专题48 用样本估计总体 《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》(原卷版+解析版)

专题48 用样本估计总体 一、知识梳理 1、 集中趋势 定义：集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，反应这组数据中心点的位置所在，常用的表示集中趋势的统计量有算数平均数、加权算术平均数、中位数、众数等. （1）算数平均数（算数均值） ①算术平均数：一组数据中所有数据的和除以数据个数所得到的数. ②算数均值：一般地，我们把一组数据的算术平均数，也称为算数均值. ③加权算数平均数的计算公式： 若一组数据的频数分别为 ，则其加权算数平均数为x 若一组数据的频数分别为 ，则其加权算数平均数为 （2）众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数.若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数. （3）中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 2、离散程度 定义：数据远离其中心值的程度，也称离中趋势.常用的表示离散程度的统计量有极差、方差、标准差和离散系数等 （1）极差 将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，用R表示. （2）方差和标准差 若从总体中随机抽样，获得n个观测数据，用x表示这n个数据的算数均值，则这组数据的方差为这n个数据的方差.方差刻画了个体数据向算数平均数x的集中或离散的程度：方差越小，表明个体算数平均数z的距离越近，个体向算数平均数王集中得越好.也刻画了个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小. 标准差是方差的算术平方根.s 如果s2是样本方差，则称是样本标准差. （3）离散系数 一组数据的标准差与其算数平均数的比值称为这组数据的离散系数，也称标准差系数，即： 二、题型精练 题型1 众数、中位数、算术平均数的计算 【典例1】．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄（单位：岁）如下： 甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57． （1）甲群市民年龄的算数平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ （2）乙群市民年龄的算数平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【典例2】．某班50名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如表所示： 成绩 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 0 0 0 1 0 1 3 5 6 19 15 这次安全知识竞赛成绩的众数是 ( ) A.5分 B.6分 C.9分 D.10分 题型2 极差、方差、标准差、离散系数的计算 【典例1】．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间（单位：天）： 甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性和可靠性. 【典例2】．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为 ( ) A.8 B.15 C.16 D.32 三、知识检测 1．下列说法中，不正确的是 ( ) A．数据2,4,6,8的中位数是4,6 B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4 C.一组数据的算数平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D.8个数的算数平均数为5，另3个数的算数平均数为7，则这11个数的算数平均数是 2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的算数平均数，这是因为 ( ) A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛 3．如果5个数的算数平均数是7，那么这5个数的算数平均数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 4．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（    ） A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中，稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 5．某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 6．下列判断正确的是（   ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 7．若样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．21 8．一个样本数据为24，17，，，18，其平均数为26，则为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 9．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数是（   ） A．110 B．111 C．112 D．113 10．一组观察值2，3，4，5出现的次数分别为2，2，3，3，则样本平均值为（   ） A．3.7 B．3.77 C．3.5 D．9.25 11．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（   ） A．5 B．6 C．4 D．7 12.某校决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名参加诗歌朗诵大赛，已知甲、乙、丙、丁四人的平均分相同，甲的方差为0.32，乙的方差为0.41，丙的方差为0.27，丁的方差为0.22，则选择哪位学生最合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 13.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1，则样本的极差为 ，方差为 . 14．在这五个数中添加一个数，它们的平均数却没有变化，则__________. 15．已知，，，的平均数为4，则由，，，组成的新数据的平均数为 . 16． 已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为 . 17．已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示： 甲：27,m,39; 乙:n,32,34,38. 若这两组数据的中位数相同，算数平均数也相同，则求m和n. 18.甲、乙两个同学在最近几次模拟考试中数学成绩如下： 甲：86，90，85，87，88 乙：96，80，83，85，86 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪位同学的成绩更稳定. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题48 用样本估计总体 一、知识梳理 1、 集中趋势 定义：集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾向，反应这组数据中心点的位置所在，常用的表示集中趋势的统计量有算数平均数、加权算术平均数、中位数、众数等. （1）算数平均数（算数均值） ①算术平均数：一组数据中所有数据的和除以数据个数所得到的数. ②算数均值：一般地，我们把一组数据的算术平均数，也称为算数均值. ③加权算数平均数的计算公式： 若一组数据的频数分别为 ，则其加权算数平均数为x 若一组数据的频数分别为 ，则其加权算数平均数为 （2）众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数.若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数. （3）中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数. 2、离散程度 定义：数据远离其中心值的程度，也称离中趋势.常用的表示离散程度的统计量有极差、方差、标准差和离散系数等 （1）极差 将一组数据中的最大值与最小值统称为极值，将最大值与最小值之差称为极差，用R表示. （2）方差和标准差 若从总体中随机抽样，获得n个观测数据，用x表示这n个数据的算数均值，则这组数据的方差为这n个数据的方差.方差刻画了个体数据向算数平均数x的集中或离散的程度：方差越小，表明个体算数平均数z的距离越近，个体向算数平均数王集中得越好.也刻画了个体的稳定或波动的程度：方差越小，表明个体越整齐，波动越小. 标准差是方差的算术平方根.s 如果s2是样本方差，则称是样本标准差. （3）离散系数 一组数据的标准差与其算数平均数的比值称为这组数据的离散系数，也称标准差系数，即： 二、题型精练 题型1 众数、中位数、算术平均数的计算 【典例1】．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄（单位：岁）如下： 甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57． （1）甲群市民年龄的算数平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ （2）乙群市民年龄的算数平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？ 【答案】 (1) 平均数15岁，中位数15岁，众数15岁；平均数、中位数、众数都可以较好反映甲群年龄特征。 (2) 平均数20岁，中位数5.5岁，众数6岁；中位数、众数能较好反映乙群市民年龄特征。 【分析】 平均数受极端数值影响很大；中位数、众数不易受极端值干扰。乙群存在\(54,57\)两个极大极端值，平均数被拉高，不能代表整体年龄。 【详解】 （1）甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17 总数 10 个数据 算数平均数： = 15 中位数：第 5、第 6 个数的平均值 =15 众数：出现次数最多：15。 甲群数据分布集中，无极端值，平均数、中位数、众数都能较好反映年龄特征。 （2）乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57 先排序：3,4,4,5,5,6,6,6,54,57，共 10 个数据 算数平均数： = 15 中位数：第 5、第 6 个数的平均值 =5.5 众数：出现次数最多：6。 乙群有54,57极端大值，平均数20明显偏离大部分人的真实年龄，故中位数、众数更适合反映乙群年龄特征。 【典例2】．某班50名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如表所示： 成绩 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数 0 0 0 1 0 1 3 5 6 19 15 这次安全知识竞赛成绩的众数是 ( ) A.5分 B.6分 C.9分 D.10分 【答案】C 【分析】 众数是一组数据中出现次数最多的数据，直接看人数那一列，找出人数最大值对应的成绩。 【详解】 观察表格： 成绩 9 分对应的人数是 19，为所有成绩里人数最多。 所以众数为 9 分。 故答案选 C。 题型2 极差、方差、标准差、离散系数的计算 【典例1】．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货时间（单位：天）： 甲：10 9 10 10 11 11 9 11 10 10 乙：8 10 14 7 10 11 10 8 15 12 估计两个供货商的交货情况，并判断哪个供货商的交货时间短一些，哪个供货商的交货时间比较具有一致性和可靠性. 【答案】 甲供货商平均交货时间10.1天，乙供货商平均交货时间10.5天；甲交货时间更短，甲交货时间更具有一致性和可靠性。 【分析】 比较交货平均长短看平均数；一致性、可靠性看方差（标准差），方差越小，数据波动越小，越稳定可靠。 【详解】 甲：10，9，10，10，11，11，9，11，10，10 = 10.1 =[=0.49 乙：8，10，14，7，10，11，10，8，15，12 = 10.5 =[=6.05 <，所以甲供货商交货时间短一些； <，甲的数据波动更小，甲交货时间更具有一致性和可靠性。 故甲平均交货10.1天，乙平均交货10.5天；甲交货时间更短且更稳定可靠。 【典例2】．若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为 ( ) A.8 B.15 C.16 D.32 【答案】C 【分析】 若一组数据每个数乘a，则新数据标准差变为原来的a倍。常数项b不改变数据的离散程度，对方差没影响 【详解】 设原数据标准差s=8，方差=64。对于数据2，方差： ==4×64=256 新标准差：s==16 故答案选 C。 三、知识检测 1．下列说法中，不正确的是 ( ) A．数据2,4,6,8的中位数是4,6 B．数据1,2,2,3,4,4的众数是2,4 C.一组数据的算数平均数、众数、中位数有可能是同一个数据 D.8个数的算数平均数为5，另3个数的算数平均数为7，则这11个数的算数平均数是 【答案】A 【分析】 中位数：偶数个数据时，中位数是中间两个数的平均数，不是两个数；众数可以有多个；平均数、中位数、众数可以相等；加权平均数公式用于多组数据合并求平均。 【详解】 选项 A：数据2,4,6,8，共 4 个，中间两数是4,6 中位数= =5，不是 “是 4，6”，A 错误。 选项 B：1,2,2,3,4,4，2和4都出现 2 次，众数为2,4，B 正确。 选项 C：例如数据2,2,2，平均数、众数、中位数都是 2，可以相同，C 正确。 选项 D：8 个数平均 5，3 个数平均 7 = = ，D 表述计算逻辑正确。 故不正确的是A。 2．奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的算数平均数，这是因为 ( ) A.减少计算量 B.避免故障 C.剔除异常值 D.活跃赛场气氛 【答案】C 【分析】 去掉一个最高分、一个最低分，目的是排除个别评委给出的极端异常分数，防止极端值干扰最终成绩。 【详解】 最高分和最低分属于异常值，会影响平均数，去掉它们可以让评分结果更加公平合理，不是为了减少计算量、避免故障或者活跃赛场气氛。 故答案选 C。 3．如果5个数的算数平均数是7，那么这5个数的算数平均数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】D 【分析】根据平均数的计算公式求解. 【详解】∵的算数平均数是7，∴=35 ∴的平均数为 = 8 故答案为：D 4．下列对一组数据的分析，不正确的说法是（    ） A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定 B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定 C．数据标准差越小，样本数据分布越集中，稳定 D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定 【答案】B 【分析】根据极差、平均数、方差、标准差表示的含义可得结果. 【详解】因为极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中，故A说法正确； 平均数越小，说明数据整体上偏小，不能反映数据稳定与否，故B说法错误； 方差、标准差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差、标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；方差较小的数据波动较小，稳定程度高；故C、D说法正确； 故选：B 5．某商场要反映不同品牌冰箱的销售情况，以确定主推品牌，应选择的统计指标是（    ） A．算术平均数 B．加权平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【分析】根据算术平均数、加权平均数、中位数及众数的概念求解. 【详解】“确定主推品牌”需选择销量最高的品牌，对应“出现次数最多的品牌”，需用众数判断； 算术平均数、加权平均数计算的是平均销量，中位数反映中间销量，均无法体现“销量最高”， 故选：D． 6．下列判断正确的是（   ） A．样本平均数一定小于总体平均数 B．样本平均数一定大于总体平均数 C．样本平均数一定等于总体平均数 D．样本容量越大，样本平均数越接近总体平均数 【答案】D 【分析】根据样本平均数和总体平均数之间的关系逐个分析即可. 【详解】样本的平均数可能大于总体的平均数， 也可能小于总体的平均数，也可能等于总体的平均数， 故A，B，C错误， 总体平均数常常用样本平均数来估计，样本容量越大，估计越准确，故D正确， 故选：D. 7．若样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．21 【答案】C 【分析】根据平均值的计算公式求解即可. 【详解】因为样本数据18，a，16，22，10的样本均值是17， 所以，解得. 故选：C. 8．一个样本数据为24，17，，，18，其平均数为26，则为（   ） A．34 B．35 C．36 D．37 【答案】B 【分析】根据平均数计算公式求解即可. 【详解】将样本数据代入平均数计算公式得，解出方程得. 故选：B. 9．高一某班第7学习小组在期末的数学测试中，得135分的1人，122分的2人，110分的4人，90分的2人，则该学习小组数学成绩的平均数是（   ） A．110 B．111 C．112 D．113 【答案】B 【分析】根据平均数计算公式即可得解. 【详解】由题意， 该学习小组数学成绩的平均数为. 故选：. 10．一组观察值2，3，4，5出现的次数分别为2，2，3，3，则样本平均值为（   ） A．3.7 B．3.77 C．3.5 D．9.25 【答案】A 【分析】根据题意结合平均数公式即可得解. 【详解】样本的平均值为， 故选：. 11．在一次射击训练中，一小组的成绩如下表所示： 环数 7 8 9 人数 2 3 已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是（   ） A．5 B．6 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据平均数的公式求解即可. 【详解】设成绩为8环的人数为，则平均成绩为， 解得. 故选：A. 12.某校决定从甲、乙、丙、丁四名学生中选出一名参加诗歌朗诵大赛，已知甲、乙、丙、丁四人的平均分相同，甲的方差为0.32，乙的方差为0.41，丙的方差为0.27，丁的方差为0.22，则选择哪位学生最合适？（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据方差的实际意义即可得解. 【详解】四名学生的平均分相同，方差越小越稳定，， 则选择丁最合适， 故选：. 13.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1，则样本的极差为 ，方差为 . 【答案】极差3，方差2 【分析】 先利用平均数求出参数a，再求极差（最大值-最小值），再代入方差公式计算。 【详解】 样本：a,0,1,2,3，共 5 个，平均数=1 因为 =1 所以a=-1 样本数据：-1, 0, 1, 2, 3 极差=最大值-最小值=3-(-1)=3 []=2 故极差为3，方差为2。 14．在这五个数中添加一个数，它们的平均数却没有变化，则__________. 【答案】5 【分析】先求出原五个数的平均数，再根据添加一个数后平均数不变列出方程求解. 【详解】原五个数、、、、的平均数为：， 添加一个数后，数据变为、、、、、，共个数，此时平均数仍为， 可列出方程：，得，解得， 故答案为：5. 15．已知，，，的平均数为4，则由，，，组成的新数据的平均数为 . 【答案】7 【分析】根据平均数的计算公式求解. 【详解】∵，，，的平均数为4，∴， ∴，，，的平均数为. 故答案为：7. 16．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为 . 【答案】 【分析】 先求平均数，再求方差，标准差为方差的算术平方根。 【详解】 数据：1,2,3,4,5 平均数： = =3 方差： []=2 标准差：s= 故填 17．已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示： 甲：27,m,39; 乙:n,32,34,38. 若这两组数据的中位数相同，算数平均数也相同，则求m和n. 【答案】m=33，n=28 【分析】 中位数：奇数个数据取中间那一个；偶数个数据取中间两数的平均值。先利用中位数相等求出m，再利用平均数相等求出n。 【详解】 甲组：27, m,39，共 3 个数据，中位数为m。 乙组：n, 32, 34, 38，共 4 个数据，中位数= =33。 两组中位数相同： m=33 甲组平均数： = =33 甲乙平均数相等，则乙的平均数也为33： =33 n+104=132 n=28 故m=33，n=28。 18.甲、乙两个同学在最近几次模拟考试中数学成绩如下： 甲：86，90，85，87，88 乙：96，80，83，85，86 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算结果判断哪位同学的成绩更稳定. 【答案】(1)；；（对应人教版）；；（对应高教版）； (2)甲比乙稳定. 【分析】（1）根据平均数及方差的计算公式可求解； （2）根据方差表示的含义可得结果. 【详解】（1）由题可知 ； ； 解法一（对应人教版）： ； ； 解法二（对应高教版）： ； ； （2），甲比乙稳定. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $