专题9 圆（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题9 圆 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 圆 圆的标准方程、直线与圆相切 2026-22 解答 10 直线与圆相切、直线与圆相交求弦长 2025-24 解答 12 直线与圆相切、直线与圆相交 2024-24 解答 12 圆上点到直线的距离最值 2024-15 填空 5 圆的标准方程、直线与圆相切 2023-24 解答 12 直线过圆心求参数 2022-15 填空 5 圆的标准方程、直线与圆相交 2022-24 解答 12 命题轨迹透视： （1）题型：填空题、解答题。 （2）内容及分值：圆的方程、直线与圆相切、直线与圆相交；分值在10-17分。 【考点：直线与圆】 1.（2024·内蒙古·真题T15）已知点，，若动点满足，则点到直线的距离的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标表示及内积的坐标运算，表示出，结合圆的标准方程，可判断点的运动轨迹，结合圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，设动点坐标，则， 又，即， 所以，即， 所以动点在以圆心为，半径的圆周上运动， 所以圆心到直线l的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案：. 2.（2022·内蒙古·真题T15）若直线过圆：的圆心，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】圆心坐标代入直线方程即可得解． 【详解】圆：的圆心为，即， 代入直线，得，解得． 故答案为：3． 3.（2026·内蒙古·真题T22）已知直线：与圆 相切，且圆心 的坐标为． （1）求圆 的标准方程； （2）设 ， 分别为圆 与 轴的交点， 为圆 与直线的切点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切时半径等于圆心到切线的距离，结合圆的标准方程形式求解； （2）先求圆与 轴交点得到的长度，再求切点 的坐标，利用三角形面积公式计算面积即可. 【小问1详解】 直线整理为一般式为， 因为直线与圆 相切，故半径 等于圆心 到直线的距离， 由点到直线的距离公式得：， 因此， 又因为圆心 的坐标为， 所以圆 的标准方程为； 【小问2详解】 令 ，代入圆 的方程得：， 整理得，解得， 可记作点 的纵坐标为，点 的纵坐标为， 故， 圆心与切点的连线垂直于切线，直线的斜率为，故直线的斜率为 ， 由点斜式得直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程：，解得，即， 因为在 轴上，故点 到直线的距离为， 由三角形面积公式得：. 4.（2025·内蒙古·真题T24）已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【小问1详解】 圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 5.（2024·内蒙古·真题T24）已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的圆心，再根据圆的定义求解即可. （2）根据点到直线的距离公式以及弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设圆心为. 因为圆与轴相切，所以半径为. 因为点在圆上，所以 展开得 所以圆心为，半径. 进而圆的标准方程：. 【小问2详解】 由（1）得圆心为，直线为：， 则圆心到直线的距离为. 因为弦长，半径，所以：， 解得，所以，化简得. 解得或. 6.（2023·内蒙古·真题T24）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． （1）求圆C的标准方程； （2）求经过点且与圆C相切的直线l的方程； （3）已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【小问1详解】 当AB为圆C直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 7.（2022·内蒙古·真题T24） 已知点及圆：. （1）直线过点且圆心到该直线的距离为1时，求直线的方程； （2）设过点的直线与圆交于，两点，当时，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程求解； （2）由条件求出圆心到直线的距离，可知点为线段的中点，然后利用圆的标准方程得出答案． 【小问1详解】 由，得， 所以圆心为，半径， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为1，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当直线的斜率不存在时，的方程为，满足题意， 所以直线的方程为或． 【小问2详解】 因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 又，所以点为线段的中点， ∴以线段为直径的圆的圆心为，半径为2， ∴以线段为直径的圆的方程为． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．点与圆的位置关系 (1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系． (2)三种关系： 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． ①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上； ②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点在圆外； ③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点在圆内． 3. 圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1＞0)， 圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2＞0). 　方法 位置关系　　 　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 相离 d＞r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解 内含 0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2) 无解 4．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 一、单选题 1．圆心是，半径为2的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程，则圆心和半径分别为（    ） A． B． C． D． 3．方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交且过圆心 5．圆心为且与直线相切的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 6．若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 7．若直线经过圆的圆心，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．过点，且与圆相切的直线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 9．已知倾斜角为的直线被圆截得的弦为，当为最大值时，直线的方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知圆与直线相切于点，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 11．已知直线被圆所截得的弦长为4，则为（   ） A． B． C．0 D．2 12．直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题 13．设直线与轴相交于点，则以点为圆心，半径为2 的圆的方程为______________. 14．直线被圆截得的弦长为______________. 15．设点在直线上，点和均在上，则的方程为______________. 16．若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是______________． 17．经过圆上一点．的切线方程为______________. 18．若直线与圆相交于两点，且，则实数的值为________. 三、解答题 19．已知点，，求以点为圆心，为半径的圆的标准方程. 20．已知圆以直线和直线的交点为圆心，且经过点，求圆的标准方程． 21．求直线被圆截得的弦长. 22．求过点的圆的切线方程 23．过点作圆的切线，切点为P，求线段的长度. 24．已知直线与圆C：交于M，N两点，且. (1)求C的方程； (2)设为坐标原点，直线（）与C交于A，B两点，若为钝角，求的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．C 【分析】根据题意，结合圆心坐标和半径，即可求得圆的标准方程. 【详解】因为圆的圆心是，半径为2， 所以圆的标准方程为. 故选：C. 2．A 【分析】根据题意，结合圆的标准方程，即可求解. 【详解】因为圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径. 故选：A. 3．C 【分析】根据题意，结合二元二次方程表示圆需满足，即可求解. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以，即， 解得. 故m的取值范围是. 故选：C. 4．A 【分析】根据题意，结合圆的标准方程求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，比较和半径的大小关系，即可判断求解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以，故直线与圆相离. 故选：A. 5．B 【分析】根据点到直线的距离公式求出半径，结合圆的标准方程即可得解. 【详解】圆心到直线的距离为， 因为圆心为且与直线相切， 所以圆的半径为， 所求圆的方程为， 故选：. 6．B 【分析】根据题意，可设出圆心坐标和半径，继而表示出圆的标准方程，将点代入，即可求得圆心坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由题意可知圆心在第一象限，设为， ∵圆与两坐标轴都相切，∴，且半径， ∴圆的标准方程为， ∵点在圆上，∴，即， 解得或， 当时，圆心坐标为，此时圆心到直线的距离为 ； 当时，圆心坐标为，此时圆心到直线的距离为 . 综上，圆心到直线的距离为. 故选：B. 7．C 【分析】先求解出圆的圆心坐标，再将圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为， 由题意可得，解得. 故选：C. 8．B 【分析】按直线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可. 【详解】当切线方程斜率存在时， 由题意可设切线方程为，即， 则圆心到直线的距离等于半径2，可得， 两边平方得，，解得， 所以切线方程为，即. 当斜率不存在时，直线为，即，圆心到其距离为2，符合题意. 所以切线方程为或. 故选：B. 9．B 【分析】首先设直线方程为，再由弦长最大时经过圆心，将圆心坐标代入求解即可. 【详解】直线l的斜率，设直线方程为， 由题意可知直线经过圆心，圆的圆心为， 代入直线方程得，所以该直线方程为， 故选：B. 10．D 【分析】先求出圆心与切点连线的斜率，再根据切线与该连线垂直的性质求出切线的斜率，最后利用点斜式方程求出切线方程． 【详解】圆可化为，则圆心， 直线的斜率为， ∵，则直线的斜率为， ∴直线的点斜式方程为，即. 故选：D. 11．A 【分析】根据弦长公式列出方程求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 设圆心到直线的距离为d， 则由点到直线的距离公式得， 由题意得：，解得． 故选：A． 12．B 【分析】先根据圆的标准方程得到圆心和半径，计算圆心到直线距离，再根据弦长公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为， 即圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离为， 所以弦长. 故选：B. 13． 【分析】先求出直线与轴的交点的坐标，再根据圆的标准方程求出结果. 【详解】对于直线，令，可得，解得，所以点的坐标为， 已知圆心的坐标为，半径， 则圆的标准方程为，即. 故答案为：. 14． 【分析】根据题意，结合圆的标准方程求得圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长的一半、半径、弦心距三者之间的关系，利用勾股定理，即可求解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以弦长. 故答案为：. 15． 【分析】设圆心，半径为，根据条件列出方程组求出即可. 【详解】设圆心，半径为， 由题意得，解得. 从而得的方程为. 故答案为：. 16． 【分析】根据过点可作圆的两条切线，判断点在圆外即可求解. 【详解】圆化为标准式， 圆心为，，解得， 过点有两条切线，则点在圆外， 故，即，解得． 故，所以的取值范围是. 故答案为：. 17． 【分析】求圆上一点的切线方程. 【详解】设切线的斜率为. 则切线方程可表示为 即. 化简得 所以切线方程为 即 故答案为：. 18．或 【分析】根据圆的标准方程得到圆心坐标和半径，结合点到直线的距离公式和圆的弦长公式，求得圆心到直线的距离，即可求解. 【详解】因为直线与圆相交于两点，且， 即圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离为， 又根据弦长公式得到， 所以，化简得， 解得：或． 故答案为：或. 19． 【分析】首先由两点之间的距离公式求出半径，再由圆心和半径写出圆的方程即可. 【详解】因为点，， 则， 即. 所以圆的标准方程为. 20． 【分析】联立方程组求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径即可得解. 【详解】联立方程组，解得， 所以圆心坐标为， 因为圆过点，所以半径为， 所以圆的标准方程为. 21． 【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合圆的半径，利用弦长公式计算. 【详解】由题意知，圆心坐标为，半径. 圆心到直线的距离. 则直线被截得的弦长为. 22．或 【分析】由点与圆的位置关系，可判断点Q在圆外，设切线方程为，根据圆心到切线的距离等于半径，列方程可求解；当切线的斜率不存在，不符合题意. 【详解】由圆可知，圆心坐标为，半径. 因为到圆心的距离为，所以点Q在圆外. 设切线方程为，即. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 即所求切线方程为 当切线的斜率不存在时，此时过点直线为，不符合题意. 综上所述，切线方程为. 23． 【分析】判断点与圆的位置关系，作出图像，利用勾股定理即可得解. 【详解】圆，圆心坐标为，半径为， 则点到圆心的距离为， 所以点在圆外， 如图所示，作出图像，    所以，所以， 所以. 24．(1) (2) 【分析】（1）利用垂径定理，结合弦心距、半弦长、半径的勾股关系求解半径，进而得圆的方程； （2）联立直线与圆方程，先由判别式保证有两个交点，再根据为钝角，结合向量内积的运算与韦达定理，得到关于的不等式，求解即可. 【详解】（1）已知圆的方程为，其圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离， 因为直线与圆交于，两点，所以， 已知，可得，即， 因为，所以， 所以圆的方程为. （2）将直线代入圆的方程，可得， 展开并整理得， 因为直线与圆有两个交点，所以， 即，解得或， 设，，则，， 因为为钝角，所以， 又因为，，所以， 将，代入上式得：， 则， 所以，整理得， 因为， 所以，即，解得或，满足， 当与共线时，直线过原点，此时，不成立，所以不存在这种情况， 综上，的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $