 取交集：. 【详解】①；②单调递减区间：； 两个条件同时成立：，选. 6.【答案】 【分析】利用诱导公式统一成余弦，再利用在单调递减比较大小. 【详解】（余弦偶函数）；；. 比较角度：，所以 在单调递减，，即，而. 所以，选. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $