第3章 第5节 指数、指数函数-【名师大课堂】2027年高考数学艺术生总复习必备

3.答案：1日 解析：因为f(x十2)=一所以f(x+4)= f(x+2)=f(x),所以函数y=f(x)的周期T=4. f(17)=f(4×4+1)=f(1)=1. f(20)=f(4×4+4)=f(4)=f(2+2)= 1 f(2) 1 4.B由f(x)=f(2-x)得f(x)的图象关于直线x=1对 称.又f(x)是偶函数，故函数f(x)的周期是2，f(x)在区 间「一2，一1]上是增函数，在区间「3,4]上是减函数.故 选B. 第四节幂函数与二次函数 基础知识必备 2.(-2) [+∞）（-，) 考点知能突破 针对训练 1,AD因为暴函数y=x的图象过点(2,8)，所以2=8， 解得&=3，所以y=x3.函数y=x3的图象过原点，所以A 选项中说法正确；函数y=x3是奇函数，所以B选项中说 法错误；函数y=x3在R上递增，所以C选项中说法错 误；函数y=x3值域为R,所以D选项中说法正确. 2.A因为二次函数f(x)=a.x2十bx十5的图象的对称轴 是直线x=1,所以2名1①，又f(-1)=a-6+5 11,所以a一b=6②.联立①②，解得a=2,b=一4，所以 a十b=一2，故选A. 3.D当a=0时，f(x)为减函数，不符合题意；当a≠0时，函 数f(x)=a.x2-2x十3的图象的对称轴为x=工，要使 a<0,fa>0, fx)在区间[13]上为增函数，则1≥3或1≤1.解得 a a≥1.故选D. 第五节指数、指数函数 基础知识必备 1.(1)根式 2.(1)vam 1 a 没有意义(2)①a'+s②a③a'b 3.(2)上方(0，十∞)单调递增单调递减y=10< y<1y>1y>10<y<1 考点知能突破 针对训练 1.解：1)原式=1+}×（号）-()》广-1+×号 0-1+日-0-8 (2)原式=(a3b2ab) =u+-1+6+子-2-寸= ab2ab定 2.D由f(x)=a-b的图象可以观察出函数f(x)=a2-b在 定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图 象是在f(x)=a2的基础上向左平移得到的，所以b<0. 故选D. 3 3.C设1=2+2x-1,则y=(3)儿因为0<号<1，所以 y=(2)厂'为关于1的减画数.因为=(x+1)2-2≥-2 所以0<y=(分)广≤()厂-4，故所求品数的值线为 (0,4].故选C. 4.C因为x>0时，1<b,所以b>1.因为x>0时，b2< a,所以r>0时，（号）>1，所以分>1，所以a>b.所以 1<ba.故选C. 5.答案：{xx>4或x<0》 解析：因为f(x)为偶函数， 当x<0时，一x>0,则f(x)=f(-x)=2x一4. (2x-4,x≥0， 所以f(x)= 2x-4,x<0. 当g一8>0时有台010 解得x>4或x<0. 所以不等式的解集为{xx>4或x<0}. 第六节对数、对数函数 基础知识必备 1.log N 2.(1)①N(3)①log,M+logN②logM-logN 3.(0,十∞)(1,0)增函数减函数 4.y=x 考点知能突破 针对训练 1.答案：0 解析：原式=3十2×0一3×1十3×0=0. 2.A由题意，a>0且a≠1，所以函数g(x)=lg单调递 减，故排除B、D; 对于A、C,由函数f(x)= 的图象可知0<a<l,对于函 数g(x)=lg兰g(1)=lga<0,故A正确，C错误 3.C由题意得a>0且a≠1，故必有a2+1>2a,又loga(a2 +1D<1g,2a<0.所以0<a<1,且2a>1,所以a>故 口的取值范国是（合）故选C 4.BCDf(x)=ln(x-2)+ln(6-x)=ln[(x-2)(6-x)], 由6二0，得函数的定义拔为(2,6).令1=(x一2)· (6-x),因为二次函数t=(x一2)(6-x)=一x2十8x一12 在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，且当x=4时， t=4,所以t=(x一2)(6-x)∈(0,4].又函数y=lnt在 t∈(0,4]上单调递增，所以由复合函数的单调性可得 f(x)在(2,4)上单调递增，在[4,6)上单调递减，故A错 误.因为t∈(0,4]，所以y=lnt∈(-∞，2ln2],即f(x)∈ (-∞，2ln2],所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln2,无 最小值，故B,C正确.因为f(4-x)=ln(4-x-2)十ln(6 4+x)=ln(2-x)+ln(2+x),f(4+x)=ln(4+x-2) +ln(6-4-x)=ln(2+x)+ln(2-x),所以f(4-x) f(4十x),所以f(x)的图象关于直线x=4对称，故D正 确.故选BCD. 5.解：1)当a=号时1x)=log4(宁r2-,由号2-> 0,得x2一2x>0,解得x<0或x>2,所以函数f(x)的定 义域为（一∞，0）U(2,十∞) 03名师大课堂数学 第五节 指数、指数函数 基础知识必备 1.根式的概念及性质 (2)指数函数的图象与性质 (1)概念：式子Va叫做 ,其中n叫 函数 y=a(a>0,且a≠1) 做根指数，a叫做被开方数 a>1 0<a<1 (2)性质：(a)"=a(a使a有意义)；当n为 图象 y=a y=a*y 0,2-1 奇数时，Wa”=a,当n为偶数时，a"=|a a,a≥0， 在x轴 ,过定点(0,1) -a,a<0. 图象 当x逐渐增大 特征 当x逐渐增大时， 2.分数指数幂 时，图象逐渐 图象逐渐上升 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 下降 a5= (a>0,m,n∈N*,且n>1); 定义域 R 正数的负分数指数幂的意义是a“= 值域 (a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指 单调性 数幂等于0；0的负分数指数幂 性 当x=0时， (2)有理数指数幂的运算性质 质 函数值 当x<0时， 当x<0时， ①a'a= (a>0,r,s∈Q); 变化规 ②(a')= (a>0,r,s∈Q); 律 当x>0时， 当x>0时， ③(ab)'= (a>0,b>0,r∈Q) 3.指数函数的定义、图象与性质 @。微点拔 (1)定义：函数y=a(a>0,且a≠1)叫做指 指数函数y=a(a>0,a≠1)的图象和性 数函数，其中指数x是自变量，函数的定义 质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1 域是R,a是底数. 与0<a<1(两种情况)来研究. 考点知能突破 考点一 指数幂的化简与求值 计算：2号}+.1+e9)- 例1)计算：-()+(-) +器 (0.002) (4)已知x+x=3,则x2十x-2+3= (2)化简4如.bt÷(-号ab)的结果为 【解析】(1)原式=-（号）+[（-门 26 第三章函数及其应用 +() -++06=106 考点二指数函数的图象及应用 2)原式=4÷(-号)a(-)6 例2(1)函数f(x)=21-x的大致图象为 -6ab-1=- 6a b 3+37 8 +10+品-3+器 3 100. (2)若函数y=|3-1|在（一∞，k]上单调 递减，则k的取值范围为 (4)由x+x=3,得x十x1+2=9, 所以x十x1=7,所以x2十x2+2=49, 【解标】()函数)=2=2×（号）广， 所以x2+x-2=47,所以x2+x-2+3=50. 单调递减且过点(0,2)，选项A中的图象符 【答案】 (1)105(2)- 6a (3)100 合要求 b (2)函数y=|3x一1|的图象是由函数y=3 (4)50 的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴 目名师点评 下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的， 指 有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算 数 函数图象如图所示」 运算的 先乘除后加减，负指数暴化成正指数暴的倒数 1 y=3*-1 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成 分数；.底数是带分数的，先化成假分数 若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 则 式表示，运用指数幂的运算性质来解答 由图象知，其在（一∞，0]上单调递减，所以 [针对训练] k的取值范围为(-∞，0]. 1.化简下列各式： 【答案】(1)A(2)(-∞，0] 12)+2×(24)】 -(0.01)0.5; 。名师点评 <2)-Ja'a 应用指数函数图象的3个技巧 -(a>0,b>0). (ab)4a寸b (1)画指数函数y=a'(a>0,且a≠1)的图 象，应抓住三个关键点：(1，a),(0, (-1） (2)已知函数解析式判断其图象一般是取 特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若 不满足则排除。 (3)对于有关指数型函数的图象问题，一般 是从最基本的指数函数的图象入手，通过 平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底 数a与1的大小关系不确定时应注意分类 讨论. 27 名师大课堂数学 [针对训练] 所以x2十ax>2x十a一2恒成立， 2.函数f(x)=ab的图象如图所示，其中a,b 所以x2+(a-2)x-a十2>0恒成立， 为常数，则下列结论正确的是 ( 所以△=(a-2)2-4(-a十2)<0， A.a>1,b<0 即(a-2)(a-2+4)<0, B.a>1,b>0 即(a-2)(a+2)<0, C.0<a<1,b>0 解得一2<a<2,即a的取值范围是（一2,2）. D.0<a<1,b<0 【答案】(-2,2) 考点三指数函数的性质及应用 圈名师点评 角度一 比较指数幂的大小 解简单的指数方程或不等式问题时，应利 例B已知a=(》 ,b=2，c= ,则下 用指数函数的单调性转化为一般方程或不 列关系式中正确的是 等式求解.要特别注意底数a的取值范围， A.c<a<b B.b<a<c 并在必要时进行分类讨论. C.a<c<6 D.a<b<c 角度三 研究指数型函数的性质 【解析】起b化简为6=(3) ,而函数y +2.x+1 例(1)函数f()=(》 的单调递 (号)广在R上为减函数，又>号> 31 3 3 ,所以 减区间为 ()》<()<(》)广，即<a< (2)已知函数f(x)=22x-m(m为常数)，若 【答案】B f(x)在区间[2，+∞)上是增函数，则m的 名师点评 取值范围是 比较指数幂大小的常用方法 【解析】(1)设u=一x2十2x十1，因为y= 一是单调性法，不同底的指数函数化同底 后就可以应用指数函数的单调性比较大 (侵)厂在R上为减函数，所以函数f()= 小，所以能够化同底的尽可能化同底， -2.x+1 的减区间即为函数u=一x2十 二是取中间值法，不同底、不同指数的指数 函数比较大小时，先与中间值（特别是0， 2x+1的增区间.又u=一x2+2x+1的增 1)比较大小，然后得出大小关系. 区间为（一∞，1]， 三是图解法，根据指数函数的特征，在同一 所以函数f(x)的减区间为（一∞，1]： 平面直角坐标系中作出它们的函数图象， (2)令t=|2x-m,则t=|2x-m在区间 借助图象比较大小. 角度二解简单的指数方程或不等式 登，+∞上单调递增，在区间(-∞，受上 2 单调递减.而y=2为R上的增函数，所以 恒成立，则 要使函数f(x)=22x-m在[2，十∞)上单调 a的取值范围是 【解析】 由题意，y= 是减函数， 递增，则有罗≤2，即m≤4，所以m的取值范 周为(》+<（日 围是(-∞，4]. 恒成立， 【答案】(1)(-∞，1](2)(-∞，4] 28 第三章 函数及其应用 ◎微点拔 [针对训练] 求指数型复合函数的单调区间和值域的方法 (1)形如y=am(a>0,且a≠1)的函数求 3函数=（侵 的值域是 值域时，要借助换元法：令u=f(x),先求 A.（-∞，4) 出u=f(x)的值域，再利用y=a“的单调 B.(0,+∞) 性求出y=a的值域. C.(0,4] (2)形如y=a(a>0,且a≠1)的函数单 D.[4,+∞) 调性的判断，首先确定定义域D,再分两种 4.已知a,b∈(0,1)U(1,+∞)，当x>0时， 情况讨论：当a>1时，若f(x)在区间(m, 1<b<a,则 ( n)上（其中(m,n)三D)具有单调性，则函 A.0<b<a<1 数y=a在区间(m,n)上的单调性与 B.0<a<b<1 f(x)在区间(m,n)上的单调性相同；当0 <a<1时，若f(x)在区间(m,n)上（其中 C.1<<a (m,n)二D)具有单调性，则函数y=a D.1<a<b 在区间(m,n)上的单调性与f(x)在区间 5.若偶函数f(x)满足f(x)=2x一4(x≥0)， (m,n)上的单调性相反. 则不等式f(x一2)>0的解集为 第六节 对数、对数函数 基础知识必备 1.对数的概念 3.对数函数的图象与性质 如果a=N(a>0且a≠1)，那么数x叫做 a>1 0<a<1 以a为底N的对数，记作x= ,其 中a叫做对数的底数，V叫做真数， y↑ x=1 y↑x=l 2.对数的性质、换底公式与运算性质 y=log.x (1.0) (1)对数的性质： 象 0(1.0 ①algN= y=log ②loga=b(a>0,且a≠1). (2)换底公式： 定义域： -og(a,c均大于0且不等于1，b>0), logb-loga 值域：R (3)对数的运算性质： 过定点 如果a>0,且a≠1，>0，N>0,那么： 质 当x>1时，y>0 当x>1时，y<0 ①log.(M·N)= 当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0 在(0，+∞)上是 在(0，十∞)上是 ③log,M"=nlog M(n∈R). 29