【选择题专项】19平面向量内积-2027年浙江省（单独考试）《数学》专项冲刺练习(原卷版+解析版)

2027年浙江省单独考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 19 平面向量的内积 题型1 用定义求平面向量的内积 1．（2026浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 2.已知向量的夹角为，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 3. 已知向量，，，则（      ） A． B． C． D． 4.若正方形的边长为，则（    ） A．8 B． C．4 D． 5. 在中，，，P是上一点，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 题型2 平面向量内积的运算律 6.已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 7.下列各命题中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 8.关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 题型3 平面向量的夹角 9.（2026浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）已知，且，，则（   ）． A． B． C． D． 10. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 11. “向量的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12.设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型4 平面向量的垂直关系 13.（2026浙江省宁波市北仑职业高级中学高考班第一次选拔考试）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 14.已知，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 15.已知为单位向量，且，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 16.已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 题型5 向量的模 17. 设向量满足，则等于（   ） A． B． C． D． 18.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 19.若，则实数（    ） A．6 B． C．3 D． 20.已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 题型6 内积坐标表示与向量垂直的坐标表示 21.（2026浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）若点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点，则（    ） A．0 B．6 C． D．2 22. 若向量与反向，则（    ） A． B． C．6 D．8 23.已知向量，，则（   ） A． B． C． D．1 24.已知在边长为4的正方形中，点为的中点，则（   ） A． B．4 C．12 D．6 题型7 求向量夹角 25. 向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 26.已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 27.已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 28.已知点，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 29.已知向量，，，，则（     ）． A． B． C． D． 30.如图所示，在矩形中，，点M，N在线段上，且，则的值是（     ）    A． B． C． D． 31. 如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 32.若向量，，且与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 33.已知向量，，且向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型8 利用向量垂直求参数 34.（2026浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知向量，向量，且，则实数（   ） A．10 B．6 C．5 D． 35.已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．3 36. 已知三点，，，若，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 37.在中，已知，，，则x的值为（    ） A．1或 B．或3 C．或 D．1或3 38.已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ） A．1 B． C． D． 39.已知向量，其中，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 40.定义：若平面向量，满足，则称与垂直和谐．已知，，且与垂直和谐，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第6页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年浙江省单独考试 数学 专项冲刺练习 选择题专项 19 平面向量的内积 题型1 用定义求平面向量的内积 1.（2026浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的内积 【分析】根据题意利用模长公式求出，代入内积公式即可得解. 【详解】，则， ∴， 故选：. 2. 已知向量的夹角为，，，则（   ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【知识点】用定义求向量的内积、内积的运算律 【分析】根据向量内积的定义及运算法则求解. 【详解】已知向量的夹角为，，， 则， 故选：B. 3. 已知向量，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的内积、内积的运算律 【分析】先根据向量数量积公式分别计算，再利用向量数量积的分配律将展开，即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以， 即， 故选：D. 4.若正方形的边长为，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用及应用、用定义求向量的内积、内积的运算律 【分析】根据向量加法法则，再根据向量内积运算公式计算即可. 【详解】因为正方形的边长为， ． 故选：A． 5. 在中，，，P是上一点，且，则（ ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理的推论、平面向量的混合运算，用定义求向量内积 【分析】作出图形，由平面向量基本定理求出的值，再用向量内积的运算律计算即得. 【详解】如图，因为，所以， 则， 因为P是上一点，即三点共线， 故，即，所以， 因为， 所以. 故选：C． 题型2 平面向量内积的运算律 6.已知为非零的平面向量，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【知识点】必要条件的判定及性质、充要条件的判断与证明、判断命题的充分不必要条件、内积的运算律 【分析】利用充分、必要条件的判定方法，结合向量内积的运算法则即可得解. 【详解】因为为非零的平面向量， 当时，取，，则，满足要求， 但此时不成立，即充分性不成立； 当时，显然，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 7.下列各命题中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量共线定理的辨析、向量数乘的有关计算、内积的运算律 【分析】根据向量数量积的运算律以及数乘的运算律，结合共线定理，可得答案. 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，根据向量数乘满足交换律和结合律，可得B正确； 对于C项，根据向量数量积满足交换律，可得C正确； 对于D项，当时，则向量与共线，当时，则向量与共线，而向量不一定共线，故D错误. 故选：D. 8.关于平面向量，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 【答案】B 【知识点】平面向量内积的定义及辨析、用定义求向量的内积、内积的运算律 【分析】由向量的内积公式及内积的运算律逐项分析即可得解. 【详解】对于A，若和，都垂直， 显然，至少在模的方面没有特定关系，所以命题不成立； 对于B，这是平面向量内积的分配律，显然成立； 对于C，若，则， ， 而与不一定相等，所以命题不成立； 对于D，与分别是一个和，共线的向量， 显然命题不一定成立． 故选：B． 题型3 平面向量的夹角 9.（2026浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）已知，且，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据题意结合平面向量内积的定义求出，结合平面向量夹角的取值范围即可得解. 【详解】因为，，， 则，解得， 因为，所以， 故选：. 10. 已知向量，满足，，则向量与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】内积的运算律、平面向量内积的定义及辨析 【分析】根据向量内积的定义以及运算求解即可. 【详解】已知向量，满足， 则， 解得. 因为，解得. 故选：C. 11. “向量的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】向量夹角的计算、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据向量的内积与夹角的关系及充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当向量的夹角为钝角时，显然成立， 所以“向量的夹角为钝角”是“”的充分条件； 但当时，不是钝角，所以必要性不成立， 故选：B. 12.设向量满足及，则的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算 【分析】通过对两边平方求出的值，然后利用求向量夹角的公式进行求解. 【详解】设与的夹角为， 由题意得：，对方程两边平方得 ，又， ，即 又，的夹角为. 故选：A. 题型4 平面向量的垂直关系 13.（2026浙江省宁波市北仑职业高级中学高考班第一次选拔考试）若平面四边形满足，则该四边形一定是（    ） A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、垂直关系的向量表示 【分析】根据平面向量的运算及几何意义即可得解. 【详解】由，则且， 所以平面四边形是平行四边形， 由得，故平行四边形的对角线垂直， 所以该四边形一定是菱形， 故选：. 14.已知，，且与垂直，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示、内积的运算律、已知内积求模 【分析】由向量垂直可知，再根据内积的运算律求解即可. 【详解】已知与垂直， 所以，则， 已知，，设与的夹角为， 则，所以， 因为，所以. 故选：C. 15.已知为单位向量，且，若，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂直关系的向量表示、内积的运算律 【分析】根据向量垂直的充要条件结合已知条件列式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 解得. 故选：B. 16.已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】垂直关系的向量表示、用定义求向量的内积 【分析】先计算平面向量的数量积，再利用，列式解得即可. 【详解】由题意，得， 由，得，即， ∴  ，解得. 故选：D 题型5 向量的模 17. 设向量满足，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知内积求模 【分析】根据题意，结合向量的模的计算，即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 18.已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用定义求向量的内积、已知内积求模 【分析】由题目条件算出，再利用计算即可. 【详解】， ， . 故选：D. 19.若，则实数（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】已知模求参数、利用内积求参数、内积的运算律 【分析】将两边平方，结合数量积的运算律求出，再根据数量积的坐标公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 即，解得. 故选：B. 20.已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【知识点】已知模求参数、内积的运算律 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】将两边同时平方，得，而，，， 因此，即依题意，又，所以. 故选：A 题型6 内积坐标表示与向量垂直的坐标表示 21.（2026浙江省职教高考研究联合体第一次联合考试）若点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点，则（    ） A．0 B．6 C． D．2 【答案】B 【知识点】内积的坐标表示、向量的坐标表示 【分析】根据平面向量的坐标表示结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】点的坐标为，点的坐标为，点为坐标原点， 则，， 所以， 故选：. 22. 若向量与反向，则（    ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【知识点】内积的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平面向量反向的性质求出值，代入平面向量内积公式即可得解. 【详解】因为与反向， 所以且，解得， 所以，，则， 故选：A. 23.已知向量，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【知识点】内积的坐标表示、辅助角公式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据题意，结合向量内积的坐标表示，及辅助角公式，即可求解. 【详解】因为向量，， 所以. 故选：C. 24.已知在边长为4的正方形中，点为的中点，则（   ） A． B．4 C．12 D．6 【答案】C 【知识点】内积的坐标表示、向量的坐标表示 【分析】分别以、所在的直线为轴、轴建立坐标系，根据内积的坐标表示可求解. 【详解】 分别以、所在的直线为轴、轴，如图建立平面直角坐标系，则有 ，，，，， 所以，， 所以. 故选：C 题型7 求向量夹角 25. 向量，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角的余弦公式求解. 【详解】设与的夹角为， ；，， ∴. 故选：A. 26.已知为平面向量，，则夹角的余弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示、向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】由已知先求向量的坐标，再由两向量的内积公式即可求解. 【详解】设，由已知得， 得，解得，所以 设的夹角为，则. 故选：C． 27.已知向量，向量，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】利用向量数量积的定义和坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，向量， 所以， 所以， 则， 因为， 所以与的夹角为. 故选：D. 28.已知点，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】内积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据空间向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得，，则. ，则. 则. 又因为夹角范围为， 所以向量与的夹角为. 故选：. 29.已知向量，，，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】首先由向量平行的坐标表示得出的值，再由向量夹角的坐标表示求值即可. 【详解】已知，， 由得， 解得，所以，， 则， 因为，所以， 故选：D. 30.如图所示，在矩形中，，点M，N在线段上，且，则的值是（     ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】内积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模、向量的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点D，点M，点N，点C的坐标，再由向量的坐标表示求解与的坐标，结合向量夹角的公式求解即可. 【详解】以点A为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，    ∵，且， ∴，， ∴点，点，点，点， ∴，， ∴. 故选：D. 31. 如图，在正方形网格中，蚂蚁甲从点爬到了点，蚂蚁乙从点爬到了点，则向量与夹角的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】内积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】建立直角坐标系，利用向量的内积坐标运算即可求出夹角的余弦值. 【详解】如图，以点为原点，令小正方形边长为单位长度，建立直角坐标系 则，，，， ，，, ，， 向量与夹角的余弦值为： .      故选：. 32.若向量，，且与的夹角是锐角，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的坐标表示、由坐标判断向量是否共线 【分析】根据平面向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为与的夹角是锐角，即，且与不平行， 则有且，解得且， 所以实数的取值范围为， 故选：D. 33.已知向量，，且向量与的夹角是钝角，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、向量的模 【分析】根据向量夹角的坐标公式，再结合向量共线时k的取值，进而求解. 【详解】因为向量，，即，， ，而， 得到，故， 因为向量与的夹角是钝角，所以，解得； 当时，向量，共线，故， 所以k的取值范围是. 故选：D. 题型8 利用向量垂直求参数 34.（2026浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知向量，向量，且，则实数（   ） A．10 B．6 C．5 D． 【答案】D 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据平面向量垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】向量，向量，且， 则，解得， 故选：. 35.已知向量，，若，则实数的值为（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据平面向量的垂直列出方程即可得解. 【详解】向量，，且， 则，解得， 故选：. 36. 已知三点，，，若，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】向量的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可； 【详解】因为三点，，， 所以， 因为， 所以， 即，解得或； 故点P的坐标是或. 故选：C 37.在中，已知，，，则x的值为（    ） A．1或 B．或3 C．或 D．1或3 【答案】D 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量的加法求，再由得，列式可求得. 【详解】由题意得， 因为， 所以，即， 解得或. 故选：D. 38.已知向量，且与互相垂直，则k的值为（ ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】根据与互相垂直，由求解. 【详解】解：因为， 所以，， 因为与互相垂直， 所以， 所以， 解得， 故选：D 39.已知向量，其中，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直的性质以及诱导公式进行求解. 【详解】已知，且， 可得， 可得：，即， 即，则， 因为，所以， 故选：B. 40.定义：若平面向量，满足，则称与垂直和谐．已知，，且与垂直和谐，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】内积的运算律、利用向量垂直求参数 【分析】由，两边平方可求得，然后利用向量垂直的坐标表示求解. 【详解】由，两边平方可得， 展开得，化简得， 已知，， 则，解得， 故选：B. 试卷第1页，共3页 试卷第13页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $