专题8 直线的方程（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题8 直线的方程 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 直线的方程 两直线的位置关系 2026-06 单选 5 直线的方程 2026-15 填空 5 两直线的位置关系及两点间的距离公式 2025-01 单选 5 两点间的距离公式 2025-07 单选 5 两直线的位置关系 2024-24 解答 12 点到线的距离 2024-15 填空 5 两直线的位置关系 2023-09 单选 5 直线的方程 2023-24 解答 12 直线的倾斜角与斜率 2022-08 单选 5 直线的方程 2022-24 解答 12 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值：直线的倾斜角与斜率、直线的方程、两直线的位置关系、距离公式；分值在5-10分左右。 【考点：直线的方程】 1.（2026·内蒙古·真题T06）已知直线：与直线：垂直，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两条直线垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】直线：与直线：垂直， 所以，解得， 故选： . 2.（2026·内蒙古·真题T15）经过点且倾斜角为的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据倾斜角求出直线斜率，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】因为直线倾斜角为，所以直线斜率为. 又因为直线过点，所以，化简得. 故答案为：. 3．（2025·内蒙古·真题T07）经过点的直线与直线平行，则（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两条直线平行斜率相等及两点间的斜率公式求出，代入两点间距离公式即可得解. 【详解】直线，斜率为， 因为经过点的直线与直线平行， 所以直线的斜率为，则， 则， 故选：. 4.（2024·内蒙古·真题T05）若直线的斜率是一元二次方程的两个根，则直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交且垂直 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合韦达定理得出两条直线的斜率之积为即可得解. 【详解】设直线的斜率为， 所以是一元二次方程的两个根， 则， 所以直线的位置关系是相交且垂直， 故选：. 5.（2023·内蒙古·真题T09）已知直线经过点，，经过点，，若直线，则a的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 2或7 D. 0或5 【答案】D 【解析】 【分析】当两直线的斜率都存在时，由斜率之积等于求解，若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0，求解两种情况即可. 【详解】由题意知的斜率一定存在， 的斜率可能不存在，当的斜率不存在时，点横坐标相同，即，即， 此时，则，满足题意. 当的斜率存在时，，由斜率公式得： ，， 由，知， 即，得到,解得. 综上所述，a的值为0或5. 故选：D. 6.（2022·内蒙古·真题T08）已知直线的斜率，则此直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的倾斜角的范围以及，分析可得答案． 【详解】设直线的倾斜角为，则， 根据题意，有， 则的取值范围是． 故选：D． 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π)． (2)直线的斜率 ①定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条斜线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tanα；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 2．直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 y－y0＝k(x－x0) 两点式 过两点 ＝ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ＋＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0) 所有直线 3.线段的中点坐标公式 若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则 此公式为线段P1P2的中点坐标公式． 4.两点间的距离公式 设，则 5．两直线平行与垂直 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直． 6．两直线的交点 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 平行⇔方程组无解； 重合⇔方程组有无数个解． 7．距离公式 (1)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的距离为d＝. 可以验证，当A＝0或B＝0时，上式仍成立． (2)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(其中A，B不同时为0，且C1≠C2)间的距离d＝. 一、单选题 1．直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．过点且与直线平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．如果直线与直线互相垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 4．点关于点对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，，则线段的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 6．已知点到直线的距离为，则实数的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．或3 7．点到点的距离是（    ） A．5 B． C．25 D． 8．直线与直线的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交且不垂直 D．重合 9．过点与点的直线的斜截式方程是（    ） A． B． C． D． 10．已知点在直线上，则（    ） A． B． C． D．2 11．过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 12．在平直角坐标系中，过点和的直线的斜率为（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 13．直线过定点坐标为_________________． 14．已知直线，，若两直线垂直，则_________. 15．直线的倾斜角大小为__________. 16．斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为______________． 17．不论取何实数，直线恒过定点________． 18．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是__________． 三、解答题 19．已知两直线：和：，直线过与的交点且垂直于直线． (1)求直线与的交点坐标； (2)求直线的一般式方程． 20．求经过直线和直线的交点，且与直线垂直的直线方程. 21．（1）已知一条直线经过直线与直线的交点，且与直线平行，求这条直线的方程； （2）已知过点,的直线与直线：垂直，求直线的斜率与实数的值． 22．已知直线经过点. (1)若原点到直线的距离为2，求直线l的方程； (2)若直线被两条相交直线：和：所截得的线段恰被点平分，求直线的方程. 23．已知直线经过两直线和的交点. (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求直线的方程. 24．已知直线.求： (1)直线l的斜率及倾斜角； (2)直线l与两坐标轴围成的三角形的面积. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．B 【分析】根据题意，将直线的一般式方程化为斜截式方程，即可求解. 【详解】直线，化为斜截式方程得， 故直线的斜率为. 故选：B. 2．B 【分析】利用两直线平行的性质设出直线方程，由所求直线过点求解即可. 【详解】∵所求直线与已知直线平行， ∴设所求直线的方程是，， 已知所求直线过点，则，解得 ， ∴过点且与直线 平行的直线方程是 . 故选：B. 3．D 【分析】利用两直线垂直的性质来求解参数 的值. 【详解】直线 ，即， ∵直线与直线互相垂直， ∴，解得 ， 故选：D. 4．A 【分析】根据题意，结合中点坐标公式，即可求解. 【详解】由题意，设对称点的坐标为，则， 解得，即对称点的坐标为. 故选：A. 5．A 【分析】根据中点坐标公式求解. 【详解】已知点，，设线段的中点坐标为， 则，， 所以线段的中点坐标为. 故选：A. 6．C 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离为， 又，即， 所以或. 故选：C 7．A 【分析】根据两点间的距离公式可求解. 【详解】由题可得， . 故选：A 8．A 【分析】根据直线的斜率和截距的大小判断直线之间的位置关系即可. 【详解】直线，其中， 直线，其中， 所以， 所以这两条直线平行， 故选：A. 9．B 【分析】先求解出直线的斜率，再由斜截式方程求解即可. 【详解】过点与点的直线的斜率， ∵点，即纵截距为4， ∴过点与点的直线的斜截式方程是. 故选：B. 10．C 【分析】把点代入直线方程，求得，再利用两角和的正切公式运算. 【详解】由题意，把点代入直线方程， 得，解得， 所以. 故选：C. 11．D 【分析】讨论直线是否过原点，利用直线的截距式方程求解. 【详解】当直线过原点时，直线在两坐标轴上的截距均为零， 可得斜率为，故直线的方程为，即， 当直线不过原点时，设直线的方程为，， 代入点可得，解得，故直线的方程为， 故所求直线的方程为或. 故选：D. 12．C 【分析】根据直线的斜率公式求值即可. 【详解】已知点和， 由斜率的坐标公式知. 故选：C. 13． 【分析】变换直线方程，求解方程组即可确定定点坐标. 【详解】由直线， 可得，则， 解得， 所以该直线过定点， 故答案为：. 14．6 【分析】根据两条直线垂直的条件求解即可. 【详解】∵直线，，且两直线垂直， ∴，解得. 故答案为：6. 15． 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由直线变形得：，所以直线的斜率为1， 设直线的倾斜角为，即， 因为，所以. 故答案为：. 16． 【分析】联立直线方程求交点坐标，根据直线的点斜式方程结合已知条件即可求解. 【详解】联立直线，解得， 所以直线和交点为， 因为所求直线过点，且斜率为， 则所求直线的方程为，即. 故答案为：. 17． 【分析】将直线方程变形为即可确定定点. 【详解】由直线， 变形为， 令，解得， ∴该直线过定点． 故答案为：. 18．/ 【分析】根据两条直线平行求出值，代入平行线间的距离公式即可得解. 【详解】因为直线与直线平行， 则有，解得， 所以直线可化为，也即， 由两平行线间距离公式可得， 故答案为：. 19．(1) (2) 【分析】（1）联立直线方程组求解即可. （2）根据直线方程确定斜率，再由两直线垂直的条件确定所求直线的斜率，最后得出直线点斜式方程并转化为一般式即可. 【详解】（1）联立得方程组，解得， ∴直线和直线的交点坐标为. （2）∵直线的斜率为， ∴直线的斜率为， 因此，直线的方程为， 化为一般式为：. 20． 【分析】联立直线与的方程，可得交点坐标，由垂直关系，可得所求直线的斜率，据此可得所求直线的点斜式方程，化为一般式即可. 【详解】由，解得， 所以直线和直线的交点坐标为. 由直线，可知其斜率， 所以与直线垂直的直线斜率， 所求直线方程为，即为所求. 21．（1）.（2），. 【分析】（）联立方程组求出交点坐标，根据平行关系设出所求直线方程，将交点代入直线方程中即可得解. （）根据两点间斜率公式求出，结合两条直线垂直的性质求出，利用斜率公式求出的值即可得解. 【详解】（）联立方程组，解得， 所以交点坐标为， 因为所求直线与直线平行，设所求直线方程为， 将代入直线方程中得，解得， 所以所求直线方程为. （）过点,的直线的斜率， 因为，则， 直线：，则，解得， 综上所述，直线的斜率为，. 22．(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，在直线存在时，设直线方程为，再由点到直线的距离公式列方程求解即可. （2）设直线夹在直线，之间的线段为，的坐标分别设为，，再由中点公式表示，并分别代入直线，方程中求解即可. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合条件. 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 由原点到直线的距离为2得，， 即，解得. 故直线的方程为，即. 综上，所求直线的方程为或 （2）设直线夹在直线，之间的线段为(在上，在上)， 的坐标分别设为，， 因为被点平分，所以，， 即，. 由于在上，在上， 且直线：和：， 则，即 解得，，即的坐标是，且， 故直线的方程是. 23．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先联立方程组求得交点坐标，结合两直线垂直设出直线方程，代入即可求得参数值，继而求解； （2）根据题意，结合两直线平行设出直线方程，将交点坐标代入求得参数值，继而求解. 【详解】（1）由题意，联立方程组，解得， 即直线的交点为， 因直线与直线垂直，则设直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以直线方程为. （2）由（1）知，直线的交点为， 因直线与直线平行，则设直线的方程为， 将点代入得，解得， 所以直线的方程为. 24．(1)斜率为，倾斜角为. (2). 【分析】（）将直线方程化为斜截式求出斜率，结合斜率的定义求出倾斜角即可得解. （）求出直线与两坐标轴的交点坐标，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）直线， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，， 则，解得， 所以直线的斜率为，倾斜角为. （2）    直线， 令，则，解得，所以直线与轴交点坐标为； 令，则，解得，所以直线与轴交点坐标为， 如图所示，则直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $