北京市第五十七中学2025-2026学年高一年级下学期数学期末试题（1+3）

北京市第五十七中学2024级1+3第二学期期末数学试卷 2026.07 一、选择题 1．集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．能够把圆：的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”，下列函数不是圆的“和谐函数”的是 A． B． C． D． 3．设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A． B． C． D． 4．已知、、是的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ） A． B．可以取到 C． D．可以取到 5．已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知为圆：的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为．若点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．在中，“对于任意，”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若函数在上无最小值，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．设表示与的最大值，若，都是正数，，则的最小值为（ ） A． B．3 C．8 D．9 10．如图，将棱长为2的正方体六个面的中心连线，可得到八面体，为棱上一点，则下列四个结论中错误的是（ ） A．平面 B．八面体的体积为 C．的最小值为 D．点到平面的距离为 11．德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（ ）（参考数据：，） A．2小时 B．0.8小时 C．0.5小时 D．0.2小时 12．已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ） A．15 B．10 C．9 D．5 二、填空题 13．已知复数，则_____，_____． 14．已知直线：，点在双曲线：上．若点到直线的距离不存在最小值，则双曲线的离心率是_____，实数的值为_____． 15．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为________． 16．已知向量， （ⅰ）若，对于任意的，最小值是_____； （ⅱ）若，的取值范围是_____． 17．定义在上的函数满足： ①当时，；②． 设关于的函数的零点从小到大依次为，，⋯，，⋯． （ⅰ）若，则_____； （ⅱ）若，则_____． 18．设，函数给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，，则； ④设，．若存在最小值，则的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是_________． 三、解答题 19．已知曲线：与轴交于不同的两点，（点在点的左侧），点在线段上（不与端点重合），过点作轴的垂线交曲线于点． （Ⅰ）若为等腰直角三角形，求的面积； （Ⅱ）记的面积为，求的最大值． 20．已知函数，（），且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 21．如图，在四棱锥中，，为的中点，平面． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）若，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定． （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）设平面平面，求二面角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 22．已知椭圆：的短轴长为2，左右焦点分别为，，为椭圆上一点，且轴，． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知直线（且）与椭圆交于，两点，点关于原点的对称点为、关于轴的对称点为，直线与轴交于点，若与的面积相等，求的值． 23．已知函数，． （1）当时， （ⅰ）求曲线在处的切线方程； （ⅱ）求函数的最大值； （2）若函数的最大值为，求的值． 24．已知数列：，，…，为个数1，2，…，的一个排列，其中，且．若在集合中至少有一个元素使得，则称数列具有性质． （1）当时，判断数列：1，5，3，4，6，2和数列：6，5，2，4，1，3是否具有性质（结论不需要证明）； （2）若数列和（，，，）均为等差数列，且，，证明：对于所有的偶数，数列：，，，不具有性质； （3）在所有由1，2，…，的排列组成的数列中，记具有性质的数列的个数为，不具有性质的数列的个数为，证明：对于任意，． 学科网（北京）股份有限公司 $