专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学讲义以“一线三等角模型”为核心，通过逻辑框架图系统梳理知识体系，涵盖锐角、直角（K型图）、钝角三种类型的模型定义、证明过程及核心知识点，用思维导图呈现相似判定、外角定理等知识的内在联系，突出中考高频考点分布。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，A组基础题巩固模型识别，B组提升题结合矩形折叠（如典例2），C组压轴题融入函数几何综合（如典例5），通过“终极口诀”培养模型意识，易错点分析强化推理能力，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角，指同一条直线上有三个相等的角，利用外角性质推导两组角对应相等，证明三角形相似，特殊情况可证全等。模型分为锐角、直角、钝角三种类型，直角一线三等角也常叫 K 型图，是中考高频模型。 主要考查：线段长度计算、线段比例、等积式证明，动点问题、折叠问题里出现较多，常放在填空压轴、几何大题，也会结合函数、矩形、正方形综合考查。核心解题思路：先找到共线的三个等角，利用外角推导角相等，锁定相似三角形，列出比例式求解。 易错点：分不清对应顶点，比例式写反；动点背景下漏考虑多解情况。该模型识别门槛低，只要看到直线上三个等角，优先考虑一线三等角相似，是解决几何线段问题的重要工具。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 9 模型运用 10 A组（基础题） 10 B组（能力提升题） 13 C组（综合压轴题） 18 一线三等角没有古代几何原名，是国内初中数学教研总结出来的几何模型。其理论基础是三角形外角定理与相似判定，最早大量出现在各地中考与竞赛试题中。模型核心：一条直线上存在三个相等的角，利用外角推导等角，证三角形相似，直角版本俗称 K 型图。 早期这类题型分散，没有统一名称。教研教师提炼图形特征，命名为一线三等角，方便学生快速识别。模型可拓展到锐角、钝角场景，全等是相似的特殊情况。如今广泛用于动点、折叠、函数几何综合题，是中考相似板块的重点模型。 1）相似三角形AA判定定理；相似三角形的对应边成比例； 2）三角形外角定理，内角和定理； 3）同角的余角相等（直角三垂直推导核心）； 4）全等三角形AAS判定（特殊情况）； 5）平面直角坐标系点坐标，勾股定理。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【典例2】（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【典例3】（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 【典例4】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【典例5】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值是________ ． 模型常见易错点 1）对应顶点书写错误，比例式颠倒 错误：顶点乱序，线段比例写反。解决方案：相等角一一对应写顶点；写完成相似符号再列比例。 2）不会做角度推导，直接默写一线三等角得相似 错误：大题直接写“由一线三等角得△XXX∽△XXX”，缺少角度推导扣分。 解决方案：选填可以直接识别模型提速；解答大题，必须写：同角的余角相等（直角型）或者外角定理，证明两组内角相等，再AA证相似。 3）分不清什么时候是相似、什么时候是全等 错误：看见K字型一律当成全等。 解决方案：只有中间那个角的两条夹边相等才是全等；其余情况只是相似。 4）模型隐藏，不会自己作辅助线构造一线三等角 错误：坐标系出现直角，没有现成直线，识别不出模型。 解决方案：过直角顶点向坐标轴做水平、竖直垂线，主动造出“一条直线上三个直角”，构造K字三垂直。 5）点在直线延长线上（外侧型）直接套用内侧比例 解决方案：无论点在线段上还是延长线，先重新推导角度，重新写相似，不要直接照搬内侧图形的比例。 解题方法总结 直角三垂直（K字型）解答步骤 1）识图：确认同一直线上存在三个直角；或者主动做水平竖直辅助线构造三垂直；2）利用同角的余角相等，推导出一组锐角相等；3）AA证明三角形相似；夹边相等则证明ASA或AAS全等；4）写出对应边成比例；坐标系中转化横纵坐标差；5）列方程求解线段长度或者点坐标。 通用（锐角/钝角）一线三等角 1）找到共线三点，确认直线上三个角度大小相等；2）利用三角形内角和或者外角定理推导得到第二组等角；3）AA证明两个三角形相似；4）严格按照对应顶点列出比例式，代数计算。 终极口诀 一线之上三等角，内角外角找等角；直角优先余角等，AA相似马上成； 夹边相等变全等，坐标构造K字形；大题莫要直接写，角度推导不能省。 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 5．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，已知，E是边的中点，交边于点F，则的长是_____；若平分交于点G，则的长是______． 7．（2026·安徽淮南·三模）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． (1)求出反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标． 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，是斜边上的高，其中，则__________． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在正方形中，，，点在边上，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． (2)如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 12．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 (1)【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； (2)【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； (3)【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 13．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 14．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 15．（25-26九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 16．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 17．（25-26九年级下·安徽淮北·阶段检测）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 18．（25-26九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 20．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段，请你证明； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 21．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是矩形，点P是对角线上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 22．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 (1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 (4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 23．（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 24．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上中点处，点的对应点为，连接交边于点，若，则的长为____________． 25．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，，且，线段交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为（     ） A． B． C． D． 26．（2026·广东汕头·三模）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：； (2)若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； (3)若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：如图1，矩形的边 上存在一点O， 且 ，则矩形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． (1)如图2，四边形是可等垂四边形，且 ， ，点P是它的等垂点． ①四边形的边 ， 和 之间的数量关系是_________________________； ②在图2中取边的中点Q，并连接 ， ，求证：点Q是四边形的等垂点（若需使用图①中的结论，可直接使用，不必另行证明） (2)如图3，在中， ， ， ，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离___________． 28．（2025·山东聊城·模拟预测）如图①，将边长为的正方形纸片沿折叠（点、分别在边、上），使点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，连接． (1)如图②，若为边的中点， ①的周长=______； ②求证：； (2)随着落点在边上取遍所有的位置（点不与、重合），的周长是否发生变化？请说明理由． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 一线三等角，指同一条直线上有三个相等的角，利用外角性质推导两组角对应相等，证明三角形相似，特殊情况可证全等。模型分为锐角、直角、钝角三种类型，直角一线三等角也常叫 K 型图，是中考高频模型。 主要考查：线段长度计算、线段比例、等积式证明，动点问题、折叠问题里出现较多，常放在填空压轴、几何大题，也会结合函数、矩形、正方形综合考查。核心解题思路：先找到共线的三个等角，利用外角推导角相等，锁定相似三角形，列出比例式求解。 易错点：分不清对应顶点，比例式写反；动点背景下漏考虑多解情况。该模型识别门槛低，只要看到直线上三个等角，优先考虑一线三等角相似，是解决几何线段问题的重要工具。 模型来源 1 知识储备 1 例讲模型 2 模型1.一线三等角模型（相似模型） 2 易错点与方法总结 9 模型运用 10 A组（基础题） 10 B组（能力提升题） 13 C组（综合压轴题） 18 一线三等角没有古代几何原名，是国内初中数学教研总结出来的几何模型。其理论基础是三角形外角定理与相似判定，最早大量出现在各地中考与竞赛试题中。模型核心：一条直线上存在三个相等的角，利用外角推导等角，证三角形相似，直角版本俗称 K 型图。 早期这类题型分散，没有统一名称。教研教师提炼图形特征，命名为一线三等角，方便学生快速识别。模型可拓展到锐角、钝角场景，全等是相似的特殊情况。如今广泛用于动点、折叠、函数几何综合题，是中考相似板块的重点模型。 1）相似三角形AA判定定理；相似三角形的对应边成比例； 2）三角形外角定理，内角和定理； 3）同角的余角相等（直角三垂直推导核心）； 4）全等三角形AAS判定（特殊情况）； 5）平面直角坐标系点坐标，勾股定理。 模型1.一线三等角模型（相似模型） 【模型提炼与证明】 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等）， ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3，∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 【模型运用】 【典例1】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边三角形的边长为，为边上的一点，，为边上的一点，连接，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】由等边三角形性质得出及三角形的边长，结合利用外角性质证明，从而证得，利用对应边成比例求解． 【详解】解： ∵为等边三角形， ∴， ，， ∴， ， ∵是的外角， ∴ ， 又∵，且 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 在和中， ， ∴ ， ∴ ； 即 ， ∴ 【典例2】（2026·湖北武汉·中考真题）如图，、分别是矩形边、上的点，连接．将四边形沿翻折得到四边形，边经过点．若，，，则的长是_________，的长是_________． 【答案】 【分析】作于N，则四边形是矩形，则可得，．根据矩形的性质和折叠的性质可得，，根据勾股定理可得，进而可得．证明，根据相似三角形对应边成比例可求得，．再证明，则可得，则可得，再根据勾股定理可得． 【详解】解：设与的交点为M， ∵四边形是矩形，且，， ∴，，， 作于N，则四边形是矩形， ∴，， 根据折叠的性质可知，，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例3】（25-26九年级上·重庆·开学考试）如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 【答案】 【分析】设交于点H，作于点G，先证明，可得，则可得到；设，则，由平行线性质及折叠角性质可得，，在直角三角形中，由勾股定理可得方程，解得，再根据，可得． 【详解】解：设交于点H，作于点G，如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得：或9（9不合题意，舍去）． ∴， 设，则， ∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得，， 解得：， ∴，， ∵， ∴． 【典例4】（25-26九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【典例5】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，矩形的顶点，在坐标轴上，顶点在反比例函数的图象上，若，则的值是________ ． 【答案】 【分析】先作水平、垂直辅助线构造直角三角形，利用矩形直角推导出两组角相等证明三角形相似，结合边长比例得到线段等量关系，设点坐标并代入相似比例式列方程求解出坐标，最后根据反比例函数坐标乘积等于算出值． 【详解】解：如图，过点作轴于点E，过点作轴交于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设点的坐标为，即， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵点在反比例函数图象上， ∴． 模型常见易错点 1）对应顶点书写错误，比例式颠倒 错误：顶点乱序，线段比例写反。解决方案：相等角一一对应写顶点；写完成相似符号再列比例。 2）不会做角度推导，直接默写一线三等角得相似 错误：大题直接写“由一线三等角得△XXX∽△XXX”，缺少角度推导扣分。 解决方案：选填可以直接识别模型提速；解答大题，必须写：同角的余角相等（直角型）或者外角定理，证明两组内角相等，再AA证相似。 3）分不清什么时候是相似、什么时候是全等 错误：看见K字型一律当成全等。 解决方案：只有中间那个角的两条夹边相等才是全等；其余情况只是相似。 4）模型隐藏，不会自己作辅助线构造一线三等角 错误：坐标系出现直角，没有现成直线，识别不出模型。 解决方案：过直角顶点向坐标轴做水平、竖直垂线，主动造出“一条直线上三个直角”，构造K字三垂直。 5）点在直线延长线上（外侧型）直接套用内侧比例 解决方案：无论点在线段上还是延长线，先重新推导角度，重新写相似，不要直接照搬内侧图形的比例。 解题方法总结 直角三垂直（K字型）解答步骤 1）识图：确认同一直线上存在三个直角；或者主动做水平竖直辅助线构造三垂直；2）利用同角的余角相等，推导出一组锐角相等；3）AA证明三角形相似；夹边相等则证明ASA或AAS全等；4）写出对应边成比例；坐标系中转化横纵坐标差；5）列方程求解线段长度或者点坐标。 通用（锐角/钝角）一线三等角 1）找到共线三点，确认直线上三个角度大小相等；2）利用三角形内角和或者外角定理推导得到第二组等角；3）AA证明两个三角形相似；4）严格按照对应顶点列出比例式，代数计算。 终极口诀 一线之上三等角，内角外角找等角；直角优先余角等，AA相似马上成； 夹边相等变全等，坐标构造K字形；大题莫要直接写，角度推导不能省。 1．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，在中，，，点是边上一点，，点在边上．若，则的长为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】求出的长，证明得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 2．（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 3．（25-26八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四边形为正方形，得出，，勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求出的面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∵为的中点， ， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴的面积． 4．（2026·广东深圳·三模）如图，正方形的边长为4，点E在边上，，连接，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，交于点G，则的长为____________． 【答案】 【分析】过点作分别交、的延长线于点、，则四边形和四边形是矩形，证明，得出，，再证明，利用对应边成比例求解即可． 【详解】解：如图，过点作分别交、的延长线于点、， 正方形的边长为4，点E在边上，， ，，，，， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ，，， 四边形和四边形是矩形， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， ． 5．（2025·安徽淮南·模拟预测）如图，在矩形中，，E，F分别为上的点，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质证明，根据相似比求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得． 6．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图，在正方形中，已知，E是边的中点，交边于点F，则的长是_____；若平分交于点G，则的长是______． 【答案】 1 【分析】本题可先利用正方形的性质和相似三角形的判定与性质求出的长度；过点C作、交延长线于点，连接，证明，求得，证明，据此计算即可求出的长度． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，． ∴， ∵是中点， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴， ∴； ， 过点C作、交延长线于点，连接． ∵，平分， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴共线，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 7．（2026·安徽淮南·三模）如图，一次函数与轴交于点，与反比例函数交于点，且点的横坐标为为一次函数图象上的点，连接，且． (1)求出反比例函数的表达式； (2)求出点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为与轴交于点，得出，根据一次函数和反比例函数交于点A，且A的横坐标为1，求出A的纵坐标，求出，得出反比例函数的表达式． （2）作辅助线如下图，根据直角三角形的两个锐角互余，得出，所以，根据三角形相似的性质：相似三角形对应边成比例，求出的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点 ， 点A在直线上，且横坐标为1，把代入，解得 点的坐标为 在反比例函数上 反比例函数的表达式为 （2） 解：如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，设 点的坐标为 8．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，是斜边上的高，其中，则__________． 【答案】 【分析】根据得到，然后利用算术平方根的定义得到的长． 【详解】解：∵是斜边上的高，即， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）如图，在正方形中，，，点在边上，且，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质可得，进而根据同角的余角相等可得，证得，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ． 10．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． (2)如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 【答案】(1)； 解：∵中，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ∵，， ∴ ∴ ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据题意得到，然后结合得到，即可得到，同理求解即可； （2）结合矩形的性质证明，可得，即可得出，然后由（1）可知，则此题可解． 【详解】（1）解：； 证明：略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即 ∴， 由（1）得，， ∴（负值舍去）． 11．（25-26九年级上·上海·阶段检测）【模型构建】如图1，已知，如果，那么，我们把这种图形叫做“一线三等角”． 【探究应用】如图2，在梯形中，，，，点E在边上，，P、Q分别是边的中点．如果，且，那么的长为________． 【答案】7 【分析】延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形，取的中点，连接，得到是等边三角形得出，根据示例得出，然后根据对应边成比例，求出相关线段的长度，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长，过点D作，垂足为F，根据题意四边形为矩形． 取的中点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 又， 根据“一线三等角”模型，， ， 在中，假设，则， 由勾股定理可得，, ， ，，． 过点P作的垂线，G为垂足，则 是的中点， 是梯形的中位线，，，， ， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）九年级数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足 (1)【一线模型】如图1：当的顶点D在底边BC上，与两腰，分别交于点，，求证：； (2)【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； (3)【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】(1) 证明：∵，且， ∴， 又∵， ∴； (2) (3) 【分析】（1）利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明； （2）通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即），求出的值； （3）作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， 则，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 13．（25-26九年级下·浙江杭州·开学考试）在中，已知，于，，，求的长． (1)如图，当时，小党同学灵活运用一线三等角构造相似三角形知识，他作出，利用三角形相似求出的长，请你帮助他证明：； (2)当时． ①如图，求的长． ②如图，，为直线上两点（在点左侧，在点右侧），在中，，，，设，，请求出，之间的关系式． 【答案】(1) 证明：如图1，作，交于，， ，， ， ， ， ，， ； (2)①6；② 【分析】（1）由余角的性质可求，由角的数量关系可证，，即可求解； （2）①由等腰直角三角形的性质可求，的长，通过证明，可得，即可求解； ②由勾股定理可求，由轴对称的性质可得，，，由“”可证，可得，，通过证明，可求，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①如图2，作，交于，， ，， ， ，， ，， ，，， ，， ， ， ， ，（舍去）， 即的长为6； ②在中，，，， ， ，， ， 如图，作关于对称的，在上截取，连接，并延长交于， ，，， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，求函数关系式等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 14．（25-26九年级上·广西柳州·阶段检测）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 15．（25-26九年级下·山东烟台·期中）阅读下列材料： 如图1，点A、D、E在直线l上，且， 则：， 又， 故． 像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形．      请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图2，中，，，直线ED经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，点D在上，，，， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在平行四边形中，E为边上一点，F为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1) ∵， ∴． ∵，， ∴，． ∴． 在与中， ， ∴； (2) (3)15 【分析】（1）由可证，由可证，进一步可证； （2）过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证∴，于是，得解点C到的距离为； （3）以点D为端点，作线段，交延长线于点M，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：略． （2）解：过点D作于点F，过点C作，交延长线于点E，      ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． 即点C到的距离为； （3）解：以点D为端点，作线段，交延长线于点M， 则． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 16．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 17．（25-26九年级下·安徽淮北·阶段检测）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∴． （2）解：如图4，当时， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴点D为BC的中点， ∴． 如图5，当时， ∵， ∴， 过点A作，交BC于点F， ∴，， ，不合题意，舍去， ∴． （3）解：分两种情况： ①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形 ∵点A的坐标为（2，4）， ∴AD＝2，OD＝CE＝4， ∵∠OBA＝90°， ∴∠OBE+∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠OBE， 在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS）， ∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x， ∴AC＝BE＝x－2， ∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4， ∴x＝3，x－2＝1， ∴点B的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3）， 综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 18．（25-26九年级上·山东济南·期末）感知：（1）数学课上，老师给出了一个模型： 如图1，，由，，可得 ；又因为，可得，进而得到______．我们把这个模型称为“一线三等角”模型． 应用：（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在中，，，点P是BC边上的一个动点（不与B、C重合），点D是AC边上的一个动点，且． ①求证：； ②当点P为BC中点时，求CD的长； 拓展：（3）在（2）的条件下如图2，当为等腰三角形时，请直接写出BP的长． 【答案】 感知：（1）；应用： （2）①证明：∵∠APC=∠B+∠BAP，∠APC=∠APD+∠CPD，∠APD=∠B， ∴∠BAP=∠CPD， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△ABP∽△PCD； ②3.6；拓展： （3）2或 【分析】（1）根据相似三角形的性质，即可求解； （2）①根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，根据三角形的外角性质得到∠BAP=∠CPD，即可求证； ②根据相似三角形的性质计算，即可求解； （3）分PA=PD、AP=AD、DA=DP三种情况，根据等腰三角形的性质、相似三角形的性质，即可求解． 【详解】感知：（1）∵△ABC∽△DAE， ∴， ∴， 故答案为：； 应用：（2）①略 ②BC=12，点P为BC中点， ∴BP=PC=6， ·∵△ABP∽△PCD， ∴，即， 解得：CD=3.6； 拓展：（3）当PA=PD时，△ABP≌△PCD， ∴PC=AB=10， ∴BP=BC-PC=12-10=2； 当AP=AD时，∠ADP=∠APD， ∵∠APD=∠B=∠C， ∴∠ADP=∠C，不合题意， ∴AP≠AD； 当DA=DP时，∠DAP=∠APD=∠B， ∵∠C=∠C， ∴△BCA∽△ACP， ∴，即， 解得：， ∴， 综上所述，当为等腰三角形时， BP的长为2或 ． 【点睛】本题考查的是三角形相似的判定定理和性质定理、全等三角形的判定定理和性质定理以及三角形的外角性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 19．（24-25九年级上·四川成都·期末）数学综合与实践小组同学对“一线三直角”图形进行了深入研究．如图，在中，，，，将斜边绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线，交直线于点． 【初步感知】 （1）求的长； 【深入研究】 （2）连接交于点，求的长； 【拓展延伸】 （3）若点在直线上，满足，请直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【分析】（1）证明，得到，即可得到； （2）延长相交于点M，证明，则，解得，，由勾股定理得到，，，得到，证明，则，进一步得到，则； （3）分两种情况：当点P在C的左边和当点P在B的右边，分别画出图形，进行解答即可． 【详解】（1）解：由旋转可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）延长相交于点M， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， 由勾股定理得到，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ （3）当点P在C的左边时，如图， 过点P作于点G， ∵， ∴， 设， ∴, ∴， ∵， ∴， 解得， 由勾股定理可得，， ∴ 解得， ∴ 当点P在B的右边时，如图，过点O作于点H， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 综上可知，的长为或． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，添加合适的辅助线和分类讨论是解题的关键． 20．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点E． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段，请你证明； (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点F，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点N，求． 【答案】(1)证明：∵将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴； (2)10 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （2）根据（1）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解． （3）过点N作于点M，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； （4）当P在B点的左侧时，过点P作于点Q，当P在B点的右侧时，过点P作交的延长线于点T，分别解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵且， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点N作于点M， ∵， ∴， ∴， 即， 即， 又∵， ∴， ∴ 设，则， ， 解得： ∴； 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直角三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，四边形是矩形，点P是对角线上一动点（不与A、C重合），连接，过点P作，交于点E，已知，．设的长为x． (1)___________；当时，求的值； (2)试探究：是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； 【答案】(1)4， (2)是， 【分析】（1）过点作于点，交于点，先证明，可得，则，，可得，，再证明，可得，即可求解； （2）同理（1）即可得结论； 【详解】（1）解：如图，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ，， ∴在中，， 当时，即， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∵，， ∴， ，， ， ， ． （2）解：的值为定值． 如图，过点作于点，交于点， 同理（1）可得， ∴，即， ∴．， ∴，， 同理（1）可得， ． 22．（25-26八年级下·江苏淮安·期末）数学实验能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图①）产生了如下问题，请同学们帮他解决． 在中，点D为边上一点，连接． 【初步探究】 (1)如图①，在中，，，则 ． (2)如图②，若，求证：； 【尝试应用】 (3)如图③，在（2）的条件下，若点D为的中点，，求的长； 【创新提升】 (4)如图④，点为的中点，连接，若，，，直接写出的长为 ． 【答案】(1)；； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴； (3) (4) 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余，可知，即可根据两角分别相等的两个三角形相似得到结论； （2）根据题意易得，然后根据相似三角形对应边成比例即可解答； （3）先由，结合点D为的中点，可推出，进而根据，列出比例式即可解答； （4）取的中点，连接，根据三角形的中位线性质可知，，接着由等角对等边和三线合一可推出，，从而证得，得到，然后由30度直角三角形的性质和勾股定理，结合比例式可推出，即可在中，利用勾股定理建立方程求得，进而得到的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）解：由（2）可知，，， ∴， 又∵点D为的中点，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （4）解：如图，取的中点，连接， ∵点为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 即， ∴（负值已舍）， ∴． 23．（2025·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求线段． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 24．（25-26八年级下·重庆铜梁·期中）如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在边上中点处，点的对应点为，连接交边于点，若，则的长为____________． 【答案】 【分析】根据矩形的性质和折叠的性质可得，，，，，由线段中点定义可得，设，在中利用勾股定理求出的值，进而求出的长，证明，利用相似三角形的性质求出和的长，从而得出的长，设，表示出的长，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠的性质可得：，，，， 是的中点， ， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ，， ， ， 又， ， 又， ， ，即， 解得：，， ， 设，则， 在中，，即， ∴， 解得：， ． 25．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，，且，线段交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作轴于M，作，交延长线于N，求出，证明四边形是矩形，则，证明，得到，则，再根据反比例系数的几何意义求出答案即可． 【详解】解：过作轴于M，作，交延长线于N， ∵，的面积为， ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∵点在反比例函数的图象上， ∴ 解得 ∵图象在第四象限， .∴． 26．（2026·广东汕头·三模）如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． (1)求证：； (2)若点P为的中点，正方形的边长为2，求的长； (3)若四边形为矩形，连接，，点P为的中点，点H为的中点，求的长． 【答案】(1)证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴ ， ∴， ∵ 分别在 上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的性质得 ，由折叠得出，得出，即可证明； （2）设，则．由勾股定理知，求出x，再由相似三角形的性质求解即可． （3）延长，交于点M，连接．由翻折，得．根据角的和差关系得出，由等角对等边得出，由翻折，得．证明，由全等三角形的性质得出，．由勾股定理得出，进一步得出，根据勾股定理得出，证明，由相似三角形的性质得出，进而可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：如图1， 设，则． ∵点P为的中点，， ∴． 由，得， 解得， 由（1）知． ∴，即． ∴． （3）解：如图2，延长，交于点M，连接． 由翻折，得． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵点P为的中点， ∴． 由翻折，得． ∵点H为的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴． ∴， 在中，， ．∴． ∴， ∴， 在中，， 由翻折，得，． ∴． ∴． ∴，即 ∴． 27．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）定义：若四边形一边上存在一点，这点与对边两个端点所连线段相等且互相垂直，则称这样的四边形是可等垂四边形，这个点叫做该四边形的等垂点． 例如：如图1，矩形的边 上存在一点O， 且 ，则矩形是可等垂四边形，点O为四边形的等垂点． (1)如图2，四边形是可等垂四边形，且 ， ，点P是它的等垂点． ①四边形的边 ， 和 之间的数量关系是_________________________； ②在图2中取边的中点Q，并连接 ， ，求证：点Q是四边形的等垂点（若需使用图①中的结论，可直接使用，不必另行证明） (2)如图3，在中， ， ， ，点B，C为中不同边上的两点，且点B为所在边的中点，若以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形，请直接写出C，D两点之间的距离___________． 【答案】(1)① ； ②证明：延长 ，，两线交于点 ． ∵ 是边的中点， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴点Q是四边形的等垂点． (2)或 【分析】（1）①根据平行线的性质，证明即可； ②延长 ，，两线交于点 ．证明， ，再利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质证明即可; （2）运用分类思想，借助三角形全等，三角形相似，勾股定理解答即可． 【详解】（1）①边 ， 和 之间的数量关系是 ，理由如下： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵四边形是可等垂四边形，点P是它的等垂点， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ． ②略 （2）解：当点B为 的中点时，点A，B，D三点共线，故以A，B，C，D为顶点的四边形不存在，此时不成立； 当点B为的中点时，此时点C位于 上，如图所示， 以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形， 故 上存在点，使得 ， 过点C作 于点E， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 设 ，则 ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， 解得， ∴， 根据勾股定理，得； 当点B为 的中点时，此时点C位于上，如图所示， 以A，B，C，D为顶点的四边形是可等垂四边形， 故 上存在点，使得 ， 过点B作 于点F， ∵ ， ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴， ∵点B为 的中点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴， 根据勾股定理，得； 28．（2025·山东聊城·模拟预测）如图①，将边长为的正方形纸片沿折叠（点、分别在边、上），使点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，连接． (1)如图②，若为边的中点， ①的周长=______； ②求证：； (2)随着落点在边上取遍所有的位置（点不与、重合），的周长是否发生变化？请说明理由． 【答案】(1)①6； ②证明：延长交延长线于点． ∵正方形的边长为， ∴，． ∵是中点， ∴． ，，， ． ，． 又， 垂直平分，有． ， ； (2)解：的周长保持不变． 理由：设，则． 由折叠性质可知，， 在中，，即， 整理得：， ， 又， ． ， ． 又， ． ． 的周长保持不变． 【分析】（1）①由折叠知，然后根据的周长求解即可； ②延长交延长线于点．可证，得，，结合得垂直平分，从而，进而可证结论成立； （2）不变化，设，则，求出，可证，得出，即可求解． 【详解】（1）①解：由折叠知， ∴的周长． ∵正方形纸片，， ∴， ∵是中点， ∴， 的周长； ②略； （2）略． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $