第二十六章 二次函数 小结 第1课时 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册 -

该初中数学单元复习课件系统梳理了二次函数的概念、解析式、图像性质及与一元二次方程的联系，通过知识结构图绘制、配方法推导及表格对比不同解析式的性质，帮助学生构建完整的二次函数知识网络。 其亮点在于以问题链驱动复习，通过同一函数实例贯穿概念辨析、图像绘制、平移变换及方程根的判断，培养学生的几何直观和推理意识。分层设计让学生逐步掌握知识，教师可高效开展系统性复习，提升复习效果。

第二十六章　二次函数 小结（第 1 课时） 数学人教版九年级上册 知识回顾 　　问题 1　综合本章所学的二次函数的概念、二次函数的图象和性质、 二次函数与一元二次方程的关系等内容，尝试自己画一画这一部分内容 的知识结构图． 回顾与思考 　　问题 2　二次函数的概念是什么？ 　　一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫作 二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的二次项系数、 一次项系数和常数项． 　　二次函数还有另一种常见的形式为：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 一般式 顶点式 回顾与思考 　　追问　用配方法将 y＝ax2＋bx＋c 化为 y＝a(x－h)2＋k 的形式是什么？ b 2a h＝－ k＝ 4ac－b2 4a y＝ax2＋bx＋c ＝a x2＋ x ＋c b a b 2a 2 ＝a x2＋ x＋ － ＋c b a b 2a 2 b 2a 2 ＝a x＋ ＋ ． 4ac－b2 4a ＝a x＋ － ＋c b2 4a2 b 2a 2 解析式 对称轴 顶点坐标 y＝ax2＋bx＋c y＝a(x－h)2＋k x＝h (h，k) 回顾与思考 　　问题 3　二次函数的图象是什么？结合图象我们可以从哪些角度分 析它的性质？ 　　二次函数的图象是抛物线，我们可以通过描点法或平移法画出图象． 列表、描点、连线 “上加下减，左加右减” 开口方向 对称轴 顶点坐标 最大（小）值 增减性 x＝－ b 2a b 2a － ， 4ac－b2 4a 回顾与思考 　　追问　二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象特征与 a，b，c 的符号之间的 关系是什么？ a 的符号 a＞0，开口向上 a＜0，开口向下 ab 的符号 b＝0，对称轴为 y 轴 ab＞0，对称轴在 y 轴左侧 ab＜0，对称轴在 y 轴右侧 c 的符号 c＝0，图象过原点 c＞0，与 y 轴正半轴相交 c＜0，与 y 轴负半轴相交 “左同右异” 回顾与思考 　　问题 4　二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的 联系是什么？　　 　　二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴公共点的横坐标就是一元二次 方程 ax2＋bx＋c＝0 的根，反之亦然． 二次函数问题 一元二次方程问题 转化 b2－4ac 的取值 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴公共点 有两个公共点 有一个公共点 无公共点 ax2＋bx＋c＝0 的实数根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 回顾与思考 　　追问 1　b2－4ac 的取值对二次函数 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴公共点个 数的影响？ 　　追问 2　如何用图象法求一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根？ 　　由于画图或观察可能存在误差，所以由函数图象求得的相应方程的 根，一般是近似的． 回顾与思考 　　画出二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的 图象． 　　观察图象，确定 抛物线与 x 轴的公共 点的横坐标． 　　公共点的横坐标 就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的根． 例题精讲 　　追问 1　已知关于 x 的函数 y＝(m－1)x ＋4x－5 是二次函数．求 m 的值．并指出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项？ 　　解：由 　　解得 m＝－1． 　　所以二次函数的解析式为 y＝－2x2＋4x－5． 　　二次项系数为－2，一次项系数为 4，常数项为－5． m2＋1 最高次项的次数为 2， 二次项系数不为 0． m2＋1＝2， m－1≠0． 10 x ⋯ －1 0 1 2 3 ⋯ y ⋯ －11 －5 －3 －5 －11 ⋯ 例题精讲 　　例 2　画出二次函数 y＝－2x2＋4x－5 的图象． 　　解： y＝－2x2＋4x－5＝－2(x－1)2－3． 　　对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为（1，－3）． 按对称性列表，以顶点 横坐标向两边等差取值 11 例题精讲 　　例 3　说出抛物线 y＝－2x2＋4x－5 的开口方向、对称轴和顶点．并 说出随着 x 的变化，y 的变化情况． 　　解：抛物线 y＝－2x2＋4x－5 的开口向下． 　　对称轴为直线 x＝1．顶点坐标为（1，－3）． 　　当 x＜1 时，y 随 x 的增大而增大； 　　当 x＞1 时，y 随 x 的增大而减小． 12 例题精讲 　　例 3　说出抛物线 y＝－2x2＋4x－5 的开口方向、对称轴和顶点．并 说出随着 x 的变化，y 的变化情况． 　　求抛物线对称轴的常用方法有：图象法，配方 法，公式法． 　　如本题中可用公式 x＝－ ＝－ ＝1 求出对称轴． 4 2×(－2) b 2a 13 例题精讲 　　追问　抛物线 y＝－2x2＋4x－5 由函数 y＝－2x2 的图象经过怎样的 平移得到？ 　　解法 1：抛物线 y＝－2x2＋4x－5 的顶点坐标为（1，－3），抛物 线 y＝－2x2 的顶点坐标为（0，0），由顶点坐标的变化可知，抛物线 y＝－2x2＋4x－5 由抛物线 y＝－2x2 的向右平移 1 个单位，向下平移 3 个 单位得到． 　　解法 2：由 y＝－2x2＋4x－5＝－2(x－1)2－3，抛物线 y＝－2x2＋4x－ 5 由抛物线 y＝－2x2 的向右平移 1 个单位，向下平移 3 个单位得到． 14 例题精讲 　　例 4　求函数 y＝－2x2＋4x－5 的最大值或最小值． 　　解：因为抛物线 y＝－2x2＋4x－5 开口向下， 　　所以函数 y＝－2x2＋4x－5 没有最小值． 　　因为抛物线 y＝－2x2＋4x－5 的开口向下，顶点坐标为（1，－3）， 　　所以函数 y＝－2x2＋4x－5 的最大值为－3． 　　当自变量的取值范围是全体实数时，二次函数的最大值（或最小值） 就是顶点的纵坐标． 15 例题精讲 　　例 5　结合图象，判断方程 －2x2＋4x－5＝0 的根的情况.　 　　解：因为抛物线 y＝－2x2＋4x－5 与 x 轴没有 交点，所以方程－2x2＋4x－5＝0 没有实数根． 　　二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴公共点 的横坐标就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的根． 16 例题精讲 　　追问　设 t 为常数，方程 －2x2＋4x－5＝t 没有实数根，求 t 的取值 范围.　 　　解：因为抛物线 y＝－2x2＋4x－5 的最大值 为－3，所以当 t＞－3 时，方程－2x2＋4x－5＝t 没有实数根． 　　当 t＞－3 时，水平直线 y＝t，与抛物线 y＝ －2x2＋4x－5 没有公共点，方程－2x2＋4x－5＝t 没有实数根． 17 课堂小结 　　问题 5　本节课我们复习了哪些内容？涉及了哪些思想方法？ 　　通过本节课，我们对本章知识和思想方法进行了梳理和知识回顾． 　　主要包括：（1）二次函数的概念； 　　（2）二次函数的解析式； 　　（3）二次函数的图象和性质； 　　（4）二次函数的最大值与最小值； 　　（5）二次函数与一元二次方程的联系． 　　涉及的思想主要有数形结合思想和分类讨论思想． 18 课后任务 教科书复习题 26 第 2，3，4，5，6 题． 19 $