第12卷 数列通项、求和与综合应用（2）2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦数列通项、求和及综合应用，通过选择、填空、解答三级题型构建知识网络，强化运算推理与模型应用，适配中职高考即时检测需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|等差等比基本量计算、前n项和公式应用|从定义到公式推导，构建"概念-公式-应用"逻辑链| |填空|4题|递推关系、实际问题（古代数学）、等差等比综合|结合生活情境发展模型意识，强化符号转化能力| |解答|3题|通项公式求解、前n项和计算|突出运算能力与推理过程，体现知识综合迁移|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第12卷 数列通项、求和与综合应用（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 1、 选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．数列，， ，，…， ，…的前项和的值等于（    ） A． B． C． D． 2．在各项为正的递增等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 3．等差数列11，8，5，，中是它的第几项（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 4．已知为数列的前项和，，，那么（    ） A． B． C． D． 5．记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 6．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A．2 B． C．4 D． 7．等比数列的第项等于（   ） A． B． C． D． 8．已知数列满足，，则254是该数列的（   ） A．第8项 B．第10项 C．第12项 D．第14项 9．若数列满足，则数列前15项的和（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．数列满足，，则________． 12．明代商人程大位在公元1592年编撰完成《算法统宗》一书.书中有如下问题：“今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸.问各日织若干？”意思是：“有一位女子善于织布，第一天由于不熟悉有点慢，第二天起每天织的布都是前一天的2倍，已知她前四天共织布6丈7尺5寸，问这位女子每天织布多少？”根据文中的已知条件，可求得该女了第一天织布________尺，若织布一周（7天），共织________尺.（其中1丈为10尺，1尺为10寸） 13．已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为________. 14．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则________. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 16．在等差数列中，已知，.求： (1)的值； (2)数列的前n项和. 17．已知数列是等差数列，其前n项和，求： (1)数列的通项公式； (2)和式的值 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第12卷 数列通项、求和与综合应用（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．数列，， ，，…， ，…的前项和的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将数列的每一项分为两项与，分别用等差数列与等比数列的前项和公式来求即可. 【详解】由于 . 故选：A. 2．在各项为正的递增等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，解得，再根据解得与，进而求出通项公式. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 所以，即． 又， 得， 即， 整理得， 解得或（舍去）， 所以或（舍去）， 所以， 所以． 故选：C. 3．等差数列11，8，5，，中是它的第几项（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】C 【分析】先根据已知数列确定首项和公差，求出通项公式，再利用通项公式可求得结果. 【详解】由已知得，， 所以， 由，得， 所以是它的第21项. 故选：C 4．已知为数列的前项和，，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推公式得出通项公式，再将代入求值即可. 【详解】时，，， 可得，化为， 时，． 数列从第二项起为等比数列，公比为2，首项为． 那么． 故选：B. 5．记为等差数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，结合等差数列的性质求出的值，再根据等差数列的通项公式组成方程组求解即可. 【详解】因为，所以， 即， 即，所以， 又因为， 设等差数列首项为，公差为， ，解得：， 故选：B. 6．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若，，则数列的公差为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】由等差数列的通项公式和前n项和公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，则有，整理得， 又由，可得， 所以，解得. 故选：B. 7．等比数列的第项等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比中项的性质可求得x，进而求出公比即可求解. 【详解】由成等比数列得，，解得， 则第项为．第项为，公比为， 故数列的第项为． 故选：A. 8．已知数列满足，，则254是该数列的（   ） A．第8项 B．第10项 C．第12项 D．第14项 【答案】D 【分析】根据已知条件写出数列中的前几项，进而根据数列的前几项归纳出通项公式，解方程即可求解. 【详解】已知，当为正奇数时，根据，可得， 当为正偶数时，，可得， 依次类推得：， 归纳可得数列的通项公式， 若为正奇数，则，则无正奇数解； 若为正奇数，则，则. 故选：D. 9．若数列满足，则数列前15项的和（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意结合裂项相消法即可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：. 10．已知，，实数成等差数列，成等比数列，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列、等比数列性质可化简所求式子为，利用基本不等式可求得结果. 【详解】成等差数列，成等比数列，，， （当且仅当时取等号）， 的最小值为. 故选：B. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．数列满足，，则________． 【答案】2 【分析】由题意求出，则数列是周期为3的数列，即可求解. 由题意知，， 所以数列是周期为3的数列， 所以. 故答案为：2 12．明代商人程大位在公元1592年编撰完成《算法统宗》一书.书中有如下问题：“今有女子善织，初日迟，次日加倍，第三日转速倍增，第四日又倍增，织成绢六丈七尺五寸.问各日织若干？”意思是：“有一位女子善于织布，第一天由于不熟悉有点慢，第二天起每天织的布都是前一天的2倍，已知她前四天共织布6丈7尺5寸，问这位女子每天织布多少？”根据文中的已知条件，可求得该女了第一天织布________尺，若织布一周（7天），共织________尺.（其中1丈为10尺，1尺为10寸） 【答案】 4.5 571.5 【分析】女子每天的织布数量成等比数列，由等比数列求和公式可构造方程求得第一天的织布量，再次利用等比数列求和公式可求得天织布总量. 【详解】由题意知：该女子每天的织布数量成等比数列，且公比， 设第一天的织布量为（尺）， 则前四天共织布（尺），解得：， 一周（天）织布的数量（尺）. 故答案为：；. 13．已知等差数列的公差d不为0，若，，成等比数列，则的值为___________. 【答案】2 【分析】根据等比中项的性质及等差数列的通项公式求解. 【详解】因为是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列， 所以，即，化简得， 又因为，所以， 故答案为：2. 14．已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，则________. 【答案】 【分析】设等比数列的公比为，根据题干条件列出方程，求出公比，从而利用等比数列的通项公式求出答案. 【详解】各项均为正数的等比数列的前项和为,即, 又,所以,设公比为, 故解得或（舍）, 所以. 故答案为：. 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．设为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量运算列方程求出首项与公差即得其通项公式； （2）先求出数列的通项，裂项后求和即得. （1）设等差数列的公差为， 由条件可知， 解得，， 所以的通项公式为． （2）因为， 所以数列的前项和为. 16．在等差数列中，已知，.求： (1)的值； (2)数列的前n项和. 【答案】(1)11 (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，代数求解即可； （2）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项公式和的值，求出首项和公差，进而利用等差数列前n项和公式，代数求解即可. 【详解】（1）∵数列是等差数列， ∴， ∴. （2）设等差数列的公差为d， 则，解得， . 17．已知数列是等差数列，其前n项和，求： (1)数列的通项公式； (2)和式的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列与之间的关系求解即可解得. （2）根据数列特征证明该数列是等差数列，再由等差数列求和公式计算即可. 【详解】（1）由题，，所以， 当时，， 当时，， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，，则， ， ，又知， 则是以为首项，公差为的等差数列， 又知为（1）中数列的奇数项组成的新数列， 则项数：由，可得， 则所求该数列前项和. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $