专题2 函数及其性质（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题2 函数及其性质 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 函数 及其 性质 函数的定义域 2026-05 单选 5 函数的奇偶性 2026-13 填空 5 二次函数 2026-23 解答 12 函数的奇偶性 2025-06 单选 5 函数的单调性 2025-16 填空 5 二次函数的应用 2025-23 解答 12 函数求值 2024-03 单选 5 函数的单调性 2024-07 单选 5 函数的奇偶性 2024-13 填空 5 二次函数的应用 2024-22 解答 10 函数的奇偶性 2023-02 单选 5 函数的定义域 2023-13 填空 5 函数新定义 2023-23 解答 12 函数的奇偶性 2022-03 单选 5 函数的定义域 2022-14 填空 5 二次函数 2022-23 解答 12 命题轨迹透视： （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值及：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性以及函数的应用；分值一般在20-25分。 【考点1：函数的概念】 1.（2026·内蒙古·真题T05）函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，分母的性质及指数幂的运算法则列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故选： . 2.（2024·内蒙古·真题T17）设是定义在上的函数，满足，且对任意的实数，都有，则的解析式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】令代入中整理即可. 【详解】已知，且， 令，则， 即，整理得， 故答案为：. 3.（2023·内蒙古·真题T13）若函数定义域是，则函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据所给的定义域，再代入由指数函数的单调性求解不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， 解得， 则函数的定义域. 故答案为：. 4.（2022·内蒙古·真题T14）函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由求具体函数的定义域的解法求解即可. 【详解】因为函数为， 所以，解得， 即函数的定义域是， 故答案为:. （一） 函数的定义与表示方法 1.函数的定义 一般地，设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应；那么就称：f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的三要素是：定义域、值域和对应关系． 3.表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法． （二）函数的定义域与值域 1.在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 2.相等函数：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据． 3.函数定义域的求法 类型 x满足的条件 ，n∈N* f(x)≥0 与 f(x)≠0 logaf(x) f(x)＞0 四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题 使实际问题有意义 （4）函数值域的求法 方法 示例 示例答案 配方法 y＝x2＋x－2 y∈ 性质法 y＝ex y∈(0，＋∞) 单调性法 y＝ y∈[2，＋∞) 换元法 y＝sin2 x＋sin x＋1 y∈ 分离常数法 y＝ y∈(－∞，1)∪ (1，＋∞) 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A．2 B． C． D．4 5．若，则=（    ） A．6 B．7 C．2 D．1 6．若，则（   ） A． B． C． D． 7．设，则的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 8．在下列各组中，与表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 9．已知，则________. 10．若函数且，则________. 11．设，则___________． 12．设函数的定义域为，则函数的值域________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．A 【分析】根据二次根式的性质，分母的性质及指数幂的运算法则列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 则，解得且， 所以定义域为， 故选：. 2．D 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】已知，将替换， 则. 故选：D. 3．D 【分析】由函数定义域的概念，先由定义域求出的定义域，再求的定义域即可. 【详解】因为函数的定义域为，得， 则，所以的定义域为， 由，得， 所以的定义域为. 故选：D. 4．B 【分析】根据分段函数解析式，先求出，再求，即可求解. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：B. 5．B 【分析】将自变量的值直接代入函数解析式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 6．A 【分析】将自变量的值代入函数解析式即可求解. 【详解】因为函数， 当时，. 故选：A. 7．D 【分析】根据函数解析式的不同取值范围，代值求解即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：D. 8．B 【分析】根据同一函数的概念，分析两个函数定义域和对应法则即可. 【详解】A：的定义域为R，的定义域为，定义域不相等，故A错误， B：与的定义域都为R，对应法则也相等，故B正确， C：的定义域为R，的定义域为，定义域不相等，故C错误， D：定义域为R，的定义域为，定义域不相等，故D错误. 故选：B. 9． 【分析】令，将其代入函数中即可得解. 【详解】令，则， 因为，所以， 所以函数解析式， 故答案为：. 10． 【分析】由函数的解析式代入求解即可. 【详解】∵函数且， ∴，. 故答案为：. 11． 【分析】根据自变量的取值范围代入即可求解. 【详解】， ∵，∴， ∵，∴. 故答案为：. 12． 【分析】由一次函数的单调性即可求解. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以当时，，即， 所以函数的值域为. 故答案为：. 【考点2：函数的图象与性质】 1.（2025·内蒙古·真题T06）已知函数的定义域都为，且是偶函数，是奇函数，若，则（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得，代入计算即可. 【详解】由题意，是偶函数，是奇函数， 所以. 故选：A. 2.（2025·内蒙古·真题T16）定义在上的函数，对任意两个不相等的实数都有，当时，实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据增函数的定义以及性质求解即可. 【详解】因为函数对任意两个不相等的实数都有， 所以函数在上为增函数. 所以等价于， 整理得，解得. 故答案为：. 3.（2024·内蒙古·真题T07）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值和对称轴，结合二次函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】已知函数， 所以该函数的对称轴为，且图象开口向上，最小值为， 所以，则， 又，且与关于对称轴对称， 所以，且在上单调递增， 又闭区间上有最大值3，所以， 则的取值范围是. 故选：D. 4.（2023·内蒙古·真题T02）已知函数在定义域上奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质分析，进而根据题意计算即可. 【详解】因为函数在定义域R上是奇函数， 所以， 又当时，， 所以. 故选：B. 5.（2022·内蒙古·真题T03）已知是定义在上的偶函数，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的概念及二次函数的性质求解． 【详解】由题意，函数的定义域关于原点对称，则，得，∴， ∵是偶函数，∴它的图像关于对称， ∴，即，∴． 故选：A． 6.（2022·内蒙古·真题T06） 是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的定义及条件可得，然后利用单调性的定义求解即可． 【详解】∵函数为奇函数，∴， ∴由，得，即， 又在区间上单调递减， ∴，解得． ∴的取值范围是． 故选：C． （一）函数的单调性 1. 增函数和减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数．(如图(1)所示) 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数．(如图(2)所示) 2. 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是单调增函数或是单调减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)． 3. 判断函数单调性的方法 (1) 定义法：利用定义严格判断． (2) 利用函数的运算性质． 如若f(x)、g(x)为增函数，则：① f(x)＋g(x)为增函数；② 为减函数(f(x)>0)；③ 为增函数(f(x)≥0)；④ f(x)·g(x)为增函数(f(x)>0，g(x)>0)；⑤ －f(x)为减函数． (3) 利用复合函数关系判断单调性 法则是“同增异减”，即两个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数． (4) 图象法 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． （二） 函数的最值 1.一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： (1) 对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M； (2) 存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 2. 函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数单调性在确定函数最值过程中的作用． 3. 求函数值域的常用方法有：图象法、配方法、换元法、基本不等式法、单调性法、分离常数法等. （三） 函数的奇偶性 1. 奇函数、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2. 判断函数的奇偶性 判断函数的奇偶性，一般都按照定义严格进行，一般步骤是： (1) 考查定义域是否关于原点对称． (2) 根据定义域考查表达式f(－x)是否等于f(x)或－f(x)． 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数． 若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数． 若f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数． 若存在x使f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)，则f(x)既不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数． 3. 函数的图象与性质 （1）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称． (2)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)． (3)在公共定义域内 ①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数． ②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数． ③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数． (4)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0. 4. 函数奇偶性和单调性的相关关系 (1) 注意函数y＝f(x)与y＝kf(x)的单调性仅与k(k≠0)有关． (2) 注意函数y＝f(x)与y＝的单调性之间的关系． (3) 奇函数在[a，b]和[－b，－a]上有相同的单调性． (4) 偶函数在[a，b]和[－b，－a]上有相反的单调性． （四）二次函数 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时，y有最小值ymin＝ 当时，y有最大值ymax＝ 1．已知奇函数在上是增函数，且在上有最大值4，最小值，则（    ） A． B．2 C． D．5 2．已知二次函数满足，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是定义在R上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是R，为偶函数，，且，则（   ） A．2 B．1 C． D． 5．函数的大致图像可能是（   ） A． B． C． D． 6．设偶函数的定义域为R，当时，是减函数，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则________． 8．已知函数，若，则________________. 9．设是定义在上的奇函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是___________. 10．已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)如果不大于10，求对应的实数的取值范围； (3)当时，求该函数的最大值和最小值． 11．已知函数，. (1)当时，求函数的最大值与最小值； (2)求实数的取值范围，使在区间上是单调递增函数. 12．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1. (1)求函数的解析式； (2)若函数的图像与直线在区间上有两个不同的交点，求实数k的取值范围. 【答案】 1．A 【分析】利用单调性确定和的值，再根据奇函数的性质求解即可. 【详解】已知在上是增函数，且在此区间内最大值为4，最小值为. 因此：，. 因为函数是奇函数，所以，. 因此. 故选：A. 2．C 【分析】根据二次函数的性质确定二次函数的单调性，再由函数的单调性比较函数值的大小即可. 【详解】由可知二次函数的对称轴为，且图象开口向上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以， 故选：C. 3．C 【分析】由题意，构造结合函数单调性，再根据二次函数的性质分类讨论即可解得. 【详解】∵对于任意，都有， ∴， ∴， ∴在上单调递增， 当时，在上单调递增； 当时，的对称轴为且开口向上，即在上单调递增； 当时，要使在上单调递增，需满足对称轴，即； 综上所述，实数a的取值范围是． 故选：C 4．C 【分析】根据题意，易得函数的图像关于对称，即，结合，可推出函数是周期为4的函数，继而求解. 【详解】因为函数的定义域是R，为偶函数，图像关于轴对称， 又图像是由图像左移1个单位得到， 所以函数的图像关于对称， 所以，即， 又，所以， 即， 所以，故函数是周期为4的函数， 因为， 所以 故选：C． 5．A 【分析】根据特殊点的函数值的大小以及函数的单调性，即可求解. 【详解】对于A：当时，，任取且， 所以， 当时，， 所以，即， 当时，， 所以，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 因为函数、在上均单调递增， 所以函数在单调递增， 所以A选项符合题意； 对于B、C：当时，，所以B、C不符合题意； 对于D：当时，，所以D不符合题意． 故选：A． 6．C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性比较函数值大小即可. 【详解】因为函数为偶函数，则，， 当时，是减函数，又， 则，则， 故选：C 7． 【分析】先判断函数为奇函数，再利用奇函数的性质求解的值. 【详解】已知函数，其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数是奇函数. 所以. 已知，所以. 故答案为：. 8． 【分析】设，由已知可得的值，再根据的奇偶性可求解. 【详解】设， 由于的定义域为，且， 所以为奇函数. 由，可得， 所以， 故. 故答案为： 9． 【分析】根据函数奇偶性和单调性即可解得. 【详解】依题意是定义在上的奇函数，且在上是减函数， 所以在上是减函数， 由于， 所以， 故答案为： 10．(1) (2) (3)最大值为25，最小值为1. 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到 的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【详解】（1）已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. （2）由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即的取值范围为. （3）二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点 处取得最小值：. 11．(1)， (2) 【分析】（1）根据二次函数的最值求解即可. （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）当时，函数解析式为， 由题可知：函数的图像开口向上. 此时函数的对称轴为，且， 所以， . （2）函数，开口向上，对称轴为， 要使函数在区间上为单调递增函数，则使， 解得，即实数a的取值范围为. 12．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图像和性质，利用配方法，表示出函数在区间上的最值，即可求得参数a和b的值，继而求解； （2）根据题意，将函数图像与直线交点问题转化为函数在指定区间上有2个零点的问题，结合二次函数的图像和性质，及根的判别式，即可求解. 【详解】（1）由题意可知，时，函数是常函数，故， 又， 所以函数的对称轴为， 当时，函数图像开口向上， 故当时，， 解得，因为，故不符合题意； 当时，函数图像开口向下， 故当时，， 解得，因为，故符合题意； 所以函数解析式为； （2）因为函数的图像与直线在区间上有两个不同的交点， 即在上有两个不同的实数解， 所以，令， 即函数在上有两个不同的零点， 所以，解得， 所以， 即实数k的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $