复习讲义（充要条件）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义-充要条件 核心考点 复习目标 常考题型 命题 理解命题的概念，能够正确判断所给命题是真命题还是假命题 一般出现在选择题中，选择哪项是真命题或假命题 充要条件 理解充要条件的概念、能够从题中所给的条件来正确判断充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条 选择、填空、解答都有可能出现，多以选择题的形式来考查，选出正确的选项，或者以填空题的形式来求参数的范围 知识点 命题和充要条件 知识总结 1．命题的概念 (1)能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． 2．充分必要条件 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 典例先行 【典例1】（24-25高二上·江西抚州·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．平面内三角形内角和为 B．平面内菱形四条边相等 C．向量就是有向线段 D．是无理数 【典例2】（25-26高二上·四川巴中·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例3】（25-26高二上·四川成都·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例4】（25-26高一下·江苏徐州·期末）已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例5】（24-25高二下·江苏镇江·期末）在中“”是“”的什么条件（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解题技巧 1．判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．． 2．充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型.． 即时训练（一）命题 【即时训练1】（24-25高二上·江苏·期中）下列语句中，能构成命题的是（   ） A．请帮我解一下这道数学题 B．明天会下雨吗？ C．方程有实数根 D．求证：方程没有实数根 【即时训练2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列说法正确的命题是（    ） A．非常大的全体实数能构成集合 B．空集是任何一个集合的真子集 C．集合用列举法表示为 D．集合中只有一个元素 【即时训练3】（24-25高二上·河北石家庄·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．0是空集的元素 B．0是自然数集N的元素 C．对于任意集合A，都有 D． 即时训练（二）充要条件与集合的结合 【即时训练1】（25-26高一上·河北石家庄·期中）设，为两个集合，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【即时训练2】（25-26高二上·山东·期中）已知，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练3】（24-25高二下·广东·期末）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练4】（25-26高二上·江西·期末）已知条件，条件，且是的必要条件，则的取值集合是______． 【即时训练5】（23-24高二上·四川南充·期末）已知集合,或 (1)若,求. (2)若“”是“”的充分条件,求的取值范围． 即时训练（三）充要条件不等式的结合 【即时训练1】（25-26高二下·四川达州·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练2】（25-26高二下·山西朔州·期中）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练3】（25-26高二下·江苏徐州·期末）若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练4】（25-26高二上·江苏徐州·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练5】（25-26高二上·江苏南京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 即时训练（四）充要条件与函数的结合 【即时训练1】（25-26高一上·江苏·期中）“”是“函数在区间上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练2】（25-26高三上·山东济宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练3】（25-26高三上·广东·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练4】（25-26高二上·四川巴中·期中）“”是“”的___________条件. 即时训练（五）充要条件与三角的结合 【即时训练1】（25-26高一下·湖北黄冈·期末）若命题：，命题：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练2】（24-25高三下·山东·职教高考）已知，则“”是“”的什么条件（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练3】（25-26高一上·浙江·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练4】（23-24高二上·全国·期中）角的终边在第一象限是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练5】（23-24高二上·全国·期中）在三角形中，是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 即时训练（六）充要条件与直线和圆的结合 【即时训练1】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练2】（25-26高二上·四川自贡·期末）已知直线与圆，“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练3】（25-26高三上·江苏·期中）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练4】（25-26高三上·山东烟台·期末）“”是“圆的半径为5”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义-充要条件 核心考点 复习目标 常考题型 命题 理解命题的概念，能够正确判断所给命题是真命题还是假命题 一般出现在选择题中，选择哪项是真命题或假命题 充要条件 理解充要条件的概念、能够从题中所给的条件来正确判断充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条 选择、填空、解答都有可能出现，多以选择题的形式来考查，选出正确的选项，或者以填空题的形式来求参数的范围 知识点 命题和充要条件 知识总结 1．命题的概念 (1)能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． (2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为互逆命题． 2．充分必要条件 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 典例先行 【典例1】（24-25高二上·江西抚州·期中）下列命题中，假命题是（    ） A．平面内三角形内角和为 B．平面内菱形四条边相等 C．向量就是有向线段 D．是无理数 【答案】C 【分析】利用平面几何的知识判断AB，利用向量的定义判断C，利用与无理数的定义判断D，从而得解. 【详解】对于A，平面内三角形内角和显然为，故A为真命题； 对于B，由菱形的性质可知，平面内菱形的四条边相等，故B为真命题； 对于C，向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，故C是假命题； 对于D，显然是无理数，故D为真命题； 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·四川巴中·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件与必要条件的概念运算即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则，必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故选：C. 【典例3】（25-26高二上·四川成都·期中）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则且， 所以成立，故充分性成立， 若，则或，则不一定有， 故必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【典例4】（25-26高一下·江苏徐州·期末）已知直线：，：，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两条直线平行的条件和充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】已知直线：，：， 若，直线：，：， 因为，所以，充分性成立， 若，则，解得或， 当时，直线：，化简得， ：， 此时两直线重合，不符合题意， 所以若，则，必要性成立， 则“”是“”的充要条件， 故选：C. 【典例5】（24-25高二下·江苏镇江·期末）在中“”是“”的什么条件（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据必要不充分条件的判定即可解得. 【详解】若在中，则， 如在中，则或. 所以在中“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 解题技巧 1．判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．． 2．充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型.． 即时训练（一）命题 【即时训练1】（24-25高二上·江苏·期中）下列语句中，能构成命题的是（   ） A．请帮我解一下这道数学题 B．明天会下雨吗？ C．方程有实数根 D．求证：方程没有实数根 【答案】C 【分析】依据命题的定义，逐个判断选项即可求解. 【详解】在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. C选项是可以判断真假的陈述句，是命题. A、B、D选项均不是可以判断真假的陈述句，都不是命题. 故选：C. 【即时训练2】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列说法正确的命题是（    ） A．非常大的全体实数能构成集合 B．空集是任何一个集合的真子集 C．集合用列举法表示为 D．集合中只有一个元素 【答案】D 【分析】根据集合的概念判定即可解得. 【详解】选项A：“非常大的全体实数能构成集合”中描述对象不确定，错误. 选项B：空集是任何一个集合的真子集，但空集不是本身的真子集，错误. 选项C：集合用列举法表示为，错误. 选项D：集合中只有一个元素，正确. 故选：D. 【即时训练3】（24-25高二上·河北石家庄·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．0是空集的元素 B．0是自然数集N的元素 C．对于任意集合A，都有 D． 【答案】A 【分析】根据空集、自然数集的概念，以及集合交集、并集的概念和性质，结合题意，即可判断求解． 【详解】对于A，空集中没有元素，所以0不是空集的元素，是假命题，故选项A符合题意； 对于B，因为0是自然数，所以0是自然数集N的元素，是真命题，故选项B不符合题意； 对于C，因为空集是任何集合的子集，所以对于任意集合A，都有，是真命题，故选项C不符合题意； 对于D，根据交集的性质，可得，是真命题，故选项D不符合题意； 故选：A． 即时训练（二）充要条件与集合的结合 【即时训练1】（25-26高一上·河北石家庄·期中）设，为两个集合，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系与交集运算，结合充要条件的判定求解即可； 【详解】当时，成立，故充分性成立； 当时，成立，故必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件； 故选：C 【即时训练2】（25-26高二上·山东·期中）已知，则“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据有理数集以及充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】若，则必为有理数，因此，必要性成立， 若，未必有，例如，当时，，但， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【即时训练3】（24-25高二下·广东·期末）已知集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，结合集合间的包含关系判断. 【详解】若，则，所以有； 反之，若，则或，即或. 因此可以推出，但不一定能推出， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【即时训练4】（25-26高二上·江西·期末）已知条件，条件，且是的必要条件，则的取值集合是______． 【答案】. 【分析】由，解得，对分类讨论，利用是的必要条件，可得的值． 【详解】由，解得或， 所以即集合， 由，可得， 因为是的必要条件，所以， 即或， 解得或． 则的取值集合是， 故答案为：. 【即时训练5】（23-24高二上·四川南充·期末）已知集合,或 (1)若,求. (2)若“”是“”的充分条件,求的取值范围． 【答案】(1)或. (2)． 【分析】（）由交并补的混合运算即可得解. （）由充分条件的定义及子集的定义即可得解. 【详解】（1）若,则，或. 所以或. （2）”是“”的充分条件. ． 由题意知. 或. 解得:或. 所以的取值范围是. 即时训练（三）充要条件不等式的结合 【即时训练1】（25-26高二下·四川达州·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为等价于或， 又或，但或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【即时训练2】（25-26高二下·山西朔州·期中）“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的定义分析求解即可. 【详解】若且，则，充分性成立； 若，取，满足，但，故必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【即时训练3】（25-26高二下·江苏徐州·期末）若：，：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解含绝对值的不等式，可得，再根据充要条件的概念可判断. 【详解】由可得： ，解得，即， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 【即时训练4】（25-26高二上·江苏徐州·期末）“”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若且，根据不等式的基本性质可得，充分性成立， 令，，，，此时，，满足， 但，即由不能推出且，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 【即时训练5】（25-26高二上·江苏南京·期中）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分、充分不必要、充要条件的判定结合一元二次不等式和绝对值不等式的解法求解. 【详解】解不等式即： 解得或. 解不等式是，， ， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 即时训练（四）充要条件与函数的结合 【即时训练1】（25-26高一上·江苏·期中）“”是“函数在区间上是减函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次函数的图像及性质，结合充分条件和必要条件的定义，分析求解即可. 【详解】函数，图像开口朝上，对称轴为， 因为函数在区间上是减函数， 所以，解得：， 当时，一定有，即充分性成立， 但当时，不一定有，即必要性不成立， 所以“”是“函数在区间上是减函数”的充分不必要条件， 故选：A. 【即时训练2】（25-26高三上·山东济宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，结合对数函数的单调性，及充分性、必要性的概念，即可求解. 【详解】因为，即，所以，解得， 若，则不一定成立，故不一定成立，故充分性不成立； 若，则，故一定成立，故必要性成立； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【即时训练3】（25-26高三上·广东·阶段检测）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为在上单调递减， 由，可得， 所以，且， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 【即时训练4】（25-26高二上·四川巴中·期中）“”是“”的___________条件. 【答案】充要 【分析】根据对数函数的单调性和充要条件的概念分析即可. 【详解】已知在上是增函数， 所以若，则，故充分性成立， 若，则，故必要性成立， 所以“”是“”的充要条件， 故答案为：充要. 即时训练（五）充要条件与三角的结合 【即时训练1】（25-26高一下·湖北黄冈·期末）若命题：，命题：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要不充分条件的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为，则或， 因为，则；所以是的必要不充分条件. 故选：B. 【即时训练2】（24-25高三下·山东·职教高考）已知，则“”是“”的什么条件（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角形函数的诱导公式进行化简，再根据充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】根据诱导公式，. 所以，“”可以推出“”. “”也可以推出“”. 故已知，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 【即时训练3】（25-26高一上·浙江·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据，，结合充要条件的概念可得结果. 【详解】若，则，即； 若，则，所以，即. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【即时训练4】（23-24高二上·全国·期中）角的终边在第一象限是的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件以及象限角求解即可. 【详解】若角的终边在第一象限，则，即充分性成立； 若，则角的终边在第一象限或第三象限角，即必要性不成立； 所以前者是后者的充分不必要条件. 故选：A. 【即时训练5】（23-24高二上·全国·期中）在三角形中，是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据余弦函数的性质及充分条件与必要条件的概念判断． 【详解】已知在中，，， 因为在上是单调递减函数， 所以， 即是的充要条件， 故选：C． 即时训练（六）充要条件与直线和圆的结合 【即时训练1】（25-26高二下·山东烟台·期末）已知直线的倾斜角为，斜率为，那么“”是“”的（    ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角与斜率的对应关系，结合充分性和必要性的定义判断即可. 【详解】直线倾斜角的取值范围为，斜率. 充分性判断：若即， 当时，即，无法满足， 因此充分性不成立. 必要性判断：若，即，结合正切函数在的单调性， 可得，满足，因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【即时训练2】（25-26高二上·四川自贡·期末）已知直线与圆，“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义以及直线和圆的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径. 当时，直线. 圆心到直线的距离为：， 因为，所以直线与圆相切，充分性成立. 若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径， 即， 即，解得或，必要性不成立. 因此，“”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 故选：A. 【即时训练3】（25-26高三上·江苏·期中）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行的条件及充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，有， 可化为，解得或， 时，直线，直线，满足； 时，直线，直线，满足， 所以等价于或. ∴由可推出；由不能推出， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 【即时训练4】（25-26高三上·山东烟台·期末）“”是“圆的半径为5”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据圆的方程求出半径为5时的值，再结合充分条件、必要条件的定义判断逻辑关系. 【详解】已知圆的方程为， 可得，可知该圆的半径， 已知圆的半径为，则，解得. 当时，半径，所以由可以推出圆的半径为，充分性成立； 当圆的半径为时，，并不一定只能推出，所以必要性不成立； 综上，是圆的半径为的充分不必要条件. 故选：A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $