专题5 三角函数（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题6 三角函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 三角函数 诱导公式 2026-04 单选 5 正弦函数的图像与性质 2026-08 单选 5 三角恒等变换及诱导公式 2025-09 单选 5 三角函数图像的平移 2025-17 填空 5 两角和的正切公式 2025-19 解答 8 同角三角函数间的基本关系 2024-06 单选 5 三角恒等变换 2024-19 解答 8 三角函数求值 2023-06 单选 5 正弦函数的图像与性质 2023-18 填空 5 诱导公式 2022-04 单选 5 三角函数求最值 2022-18 填空 5 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值：诱导公式、三角恒等变换、三角函数的图像与性质；分值为10-18分。 【考点1：三角函数的概念及运算】 1.（2026·内蒙古·真题T04）已知，，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先利用诱导公式化简得  且 ，再判断角所在的象限即可. 【详解】因为，， 所以角在第二象限. 故选：B. 2.（2025·内蒙古·真题T09）若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 3.（2024·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求出的值，再由的范围和特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知， 所以，所以为象限角第二或者第三象限角， 即， ， 则时，；时，； 即， 故选：B. 4.（2023·内蒙古·真题T06）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以，所以. 故选：C. 5.（2022·内蒙古·真题T04）已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据诱导公式求出，进而求解的值，即可求出的值. 【详解】因为， 所以， 因为， 所以， 所以. 故选:C. 1．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 2．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 3．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 4．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 5．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 1．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 3．计算等于（    ） A． B． C． D．1 4．已知 ，.则（    ） A． B． C． D． 5．（    ） A．0 B．1 C． D． 6．已知则（    ） A． B． C． D． 7．已知，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 9．已知角θ的终边经过点，那么________. 10．利用诱导公式化简：. 11．已知，求下列各式的值： (1)； (2). 12．已知，求： (1); (2). 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．B 【分析】依据任意角的三角函数的定义，先求解终边上点到原点的距离，再代入公式计算即可. 【详解】由题意得，角的终边经过点， 则， 可得：.故选：B. 2．D 【分析】根据半角公式以及角度的范围求解即可. 【详解】由可得， 因为，所以，即， 所以.故选：D. 3．C 【分析】根据和角的正弦公式化简求解即可. 【详解】.故选：C 4．C 【分析】先由同角三角函数的平方关系求解的值，再由二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】已知 ，， 所以， 所以.故选：C. 5．B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数间的关系化简即可. 【详解】. 故选：B 6．B 【分析】利用诱导公式与二倍角公式代入求值即可. 【详解】， 由余弦二倍角公式可得. 故选：B. 7．B 【分析】根据诱导公式以及两角差的正切公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 8．B 【分析】根据同角三角函数的关系以及二倍角公式求解即可. 【详解】已知，. 若，则. 若，则. 故选：B. 9．/ 【分析】利用三角函数的定义即可得解. 【详解】因为角θ的终边经过点，则； 所以， 则. 故答案为：. 10．1 【分析】利用诱导公式进行化简求值即可. 【详解】原式. 11．(1) (2) 【分析】根据同角三角函数关系化简求值易得答案. 【详解】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以 . 12．(1)；； (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求出，再利用二倍角公式、即可求解； （2）利用两角和的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， ， . （2）由（1）得， 所以. 【考点2： 三角函数的图象与性质】 1.（2026·内蒙古·真题T08）若函数（）的图象与直线只有一个交点，则实数 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先通过 的取值范围确定的取值范围，结合正弦函数在上的图象与性质，判断直线与给定函数仅有一个交点时 的取值即可 【详解】当时，， 所以，则， 函数在是一个完整周期的正弦曲线， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 若直线与图像只有一个交点，说明直线只经过函数的最高点或最低点， 因为当时函数与有两个或三个交点， 当时，函数与没有交点， 所以 或， 故选：D. 2.（2025·内蒙古·真题T17）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T16） 如图，某小区的平面图呈圆心角为的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路.已知某人从沿着走到用了1分钟，从沿着走到用了2分钟.若此人步行的速度为每分钟米，则该扇形的半径为_________.米. 【答案】 【解析】 【分析】连接，分别得出的长，再由余弦定理求值即可. 【详解】已知此人步行速度为每分钟米， 所以，， 其中， 因为，所以， 连接， ， 所以. 则该扇形的半径为， 故答案为：. 4.（2023·内蒙古·真题T18）已知一个周期的正弦型曲线如图所示，则该函数的解析式为_____ . 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最小正周期，最值性质求解即可. 【详解】不妨设函数解析式为：，. 由图可知，该函数最小正周期为， 即，解得， 且该函数值域为，则， 当时，，则有， 则，即. 则函数解析式为：. 故答案为：. 5.（2022·内蒙古·真题T18）若函数，且，则的最大值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】把已知函数化简可得，然后结合正弦函数的性质求解最大值． 详解】， ∵，， ∴当，即时，有最大值2． 故答案为：2． 1．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 3．公式的逆用、变形等. （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 4. 正弦函数的图像与性质 (1)周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． (2) “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． (3)正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 (4) 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． (5)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径: 1．函数的最小正周期为（    ） A．2 B． C． D． 2．若分别为函数的最大值和最小值，则（    ） A． B． C． D． 3．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的一条对称轴是，则（   ） A． B． C． D． 5．在函数中，有两个实数，满足，且函数在区间上单调递增，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 7．要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 8．若函数对任意的x都有，则等于（ ） A．3或0 B．或0 C．0 D．或3 9．已知函数，其中，此函数的部分图像如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)当时，求实数x的取值范围. 10．某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 请根据上表数据，求函数的解析式； 11．已知函数， (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值. 12．已知函数的最大值为1． (1)求常数的值． (2)求函数的单调递减区间． (3)若，求函数的值域． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．B 【分析】根据最小正周期公式即可得解. 【详解】函数的最小正周期为， 故选：. 2．D 【分析】根据正弦函数值域推导出所求函数值域即可解得. 【详解】由题意可知，函数， 其中，则， ， 故. 故选：D 3．A 【分析】根据题意，结合函数奇偶性的定义，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又，所以， 所以函数是偶函数，故选项A符合题意； 因为函数，定义域是R，关于原点对称， 又，所以， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故选项B不符合题意； 因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又，所以， 所以函数不是偶函数，故选项C不符合题意； 因为函数的定义域是R，关于原点对称， 又，所以，， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故选项D不符合题意； 故选：A. 4．B 【分析】根据三角函数的辅助角公式以及正弦函数的对称性求解即可. 【详解】. 由，得. 因为有一条对称轴是，则. 故. 故选：B. 5．B 【分析】根据三角函数周期的性质及单调性求解. 【详解】两个实数，满足， 最小正周期为，则： ，，所以， 故选：B. 6．C 【分析】根据二倍角公式以及正弦型函数性质求解即可； 【详解】由正弦二倍角公式可得，所以最小正周期为； 且函数的定义域为，且. 所以函数是奇函数. 故选：C. 7．C 【分析】根据正弦型函数的平移变换规律即可解得. 【详解】由题，， 根据函数图像平移变换规律， 将函数图像向右平移个单位即可得到. 故选：C 8．D 【分析】根据题意可知，是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值，再结合正弦型函数的性质求解即可． 【详解】对于任意实数都有恒成立， 是的一条对称轴， 当时，取得最大值或最小值， 又， 即，或. 故选：D. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦型函数的最值求得A的值，结合函数的最小正周期求得的值，将A和的值及最高点的坐标代入函数解析式，即可求得的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合正弦型函数的值域，即可求解. 【详解】（1）由图知，函数的最小正周期， 所以，解得； 所以， 由图知，函数图像过点， 将点代入函数解析式得， 所以，所以， 所以，又，所以， 所以函数解析式为； （2）因为，即， 所以，所以， 所以， 即实数x的取值范围是. 10． 【分析】由表格中的数据可得出的值，根据表格中的数据可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式； 【详解】已知， 由表格数据知，， 由，解得， 所以． 11．(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据同角三角函数间的关系、二倍角公式、差角公式化简函数，再结合最小正周期公式即可解得. （2）根据自变量的取值范围以及对应余弦函数的最大最小值进行计算即可. 【详解】（1）已知函数， 则， 即，. （2），， 则当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，. 故所求最大值为，最小值为. 12．(1) (2)单调递减区间为， (3) 【分析】（1）根据二倍角公式进行化简，再根据最大值求出常数的值. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. （3）根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】（1）． 由，解得． （2）由，则，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，， （3）由，则，所以， 所以，所以函数的值域为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $