专题4 平面向量与复数（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题4 平面向量与复数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 平面向量与复数 平面向量的坐标运算 2026-19 解答 8 平面向量的线性运算 2025-04 单选 5 复数的运算 2025-05 单选 5 平面向量数量积及应用 2025-20 解答 8 平面向量的模长 2024-08 单选 5 平面向量数量积及应用 2024-20 解答 8 平面向量数量积 2023-05 单选 5 平面向量数量积及应用 2022-20 解答 8 平面向量数量积的应用 2022-20 解答 8 平面向量数量积及应用 2022-05 单选 5 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、解答题。 （2）内容及分值：平面向量的线性运算、平面向量的数量积及应用、复数的运算，分值在13-18分。 【考点1：平面向量的运算】 1.（2025·内蒙古·真题T04）已知向量，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 2.（2024·内蒙古·真题T08）已知与均为单位向量，它们的夹角为，那么（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的运算法则和向量模的运算法则计算即可. 【详解】已知与均为单位向量， 则，，由它们的夹角为， 可得， 所以 ， 故选：D. 3.（2023·内蒙古·真题T05）在中，，，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 4.（2022·内蒙古·真题T05）已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，且与不共线，列式求解即可． 【详解】由题意得，且与不共线， ∴，且，解得，且， 故的取值范围是． 故选：D． 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 1．在四边形中，（    ） A． B． C． D． 2．在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，点D为的中点，则（    ）    A． B．0 C．6 D．8 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知平面向量，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，且，则（    ） A． B．6 C． D． 7．已知三点共线，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 9．已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】 1．D 【分析】根据题意，结合向量的加法运算，即可求解. 【详解】. 故选：D. 2．C 【分析】根据平面向量的线性运算，分析求解即可. 【详解】    如图，且在正方形中，， ， ， . 故选：C. 3．A 【分析】利用向量的线性运算，将分别用表示，再根据向量内积的运算可求解. 【详解】在中,点D为的中点, , , . 故选：A 4．B 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】， 则， 故选：. 5．A 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为平面向量， 所以. 故选：A. 6．C 【分析】根据向量平行的坐标表示列出等式即可解得. 【详解】由题，，且， 则，解得. 故选：C 7．D 【分析】根据平面向量共线原理列式求解即可； 【详解】因为 因为三点共线， 所以与共线， 所以，解得. 故选：D 8．C 【分析】根据向量减法的坐标运算规则计算. 【详解】已知向量，， 则. 故选：C. 9．D 【分析】利用两向量垂直，数量积等于零建立方程即可. 【详解】因为向量，，， 则， 解得. 故选：D. 10．B 【分析】根据题意，结合向量垂直和平行的坐标表示，及向量相等，即可判断求解. 【详解】因为平面向量， 所以，故与不垂直，故选项A错误； 因为，故，故选项B正确； 因为，，所以选项C和D错误； 故选：B. 【考点2：平面向量的综合应用】 1.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到 点坐标。 【详解】设点 的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以 点的坐标为. 2．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 3.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 4（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 5.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积的坐标表示计算即可； （2）利用向量的夹角公式求解． 【小问1详解】 ∵，，，∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ， 设与的夹角为， ∴． 1．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 2．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．已知均为单位向量，且.若，则（     ） A． B． C． D． 2．已知向量，，若与平行，则实数________． 3．已知向量. (1)求； (2)当时，求的值. 4．已知. (1)若，求实数m，n的值； (2)若与平行，求实数的值. 5．（1）如图，正方形中，分别是的中点，若，求的值. （2） 在中，为BC的中点，为的中点，为的中点，若，则的值. 6．已知，，，，且. (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值. 7．已知向量， (1)求的值； (2)求的值. 8．已知，，是同一平面内的三个向量，其中. (1)若，且，求的坐标； (2)若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】 1．D 【分析】根据题意设出的坐标，结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为均为单位向量，且， 所以设， 则， 所以. 故选：. 2． 【分析】先计算和的坐标，再利用平行条件列方程求解. 【详解】向量，， ， ， 若与平行， 则，解得. 故答案为：. 3．(1) (2) 【分析】（）根据题意利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. （）根据平面向量平行的性质列出方程即可得解. 【详解】（1）向量， 则， 所以. （2）向量， 则，， 因为， 所以，解得. 4．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的加法运算求解即可； （2）根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】（1）根据题意，若，且不共线； 则有，解可得； （2）根据题意，若与平行， 设， 即，则有，则； 故. 5．（1）；（2） 【分析】（1）设，根据向量的线性运算结合几何图形列出与之间的表达式即可求解. （2）根据向量的线性运算结合几何图形可得，求出的值即可求解. 【详解】（1）设，分别是的中点， 即，， 则， 由于， 又， 所以，解得，则. （2）因为为的中点， 所以， ， 所以， 题目已知，， 所以，故. 6．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求解即可； （2）先表示出与，再根据向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】（1）由题知， ， ∵， ∴，解得. （2）由（1）知，， 令与的夹角为， ∴. 7．(1)1 (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，及向量的模的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量夹角的坐标表示，即可求解. 【详解】（1）因为向量， 所以， 所以； （2）因为向量，所以， 所以， 所以. 8．(1)或 (2) 【分析】（1）由向量的模长公式和平行公式联立求解即可. （2）由向量的模长和垂直公式求解，再求解的余弦值即可求解. 【详解】（1）设， 因为，且， 所以有，解得或 所以或 （2）设 ， 因为与垂直，所以有， 因为，所以， 联立可解， 所以， 所以为. 【考点3：复数的运算】 1.（2025·内蒙古·真题T05）已知为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 详解】. 故选：B. 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 一、单选题 1．设为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数的模等于2，则实数m的值为（    ） A．1或3 B．1 C．3 D．2 3．若实数m，n满足，则（    ） A． B．3 C．1 D． 4．复数（    ） A． B． C． D． 5．若，则z等于（    ） A． B． C． D． 6．若 ，其中 ，i是虚数单位，则 （    ） A．0 B．2 C． D．5 7．复数 的共轭复数 （    ） A． B． C． D． 8．已知复数，则下列说法正确的是（   ） A．z的虚部为 B．的共轭复数为 C． D．z在复平面内对应的点在第二象限 9．复数（为虚数单位）的虚部是（   ） A． B． C．3 D． 10．已知复数（其中为虚数单位），则的虚部为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】 1．A 【分析】根据复数加法的运算法则求解. 【详解】. 故选：A. 2．A 【分析】根据复数的模长公式求解即可. 【详解】因为复数的模等于2， 所以，即， 则有，解得或. 故选：A. 3．B 【分析】根据两个复数的实部和虚部分别相等列式求解即可. 【详解】因为实数m，n满足， 则有，可得， 所以. 故选：B. 4．A 【分析】根据复数的加减法运算求解即可. 【详解】. 故选：A. 5．B 【分析】根据复数的加减法运算求解即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 6．D 【分析】根据复数相等确定参数的值，进而得到答案； 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 7．B 【分析】先利用复数的乘法法则计算，再根据共轭复数的定义可得结果. 【详解】因为 ， 所以. 故选：B 8．B 【分析】首先根据复数的运算法则计算，再根据复数的相关概念逐个分析即可. 【详解】， 的虚部为4，故A错误， z的共轭复数为，故B正确， ，故C错误， 在复平面内对应的点为在第一象限，故D错误， 故选：B. 9．B 【分析】由复数的概念即可得解. 【详解】复数（为虚数单位）的虚部是. 故选：B. 10．C 【分析】根据复数的运算法则求出复数，结合虚部的定义即可得解. 【详解】复数，虚部为. 故选：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $