2.3.1有理数的乘方（第2课时有理数的混合运算）（导学案）数学新教材人教版七年级上册

该初中数学导学案聚焦有理数混合运算，核心内容包括运算顺序、运算律应用及乘方规律探究。课堂导入通过回顾乘方定义与符号法则，结合含乘方算式计算引出混合运算顺序问题，搭建前后知识衔接的学习支架。 此导学案突出自主与合作探究，以“混合运算三步法”和规律探究步骤培养运算能力与推理意识。多样题型覆盖基础运算、实际应用等，助力学生用数学思维解决问题，提升应用意识与创新意识，适合教学使用。

2.3.1 有理数的乘方 导学案 第2课时 有理数的混合运算 1.掌握有理数混合运算的顺序，能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算。 2.能在混合运算中灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算。 3.能运用乘方的意义解决数字规律探究问题，提高观察、分析和归纳能力。 学习重点：有理数混合运算的顺序；利用乘方意义和运算律简化计算。 学习难点：混合运算中乘方符号的确定与处理；从数字序列中抽象出一般规律并用含 的式子表示。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知回顾： 教师提问：上节课我们学习了有理数的乘方，请同学们回顾： （1）乘方的定义是什么？什么是底数、指数、幂？ （2）乘方运算的符号法则是什么？ ①正数的任何次幂都是 ； ②负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ； ③ 0的任何正整数次幂都是 新课引入 计算下列式子. ， 。 注意： 与 的区别是易错点，在混合运算中要特别注意。 当一个算式中同时含有加、减、乘、除、乘方时，应按怎样的顺序进行计算呢？这节课我们一起来探究有理数的混合运算。 新知自研：自研课本第53--54页的内容． 【学法指导】 自研课本P53-54的内容，思考： ●探究一：有理数混合运算的顺序 ◆1.探究思考 思考：请同学们观察下面这个算式，想一想应该先算什么，再算什么？ 如果先算乘除，那么由于没有算出来，乘法始终无法进行 因此要先算 ，再算乘法，最后算 。 下面我们按照这个顺序尝试进行计算. ◆2.新知探究 ①计算： 小结：先算 ，再算 ，最后算 。 ②计算： 【分析】这个算式中有乘方、乘法、除法、加法，还有括号.先算 的乘方；再算 的乘方；然后算 ；最后算 。 【注意】 表示 的相反数，即 ，而不是 。 【解答】 ◆3.新知归纳 有理数混合运算的顺序： （1）先 ，再 ，最后 ； （2）同级运算，从 进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按 、中括号、大括号依次进行 ◆4.新知巩固 计算： ◆5.方法总结 混合运算三步法： 第一步，观察算式结构，确定运算 ； 第二步，按顺序逐步计算，每一步只做一种运算； 第三步，检查结果，特别注意 . 补充：在乘除混合或加减混合中，如果能运用交换律、结合律或分配律使计算简便，就优先使用运算律. ●探究二：乘方在规律探究中的应用 ◆1.探究思考 问题一：观察下面数字，回答下列问题： －2，　4，　－8，　16，　－32，　64，　…　　① 思考：第①行中的数可以看成按什么规律排列？ 即第奇数个数为 ，第偶数个数为 . 绝对值规律：2，4，8，16，32，64……后一个数是前一个数的 . 即第n个数的绝对值是 . 综合起来，第①行的第 n 个数可以表示为 。所以第①行的数可以看成：，… 问题二：第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ 0，　6，　－6，　18，　－30，　66，　…；　　② －1，　2，　－4，　8，　－16，　32，　…　　③ 对比第①行和第②行： 0−(−2)=2，6−4=2，−6−(−8)=2，18−16=2⋯ 第②行中的数是第①行中相应的数 ，即第②行第n个数为 . 对比第①行和第③行： ⋯⋯ 第③行中的数是第①行中相应数的 ，即第③行第n个数为 . 问题三：取每行中的第10个数，计算这三个数的和. －2，　4，　－8，　16，　－32，　64，　…　　① 0，　6，　－6，　18，　－30，　66，　…　② －1，　2，　－4，　8，　－16，　32，　…　　③ 第10个数，n=10， 是偶数，所以== . 解：第①行第 10 个数： ； 第②行第 10 个数： ； 第③行第 10 个数： . 三个数的和： . ◆2.方法总结 解决数字规律探究题的一般步骤： （1）观察：从符号、 、相邻数关系等多角度观察； （2）猜想：用含 的式子表示第 个数； （3）验证：代入已知数据验证猜想是否正确； （4）应用：利用规律解决具体问题。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨有理数混合运算顺序，区分，掌握同指数幂简便运算技巧，数字规律探究方法； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清解题思路，辨析乘方符号、运算顺序、提公因式等运算易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．计算： 2.计算： 计算： 3.计算： （） （） 4.计算： 5.（1）计算： （2）计算： （3)计算： ▲1、有理数混合运算的顺序： （1）先 ，再 ，最后 ； （2）同级运算，从 进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按 、中括号、大括号依次进行 ▲２、解决数字规律探究题的一般步骤： （1）观察：从符号、 、相邻数关系等多角度观察； （2）猜想：用含 的式子表示第 个数； （3）验证：代入已知数据验证猜想是否正确； （4）应用：利用规律解决具体问题。 题型一 有理数的混合运算 1．下列运算正确的是（　　） A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9 B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8 C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12 D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42 2．在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（　　） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 3．淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 4．计算与化简： （1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4； （2）（）×（﹣6）2+7． 5．计算： （1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）； （2）； （3）； （4）． 题型二 含乘方的程序图运算题 6．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为　 　． 7．根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 　 　；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　 　． 8．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 9．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　 　． 10．按下列程序计算，把答案填写在表格内，并观察有什么规律，想想为什么有这样的规律？ （1）填写表内空格： 输入x 3 2 ﹣2 ﹣3 … 输出答案 1 1 　　 　　 … （2）你发现了什么规律，并说明理由． 题型三 有理数的混合运算的实际应用 11．某商品进价为100元，该商品在进价基础上提高30%进行标价，但实际销售时，又降价30%出售，则销售此商品的盈亏情况是（　　） A．赚了91元 B．赚了9元 C．亏了91元 D．亏了9元 12．当温度上升1°C时，某种金属丝伸长0.002mm，反之，当温度每下降1°C时，金属丝缩短0.002mm．把15°C的这种金属丝加热到50°C，再使它冷却降温到5°C，最后的长度比原长度伸长 　 　mm． 13．某市打市内电话的收费标准是：前3分钟0.2元（不满3分钟按3分钟计算），以后每打1分钟加0.1元；打长途电话的收费标准是：每10秒0.08元（不满10秒按10秒计算）．小明有一天连续打了若干个电话，共计话费1.96元，小明最多打了 　 　分钟电话． 14．甲、乙两家商店同时对标价350元的同一款球鞋进行促销，方案如下：在甲商店购买享受“折上折”优惠，即先打六折，在此基础上再打九折，乙商店则是购物每满100元减50元．去哪家商店购买这一款球鞋更划算？ 15．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 题型四 含乘方的新定义运算问题 16．规定三角“”表示abc，方框“”表示xm+yn.例如：÷＝1×19×3÷（24+31）＝3，根据这个规定÷的值是（　　） A． B． C．1 D． 17．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a▲b＝ab+b2，如2▲3＝2×3+32＝15，则（﹣4）▲2的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4 18．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝　 　． 19．定义一种运算：ad﹣bc，如1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，d||时，求的值． 20．规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题． （1）求3※（﹣1）的值； （2）求（﹣4）※（※2）的值； （3）若m※5的值为40，求m的值． 题型五 含乘方的探究规律题 21．观察下面三行数． ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，… ﹣1，5，﹣7，17，﹣31，… ﹣4，8，﹣16，32，﹣64，… （1）求第一行的第n个数；（n为正整数） （2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数； （3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 22．观察下面三行数： ﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…； ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…． （1）第一行第十个数是 　 　； （2）第二行第n个数是（n为正整数）； （3）取每行的第十个数，计算这三个数的和． 23．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.1 有理数的乘方 导学案 第2课时 有理数的混合运算 1.掌握有理数混合运算的顺序，能熟练进行有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算。 2.能在混合运算中灵活运用运算律（交换律、结合律、分配律）简化计算。 3.能运用乘方的意义解决数字规律探究问题，提高观察、分析和归纳能力。 学习重点：有理数混合运算的顺序；利用乘方意义和运算律简化计算。 学习难点：混合运算中乘方符号的确定与处理；从数字序列中抽象出一般规律并用含 的式子表示。 第一环节 自主学习 创设情景，引入新课 旧知回顾： 教师提问：上节课我们学习了有理数的乘方，请同学们回顾： （1）乘方的定义是什么？什么是底数、指数、幂？ 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方； 乘方的结果叫做幂；在 中， 叫做底数， 叫做指数。 （2）乘方运算的符号法则是什么？ ①正数的任何次幂都是正数； ②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； ③ 0的任何正整数次幂都是0. 新课引入 计算下列式子. ， 。 注意： 与 的区别是易错点，在混合运算中要特别注意。 当一个算式中同时含有加、减、乘、除、乘方时，应按怎样的顺序进行计算呢？这节课我们一起来探究有理数的混合运算。 新知自研：自研课本第53--54页的内容． 【学法指导】 自研课本P53-54的内容，思考： ●探究一：有理数混合运算的顺序 ◆1.探究思考 思考：请同学们观察下面这个算式，想一想应该先算什么，再算什么？ 如果先算乘除，那么由于没有算出来，乘法始终无法进行 因此要先算乘方，再算乘法，最后算加减。 下面我们按照这个顺序尝试进行计算. ◆2.新知探究 ①计算： 解：原式 = = 小结：先算乘方，再算乘法，最后算加减。 ②计算： 【分析】这个算式中有乘方、乘法、除法、加法，还有括号.先算括号内的乘方；再算括号外的乘方；然后算乘除；最后算加减。 【注意】 表示 的相反数，即 ，而不是 。 【解答】解：原式 （先算乘方和括号内的运算） （再算括号内加减，然后算乘除） （最后算加减） ◆3.新知归纳 有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 ◆4.新知巩固 计算： 【分析】本题中有小括号和中括号，运算顺序是先算小括号内的，再算中括号内的. 注意：，不是 ；，不是 。 解：原式 ◆5.方法总结 混合运算三步法： 第一步，观察算式结构，确定运算顺序； 第二步，按顺序逐步计算，每一步只做一种运算； 第三步，检查结果，特别注意符号. 补充：在乘除混合或加减混合中，如果能运用交换律、结合律或分配律使计算简便，就优先使用运算律. ●探究二：乘方在规律探究中的应用 ◆1.探究思考 问题一：观察下面数字，回答下列问题： －2，　4，　－8，　16，　－32，　64，　…　　① 思考：第①行中的数可以看成按什么规律排列？ 符号规律：负、正、负、正……交替出现 即第奇数个数为负，第偶数个数为正. 绝对值规律：2，4，8，16，32，64……后一个数是前一个数的2倍. 即第n个数的绝对值是 2的n次方. 综合起来，第①行的第 n 个数可以表示为 。所以第①行的数可以看成：，… 问题二：第②③行中的数与第①行中的数分别有什么关系？ 0，　6，　－6，　18，　－30，　66，　…；　　② －1，　2，　－4，　8，　－16，　32，　…　　③ 对比第①行和第②行： 0−(−2)=2，6−4=2，−6−(−8)=2，18−16=2⋯ 第②行中的数是第①行中相应的数加 2，即第②行第n个数为 . 对比第①行和第③行： ⋯⋯ 第③行中的数是第①行中相应数的，即第③行第n个数为 . 问题三：取每行中的第10个数，计算这三个数的和. －2，　4，　－8，　16，　－32，　64，　…　　① 0，　6，　－6，　18，　－30，　66，　…　② －1，　2，　－4，　8，　－16，　32，　…　　③ 第10个数，n=10， 是偶数，所以==1024. 解：第①行第 10 个数：； 第②行第 10 个数：； 第③行第 10 个数：. 三个数的和：. ◆2.方法总结 解决数字规律探究题的一般步骤： （1）观察：从符号、绝对值、相邻数关系等多角度观察； （2）猜想：用含 的式子表示第 个数； （3）验证：代入已知数据验证猜想是否正确； （4）应用：利用规律解决具体问题。 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨有理数混合运算顺序，区分，掌握同指数幂简便运算技巧，数字规律探究方法； B. 交流例题的已知条件和所求问题，理清解题思路，辨析乘方符号、运算顺序、提公因式等运算易错点； C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．计算： 【分析】先算乘方、绝对值，再算除法，最后从左到右依次进行加减运算即可. 解： 原式 2.计算： 解： 原式 计算： 解： 原式 3.计算： （） 解： 原式 （） 解： 原式 4.计算： 分析： 底数相同，指数相近，将乘方转化为乘法简化运算。 解： 原式 5.（1）计算： 解： 原式 （2）计算： 解： 原式 （3)计算： 解： 原式 ▲1、有理数混合运算的顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行. ▲２、解决数字规律探究题的一般步骤： （1）观察：从符号、绝对值、相邻数关系等多角度观察； （2）猜想：用含 的式子表示第 个数； （3）验证：代入已知数据验证猜想是否正确； （4）应用：利用规律解决具体问题. 题型一 有理数的混合运算 1．下列运算正确的是（　　） A．（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6）＝9 B．﹣（﹣1）200×（﹣2）4＝﹣8 C．（﹣8）×3÷（﹣2）2＝12 D．12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2＝42 【分析】利用有理数的相应的运算法则对各项进行运算即可得出结果． 【解答】解：A、（﹣3）3×（﹣2）÷（﹣6） ＝（﹣27）×（﹣2）÷（﹣6） ＝54÷（﹣6） ＝﹣9， 故A不符合题意； B、﹣（﹣1）200×（﹣2）4 ＝﹣1×（16） ＝﹣16， 故B不符合题意； C、（﹣8）×3÷（﹣2）2 ＝﹣24÷4 ＝﹣6， 故C不符合题意； D、12﹣7×（﹣4）+8÷（﹣2）2 ＝12+28+8÷4 ＝40+2 ＝42． 故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与应用． 2．在计算时，有四位同学给出了以下四种计算步骤，其中正确的是（　　） A．原式 B．原式 C．原式 D．原式 【分析】根据有理数的混合运算顺序“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的，乘法运算律在有理数范围依旧适用”即可解答． 【解答】解：， 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序是解题的关键． 3．淇淇在计算：时，步骤如下： 解：原式＝﹣2022﹣（﹣6）+66① ＝﹣2022+6+12﹣18………………………② ＝﹣2048…………………………………③ （1）淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是 　 　；（填序号） （2）请给出正确的解题过程． 【分析】（1）根据幂的运算即可判断； （2）按照有理数的运算法则，先计算括号内的，再计算括号外的，利用幂运算的性质即可求解． 【解答】解：（1）∵（﹣1）2022＝1，（﹣2）3＝﹣8，6÷（）＝636， ∴原式＝1﹣（﹣8）+6， ∴开始出现错误的步骤是①， 故答案为：①； （2）原式＝1﹣（﹣8）+6 ＝1+8+6×6 ＝1+8+36 ＝45． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则，注意运算顺序． 4．计算与化简： （1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4； （2）（）×（﹣6）2+7． 【分析】（1）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题； （2）根据乘法分配律、有理数的乘除法和加法可以解答本题． 【解答】解：（1）﹣22+|﹣18﹣（﹣3）×2|÷4 ＝﹣4+|﹣18+6|÷4 ＝﹣4+12÷4 ＝﹣4+3 ＝﹣1； （2）（）×（﹣6）2+7 ＝（）×36+7×（﹣2） ＝9+（﹣16）+（﹣14） ＝﹣21． 【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 5．计算： （1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把减法转化为加法，然后根据加法法则计算即可； （2）先算乘除法，再算加减法即可； （3）先算乘方和括号内的式子，然后计算括号外的除法，最后算加减法即可； （4）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可． 【解答】解：（1）（﹣23）﹣59+（﹣41）﹣（﹣59） ＝（﹣23）+（﹣59）+（﹣41）+59 ＝﹣64； （2） ＝﹣10+3×3+1 ＝﹣10+9+1 ＝0； （3） ＝﹣1+（﹣2）2（） ＝﹣1+4（﹣8） ＝﹣1+4+2 ＝5； （4） ＝﹣4848484×2 ＝﹣6+16﹣12+8 ＝6． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 题型二 含乘方的程序图运算题 6．如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为﹣1时，输出的数值为　 　． 【分析】首先求出﹣1的平方是多少，然后用﹣1的平方乘﹣3，求出积是多少，再用所得的积减去2，求出输出的数值为多少即可． 【解答】解：当输入x的值为﹣1时，输出的数值为： （﹣1）2×（﹣3）﹣2 ＝1×（﹣3）﹣2 ＝﹣3﹣2 ＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简． 7．根据图所示的程序计算，若输入x的值为2，则输出y的值为 　 　；若输入x的值为﹣1，则输出y的值为 　 　． 【分析】将x＝2和x＝﹣1分别代入，别判断计算结果是否大于0，即可得答案． 【解答】解：输入x的值为2，输出y的值为22×2﹣4＝4×2﹣4＝8﹣4＝4； 若输入x的值为﹣1，（﹣1）2×2﹣4＝﹣2， ∵﹣2＜0， ∴（﹣2）2×2﹣4＝4， ∴输入x的值为﹣1，输出y的值为4， 故答案为：4，4． 【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是理解图中的计算程序． 8．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为﹣2时，最后输出的结果y是　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣2代入计算得到结果为1，将x＝1代入计算得到结果大于1，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：把x＝﹣2代入可得：， 再把x＝1代入可得：， 所以y， 故答案为： 【点评】此题考查了代数式求值，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 9．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为﹣4时，最后输出的结果是 　 　． 【分析】根据题中的程序流程图，将x＝﹣4代入计算得到结果为3＞1，再将x＝3代入计算得到结果为，即可得到最后输出的结果． 【解答】解：当x＝﹣4时， ＝3＞1， 当x＝3时， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 10．按下列程序计算，把答案填写在表格内，并观察有什么规律，想想为什么有这样的规律？ （1）填写表内空格： 输入x 3 2 ﹣2 ﹣3 … 输出答案 1 1 　　 　　 … （2）你发现了什么规律，并说明理由． 【分析】（1）由题中给出的式子我们可得出（x2+x）÷x﹣x＝x+1﹣x＝1．因此在填空时，我们可以根据得出的规律进行求解． （2）用含x的式子表示题中的运算，即可得到原因． 【解答】解：（1）[（﹣2）2+（﹣2）]÷（﹣2）﹣（﹣2）＝1； [（﹣3）2+（﹣3）]÷（﹣3）﹣（﹣3）＝1； 故答案为：1；1． （2）发现的规律是：不论x取任意数，输入程序后结果都是1， ∵（x2+x）÷x﹣x＝x+1﹣x＝1． ∴不论x取任意数，输入程序后结果都是1． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是要通过运算，将题中给出的规律搞清楚，然后再利用这个规律进行求解． 题型三 有理数的混合运算的实际应用 11．某商品进价为100元，该商品在进价基础上提高30%进行标价，但实际销售时，又降价30%出售，则销售此商品的盈亏情况是（　　） A．赚了91元 B．赚了9元 C．亏了91元 D．亏了9元 【分析】根据题意计算出商品的售价，与进价相比即可得到这次生意的盈亏情况． 【解答】解：100×（1+30%）×（1﹣30%）﹣100＝﹣9（元）． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数混合运算的应用，关键四则混合运算的应用． 12．当温度上升1°C时，某种金属丝伸长0.002mm，反之，当温度每下降1°C时，金属丝缩短0.002mm．把15°C的这种金属丝加热到50°C，再使它冷却降温到5°C，最后的长度比原长度伸长 　 　mm． 【分析】根据当温度上升1°C时，某种金属丝伸长0.002mm，反之，当温度每下降1°C时，金属丝缩短0.002mm．结合题意列出算式进行计算即可． 【解答】解：（50﹣15）×0.002﹣（50﹣5）×0.002 ＝35×0.002﹣45×0.002 ＝（35﹣45）×0.002 ＝（﹣10）×0.002 ＝﹣0.02（mm）， 答：最后的长度比原来伸长了﹣0.02mm． 故答案为：﹣0.02． 【点评】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． 13．某市打市内电话的收费标准是：前3分钟0.2元（不满3分钟按3分钟计算），以后每打1分钟加0.1元；打长途电话的收费标准是：每10秒0.08元（不满10秒按10秒计算）．小明有一天连续打了若干个电话，共计话费1.96元，小明最多打了 　 　分钟电话． 【分析】0.2÷3≈0.07元，0.08×6＝0.48元，0.07＜0.1＜0.48，所以打市内电话收费标准比打长途电话收费低，所以要尽可能地多打市内电话，据此先求出1.96元里面有多少个0.2元，也就是有多少个3分钟，再求出剩下的0.16元，由于0.16元减去0.1元等于0.06元，0.06元不够打10秒长途的，不符合题意，所以这0.16元全部打长途，求出0.16元里面有多少个0.08元，也就是有多少个10秒，据此解答即可． 【解答】解：1.96÷0.2≈9（个）， 9×3＝27（分）， 则1.96﹣0.2×9 ＝1.96﹣1.8 ＝0.16（元）， 那么0.16÷0.08×10 ＝2×10 ＝20 （秒）， 27分钟+20秒＝27分20秒＝27（分钟）， 即小明最多打了27分钟的电话， 故答案为：27． 【点评】本题考查有理数的混合运算，明确所给数量属于哪一种情况是解题的关键，据此选择符合题意的解题方法． 14．甲、乙两家商店同时对标价350元的同一款球鞋进行促销，方案如下：在甲商店购买享受“折上折”优惠，即先打六折，在此基础上再打九折，乙商店则是购物每满100元减50元．去哪家商店购买这一款球鞋更划算？ 【分析】在甲商店购买需要的费用：350元×六折×九折．在乙商店购买需要的费用：35050． 【解答】解：甲商店购买需要的费用：350×0.6×0.9＝189（元）． 在乙商店购买需要的费用：35050＝200（元）． 因为189＜200． 所以在甲商店购买这一款球鞋更划算． 答：甲商店购买这一款球鞋更划算． 【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解甲、乙两家商店的促销方案内容． 15．外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定送餐量超过40单（送一次外卖称为一单）的部分记为“+”，低于40单的部分记为“﹣”，如表是该外卖小哥一周的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐量（单位：单） ﹣3 +4 ﹣5 +14 ﹣8 +7 +12 （1）求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？ （2）外卖小哥每天的工资由底薪30元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过40单的部分，每单补贴4元；超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元；超过50单的部分，每单补贴8元．求该外卖小哥这一周工资收入多少元？ 【分析】（1）求出表中数据的平均数，再加上标准数40即可； （2）根据工资的计算方法列式计算即可． 【解答】解：（1）由题意，得： 40+[（﹣3）+（+4）+（﹣5）+（+14）+（﹣8）+（+7）+（+12）]÷7 ＝40+3 ＝43（单）， 答：该外卖小哥这一周平均每天送餐43单； （2）由题意，得： （40×7﹣3﹣5﹣8）×4+（4+7+10×2）×6+（4+2）×8+30×7 ＝1056+186+48+210 ＝1500（元）， 答：该外卖小哥这一周工资收入1500元． 【点评】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理清题意，正确列出算式是解答本题的关键． 题型四 含乘方的新定义运算问题 16．规定三角“”表示abc，方框“”表示xm+yn.例如：÷＝1×19×3÷（24+31）＝3，根据这个规定÷的值是（　　） A． B． C．1 D． 【分析】根据题意得出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 【解答】解：由题意得， 2×（﹣3）×1÷[（﹣9）0+3﹣2] ＝﹣6÷（1） ＝﹣6 ＝﹣6 ． 故选：B． 【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 17．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数a和b，规定a▲b＝ab+b2，如2▲3＝2×3+32＝15，则（﹣4）▲2的值为（　　） A．﹣8 B．8 C．﹣4 D．4 【分析】把相应的值代入新定义的运算，再结合有理数的相应的法则进行运算即可． 【解答】解：﹣4▲2 ＝﹣4×2+22 ＝﹣8+4 ＝﹣4． 故选：C． 【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 18．用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a*b＝ab2+2a，则3*（﹣2）＝　 　． 【分析】根据a*b＝ab2+2a，可得：3*（﹣2）＝3×（﹣2）2+2×3，据此求出算式的值是多少即可． 【解答】解：∵a*b＝ab2+2a， ∴3*（﹣2） ＝3×（﹣2）2+2×3 ＝3×4+6 ＝12+6 ＝18． 故答案为：18． 【点评】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 19．定义一种运算：ad﹣bc，如1×0﹣（﹣2）×（﹣3）＝0﹣6＝﹣6．那么当a＝（﹣2）2，b＝﹣（﹣1）3+1，c＝﹣32+5，d||时，求的值． 【分析】首先分别求出a、b、c、d的值各是多少；然后根据ad﹣bc，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：a＝（﹣2）2＝4 b＝﹣（﹣1）3+1＝2 c＝﹣32+5＝﹣9+5＝﹣4 d|| ∴ ＝ad﹣bc ＝4×（）﹣2×（﹣4） ＝﹣2+8 ＝6 【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 20．规定一种新运算法则：a※b＝ab﹣2a+b2.例如：1※2＝1×2﹣2×1+22＝4．请用上述运算法则回答下列问题． （1）求3※（﹣1）的值； （2）求（﹣4）※（※2）的值； （3）若m※5的值为40，求m的值． 【分析】（1）根据a※b＝ab﹣2a+b2，可以求得所求式子的值； （2）先算后面括号内的式子，然后再根据题目中的新法则计算即可； （3）根据m※5的值为40，可以得到5m﹣2m+52＝40，然后求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得， 3※（﹣1） ＝3×（﹣1）﹣2×3+（﹣1）2 ＝（﹣3）﹣6+1 ＝﹣8； （2）（﹣4）※（※2） ＝（﹣4）※（2﹣222） ＝（﹣4）※（1﹣1+4） ＝（﹣4）※4 ＝（﹣4）×4﹣2×（﹣4）+42 ＝（﹣16）+8+16 ＝8； （3）∵m※5的值为40， ∴5m﹣2m+52＝40， 解得m＝5， 即m的值是5． 【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是会用新定义解答问题． 题型五 含乘方的探究规律题 21．观察下面三行数． ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，… ﹣1，5，﹣7，17，﹣31，… ﹣4，8，﹣16，32，﹣64，… （1）求第一行的第n个数；（n为正整数） （2）求第二行的第6个数、第三行的第7个数； （3）取每一行的第k个数，这三个数的和能否是﹣127？若能，求出k的值，若不能，请说明理由． 【分析】（1）观察发现第一行数的规律为（﹣2）”，（﹣2）“即为第一行的第n个数； （2）观察第二、三行数与第一行数的关系，可得出第二行的第n个数是（﹣2）”+1，第三行的第n个数是2×（﹣2）”，再求出第二行的第6个数和第三行的第7个数即可； （3）根据（2）得出的三行数的关系，可设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x，根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127，解方程得x＝﹣32，然后根据第一行数的规律得到（﹣2）k＝﹣32，所以k＝5． 【解答】解：（1）第一行数的规律是：后面一个数是前一个数的﹣2倍，即（﹣2）1，（﹣2）2，（﹣2）3，…， 所以第一行的第n个数是（﹣2）n． （2）∵同位置的第二行数比第一行数大1，同位置的第三行数是第一行数的2倍， ∴第二行的第n个数是（﹣2）n+1，第三行的第n个数是2x（﹣2）n； 第二行的第6个数是（﹣2）6+1＝65，第三行的第7个数是2×（﹣2）7＝﹣256； （3）能，设第一行的第k个数为x，则第二行的第k个数为（x+1），第三行的第k个数为2x， 根据题意有x+（x+1）+2x＝﹣127， 解得x＝﹣32， ∴（﹣2）k＝﹣32， ∴k＝5， ∴k的值为5． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类，根据已知得出规律，运用规律是解答此题的关键． 22．观察下面三行数： ﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…； ﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…； ﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…． （1）第一行第十个数是 　 　； （2）第二行第n个数是（n为正整数）； （3）取每行的第十个数，计算这三个数的和． 【分析】（1）根据第①行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以写出第十个数； （2）根据第②行的数的变化特点，可以写出第n个数，从而可以解答本题； （3）根据第③行的数的变化特点，可以写出第n个数，然后再根据（1）和（2）中发现的规律，即可分别写出前三行中的第十个数字，然后相加，即可解答本题． 【解答】解：（1）∵第①行的数为：﹣1，5，﹣9，13，﹣17，21，…， ∴第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3）， ∴当n＝10时，这个为（﹣1）10•（4×10﹣3）＝37， 故答案为：37； （2）∵第②行的数为：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…， ∴第n个数为（﹣1）n•2n， （3）∵第③行的数为：﹣1，4，﹣9，16，﹣25，36，…， ∴第n个数为（﹣1）n•n2， ∵第①行第n个数为：（﹣1）n•（4n﹣3），第②行第n个数为（﹣1）n•2n， ∴当n＝10时，第①行的数为37，第②行的数为210＝1024，第③行的数为102＝100， ∵37+1024+100＝1161， ∴取每行数的第十个数，这三个数的和是1161． 【点评】本题主要考查规律型：数字的变化类，解答的关键是分析清楚题中的数所存在的规律． 23．已知13＝112×22，13+23＝922×32，13+23+33＝3632×42，…，按照这个规律完成下列问题： （1）13+23+33+43+53＝　 　　 2×　 　2． （2）猜想：13+23+33+…+n3＝　 　． （3）利用（2）中的结论计算：（写出计算过程）113+123+133+143+153+163+…+393+403． 【分析】（1）根据题目提供的三个算式利用类比法可以得到13+23+33+43+53的结果； （2）根据上面的四个算式总结得到规律13+23+33+…+n3n2×（n+1）2； （3）113+123+313+143+153+163+…+393+403转化为13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103）后利用总结的规律即可求得答案． 【解答】解：（1）13+23+33+43+53＝22552×62 （2）猜想：13+23+33+…+n3n2×（n+1）2 （3）利用（2）中的结论计算： 113+123+133+143+153+163+…+393+403． 解：原式＝13+23+33+…+393+403﹣（13+23+33+…+103） 402×412102×112 ＝672400﹣3025 ＝669375 【点评】本题考查了数字的变化类问题，仔细的观察题目提供的算式并找到规律是解决此题的关键． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $