复习讲义（集合）人教版-2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》（原卷版+解析版）

编写说明：2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 基础模块（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义-集合 核心考点 复习目标 常考题型 元素与集合的关系、集合与集合的关系 掌握元素与集合的关系用属于和不属于来表示；集合与集合的关系用包含和不包含来表示 选择题中常考察元素与集合的关系、集合与集合的关系之间的属于与包含的符号表示 集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性 理解集合元素的三大特征，会用集合元素的互异性特征求题中的参数 选择题或者填空题中根据集合元素的互异性求题中的参数 集合的概念及表示 理解集合的概念，掌握集合常用的表示方法：列举法和描述法，掌握常用数集及符号表示 选择题中考查集合的正确表示方法，集合的描述法是常考的点 集合之间的关系 理解集合的子集、真子集的概念，会求集合的子集、真子集、非空真子集等的个数 选择题中根据集合之间的关系考查集合的子集和真子集等的个数或者求集合元素中的参数等 集合的运算 理解集合交、并、补的概念，会求集合的交集、补集 并集的运算 选择、填空、解答题中都会考查集合的运算、解答题中常会考查通过集合的运算来求题中的参数问题 充要条件 理解充要条件的概念、能够从题中所给的条件来正确判断充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件 多以选择题的形式来考查，选出正确的选项，或者以填空题的形式来求参数的范围 知识点一 集合的概念及表示 知识总结 1．集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a ∉A “a不属于A” 3．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 4．集合的表示方法　 (1)列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 典例先行 【典例1】（25-26高一上·江西宜春·期中）以下元素的全体能构成集合的是（   ） A．某校所有高个子男生 B．的近似值 C．太阳系八大行星 D．高一课本中的难题 【典例2】（25-26高一上·江西·期中）已知A是非空集合，为空集，则下列命题中错误的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【典例4】（24-25高一上·湖北襄阳·期末）已知集合，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 解题技巧 1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 2．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“，⊆”表示集合与集合间的包含关系．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征． 3．用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． 4. 集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 即时训练 【即时训练1】（25-26高一上·四川成都·期中）下列各组对象中能构成集合（    ） A．小于10的所有自然数 B．数学成绩比较好的同学 C．运行速度快的计算机 D．充分接近0的实数 【即时训练2】（24-25高二下·山东菏泽·期末）下列关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【即时训练3】（25-26高一上·江西·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练4】（24-25高二下·广东·期末）已知集合，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【即时训练5】（24-25高二下·山东菏泽·期末）设集合，若集合A和集合B中元素都相同，则＝（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【即时训练6】（24-25高一上·湖北·期末）若集合，，且，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 知识点二 集合之间的关系 知识总结 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 典例先行 【典例1】（25-26高一上·江西·期中）集合的所有子集的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知集合，，若，则实数m等于（   ） A． B．1 C．3 D．0 【典例3】（25-26高一上·广西河池·期中）满足关系的集合有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例4】（24-25高二下·山东菏泽·期末）集合A＝且的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3． 解题技巧 1．要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集． 2．若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2． 3. 写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……，一一写出，保证不重不漏． 4.给出下列条件： ①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素； ②集合B至少存在一个元素不在集合A中； ③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素， 如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A⊆B）； 如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（AB）； 如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）. 即时训练 【即时训练1】（24-25高一上·四川·期末）集合的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．3 【即时训练2】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合，则（   ） A．A B． C． D． 【即时训练3】（25-26高一上·广西河池·期中）设，都是实数，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【即时训练4】（23-24高一上·浙江湖州·期中）若集合，，且，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 知识点三 集合的运算 知识总结 1．交集 (1)自然语言： 集合A与B的交集是所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A交B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 2．并集 (1)自然语言： 集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A并B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 3．补集 (1)全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. (2)补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁UA 符号语言 ∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} 图形语言 典例先行 【典例1】（25-26高一上·广西河池·期中）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江西·期中）如图，设全集为U，则下列表示阴影部分的集合是（   ） A． B． B． C． D． 【典例3】（24-25高一上·山东济南·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 1．求两个集合的交集时，首先要搞清集合A、B的代表元素是什么，把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式，把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． 2．求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍． 4．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 即时训练 【即时训练1】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练2】（24-25高二下·四川南充·期中）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练3】（25-26高一上·广西河池·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【即时训练4】（25-26高一上·江西·期中）设全集，集合，，则________． 【即时训练5】（25-26高一上·江西宜春·期中）设全集，,． (1)求和； (2)求，． 【即时训练6】（25-26高一上·河南周口·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 知识点四 充要条件 知识总结 1．命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2．充分必要条件 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 典例先行 【典例1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列说法正确的命题是（    ） A．非常大的全体实数能构成集合 B．空集是任何一个集合的真子集 C．集合用列举法表示为 D．集合中只有一个元素 【典例2】（25-26高一上·河北石家庄·期中）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【典例3】（25-26高一上·四川自贡·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则 的取值范围是  （       ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26高一上·河北石家庄·期中）设，为两个集合，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 解题技巧 1．判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．． 2．充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型.． 即时训练 【即时训练1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．0是空集的元素 B．0是自然数集N的元素 C．对于任意集合A，都有 D． 【即时训练2】（25-26高一上·山东临沂·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练3】（25-26高一上·福建福州·期中）若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【即时训练4】（25-26高一上·江苏扬州·期中）对于任意的，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【即时训练5】（25-26高一下·江苏徐州·期末）对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“”是“”的必要不充分条件； ④“是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件． 其中真命题的序号为____________． 【即时训练6】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 基础模块（上册）》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高一上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义-集合 核心考点 复习目标 常考题型 元素与集合的关系、集合与集合的关系 掌握元素与集合的关系用属于和不属于来表示；集合与集合的关系用包含和不包含来表示 选择题中常考察元素与集合的关系、集合与集合的关系之间的属于与包含的符号表示 集合元素的三大特征：确定性、互异性、无序性 理解集合元素的三大特征，会用集合元素的互异性特征求题中的参数 选择题或者填空题中根据集合元素的互异性求题中的参数 集合的概念及表示 理解集合的概念，掌握集合常用的表示方法：列举法和描述法，掌握常用数集及符号表示 选择题中考查集合的正确表示方法，集合的描述法是常考的点 集合之间的关系 理解集合的子集、真子集的概念，会求集合的子集、真子集、非空真子集等的个数 选择题中根据集合之间的关系考查集合的子集和真子集等的个数或者求集合元素中的参数等 集合的运算 理解集合交、并、补的概念，会求集合的交集、补集 并集的运算 选择、填空、解答题中都会考查集合的运算、解答题中常会考查通过集合的运算来求题中的参数问题 充要条件 理解充要条件的概念、能够从题中所给的条件来正确判断充分必要条件、充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件 多以选择题的形式来考查，选出正确的选项，或者以填空题的形式来求参数的范围 知识点一 集合的概念及表示 知识总结 1．集合的概念 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示． (3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的． (4)集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的． 2．元素与集合的关系 知识点 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A a ∉A “a不属于A” 3．常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 4．集合的表示方法　 (1)列举法 把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． (2)描述法 一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法． 典例先行 【典例1】（25-26高一上·江西宜春·期中）以下元素的全体能构成集合的是（   ） A．某校所有高个子男生 B．的近似值 C．太阳系八大行星 D．高一课本中的难题 【答案】C 【分析】根据集合的概念判断. 【详解】选项A：“高个子”没有明确的标准，不满足元素的确定性，所以不能构成集合． 选项B：“的近似值”没有明确精确到多少，不满足元素的确定性，不能构成集合． 选项C：太阳系八大行星是明确确定的，满足元素的确定性，可以构成集合． 选项D：“难题”没有明确的界定，不满足元素的确定性，不能构成集合． 故选：C． 【典例2】（25-26高一上·江西·期中）已知A是非空集合，为空集，则下列命题中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集，并集，子集的概念结合空集的性质逐个分析即可. 【详解】空集符号不一定是集合中的元素，故A错误， ，空集是任何集合的子集，故B正确， ，故C正确， ，故D正确， 故选：A. 【典例3】（25-26高一上·广西河池·期中）已知集合，，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的概念运算即可解答. 【详解】已知集合，， 则，即， 解得， 所以， 【典例4】（24-25高一上·湖北襄阳·期末）已知集合，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】已知，可得或，解得的值. 【详解】已知集合，， 可得或， 所以或. 故选：D. 解题技巧 1．判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合． 2．“∈，∉”表示元素与集合间的从属关系；“，⊆”表示集合与集合间的包含关系．判断一个元素是不是某个集合的元素，关键是判断这个元素是否具有这个集合中元素的共同特征． 3．用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合． 4. 集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．解决此类求参问题的通法是根据元素的确定性建立分类讨论的标准，求得参数的值，然后将参数值代入检验是否满足集合中元素的互异性． 即时训练 【即时训练1】（25-26高一上·四川成都·期中）下列各组对象中能构成集合（    ） A．小于10的所有自然数 B．数学成绩比较好的同学 C．运行速度快的计算机 D．充分接近0的实数 【答案】A 【分析】根据集合中的元素具有确定性判断选项即可. 【详解】A选项，小于10的所有自然数，具有确定性，能构成集合； B选项，数学成绩比较好的同学，不具有确定性，不能构成集合； C选项，运行速度快的计算机，不具有确定性，不能构成集合； D选项，充分接近0的实数，不具有确定性，不能构成集合. 故选：A. 【即时训练2】（24-25高二下·山东菏泽·期末）下列关系式中，正确的个数是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用元素与集合，集合与集合的关系判断即可求解. 【详解】由题可知，所以②⑤正确， 正确的有个. 故选：C. 【即时训练3】（25-26高一上·江西·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集的定义求解. 【详解】联立方程组， 消去得，， 即，解得或， 当时，代入，可得， 当时，代入，可得， 所以由方程组解得或， 所以， 故选：D. 【即时训练4】（24-25高二下·广东·期末）已知集合，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集与并集的概念结合集合之间的符号表示逐项分析即可. 【详解】已知集合，， 则，故B正确， 且，所以，故A错误， 且，故CD错误. 故选：B. 【即时训练5】（24-25高二下·山东菏泽·期末）设集合，若集合A和集合B中元素都相同，则＝（   ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据集合中的元素相等，则元素一一对应相等即可，再结合元素的互异性求解即可. 【详解】因为集合，且集合A和集合B中元素都相同， 所以当时，则有，此时不满足元素的互异性， 当时，则有，解得或（舍）， 此时满足题意， 所以. 故选：B. 【即时训练6】（24-25高一上·湖北·期末）若集合，，且，则实数a的值为（   ） A．0 B．1 C．1或3 D．3 【答案】D 【分析】根据集合的互异性求解即可. 【详解】因为集合的元素有，集合的元素有， 又因为，所以两集合的元素相同， 所以，即. 故选：D. 知识点二 集合之间的关系 知识总结 1．子集、真子集、集合相等的相关概念 定义 符号表示 图形表示 子集 如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集 A⊆B (或B⊇A) 真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 AB (或BA) 集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 A＝B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 结论：集合{a1，a2，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2．Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 3．子集的性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A. (2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C. 4．空集 (1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅. (2)规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 典例先行 【典例1】（25-26高一上·江西·期中）集合的所有子集的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据含个元素的集合中子集的个数为个解答即可. 【详解】集合中有2个元素， 所以该集合所有子集的个数为个， 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·河南驻马店·期中）已知集合，，若，则实数m等于（   ） A． B．1 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据题意结合集合的包含关系即可得解. 【详解】集合，，若， 则， 故选：. 【典例3】（25-26高一上·广西河池·期中）满足关系的集合有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据包含与真包含的概念逐个列出集合即可解答. 【详解】若满足关系， 则集合可能为，，共3个， 故选：C. 【典例4】（24-25高二下·山东菏泽·期末）集合A＝且的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3． 【答案】B 【分析】根据真子集的个数为（表示集合中元素的个数）进行计算即可. 【详解】因为集合A＝且， 集合有个元素，所以真子集的个数为个. 故选：B. 解题技巧 1．要熟练掌握R、Q、Z、N、N*表示的数集． 2．若集合A中含有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2． 3. 写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：∅和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集，……，一一写出，保证不重不漏． 4.给出下列条件： ①集合A中任何一个元素都是集合B中的元素； ②集合B至少存在一个元素不在集合A中； ③集合B中任何一个元素都是集合A中的元素， 如果集合A、B满足①，则A是B的子集（A⊆B）； 如果集合A、B满足①②，则A是B的真子集（AB）； 如果集合A、B满足①③，则A与B是相等的集合（A＝B）. 即时训练 【即时训练1】（24-25高一上·四川·期末）集合的子集个数是（    ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，结合子集的定义及集合中元素的个数，即可求解. 【详解】因为集合中含有3个元素， 所以集合A的子集的个数为个. 故选：A. 【即时训练2】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合，则（   ） A．A B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的真包含关系求解即可. 【详解】因为集合，集合， 所以. 故选：B. 【即时训练3】（25-26高一上·广西河池·期中）设，都是实数，则集合与集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的包含关系即可解答. 【详解】已知集合， ，所以，且，故A正确， 故选：A. 【即时训练4】（23-24高一上·浙江湖州·期中）若集合，，且，则等于（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据集合相等元素相等，得到方程的根为，再根据韦达定理求得参数，即可求解. 【详解】因为集合，，且， 所以的解为， 根据韦达定理可知，，，解得， 所以，. 故选：C. 知识点三 集合的运算 知识总结 1．交集 (1)自然语言： 集合A与B的交集是所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A交B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 2．并集 (1)自然语言： 集合A与B的并集是所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，记作（读作“A并B”）. (2)符号语言： (3)图形语言 3．补集 (1)全集：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. (2)补集 自然语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 ∁UA 符号语言 ∁UA＝ {x|x∈U且x∉A} 图形语言 典例先行 【典例1】（25-26高一上·广西河池·期中）已知全集，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据补集的定义求解. 【详解】已知全集， 集合， 所以， 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·江西·期中）如图，设全集为U，则下列表示阴影部分的集合是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过集合运算的定义，结合图中信息确定其对应的集合. 【详解】由图可知，在全集中，除去所覆盖的区域，剩下的部分就是阴影部分， 所以，阴影部分所表示的集合是在全集中的补集，即. 故选：C. 【典例3】（24-25高一上·山东济南·期中）若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据集合交集的定义运算即可解得. 【分析】由题，， 则. 故选：C. 【典例4】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知全集，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的混合运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 又，所以. 故选：D. 解题技巧 1．求两个集合的交集时，首先要搞清集合A、B的代表元素是什么，把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B”的形式，把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为∅)． 2．求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍． 4．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解，另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 即时训练 【即时训练1】（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 【即时训练2】（24-25高二下·四川南充·期中）设全集，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据补集、交集的概念及运算可求解. 【详解】因为全集，集合，所以， 所以. 故选：A 【即时训练3】（25-26高一上·广西河池·期中）已知全集，集合，，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合交集及补集的定义即可得解. 【详解】全集，集合，， 或，则或， 故选：. 【即时训练4】（25-26高一上·江西·期中）设全集，集合，，则________． 【答案】 【分析】根据补集与交集的定义求解. 【详解】已知全集，集合， 所以或， 又集合， 所以. 故答案为：. 【即时训练5】（25-26高一上·江西宜春·期中）设全集，,． (1)求和； (2)求，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将集合用列举法表示出来，再结合交集与并集的定义计算即可. （2）根据交并补的定义求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，. （2）因为， 所以，， ，. 【即时训练6】（25-26高一上·河南周口·期中）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合交集的定义即可得解. （）分类讨论和的情况，结合子集的定义即可得解. 【详解】（1）集合，， 当时，， 则. （2）由题意可知，， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 知识点四 充要条件 知识总结 1．命题 能判断真假的陈述句称为命题．判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地，对于形如“如果 p，那么 q”的命题， 我们称 p 为命题的条件， 简称条件；称 q 为命题的结论，简称结论． 2．充分必要条件 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 典例先行 【典例1】（24-25高一上·山东菏泽·期中）下列说法正确的命题是（    ） A．非常大的全体实数能构成集合 B．空集是任何一个集合的真子集 C．集合用列举法表示为 D．集合中只有一个元素 【答案】D 【分析】根据集合的概念判定即可解得. 【详解】选项A：“非常大的全体实数能构成集合”中描述对象不确定，错误. 选项B：空集是任何一个集合的真子集，但空集不是本身的真子集，错误. 选项C：集合用列举法表示为，错误. 选项D：集合中只有一个元素，正确. 故选：D. 【典例2】（25-26高一上·河北石家庄·期中）“”是“”的（   ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据充要条件的定义可判断结果. 【详解】若，则，即； 取，满足，此时，即， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 【典例3】（25-26高一上·四川自贡·期中）若“”是“或”的充分不必要条件，则 的取值范围是  （       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设或，根据充分不必要的定义可得集合是集合B的真子集，利用集合与集合之间的关系即可求解. 【详解】设或， 因为“”是“或”的充分不必要条件， 所以集合是集合B的真子集，则， 所以 的取值范围是 . 故选：B. 【典例4】（25-26高一上·河北石家庄·期中）设，为两个集合，则“”是“”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系与交集运算，结合充要条件的判定求解即可； 【详解】当时，成立，故充分性成立； 当时，成立，故必要性成立； 综上可知，“”是“”的充要条件； 故选：C 解题技巧 1．判断一个命题的真假，首先要分清命题的条件和结论．对涉及数学概念的命题真假的判断，要以数学定义、定理为依据(数学定义、定理都是命题，且都是真命题)，从概念的本身入手进行判断．． 2．充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断； 用集合法解决充要条件的问题时，写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断： ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若AB，则p是q的充分不必要条件； ③若B⊆A，则p是q的必要条件； ④若BA，则p是q的必要不充分条件； ⑤若A＝B，则p是q的充要条件； ⑥若AB且BA，则p是q的既不充分也不必要条件． 3．充要条件一般会和其他知识点综合来考察，这就要求我们既要会进行充要条件的判断，也要能够很好的掌握其他知识点，做到充要条件和其他知识点的熟练运用才能把这类题型做正确，这类题型一般难度不大，属于好拿分的题型.． 即时训练 【即时训练1】（24-25高二上·河北石家庄·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．0是空集的元素 B．0是自然数集N的元素 C．对于任意集合A，都有 D． 【答案】A 【分析】根据空集、自然数集的概念，以及集合交集、并集的概念和性质，结合题意，即可判断求解． 【详解】对于A，空集中没有元素，所以0不是空集的元素，是假命题，故选项A符合题意； 对于B，因为0是自然数，所以0是自然数集N的元素，是真命题，故选项B不符合题意； 对于C，因为空集是任何集合的子集，所以对于任意集合A，都有，是真命题，故选项C不符合题意； 对于D，根据交集的性质，可得，是真命题，故选项D不符合题意； 故选：A． 【即时训练2】（25-26高一上·山东临沂·期中）设，则“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，不一定有且， 例，故充分性不成立， 若且，则，必要性成立， 所以“”是“且”的必要不充分条件， 故选：B. 【即时训练3】（25-26高一上·福建福州·期中）若，则“”是“”的（    ）条件． A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】若，则，充分性成立； 若成立，则或，不一定有，必要性不成立， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【即时训练4】（25-26高一上·江苏扬州·期中）对于任意的，“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】若“”，则或，无法推出，即充分性不成立； 若，则，进而，即必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 【即时训练5】（25-26高一下·江苏徐州·期末）对任意实数，，给出下列命题： ①“”是“”的充要条件； ②“”是“”的充分不必要条件； ③“”是“”的必要不充分条件； ④“是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件． 其中真命题的序号为____________． 【答案】③ 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，时，，必要性不成立，故①错误， 若，时，则，充分性不成立，故②错误， 若，当时，，充分性不成立， 若，则，必要性成立，故③正确， 若是无理数，则是无理数，必要性成立，故④错误， 故答案为：③. 【即时训练6】（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1),或 (2) 【分析】(1)根据交集、并集、补集的概念及运算可求解； (2)根据充分条件的概念，可得，再利用子集的概念列不等式组可求解. 【详解】（1）当时，，则或， 所以； 或或. （2）由题可得， 则，解得， 所以实数的取值范围为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $