第3章 第6节 对数、对数函数-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

第三章 函数及其应用 ◎微点拔 [针对训练] 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y=am(a>0,且a≠1)的函数求 3函数=（侵 的值域是 值域时，要借助换元法：令u=f(x),先求 A.（-∞，4) 出u=f(x)的值域，再利用y=a“的单调 B.(0,+∞) 性求出y=a的值域. C.(0,4] (2)形如y=a(a>0,且a≠1)的函数单 D.[4,+∞) 调性的判断，首先确定定义域D,再分两种 4.已知a,b∈(0,1)U(1,+∞)，当x>0时， 情况讨论：当a>1时，若f(x)在区间(m, 1<b<a,则 ( n)上（其中(m,n)三D)具有单调性，则函 A.0<b<a<1 数y=a在区间(m,n)上的单调性与 B.0<a<b<1 f(x)在区间(m,n)上的单调性相同；当0 <a<1时，若f(x)在区间(m,n)上（其中 C.1<<a (m,n)二D)具有单调性，则函数y=a D.1<a<b 在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间 5.若偶函数f(x)满足f(x)=2x一4(x≥0)， (m,n)上的单调性相反. 则不等式f(x一2)>0的解集为 第六节 对数、对数函数 基础知识必备 1.对数的概念 3.对数函数的图象与性质 如果a=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做 a>1 0<a<1 以a为底N的对数，记作x= ,其 中a叫做对数的底数，V叫做真数， y↑ x=1 y↑x=l 2.对数的性质、换底公式与运算性质 y=log.x (1.0) (1)对数的性质： 象 0(1.0 ①algN= y=log ②loga=b(a>0,且a≠1). (2)换底公式： 定义域： -og(a,c均大于0且不等于1，b>0), logb-loga 值域：R (3)对数的运算性质： 过定点 如果a>0,且a≠1，>0，N>0,那么： 质 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0 ①log.(M·N)= 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，+∞)上是 在(0，十∞)上是 ③log,M"=nlog M(n∈R). 29 名师大课堂数学 4.反函数 目名师点评 指数函数y=a与对数函数y=logx互为 2.对数函数的图象与底数大小的关系 反函数，它们的图象关于直线 如图，作直线y=1,则该直线与四个函 对称. y logax 数图象交点的横坐标 一logx 名师点评 -----y=1 为相应的底数 1.换底公式的三个重要结论 故0<c<d<1<a<b. logax ①log.b=1oga ；②1og.-b-1og.b: 由此我们可得到以下 m 规律：在第一象限内与y=1相交的对 ③logb·log6c·logd=logd. 数函数从左到右底数逐渐增大. 考点知能突破 考点一对数式的化简与求值 [针对训练] 1.计算：2%3+2log31-3log,7+3ln1 例(2024·全国甲卷)已知a>1且1og,a 考点三 对数函数的图象及其应用 1 log.4 2,则a 例2(1)若函数y=ar(a>0,且a≠1)的值 域为{yy≥1}，则函数y=log|x|的图象 【解析】 根据题意有 1 大致是 210g,2 号即3log,2 210g2 ,设t=1og2 5 (a>1),则t>0,故3t- 1 ,得1= 5 (2)若方程4=1g.x在(0，]上有解，则实 :=-1会去，所以1Dg2=名所以。 数a的取值范围为 【解析】(1)由于y=ax的值域为{yly≥1， 2,所以a=64. 所以a>1,则y=log|x在(0，十o∞)上是增 【答案】64 函数.又函数y=log.|x|的图象关于y轴对 息名师点评 称，因此y=logx的图象应大致为选项B. (2)构造函数f(x)=4和g（x)=logx, 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真 当a>1时不满足条件，当0<a<1时，画出 数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂 的底数最简，然后用对数运算法则化简 两个函数在(0，上的图象，可知，只需两 合并. 图象在(0上有交点即 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍 数，然后逆用对数的运算法则，化为同底 可，则f(3)≥g(), f(x) 对数真数的积、商、幂再运算， 即2≥log g(x) 3.a=N台b=logN(a>0,且a≠1)是解 是，则a 2 决有关指数、对数问题的有效方法，在运 所以。的取值范国为0，哥 算中应注意互化. 【答案】 (1)B 30 第三章函数及其应用 名师点评 角度二 解简单的对数不等式或方程 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函 例4（一题多解）已知函数f(x)=logx(a>0 数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标 且a≠1)满足（层）<(），则f2z-1D>≥0 轴的交点、最高点、最低点等)排除不符 的解集为 合要求的选项 A.(0,1) B.(-∞，1) 2.常把一些对数型方程、不等式问题转化为 C.(1,+∞) D.(0,+∞) 相应的函数图象问题，利用数形结合法 求解 【解析】 解法一：因为函数f(x)=logx(a >0且a≠1)在(0，十∞)上为单调函数，而 [针对训练] 2.（2026·安徽毫州二模)在同一个平面直角 名<8且f(侣)<f倍)所以fx)=1og 在(0，十∞)上单调递增，结合对数函数的图 坐标系中，函数)=是与g)=l:是的 象与性质可得f(2x一1)>0→2x-1>1,所 图象可能是 以x>1.故选C 解法=：由启Kf()知16g.名<1og8。 所以log.2-1<1og3-1, 所以log2<log.3,所以a>1. 由f(2x-1)>0得log.(2x-1)>0, 所以2x-1>1,即x>1.故选C. 【答案】C 名师点评 解对数不等式的函数方法 (1)形如logx>logb的不等式，借助y 考点三对数函数的性质及其应用 logx的单调性求解，如果a的取值不确 角度一比较对数值的大小 定，需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)形如logx>b的不等式，需先将b化 例3(2024·天津卷)若a=4.2-03,b=4. 2.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 为以a为底的对数式的形式. ( 角度三对数型函数的综合问题 A.ab>c B.b>a>c 例5已知函数f(x)=log4(ax2+2x十3). C.c>a-b D.b>c>a (1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间； 【解析】由函数y=4.2单调递增可知，0 (2)若f(x)的最小值为0，求a的值. <a<1<b,又c=log4.20.2<0,故b>a>c, 【解】(1)因为f(1)=1,所以1og4(a+5) 选B. =1,因此a+5=4,即a=-1, 【答案】B 所以f(x)=log4(-x2+2x十3). 。名师点评 由-x2+2x+3>0得-1<x<3, 比较对数值的大小的方法 即函数f(x)的定义域为（一1,3）. 一同底数利用对数函数的单调性比较 令g(x)=-x2+2x+3. 对数值 同真数一利用图象法或转化为同底数对数的倒数比较) 则g(x)在（一1,1）上单调递增，在[1,3)上 底数、真数均不同引入中间量（如1,0，i等 单调递减， 31 名师大课堂数学 又y=log4x在(0，十∞)上单调递增， 4.(多选)已知函数f(x)=ln(x一2)+ln(6一x), 所以f(x)的单调递增区间是（一1,1），单调 则 () 递减区间是[1,3). A.f(x)在(2,6)上单调递减 (2)若f(x)的最小值为0， B.f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2 则h(x)=ax2+2x十3应有最小值1， C.f(x)在(2,6)上无最小值 fa>0, D.f(x)的图象关于直线x=4对称 因此应有 1 3a-1=1, 解得a=2 5.已知函数f(x)=log.(a.x2-x). 故实数a的值为 1)若a=2,求fx)的单调区间： 2· (2)若f(x)在区间[2,4]上是增函数，求实 名师点评 数a的取值范围. 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0，l),还是a ∈(1，+∞). (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什 么性质或利用函数的某个性质，都要在其 定义域上进行. (3)转化时一定要注意对数问题转化的等 价性. [针对训练] 3.若log(a2+1)<log.2a<0,则a的取值范 围是 A.(0,1) B.(0,2) c(3 D.(0,1)U(1,+∞) 第七节 函数的图象 基础知识必备 1.利用描点法作函数的图象的步骤 a>0,右移a个单位 y=f(x) (1)确定函数的定义域 a<0,左移a个单位广y b>0,上移b个单位 (2)化简函数的解析式， y=f(x)- (3)讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期 <0,下移61个单位广y= (2)伸缩变换： 性、最值等). (4)描点连线. 0<w<1,纵坐标不变，横坐标伸长为原来的】 y=f(x)- y 2.利用图象变换法作函数的图象 ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1 (1)平移变换： 323.答案：1日 解析：因为f(x十2)=一所以f(x+4)= f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2)= 1 f(2) 1 4.B由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区 间「一2，一1]上是增函数，在区间「3,4]上是减函数.故 选B. 第四节幂函数与二次函数 基础知识必备 2.(-2) [+∞）（-，) 考点知能突破 针对训练 1,AD因为暴函数y=x的图象过点(2,8)，所以2=8， 解得&=3，所以y=x3.函数y=x3的图象过原点，所以A 选项中说法正确；函数y=x3是奇函数，所以B选项中说 法错误；函数y=x3在R上递增，所以C选项中说法错 误；函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A因为二次函数f(x)=a.x2十bx十5的图象的对称轴 是直线x=1,所以2名1①，又f(-1)=a-6+5 11,所以a一b=6②.联立①②，解得a=2,b=一4，所以 a十b=一2，故选A. 3.D当a=0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函 数f(x)=a.x2-2x十3的图象的对称轴为x=工，要使 a<0,fa>0, fx)在区间[13]上为增函数，则1≥3或1≤1.解得 a a≥1.故选D. 第五节指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1)vam 1 a 没有意义(2)①a'+s②a③a'b 3.(2)上方(0，十∞)单调递增单调递减y=10< y<1y>1y>10<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解：1)原式=1+}×（号）-()》广-1+×号 0-1+日-0-8 (2)原式=(a3b2ab) =u+-1+6+子-2-寸= ab2ab定 2.D由f(x)=a-b的图象可以观察出函数f(x)=a2-b在 定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=a2的基础上向左平移得到的，所以b<0. 故选D. 3 3.C设1=2+2x-1,则y=(3)儿因为0<号<1，所以 y=(2)厂'为关于1的减画数.因为=(x+1)2-2≥-2 所以0<y=(分)广≤()厂-4，故所求品数的值线为 (0,4].故选C. 4.C因为x>0时，1<b,所以b>1.因为x>0时，b2< a,所以r>0时，（号）>1，所以分>1，所以a>b.所以 1<ba.故选C. 5.答案：{xx>4或x<0》 解析：因为f(x)为偶函数， 当x<0时，一x>0,则f(x)=f(-x)=2x一4. (2x-4,x≥0， 所以f(x)= 2x-4,x<0. 当g一8>0时有台010 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{xx>4或x<0}. 第六节对数、对数函数 基础知识必备 1.log N 2.(1)①N(3)①log,M+logN②logM-logN 3.(0,十∞)(1,0)增函数减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案：0 解析：原式=3十2×0一3×1十3×0=0. 2.A由题意，a>0且a≠1，所以函数g(x)=lg单调递 减，故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)= 的图象可知0<a<l,对于函 数g(x)=lg兰g(1)=lga<0,故A正确，C错误 3.C由题意得a>0且a≠1，故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1D<1g,2a<0.所以0<a<1,且2a>1,所以a>故 口的取值范国是（合）故选C 4.BCDf(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由6二0，得函数的定义拔为(2,6).令1=(x一2)· (6-x),因为二次函数t=(x一2)(6-x)=一x2十8x一12 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，且当x=4时， t=4,所以t=(x一2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上单调递增，所以由复合函数的单调性可得 f(x)在(2,4)上单调递增，在[4,6)上单调递减，故A错 误.因为t∈(0,4]，所以y=lnt∈(-∞，2ln2],即f(x)∈ (-∞，2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值，故B,C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)十ln(6 4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x-2) +ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) f(4十x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称，故D正 确.故选BCD. 5.解：1)当a=号时1x)=log4(宁r2-,由号2-> 0,得x2一2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定 义域为（一∞，0）U(2,十∞) 03 利用复合函数单调性可得函数f(x)的增区间为 (一∞，0)，减区间为(2，十∞). (2)令g(x)=ax2-x,则函数g(x)的图象开口向上，对称 轴为x=2a ①当0<a<1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函 数，则g(x)=a.x2-x在[2,4]上单调递减，且g(x)min> 0.即品≥ 此不等式组无解 g(4)=16a-4>0, ②当>1时，要使函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，则 g(x)=ax2-x在[2,4]上单调递增，且g(x)mm>0, 中公2 解得a>2 g(2)=4a-2>0, 又a>1,所以a>1. 综上，实数a的取值范围为[1，十∞). 第七节函数的图象 基础知识必备 2.(1)f(x-a)f(x)+b(2)f(w.x)Af(x) (3)-f(x)f(-x) -f(-x)(4)f(x)fx)川 考点知能突破 针对训练 1x2,x≥0， 1.D先画出函数f(x)=1 ,x<0的图象，知图()所示， 再根据函数f(x)与一f(一x)的图象关于坐标原，点对称， 即可画出函数一f(一x)的图象，即g(x)的图象，如图(2) 所示，故选D. 2.ABD根据函数f(x)=2一x2与 g(x)=x2,画出函数F(x) minf(x),g(x)}的图象，如图.由 图象可知，函数F(x)=min{f(x), g(x)}的图象关于y轴对称，所以 A项正确：函数F(x)的图象与x 轴有三个交点，所以方程F(x)=0有三个不同的实根，所 以B项正确；函数F(x)在（一∞，一1]上单调递增，在 (-1,0)上单调递减，在0,1]上单调递增，在(1，十∞)上 单调递减，所以C项错误，D项正确。 3.B先作出函数f(x)=x一2|十1的图象，如图所示，当直 线g(x)=kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)=x 过A点时针率为了，故)=g)有两个不相等的实根时。 k的范国为(？，1.故选B fx)=lx-2l+1 /B y=x 。” A 5 心 4.答案：（一3,0）U(0,3) 解析：函数f(x)的图象大致如图 所示， 因为f(x)为奇函数， 且x·[f(x)-f(-x)]<0, 所以2xf(x)<0. 由图可知，不等式的解集为（一3,0） U(0,3). 第八节函数的应用 第一课时函数的零点与方程的解、二分法 基础知识必备 1.(1)f(x)=0(2)x轴零点 2.f(a)·f(b)<0(a,b)f(c)=0 考点知能突破 针对训练 2∠ 1.D因为f(x)=3-x2,所以f(-1)=31-1=- 0,f(0)=30-0=1>0,所以f(-1)·f(0)<0.故选D. 2.C当x>1时，令f(x)=ln(x-1)=0,得x=2;当x1 时，令f(x)=2-1一1=0，得x=1.故选C. 3.C由题意，知函数f(x)在(1,2)上单调递增，又函数一 个零，点在区间(1,2)内， 所以’即{1二、0. 解得0a3, 1f(2)>0, 故选C. 4.答案：(0,1) 解析：画出函数 f(.x)= 2x-1,x>0, 的图象，如 -x2-2.x,x≤0 图所示. 由于函数g(x)=f(x)-m有3个 70 零点，结合图象得0<m<1,即m∈ (0,1). 5.答案：(4，十∞) 解析：函数的零点十函数的图象与性质 令t=2,则>0，且221=1·方程21+22x一m=0等 价于1十生=m.因为=2与x一一对应，所以关于1的 方程t十 4=m有两个正根，即函数y=1十(>0)的图 t 象与直线)=m有两个交点，结合对勾画数y=1十上在 (0,十∞)上的图象，可知n4,故n的取值范围为(4， 十∞). 第二课时函数模型及其应用 基础知识必备 2.增函数增函数增函数越来越快越来越慢 y轴x轴 考点知能突破 针对训练 1.D根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5 千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最 高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最 少，故选项B错；甲车以80千米/时的速度行驶时燃油效 率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升 汽油，故选项C错：最高限速80千米/时，丙车的燃油效率 比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省 油，故选项D对.