第7卷 平面向量 - 2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦平面向量核心考点，以“一考一讲”模式构建“概念-运算-应用”逻辑链条，适配中职高考“时效检测+即时巩固”需求，培养运算能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1/8/9、填空11/13|考查向量方向、模长关系|从向量基本属性出发，建立“同向/反向-模长计算”认知| |线性运算|单选3、填空14|结合图形与共线条件|通过几何直观与代数表达，衔接向量加减法与数乘运算| |坐标运算与数量积|单选2/4/7、填空12|涉及坐标运算、垂直/平行判定|以坐标为桥梁，实现向量运算代数化，强化数量积工具性| |综合应用|单选5/6/10、解答15-17|结合三角形、实际场景（如脚手架受力）|从数学问题到现实应用，体现“用数学语言表达现实世界”素养|

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 平面向量 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．若向量与方向相同，且，则等于（　　） A．7 B．5 C．3 D．10 2．若，则（　　）. A． B． C． D． 3．如图所示，点在直线上，且，是任意一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若与垂直，则（    ）. A． B．1 C． D．2. 5．在中，已知，，，则（    ） A． B．6 C． D． 6．在建筑脚手架受力测算实操中，某支点受到水平拉力向量、竖向支撑拉力向量共同作用，为精准测算支点承重负荷，求该支点受到的合力模长为（    ） A． B． C．5 D．2 7．已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则下列说法正确的是（　　） A．两向量方向相同， B．两向量方向相反， C．两向量一定相等 D．两向量一定垂直 9．已知向量，的方向相反，若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．若向量，，则与的夹角等于（    ）. A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．若与同向，且，则__________. 12．设向量，，若，则_________. 13．已知向量，的方向相同，且，若，则________． 14．已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数___________． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知点，. (1)若与的夹角为锐角，求的取值范围； (2)若与平行，求的值及的坐标. 16．已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 17．在直角坐标平面内，已知点，点， (1)若，求的最大值及取得最大值时的取值集合； (2)若将逆时针方向旋转得到，求点的坐标． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学45分钟训练卷》，依据《中等职业学校数学课程标准》，以近三年真题分析为依据进行典型例题汇编，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 2027年广东省“3+证书”考试 平面向量 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．若向量与方向相同，且，则等于（　　） A．7 B．5 C．3 D．10 【答案】A 【分析】根据题意，结合向量和的模与各个向量的模之间的关系，即可求解. 【详解】因为向量与方向相同，且， 所以. 故选：A. 2．若，则（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】由得，. 故选：B. 3．如图所示，点在直线上，且，是任意一点，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件，结合向量加减法的三角形法则即可求解. 【详解】已知，，所以， 因为，且与方向相同，所以， 所以. 故选：C. 4．已知平面向量，，若与垂直，则（    ）. A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为平面向量， 则， 因为与垂直，则， 可化为，解得. 故选：B. 5．在中，已知，，，则（    ） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的数量积运算，即可求解． 【详解】因为在中，，，， 所以， 所以. 故选：C. 6．在建筑脚手架受力测算实操中，某支点受到水平拉力向量、竖向支撑拉力向量共同作用，为精准测算支点承重负荷，求该支点受到的合力模长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】C 【分析】先根据向量加法求出合力向量，再利用向量模长公式计算. 【详解】已知水平拉力向量，竖向支撑拉力向量， 所以合力向量， 那么合力的模长， 故选：C. 7．已知平面向量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合向量垂直和平行的坐标表示，及向量相等，即可判断求解. 【详解】因为平面向量， 所以，故与不垂直，故选项A错误； 因为，故，故选项B正确； 因为，，所以选项C和D错误； 故选：B. 8．若，则下列说法正确的是（　　） A．两向量方向相同， B．两向量方向相反， C．两向量一定相等 D．两向量一定垂直 【答案】A 【分析】根据相反向量，相等向量，共线向量的概念即可求解. 【详解】对A，B，由题意得，系数为是正数，所以两向量方向相同， 又因为，所以，故A正确，B错误. 对C，因为，，所以两向量不相等，故C错误. 对D，因为，所以两向量共线，即不垂直，故D错误. 故选：A. 9．已知向量，的方向相反，若，，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量方向相反的关系以及向量模长的倍数关系来确定向量的坐标. 【详解】已知，可得， 所以， 由于向量，的方向相反，所以存在实数，使得， 因为，所以， 则，又因为，所以， 那么. 故选：C. 10．若向量，，则与的夹角等于（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的数乘和加减运算求出与的坐标，再利用向量的夹角公式求出夹角. 【详解】已知，，可得， 则；， 可得：；， ， 设与的夹角为， 可得：， 因为两向量夹角的范围是，所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 11．若与同向，且，则__________. 【答案】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】因为与同向，，则. 故答案为：. 12．设向量，，若，则_________. 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示列出等式，结合同角三角函数的商数关系求解的值. 【详解】已知，，且， 所以，化简得. 显然，将等式两边同时除以，可得，得. 故答案为：. 13．已知向量，的方向相同，且，若，则________． 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的坐标，最后根据向量内积的坐标运算计算. 【详解】因为向量的方向相同，且，所以，则， 已知，可得：， ， 所以. 故答案为：. 14．已知两个非零向量和不共线，且和共线，则实数___________． 【答案】 【分析】根据平面共线的基本定理与平面向量的基本定理可得出关于的等式，解之即可. 和共线，存在实数，使得． ， 又和不共线，所以，化简得出，解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 15．已知点，. (1)若与的夹角为锐角，求的取值范围； (2)若与平行，求的值及的坐标. 【答案】(1)且 (2)，的坐标为 【分析】（1）根据向量夹角为锐角的条件列出不等式，同时要排除两向量共线的情况； （2）先根据向量平行的性质求出的值，再计算的坐标. 【详解】（1）已知向量，， 因为与的夹角为锐角， 所以，解得， 当与共线时，有，解得， 综上，的取值范围是且. （2）已知，， 若与平行，则，解得， 则，， 所以. 16．已知向量，. (1)求； (2)若，求实数k的值； (3)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）先表示出的坐标，再由模长公式求解即可； （2）先表示出与的坐标，再由向量平行的坐标表示求解即可； （3）先表示出的坐标，再由向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1）因为向量，， 所以， 所以； （2）因为向量，， 所以，， 因为， 所以，解得； （3）因为向量，， 所以， 因为，即， 所以，解得. 17．在直角坐标平面内，已知点，点， (1)若，求的最大值及取得最大值时的取值集合； (2)若将逆时针方向旋转得到，求点的坐标． 【答案】(1)的最大值为，取得最大值时的取值集合为 (2)点的坐标为 【分析】（1）先算向量数量积，化简三角函数，再求最大值和对应x值； （2）根据向量的旋转公式即可求解. 【详解】（1）已知点，点， 则， 因为，所以的最大值， 此时，，， 的取值集合为； （2）设点坐标为， 向量的旋转公式：若逆时针旋转， 得到，， 则，， 所以点坐标为. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $