专题4 平面向量与复数（B卷·能力提升）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面向量与复数高频考点，以题组训练构建“概念-运算-应用”逻辑链条，提升数学运算与推理意识素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|14题（选择1-9、填空11-13、解答16-18）|坐标运算、垂直平行判断、数量积、三角形形状分析|从向量概念到坐标运算，再到几何应用的推理链条| |复数|4题（选择10、填空14-15、解答19）|复数四则运算、模计算|复数定义到运算的基础应用逻辑|

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题4 平面向量与复数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，且，则实数（   ） A． B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出，利用平面向量平行的性质列出方程即可得解. 【详解】向量，，则， 因为，则，解得. 故选：. 2．已知非零向量满足，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】将等式两边平方，利用平面向量的运算法则即可得解. 【详解】非零向量满足， 则， 则，所以， 故选：. 3．在中，若 ，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据向量的内积公式可知向量的内积大于0，则可得其夹角的余弦值为正，进而可知三角形的形状； 【详解】因为在中， ， 所以，则，即角B为钝角， 所以是钝角三角形. 故选：B. 4．已知向量，若，则实数的值为（   ） A． B． C．4或 D．或 【答案】A 【分析】根据向量线性运算以及向量共线坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，则. 因为，所以，解得. 故选：A. 5．已知向量的夹角为，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设出，根据向量的模以及向量内积求解即可. 【详解】根据题意，设，则， 若向量的夹角为，且，则， 即，解之可得：或（舍），故. 故选：C． 6．若，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义和复数的运算、复数相等可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得解. 因为，所以，则， 所以，解得，故. 7．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得. 8．在中，若，则此三角形为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】根据向量的数量积以及三角函数值符号求解即可. 【详解】∵， ∴，∴是钝角，则△ABC是钝角三角形. 故选：A. 9．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中，正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据平面向量的基本概念求解即可. 【详解】①若，则，而不是；②若，说明它们的长度相等，它们的方向并不确定，则不一定成立； ③若，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等，则不一定成立. 故没有正确的命题. 故选：A. 10．已知，则（      ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用向量的内积运算求模即可． 【详解】， 所以． 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．平面向量，，且，则实数________. 【答案】2 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】平面向量，，且， 则，解得， 故答案为：. 12．平面向量，，则________. 【答案】 【分析】根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】平面向量，， 则，所以， 故答案为：. 13．已知向量且，则________. 【答案】4 【分析】根据向量内积的运算律求值即可. 【详解】已知向量， ， 所以， 故答案为：. 14．若，则______. 【答案】 【分析】根据复数加减法的法则求解． 【详解】由题意，. 故答案为：. 15．计算：________． 【答案】 【分析】根据复数的乘法和加减法运算法则运算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．化简下列各式： (1). (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量加法的交换律、结合律及向量相反向量的性质，即可解得. （2）根据向量数乘的分配律展开并合并同类项，即可解得. 【详解】（1）. （2）. 17．已知，，若与垂直，求k的值． 【答案】 【分析】分别求出与的坐标，由已知条件与垂直，得到关于的方程即可求得结果. 【详解】由，， 可得， ， 又因为与垂直，故， 即，解得. 18．已知，，与的夹角． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算出向量数量积，再由向量平方与模长的关系求解即可. （2）由向量夹角得到，再代三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）， ， ， （2）若，，则， ， 又，， . 19．已知，其中为实数．求. 【答案】 【分析】根据复数乘法的运算法则及复数相等的概念求解． 【详解】， 因为，即， 所以且，解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题4 平面向量与复数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，且，则实数（   ） A． B． C． D．4 2．已知非零向量满足，则（    ） A．0 B． C． D． 3．在中，若 ，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．已知向量，若，则实数的值为（   ） A． B． C．4或 D．或 5．已知向量的夹角为，且，则（   ） A． B．1 C． D．2 6．若，且，则（ ） A． B． C． D． 7．若，则（ ） A． B． C． D． 8．在中，若，则此三角形为（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 9．给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则．其中，正确的命题有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 10．已知，则（      ） A． B．2 C． D．3 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11．平面向量，，且，则实数________. 12．平面向量，，则________. 13．已知向量且，则________. 14．若，则______. 15．计算：________． 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．化简下列各式： (1). (2). 17．已知，，若与垂直，求k的值． 18．已知，，与的夹角． (1)求； (2)若，，求的面积． 19．已知，其中为实数．求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $