精品解析：山西临汾某校2026-2027学年高三上学期第一次考试数学试题

高三第一次数学试题--基础卷 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的交集概念运算即可． 【详解】依题意，，， ∴﹒ 故选：D． 2. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】为纯虚数，且，则. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】采用作差法和举反例依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C，，，， ，C错误； 对于D，，，，D错误. 故选：A. 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定是“，”. 5. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题为真命题，故恒成立， 故恒成立， 设，此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故在上的最小值为， 故. 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 7. 在梯形中，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将、用、作为基底表示，利用平面向量基本定理列方程求解、，再计算. 【详解】由题意，可得， 则 ， ， 将上述两式代入，整理得：   ， 由于、为不共线的非零向量，根据平面向量基本定理，等式两边对应向量的系数相等， 得： 解得，则， 因此. 8. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将目标代数式表示为已知两个不等式中式子的幂次乘积形式，利用正数不等式的同向可乘性求解取值范围. 【详解】设，，由题意得，，设， ， 则可得方程组，解得， 即，由得，由得， 则两式相乘可得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，表示空集，不含任何元素，而是一个包含了一个元素的集合， 两者不是同一个集合，故A错误； 对于B，表示的元素一定属于，表示全集中不在中的元素构成的集合， 则也表明的元素一定属于，因此，故B正确； 对于C，：自变量是的取值，，该集合是， ：函数值的取值，集合是，故C错误； 对于D，对于命题，取，发现是假命题，则是真命题； 对于命题，取时成立，则是真命题，故D正确； 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】A.∵，， 又∵，∴ 即，故A错误； B.∵，∴，又∵，∴，故B正确； C.∵，∴，又∵，∴，故C正确； D.∵，又，， ∴，∴，即，故D错误. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由基本不等式得，对于B，配方结合A选项即可判断；对于CD，也可以由基本不等式判断. 【详解】对于A，，得，当且仅当，时取等号，故A正确； 对于，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，， 当且仅当，时取等号，故C正确； 对于D，，当且仅当，时取等号，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合满足，可知集合必包含元素，可能包含元素， 则符合条件的集合个数即为集合的子集个数，即为. 13. 已知，的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【详解】因为，故， 故，而，故，故. 14. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 【答案】 44 【解析】 【分析】利用三集合容斥原理的计数公式，代入已知的各集合元素个数、两两交集元素个数、三者交集元素个数，即可计算得到总人数. 【详解】设集合，，， 根据三集合容斥原理，测绘队总人数为三个集合的并集的元素个数， 对应公式为：   由题意得：，，，，，，， 代入公式计算：   因此这支测绘队共有44人. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 【答案】（1），；（2），，. 【解析】 【分析】（1）分是否等于0两种情况讨论即可； （2）分是否等于0两种情况讨论即可. 【详解】（1）情形一：若，则中只有这一个元素，故符合题意； 情形二：若，且集合中只有一个元素， 这意味着当且仅当一元二次方程有两个相等的实数根， 从而，解得； 综上所述，实数的所有取值可能为：，； （2）， 情形一：当时，，此时满足，故符合题意； 情形二：当时，， 若要，则当且仅当或， 解得或； 综上所述，实数的值可能是：，，. 16. 已知集合，. （1）若，求及. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求出集合与，再根据交并补的运算性质求出及即可；（2）由是的充分不必要条件，则，列出不等关系求出的取值范围即可. 【小问1详解】 由题可得，则或， 当时，，所以，； 【小问2详解】 若是的充分不必要条件，则，又，所以，则，即， 所以，当时，且等号不能同时取到，解得，所以， 当时，，不合题意，所以的取值范围为. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，即，由，可得； （2）由三角形面积公式得到，由余弦定理得到，求出周长. 【小问1详解】 因为，所以. 又，所以， 则，因为，所以， 即. 由，可得. 【小问2详解】 因为△ABC的面积为1，所以，得. 由余弦定理可知， 则， 所以，故△ABC的周长为. 18. 设等差数列满足，. （1）求的通项公式. （2）设，求数列的前项和的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列，先将化为基本量，的形式，求出和，从而求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出，再根据函数的单调性求出的取值范围. 【小问1详解】 由数列为等差数列，设首项为，公差为，则， 解得，所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以， 易知，当时，单调递减，所以单调递增，因此，当时，取最小值，即， 当时，，，所以的取值范围为. 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上的最大值为；求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出导数值即可得出斜率，最后点斜式得出切线方程即可； （2）先求出导函数，再分类讨论函数的单调性结合定义域得出最值即可求解参数； （3）先根据任意及存在得出，结合导数得出函数单调性即可列式计算求解参数范围 【小问1详解】 ，，， ，，所以切线的斜率为2， 所以切线方程为 【小问2详解】 依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 由以上分析知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， 【小问3详解】 由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三第一次数学试题--基础卷 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则( ) A. B. C. D. 2. 已知复数为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数的值为（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知命题为真命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 在梯形中，，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 实数满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 与是同一个集合 B. 已知全集为，则和等价 C. 集合与集合是同一个集合 D. 已知命题；命题，则和都是真命题 10. 下列命题为真命题的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最大值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 13. 已知，的取值范围为____________. 14. 为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支“测绘队”，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中很多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有2人三项工作都参加了．这支测绘队有____________人. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）若集中有且仅有一个元素，求实数的所有取值. （2）已知集合，若，求实数的值. 16. 已知集合，. （1）若，求及. （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角B； （2）若，△ABC的面积为1，求△ABC的周长. 18. 设等差数列满足，. （1）求的通项公式. （2）设，求数列的前项和的取值范围. 19. 已知函数， （1）当时，求在处的切线方程； （2）若函数在上的最大值为；求的值； （3）设，若，，使得，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $