1.3.2 空间向量运算的坐标表示（第二课时）课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖坐标运算、平行垂直判定、夹角与距离计算等核心知识点。通过复习回顾旧知，结合判断正误题问题引领，搭建新旧知识衔接的学习支架，帮助学生逐步深入。 其亮点在于以具体几何体（如正方体、直三棱柱）为载体，通过坐标运算推理证明、求解问题，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维逻辑推理的能力。题型分类清晰，总结方法明确，利于学生掌握解题思路，也为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

.1.1 数系的扩充和复数 第一章 空间向量与立体几何 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 （第二课时） 复习回顾 知识点一 空间向量的坐标运算 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有 向量运算 坐标表示 加法 a+b=_________________________ 减法 a-b=_________________________ 数乘 λa=_____________,λ∈R 数量积 a·b=_________________________ (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 复习回顾 2.空间向量的坐标 一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_________________________. 终点坐标减去起点坐标 复习回顾 知识点二 空间向量的相关结论 1.空间向量的平行、垂直及模和夹角 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则有 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a∥b a=λb(b≠0) a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) a⊥b a·b=0(a≠0,b≠0) _________________________ 模 |a|= |a|= 夹角 cos<a,b>= (a≠0,b≠0) cos<a,b>= a1b1+a2b2+a3b3=0 复习回顾 向量平行的坐标表示a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3,意味着对应坐标成比例.但不能随意写为==,因为当某个分母为0时,此式无意义. 复习回顾 2.空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2). (1)=_________________________; (2)P1P2=||=. (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 问题引领，深入思考 判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) 1.空间直角坐标系中,向量的坐标与终点B的坐标相同.(　　) 2.设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则==.(　　) 3.设A(0,1,-1),O为坐标原点,则=(0,1,-1).(　　) 4.已知a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|=3.(　　) 5.已知a=(-2,-1,3),b=(-1,3,-2),a,b的夹角为θ,则θ=120°. (　　) × √ × √ √ 题型一——空间向量的坐标运算 在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5). (1)求顶点B,C的坐标; 【解】　(1)设B(x,y,z),C(x1,y1,z1), 则=(x-2,y+5,z-3),=(x1-x,y1-y,z1-z). 因为=(4,1,2), 所以解得 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 8 题型一——空间向量的坐标运算 所以点B的坐标为(6,-4,5). 因为=(3,-2,5), 所以解得 所以点C的坐标为(9,-6,10). 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 9 题型一——空间向量的坐标运算 (2)求·; 【解】　(2)因为=(-7,1,-7), 所以·=-21-2-35=-58. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 10 题型一——空间向量的坐标运算 (3)若点P在AC上,且=,求点P的坐标. 【解】　(3)设P(x2,y2,z2), 则=(x2-2,y2+5,z2-3), =(9-x2,-6-y2,10-z2), 于是有(x2-2,y2+5,z2-3)=(9-x2,-6-y2,10-z2), 所以解得 故点P的坐标为. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 11 总结 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来,然后准确运用空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来,然后通过建立方程组,解方程组求出其坐标. 巩固练习 (1)若a=(-1,2,-1),b=(1,3,-2),则(a+b)·(a-2b)= (　　) A.22 B.-22 C.-29 D.29 解析:由a=(-1,2,-1),b=(1,3,-2),得a+b=(0,5,-3),a-2b=(-3,-4,3),所以(a+b)·(a-2b)=0×(-3)+5×(-4)+(-3)×3=-29.故选C. C 巩固练习 (2)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),且满足条件2b·(c-a)=-2,则x=____. 解析:由题意可得c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2),故2b·(c-a)=2(1-x)=-2,解得x=2. 2 题型二——空间向量平行与垂直的坐标表示 (1)已知a=(1,1,0),b=(1,1,1),若∥=b1+b2,b1∥a,b2⊥a,则向量2b1-3b2的坐标为 . 【解析】　由b1∥a,a=(1,1,0),可设b1=(m,m,0)(m∈R),因为b=b1+b2,所以b2=b-b1=(1,1,1)-(m,m,0)=(1-m,1-m,1).因为b2⊥a,所以1-m+1-m+0=0,解得m=1,则b1=(1,1,0),b2=(0,0,1),所以2b1-3b2=(2,2,0)-(0,0,3)=(2,2,-3). (2,2,-3) 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 15 题型二——空间向量平行与垂直的坐标表示 【证明】　以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E, ∴=,=(-1,-1,0). ∵·=×(-1)+×(-1)+1×0=0,∴⊥, 即CE⊥BD. (2)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,求证:CE⊥BD. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 16 总结 1.判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件. 2.利用向量的坐标表示证明直线、平面平行或垂直,要建立恰当的空间直角坐标系,求出相关向量的坐标,利用向量平行、垂直的充要条件证明. 巩固练习 已知a=(2,-1,-4),b=(-1,k,2). (1)若(a-b)∥(a+b),求实数k的值; 解:(1)a-b=(2,-1,-4)-(-1,k,2)=(3,-1-k,-6),a+b=(2,-1,-4)+(-1,k,2)=(1,k-1,-2), 若(a-b)∥(a+b),则a-b=λ(a+b),即3=λ,-1-k=λ(k-1),-6=-2λ,解得λ=3,k=. (2)若(a+3b)⊥(a+b),求实数k的值. 解: (2)a+3b=(2,-1,-4)+3(-1,k,2)=(-1,3k-1,2),a+b=(1,k-1,-2), 若(a+3b)⊥(a+b),则(a+3b)·(a+b)=0,即(-1)×1+(3k-1)×(k-1)+2×(-2)=0,化简可得3k2-4k-4=0, 解得k=2或k=-. 题型三——夹角和距离的计算 如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,棱AA1=2,N为A1A的中点. (1)求BN的长; 【解】　(1)以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz. 依题意得B(0,1,0),N(1,0,1), ∴||==, ∴BN的长为. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 19 题型三——夹角和距离的计算 (2)求A1B与B1C所成角的余弦值. 【解】　(2)由(1)中建立的坐标系得A1(1,0,2), C(0,0,0),B1(0,1,2), ∴=(1,-1,2),=(0,1,2), ∴·=1×0+(-1)×1+2×2=3. 又||=,||=, ∴cos<,>==.故A1B与B1C所成角的余弦值为. 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 20 总结 通过分析几何体的结构特征,建立适当的坐标系,使尽可能多的点在坐标轴上,便于写点的坐标.建立坐标系后,写出相关点的坐标,再写出相应向量的坐标表示,最后利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 巩固练习 已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　　) A.7　　B.6　　C.5　　D.4 解析:由A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),可得=(-2,-1,3),=(1,-3,2),则||==,||==,则cos∠BAC===, ∠BAC∈(0,π),故∠BAC=,则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为2S△ABC=2×||·||·sin∠BAC=××sin=7.故选A. A 当堂检测 1.已知向量a=(3,1,-4),b=(1,-2,2),则2a-b= (　　) A.(5,0,-6) B.(5,4,-6) C.(5,0,-10) D.(5,4,-10) 解析:因为a=(3,1,-4),b=(1,-2,2),所以2a=(6,2,-8),2a-b=(5,4,-10).故选D. D 当堂检测 2.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k的值是 (　　) A.1　　 B. C.　　 D. 解析:依题意得(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=.故选D. D 当堂检测 3.已知向量a=(2,1,1),b=(9,x,y),a与5a-b共线,则|a-b|= (　　) A.　　B.6　　C.　　D.8 解析:由题意知,5a-b=(1,5-x,5-y),又因为a∥(5a-b),所以==,解得x=y=,所以a-b=,所以|a-b|==.故选A. A 当堂检测 4.已知空间三点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4),则向量与的夹角的余弦值 为 . 解析:因为=(1,1,1),=(2,1,3),所以向量与的夹角的余弦值为 ==. 用数学的眼光看世界 $