第11卷 数列通项、求和与综合应用（1）2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦数列通项、求和及综合应用，以“一考一讲”实现检测-讲解-巩固闭环，强化中职高考核心能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3题|等差等比判定、通项公式推导|从定义到通项公式的生成过程| |公式应用|选择4/6/7/8/9/10题、填空11/14题|前n项和与公差关系、递推求通项|公式推导与灵活应用的逻辑链| |性质综合|填空12题|等比数列与等差数列综合|性质间的关联与转化| |实际应用|选择5题、填空13题|面包分配、光圈F值问题|用数学语言表达现实世界的数量关系| |综合解答|解答15-17题|猜想通项、单调性判断、求和|从具体到抽象的数学思维过程|

编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第11卷 数列通项、求和与综合应用（1） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．下列数列中成等差数列的是（     ） A． B． C． D． 2．数列，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．9，a，b，是等比数列，则a，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 4．设是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（  ） A． B．20 C． D． 6．在等差数列中，若，则（ ） A． B． C． D． 7．已知数列，则是这个数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第9项 D．第11项 8．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（    ） A．1 B．2 C． D． 9．已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 10．已知是等差数列的前项和，若，则使成立的正整数的最大值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．在等差数列中，，则________． 12．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________． 13．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的_______倍. 14．已知数列{an}满足a1＝1，且nan+1＝（n+1）an，则an＝______． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．已知数列中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式. 16．已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项． 17．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年黑龙江省（春季高考）《数学45分钟训练卷》，以黑龙江省春季高考数学科目最新考试要求及历年真题为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 黑龙江省春季高考《数学45分钟训练卷》 第11卷 数列通项、求和与综合应用（1） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分). 1．下列数列中成等差数列的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的概念即可判断是否为等差数列. 【详解】对于A，，A不是等差数列； 对于B，，B不是等差数列； 对于C，，C是等差数列； 对于D，，D不是等差数列. 故选：C． 2．数列，，，，，…的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列特征以及选项分析求解即可. 【详解】由题可知，数列，，，，，…， 每项的分母是项数的平方，奇数项为负， 故可得数列的一个通项公式为. 故选：A． 3．9，a，b，是等比数列，则a，b的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比中项列出等式即可解得. 【详解】由等比数列中项可知：， 联立解得； 故选：A 4．设是公差为d的等差数列，是其前n项和，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项求和公式，结合选项计算依次判断即可. 【详解】A：由，得，则， 又，所以，得，故A错误； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，， 由，得或，即当或时，有，故D错误. 故选：C 5．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最大的一份为（  ） A． B．20 C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列通项公式、前n项和公式求基本量，进而求最大的一份. 【详解】设5份从小到大依次为，公差为且，则， 所以， 所以. 故选：D 6．在等差数列中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得，所以， 故选：C. 7．已知数列，则是这个数列的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第9项 D．第11项 【答案】B 【分析】根据数列的特征求出通项，可得所在的位置. 【详解】数列，即，被开方数是首项为2公差为3 的等差数列， 可得原数列通项为， ，所以是这个数列的第7项. 故选：B 8．已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列中项的应用即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 是和的等差中项，得， 即，解得， 故选：. 9．已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（    ） A．9 B．21 C．45 D．93 【答案】C 【分析】利用将条件转化为关于数列的递推式，然后构造等比数列求出数列的通项公式，进而可得的值. 【详解】由得， 整理得， 又得， 故数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，即 所以. 故选：C. 10．已知是等差数列的前项和，若，则使成立的正整数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由等差数列的求和公式与等差数列的性质求解即可 因为，所以．因为，所以， 所以．所以， ． 故选C． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分). 11．在等差数列中，，则________． 【答案】21 【分析】根据题意，结合等差数列下标和的性质，即可求解. 【详解】因为等差数列中，， 由等差数列的性质可知，，解得， 所以． 故答案为：21. 12．设为公比的等比数列的前n项和，且成等差数列，则________． 【答案】10 【分析】根据等差数列的性质及等比数列的通项公式求出公比，代入等比数列的前项和公式即可求解. 【详解】由题意得，等比数列中，成等差数列，则， 即，所以，解得（不合题意，舍去）， 所以. 故答案为：. 13．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进入机身内感光面的光量的装置.表达光圈的大小我们可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F1.4，F2，F2.8，F4，F5.6，F8，…，F64.光圈的F值越小，表示在同一单位时间内进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的2倍，如光圈从F8调整到F5.6，进光量是原来的2倍.若光圈从F4调整到F1.4，则单位时间内的进光量为原来的_______倍. 【答案】 【分析】根据已知条件求得正确答案. 【详解】依题意“上一级的进光量是下一级的2倍”， 从F4调整到F1.4，下调了级，所以进光量为原来的倍. 故答案为： 14．已知数列{an}满足a1＝1，且nan+1＝（n+1）an，则an＝____． 【答案】n． 【详解】 本题将题干中递推公式进行转化，即可发现数列{}为一常数列，进一步可得数列{an}的通项公式． 【解答】 解：依题意，由nan+1＝（n+1）an， 可得＝， 故＝＝•••＝＝1， ∴an＝n，n∈N*． 故答案为：n． 三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分). 15．已知数列中，，. (1)写出数列的前5项； (2)猜想数列的通项公式. 【答案】(1)，，，. (2) 【分析】（1）注意递推关系式的特点，将已知条件代入，求出，以此类推，求出，，. （2）根据的取值猜想数列的通项公式. 【详解】（1）∵，， ∴， ， ， . （2）根据的取值，猜想：. 16．已知数列的通项公式是，判断该数列的单调性，并求出这个数列的最小项． 【答案】答案见解析 【分析】写出通项公式的分段形式，直接判断数列单调性，进而确定最小项. 【详解】令，则，故时， 所以，故该数列的先递减后递增， 又，故数列最小项为第三、四项为. 17．已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，可求公差，写出通项公式； （2）求得等差数列，从而可得，可证明是等比数列，利用等比数列的求和公式可解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 根据，即， 解得：. ∴ . （2）, , ， 是以首项为，公比为3的等比数列， . 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $