专题1 集合与充要条件（讲义）-2027版重庆市（高职对口招生）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版重庆市（高职对口招生）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年重庆市（高职对口招生）《数学二轮讲练测》 专题1 集合与充要条件 考查内容 考查详情 年份 题型 分值 集合 交集 2026 单选 6 集合的互异性 2025 单选 6 集合的子集 2024 单选 6 集合的相等关系 2023 单选 6 并集 2022 单选 6 交集运算 2022 解答题 14 命题轨迹透视： 集合与充要条件连续五年在重庆市“职教高考”考试中考查1题，为每年必考题目。集合主要考查集合的运算（交并补），集合的关系等，出现在第1题，单选题每年的题序固定为第一题。充要条件在复习中也需要强化练习。 【考点1：集合】 1.（2026年高等职业教育分类考试数学第1题）设集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念运算即可. 【详解】已知集合 ， 则， 故选：B. 2．（2025年高等职业教育分类考试数学第1题）设集合，，是或中的偶数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合集合中元素的互异性即可求解. 【详解】由题意得，集合，，是或中的偶数， 则. 故选：B. 3.（2024年高等职业教育分类考试数学第1题）下列集合中是集合的子集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查集合的子集. 由题可知，只要是这个集合的子集就行，因为，所以集合取的正整数，即：1，2.所以只有B选项符合。 故答案为：B. 4.（2023年高等职业教育分类考试数学第1题）与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的相等关系。 两集合相等要求两个集合的元素完全相同，所以对于 故选D 5.（2022年高等职业教育分类考试数学第1题）设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查集合的并集运算. 有Venn图可知，D选项正确， 故答案为：D. 6.（2022年高等职业教育分类考试数学第11题）设，，求. 【分析】本题考查集合的交集运算. 【解析】因为，解得 而，有，，解得 所以。 知识点1 集合的概念与表示方法 1.集合 （1）集合：由一些确定对象所组成的整体称为集合，简称为集，每个确定的对象叫作这个集合的元素。 （2）集合元素的特征：确定性、互异性、无序性。 （3）常见数集：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集。 （4）空集：不含任何元素的集合叫作空集，记作。 2.元素与集合的关系 如果是集合的元素，记作；如果不是集合的元素，记作。 3.集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号里。如：。 （2）描述法：把集合中所有元素的共同特征描述出来，写在大括号里。如：。 （3）图示法：用数轴或韦恩图。 知识点2 集合与集合的关系 1.子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的子集，记作：，注意：。 2.真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B至少有一个元素不属于集合A，那么集合A就叫作集合B的真子集，记作：，注意：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集， 3.相等：如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等，记作： 4.结论：一个集合有个元素，则子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 知识点3 集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 若全集为U，则集合A的补集为 图形表示 集合表示 1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，则下列集合中是集合的真子集的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期末）设集合，则下列关系式中正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·重庆·期末）设，那么（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·重庆巴南·期中）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·重庆·期末）设全集，集合，则（      ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆渝北·期中）已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·重庆巴南·期末）集合，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·重庆巴南·期末）下列集合中是集合的子集的是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，若，则集合中所有元素之和为（    ） A． B． C．1 D．3 11．（25-26高一上·重庆巴南·期末）已知，则为___________． 12．（25-26高二下·重庆·期末）已知集合，集合，求. 13．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，，求. 1．D 【分析】由集合的列举法，真子集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以集合的真子集有，，. 故选：D. 2．D 【分析】根据集合与集合、元素与集合之间的关系即可求解. 【详解】对A：因为0是元素，所以，故A项错误； 对B：因为，所以，故B项错误； 对C：因为，故C项错误； 对D：因为，故D项正确. 故选：D. 3．D 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】，那么. 故选：D. 4．B 【分析】根据交集的定义求解． 【详解】已知集合，，则． 故选：B． 5．D 【分析】根据交集的概念及运算求出，再将之用区间表示即可. 【详解】由题可得， . 集合用区间表示为. 故选：D 6．D 【分析】明确全集和集合中的元素，然后根据补集的定义求解. 【详解】已知全集， 集合， 所以. 故选：D. 7．A 【分析】先求解一元二次不等式得到集合A，再根据交集求解即可. 【详解】不等式，解得，即. 因为，则. 故选：A. 8．C 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合，则， 故选：. 9．C 【分析】根据子集的定义逐项判断即可得解. 【详解】，解得， 所以， ，，所以不符合题意，故错误； ，，所以不符合题意，故错误； ，，故正确； ，，所以不符合题意，故错误； 故选：. 10．A 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的性质求解即可. 【详解】因为，则有或或. 由得；由得. 即当时，则，不满足集合内元素的互异性，应舍去； 当时，则，符合题意. 故集合中所有元素之和为. 故选：A. 11． 【分析】根据题意结合交集及并集的定义即可得解. 【详解】因为， 则， 故答案为：. 12． 【分析】解一元二次不等式和绝对值不等式得出集合和，再根据交集的定义求解. 【详解】不等式，即，解得，故， 不等式，即，解得，故， 所以. 13． 【分析】先分别求出集合和集合，再根据交集的定义求出. 【详解】因为， 或， 所以. 【考点2：充要条件】 1．（24-25高三下·江苏·职教高考）已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 2．（24-25高三下·山东·职教高考）已知，则“”是“”的什么条件（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角形函数的诱导公式进行化简，再根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】根据诱导公式，. 所以，“”可以推出“”. “”也可以推出“”. 故已知，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 3．（23-24高三下·云南·职教高考）“”是“且”的（   ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据且，且，并结合充要条件的定义可判断结果. 【详解】若，则有，或，，即且； 若且，则，即且. 所以“”是“且”的必要且不充分条件. 故选：B 4．（25-26高三下·湖北·职教高考） 是 的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】充分性：若，则，充分性成立； 必要性：若，则，不一定为，必要性不成立. 因此是的充分不必要条件. 故选：A. 5．（25-26高三下·浙江·对口/高职单招）判断：是的什么条件（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用余弦的二倍角公式及充分性、必要性的定义即可得解. 【详解】当时，，故充分性成立； 当时，即，解得，故必要性不成立， 所以是的充分不必要条件， 故选：. 6．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．（25-26高三下·湖南·对口/高职单招）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若，取，此时满足，但，不满足，故充分性不成立， 若，又，从而，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 8．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）条件是的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由不等式的性质和充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则，则，可得， 则是的充分条件， 若，则， 可得，解得或， 则不是的必要条件， 故条件是的充分不必要条件. 故选：B. 知识点1．充要条件的有关概念 （1）充分条件、必要条件 如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． （2）充要条件 如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． （3）充分不必要条件 如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． （4）必要不充分条件 如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． （5）既不充分也不必要条件 如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 题型一 与不等式或等式相结合考查 1．（24-25高三下·重庆巴南·阶段检测）“”是“”的（     ） A．充要条件 B．既不充分也不必要的条件 C．充分不必要的条件 D．必要不充分的条件 2．（25-26高三上·重庆·阶段检测）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·重庆·二模）命题“”是命题“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2025高三·重庆·专题练习）命题“”是命题“，”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要D．既不充分也不要必要 5．（2025高三·重庆·专题练习）命题“”是命题“”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不要必要 6．（2025高三·重庆·专题练习）命题“”是命题“”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不要必要 7．（2025高三·重庆·专题练习）命题“”是命题“”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不要必要 8．（25-26高二下·重庆·期末）“，”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（2025高三·重庆·专题练习）方程有实数根的充要条件是________. 10．（2025高三·重庆·专题练习）“”是“”的________条件. 题型二 与函数相结合考查 11．（2025高三·重庆·专题练习）命题“”是命题“为一次函数”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不要必要 12．（2025高三·重庆·专题练习）“”是“函数是二次函数”的________条件. 题型三 与集合相结合考查 13．（2025高三·重庆·专题练习）命题“”是命题“”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不要必要 14．（2025高三·重庆·专题练习）命题“是偶数”是命题“能被2整除”的（   ）条件 A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分也不要必要 题型四 与几何图形性质相结合考查 15．（2025高三·重庆·专题练习）“是等腰三角形”是“是等边三角形”的________条件. 16．（2025高三·重庆·专题练习）“四边形是平行四边形”是“四边形对角线互相平分”的________条件. 1．D 【分析】由含绝对值不等式的解法和充分必要条件的概念即可得解. 【详解】，解得， 故“”是“”的必要不充分的条件. 故选：D. 2．B 【分析】根据指数函数的性质及充分与必要条件的概念判定. 【详解】因为，又， 所以“”“”， “”“”， 即“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3．A 【分析】根据不等式的基本性质以及充分性和必要性的概念求解即可. 【详解】可以推出，故充分性成立， 当成立时，若，则有，可得，故必要性不成立， 所以命题“”是命题“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．B 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义以及不等式性质，即可求解. 【详解】由题知，是条件，，是结论； 当时，得，或，，因此充分性不成立； 当，时，得，因此必要性成立. 所以“”是“，”的必要不充分条件. 故选：B. 5．A 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义以及绝对值的定义，即可求解. 【详解】由题知，当时，得，因此充分性成立； 当时，得，因此必要性不成立. 故命题“”是命题“”的充分而不必要条件. 故选：A. 6．D 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义以及不等式性质，即可求解. 【详解】当时，比如，则，因此充分性不成立； 当时，比如，则， 因此必要性不成立. 则命题“”是命题“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．C 【分析】利用充分条件、必要条件、充分必要条件的定义以及不等式的性质，求解即可. 【详解】当，则，因此充分性成立； 当，则，因此必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若“，”成立，则一定成立，故充分性成立， 若“”成立，则和同号，即或，故必要性不成立， 综上，“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 9． 【分析】利用充分必要条件的定义以及一元二次方程与判别式的关系，求解即可. 【详解】因为方程是一元二次方程，且有实数根， 所以，即，解得， 所以方程有实数根的充要条件是. 故答案为：. 10．必要不充分 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义以及解一元二次不等式，即可求解. 【详解】由题知，是条件，是结论； 当时，得或，因此充分性不成立； 当时，得，因此必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 11．D 【分析】利用充分条件、必要条件、充分必要条件的定义，求解即可. 【详解】当时，函数不是一次函数，充分性不成立； 当为一次函数时，有，推不出，必要性不成立. 所以“”是“为一次函数”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 12．充分不必要 【分析】利用充分条件、必要条件、充分必要条件的定义以及二次函数的概念，求解即可. 【详解】 由题意得，“”是条件，“函数是二次函数”是结论； 当，则，满足二次函数的定义，因此充分性成立； 当函数二次函数，则，因此必要性不成立， 所以“”是“函数是二次函数”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 13．A 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义以及集合间关系，即可求解. 【详解】由题知，当时，得，因此充分性成立； 当时，不一定成立，如，但，因此必要性不成立. 故命题“”是命题“”的充分而不必要条件. 故选：A. 14．C 【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件定义，求解即可. 【详解】由题意，若是偶数，则能被2整除，因此充分性成立； 若能被2整除，则是偶数，因此必要性成立. 故命题“是偶数”是命题“能被2整除”的充要条件. 故选：C. 15．必要不充分 【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义以及三角形三边关系，即可求解. 【详解】由题知，“是等腰三角形”是条件，“是等边三角形”是结论； 等腰三角形只需要满足两条边相等，可等边三角形需要三条边相等； 因此等边三角形肯定是等腰三角形，可等腰三角形不一定是等边三角形. 故“是等腰三角形”是“是等边三角形”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分. 16．充要 【分析】利用充分条件、必要条件、充分必要条件的定义以及平行四边形相关定理，求解即可. 【详解】由平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，因此充分性成立； 由平行四边形的判定，四边形对角线互相平分，则四边形是平行四边形，因此必要性成立. 故“四边形是平行四边形”是“四边形对角线互相平分”的充要条件. 故答案为：充要. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $