专题6 正弦定理与余弦定理（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题6 正弦定理与余弦定理 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 正弦定理与余弦定理 余弦定理(解三角形) 2026-21 解答 10 余弦定理(解三角形) 2025-19 解答 5 余弦定理的应用 2024-16 填空 5 余弦定理 2024-19 解答 8 余弦定理(解三角形) 2023-14 填空 5 正、余弦弦定理（解三角形） 2023-19 解答 8 正余弦定理的应用 2022-13 填空 5 正弦定理（解三角形） 2022-19 解答 8 命题轨迹透视： （1）题型：近5年主要集中在填空题和解答题。 （2）内容及分值：正弦定理与余弦定理的应用，可能与平面向量、三角函数等结合考查；分值一般在5-13分。 【考点：解三角形】 1.（2026·内蒙古·真题T21）某单位有一块如图所示的四边形空地 ，测得，，，，． （1）求的值； （2）若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为 元，需要投入多少资金？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）连接，根据勾股定理求出的长，再由余弦定理求出的值，最后由二倍角的余弦公式求值即可. （2）根据三角形的面积公式求值即可. 【小问1详解】 连接，因为， ，， 所以， 因为， 所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，，，， 所以，则， 所以，， 所以，因为每平方米成本为 元， 所以需要投入元. 2.（2025·内蒙古·真题T19）在中，. （1）求的最大内角的度数； （2）求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【小问1详解】 在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 ，则， 则. 3.（2024·内蒙古·真题T19）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. （1）求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解； （2）由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解. 【小问1详解】 由，且， 得， 由正弦定理， 即. 【小问2详解】 ， ， 所以 . 4.（2023·内蒙古·真题T14）在中，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】因为. 所以. 所以. 因为. 所以. 故答案为：. 5.（2023·内蒙古·真题T19）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． （1）求角A的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. 【小问2详解】 因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 6.（2022·内蒙古·真题T13） 在中，若，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理边角互化求解边的关系，再由余弦定理求解的值即可. 【详解】因为在中，若， 所以由正弦定理可得， 令，则， 由余弦定理可得. 故答案为：. 7.（2022·内蒙古·真题T19）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且三内角A，C，B成等差数列，.若向量，共线.求a，b的值. 【答案】 【解析】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角,再利用两向量共线，可求得角,然后利用正弦定理求解. 【详解】在中，三内角成等差数列，所以有, 又因三角形内角和,所以; 因为共线，所以, 又因, 即,，所以,; 由正弦定理可得， 1.正弦定理和余弦定理： 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式： (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 一、单选题 1．的内角的对边分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，所对的边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，若，则是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．在中，，，且，则的长为（    ） A．7 B．3 C． D． 5．在中，，则（    ） A． B． C． D．或 6．在中角A，B，C所对边分别为为锐角，则（   ） A． B． C． D． 7．在中，若，，，则角的大小为（    ） A． B． C． D．或 8．已知分别为的内角的对边，是的等比中项，且的面积为，则（    ） A．8 B． C．10 D．11 9．如图，在四边形ABCD中，，，则CD的长为（   ） A． B． C． D． 10．已知，，分别为内角，，的对边，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 11．在中，已知，，，则等于（   ） A． B．2 C． D． 12．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积为，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．在中，所对的边分别为，已知，则___________. 14．在中，内角的对边分别为.若,,，则___________. 15．在中，内角的对边分别是，，，，则a的值为___________. 16．在中，分别为角的对边，若，则___________. 17．在中，若，则___________. 18．若在直角三角形中，斜边，，则___________. 三、解答题 19．设的内角所对的边分别为，且， ，求边b和. 20．在中，分别为角所对的边，且，求的面积. 21．已知，，分别是的内角，，所对的边，且，． (1)求角的大小； (2)若，求边的长． 22．在中，. (1)求； (2)若，且的面积为，求的周长. 23．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，，求周长. 24．（1）在中，，试判断的形状； （2）在中，，判断的形状. 【答案】 1．C 【分析】按比例设出三角形三边长，再代入余弦定理公式运算即可. 【详解】由题知，设， 根据余弦定理得. 故选：C. 2．C 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为在中，，，， 所以，即， 则有，即， 解得或（舍）， 故. 故选：C. 3．B 【分析】根据余弦定理确定的符号，由此确定三角形的形状. 【详解】已知，其中， 根据余弦定理可得，， 所以在中，为钝角， 所以是钝角三角形. 故选：B. 4．D 【分析】先由三角形的面积求解出的长度，再由余弦定理求解即可. 【详解】由面积公式， 可得， 由余弦定理得， 解得， 故选：D. 5．B 【分析】根据题意，结合余弦定理求得b的值，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，， 所以， 解得， 又，即，解得， ，即或， 又，若，则，，不符合， 所以. 故选：B. 6．B 【分析】先利用正弦定理求出角，再根据三角形内角和求出角，最后得出三个角的比例关系. 【详解】已知，，，将其代入正弦定理中， 可得，所以，解得， 因为为锐角，所以， 由于，则， 故， 故选：B. 7．D 【分析】根据正弦定理，即可求解. 【详解】因为，，， 由正弦定理可得，， 所以， 又，即， 所以或. 故选：D. 8．B 【分析】根据正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. 【详解】∵， ∴利用正弦定理可得， 则， 又，则为锐角， ， 由的面积为，可得. 由c是的等比中项可得，由余弦定理可得 即， 故选：B. 9．C 【分析】根据正弦定理与余弦定理求解即可. 【详解】因为，则，设，则， 在中，，故， 由正弦定理可得，则， 在中，由余弦定理可得， 即，解得，故. 故选：C. 10．A 【分析】根据余弦定理求出，再由三角形面积公式求值即可. 【详解】由于，，， 因为，所以，即， 由余弦定理得，即， 整理得， 解得， 所以的面积. 故选：A. 11．B 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】由正弦定理知，∴. 故选：B. 12．D 【分析】由正弦定理边角互化的应用和余弦定理即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理得， 即， ，， ， 由余弦定理可得，， 即， 又，， ，即， 的周长为. 故选：D. 13． 【分析】根据题意，结合余弦定理，即可求解. 【详解】因为在中，， 所以， 解得. 故答案为：. 14． 【分析】直接套用余弦定理公式，代入边长计算求出角即可. 【详解】在中，,,， 由余弦定理可得，， 因为，所以. 故答案为：. 15． 【分析】根据题意利用正弦定理即可得解. 【详解】在中，内角的对边分别是，，，， 由正弦定理可知，，解得， 故答案为：. 16． 【分析】根据正弦定理解三角形即可. 【详解】由题，， 由正弦定理，可得. 故答案为：. 17． 【分析】根据题意利用正弦定理及余弦定理即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可知，，则， 由余弦定理可知，， 因为，则， 故答案为：. 18． 【分析】根据直角三角形的性质以及面积求解即可. 【详解】若在直角三角形中，斜边，， 则，， 因此. 故答案为：. 19．， 【分析】根据正弦定理解三角形即可. 【详解】在中，已知， ，， 由正弦定理 ，得， 解得= 又知，则， 即，，， 故，. 20． 【分析】根据题意，结合两角和的正切公式及诱导公式，即可求得角C，结合余弦定理求得b和c的值，结合三角形面积公式，即可求解. 【详解】因为，即， 所以，即， 因为在中，，所以， 所以，又， 所以，又， 所以，即， 解得， 所以. 21．(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，两角和的正弦公式结合特殊角的三角函数值即可求解. （2）根据正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，，为的内角， 则，又， 所以， 又， 则， 即，解得， 又，所以. （2）由（1）可知， 由正弦定理得. 22．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦的二倍角公式结合已知条件即可求解. （2）由三角形面积公式结合已知条件求得，再根据余弦定理解得即可求出三角形的周长. 【详解】（1）因为，所以， 又是内角，即，则， 因为，解得. （2）因为， 则，解得， 由余弦定理得， 解得，所以的周长为. 23．(1) (2) 【分析】（1）根据两角和正弦公式，结合三角形的性质即可求解. （2）根据正弦定理，两角和正弦公式，分别求得，即可求解.. 【详解】（1）因为， 所以， 由为三角形内角，，即， 得，即； （2）因为，则， 由正弦定理可得：，可得， 又因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 即，所以， ， 所以的周长为. 24．（1）等边三角形.（2）等腰三角形 【分析】（1）由正弦定理的边角互化的应用即可得解； （2）由诱导公式和正弦定理即可得解. 【详解】（1）根据正弦定理，得到， 整理为， ，， 为等边三角形. （2）法一：∵ ， . 由正弦定理可得， 为等腰三角形. 法二： ∵ ， . 由正弦定理可得， ，即， （不合题意舍去）， 故为等腰三角形. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $