专题02 相似三角形模型之母子型（共边共角模型）（几何模型讲义）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学讲义以“母子型相似三角形”为核心，通过模型结构图系统梳理知识体系，将直角母子型（射影定理模型）与斜母子型分类解析，结合证明过程呈现“公共角+一组等角”的核心特征，清晰展现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计与方法指导创新，A组基础题巩固射影定理计算，B组提升题融入圆与函数综合，C组压轴题挑战复杂图形相似证明，配合“母子共角找公边”口诀培养推理能力与模型意识，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供实用资源。

专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型相似分直角母子型（射影定理模型）与斜母子型，核心特征是两三角形共公共角，再有一组等角即可证相似。直角母子型是 Rt△斜边上作高，得三个三角形两两相似，直接运用射影定理进行线段计算。斜母子型依靠公共角 + 一组等角证相似，多用于证明线段乘积式。 中考常考线段求值、比例与等积式证明，常融入圆、二次函数、几何大题。解题关键：抓住公共角，识别模型，把乘积式转化为比例式。易错点：混淆射影定理对应线段，找错相似对应边。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 母子型相似最早源自古希腊几何，核心的直角母子型就是著名的**射影定理**，记载于欧几里得《几何原本》。书中证明：直角三角形斜边上的高，把原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小三角形都和原三角形相似，因大三角形像母亲，两个小三角形如同孩子，故称母子型。 广义斜母子型是射影定理模型的拓展，保留**公共顶角**这一核心条件，不再局限直角，只要公共角外加一组相等角，两个三角形相似。 在平面几何发展中，母子型作为共角相似的典型代表，简化大量线段推导。后世将它单独归纳为几何模型，广泛用于几何证明。如今成为初中相似三角形核心模型，是等积式证明、线段计算的基础，也是圆、函数综合题的常用载体。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 【典例1】（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 【典例2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 【典例3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点是边上一点，且，若，，则的度数__________： 【典例4】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【典例5】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1．（2026·甘肃平凉·二模）如图，在矩形中，连接，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，，O是斜边的中点，D是边上的一点．若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 4．（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）如图，已知，且，，，则____． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 6．（2026·福建三明·三模）如图，中，是上一点，，，，求证：． 7．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 8．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． (2)如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 9．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 12．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 13．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 14．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 15．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点、分别在边、上，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 17．（2026·广西南宁·三模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 18．（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 19．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，分别延长，交于点，若，，则的长为______． 20．（2026·吉林·模拟预测）如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 21．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 【初步探究】 (1)如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 (2)如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 (3)在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 22．（2026·湖北武汉·模拟预测）在中，（），D为上一点，过点D作交于点E． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接，过点D作，若，连接和， ①求证：； ②若平分，，请直接写出的值（用含n的式子表示）． ∵平分， ∴， 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 25．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 26．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 27．（2026·辽宁锦州·三模）已知 ，点D，E分别在边上． (1)如图1，当 ， 时，连接，过点E作的垂线交于点F，垂足为G，若 且． ①求证：； ②判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，当 ，平分时，若 ， ，，求的长． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形重要模型之母子型（共边共角模型） 母子型相似分直角母子型（射影定理模型）与斜母子型，核心特征是两三角形共公共角，再有一组等角即可证相似。直角母子型是 Rt△斜边上作高，得三个三角形两两相似，直接运用射影定理进行线段计算。斜母子型依靠公共角 + 一组等角证相似，多用于证明线段乘积式。 中考常考线段求值、比例与等积式证明，常融入圆、二次函数、几何大题。解题关键：抓住公共角，识别模型，把乘积式转化为比例式。易错点：混淆射影定理对应线段，找错相似对应边。 模型来源 1 知识储备 2 例讲模型 2 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 2 易错点与方法总结 11 模型运用 12 A组（基础题） 12 B组（能力提升题） 17 C组（综合压轴题） 22 母子型相似最早源自古希腊几何，核心的直角母子型就是著名的**射影定理**，记载于欧几里得《几何原本》。书中证明：直角三角形斜边上的高，把原直角三角形分成两个小直角三角形，两个小三角形都和原三角形相似，因大三角形像母亲，两个小三角形如同孩子，故称母子型。 广义斜母子型是射影定理模型的拓展，保留**公共顶角**这一核心条件，不再局限直角，只要公共角外加一组相等角，两个三角形相似。 在平面几何发展中，母子型作为共角相似的典型代表，简化大量线段推导。后世将它单独归纳为几何模型，广泛用于几何证明。如今成为初中相似三角形核心模型，是等积式证明、线段计算的基础，也是圆、函数综合题的常用载体。 1）相似三角形判定定理：“AA”（两角对应相等，两三角形相似），“SAS”，“SSS”；重点掌握“AA”判定； 2）相似三角形对应边成比例，比例式转化等积式； 3）直角三角形两锐角互余，同角的余角相等； 4）勾股定理基础计算。 模型1.“母子型”模型（共边共角模型） 【模型提炼与证明】 “母子型”模型（共边共角模型）：（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。 图1 图2 图3 图4 1）“母子”模型（斜射影模型） 条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC. 证明：∵∠C=∠ABD，∠DAB=∠BAC，∴△ADB∽△BAC，∴，∴AB2＝AD·AC. 2）双垂直模型（射影模型） 条件：如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB； 结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 证明：∵∠ACB=90o，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°，∴∠B=∠ACD， ∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD·AB. 同理可证：BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 3）“母子”模型（变形） 条件：如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA； 证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠DBA=∠ACE，∵∠D=∠CAE，∴△ABD∽△ECA 4）共边模型 条件：如图1，在四边形中，对角线平分，，结论：； 证明：∵对角线平分，∴∠ABD=∠CBC， ∵，∴△ADB∽△DCB，∴，∴ 【模型运用】 子母相似 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、系统分组_加入顺序 【典例1】（25-26九年级上·江苏淮安·开学考试）如图所示，在中，、分别在、上，且，，则________． 【答案】2.5 【分析】证明，根据相似三角形的性质作答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例2】（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，在中，，，垂足为，，，那么的长是____． 【答案】2.4 【分析】先设参数表示、，利用得到线段比例关系，求出表达式，再由列方程求解参数，最后算出长度． 【详解】解：已知，设， ，， ，，， ， ， 由相似三角形对应边成比例： ， 代入，： ， 化简得， 解得， 又， 代入表达式：， ， ， ， ， ，把代入 ． 【典例3】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点是边上一点，且，若，，则的度数__________： 【答案】/75度 【分析】根据证明，进而得到，再结合三角形内角和定理求出，最后利用三角形外角性质求解，即可解题． 解题的关键在于证明． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ， ． 【典例4】（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 【典例5】（25-26八年级下·山东东营·期末）如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 (1)请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)对；对；错； (2)选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； (3)2 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； （2）证明：略； （3）解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 模型常见易错点 1）等积式写反，线段匹配出错 解决方案：口诀：公共边做平方项；先找哪条边是两个三角形公共边，公共边放在等式左边平方。不要死背公式，考场临时写相似比例再交叉相乘。 2）解答大题直接写射影定理等式，不证相似 错误：大题直接“由射影定理得xxx”，造成步骤扣分。 解决方案：选填直接用；解答题先写两组角相等，证明相似，再列出比例式，交叉相乘得到等积式。 3）强行套母子模型，没有公共角/没有一组等角 错误：图形看着像，角度条件不足直接套用乘积公式。 解决方案：母子相似前提：公共角 + 另外一组角相等，两个条件缺一不可；条件不足不能使用。 4）复杂图形找不到母子基本图 错误：图形里面有圆、四边形干扰，识别不出共边共角小三角形。 解决方案：圈出公共角，再寻找一组相等角；用笔把两个相似小三角形描出来，剥离背景图形。 5）分不清普通母子和射影母子条件 解决方案：射影定理必须同时满足两个条件：直角三角形 + 斜边作高；普通母子只需要公共角+一组等角。 解题方法总结 普通母子型（共边共角）解题步骤 1）识图：找到两个三角形的公共角；寻找给出或者推导出来的另一组相等角；2）判定相似：利用AA证明相似；3）写出对应边比例式，确认公共边位置；4）交叉相乘得到等积式；5）代入已知线段数值求解未知边长。 直角射影母子解题步骤 1）标记直角，垂直条件，推导两组角相等（同角的余角相等）；2） AA证明两组三角形相似；3）列比例，交叉相乘写出等积等式；4）结合勾股定理完成计算。 口诀：母子共角找公边，一组等角证相似；公边平方等积现，射影直角加高现；选填可速算，大题证相似。 1．（2026·甘肃平凉·二模）如图，在矩形中，连接，过点作，交的延长线于点，若，，则的长为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用列比例关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即：， 解得：． 2．（2026·河南周口·二模）如图，在中，，，，O是斜边的中点，D是边上的一点．若，则的值为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，从而，由得到，即有，从而可得，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：连接，    ∵在中，O是斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ，即， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）如图，在中，，，是的中点，是上一点，已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件可求，，然后证明，得出，即可求解． 【详解】解：∵是的中点，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ∴． 4．（25-26九年级下·广东云浮·阶段检测）如图，已知，且，，，则____． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质得到，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ． 5．（25-26八年级下·上海·阶段检测）已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 6．（2026·福建三明·三模）如图，中，是上一点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】由题意易得，则有，进而问题可求证． 【详解】略 7．（2026·浙江金华·二模）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴． (2) 【分析】（1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）【课本再现】 数学兴趣小组发现九年级数学上册课本上的这道题是个很好的探究素材（如下）． 如图①，中，是斜边上的高． 兴趣小组根据探究出来的相似三角形，分别写出三个结论：，，__________． (1)请补全上述结论，并选择其中一个进行证明． (2)如图②，在矩形中，连接，过点作于点，交边于点，且，若，请直接写出的长． 【答案】(1)； 解：∵中，是斜边上的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴； ∵，， ∴ ∴ ∴； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据题意得到，然后结合得到，即可得到，同理求解即可； （2）结合矩形的性质证明，可得，即可得出，然后由（1）可知，则此题可解． 【详解】（1）解：； 证明：略 （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即 ∴， 由（1）得，， ∴（负值舍去）． 9．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）如图，在中，点D，E分别为，边上的点，连接并延长交于点F，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)20． 【分析】（1）过点A作交BC于点M，根据平行线分线段成比例得到，，根据可知； （2）根据得到，由（1）得，根据得到，即可求出的长． 【详解】（1）证明：过点A作交BC于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得， ∵， ∴， ∴． 10．（25-26八年级下·吉林·期中）已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 12．（2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 13．（2026·四川泸州·中考真题）如图，在中，，点在上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设 ，利用等腰三角形性质和三角形外角性质求出 与 的关系，进而证得 ，利用相似三角形对应边成比例求出线段比，最后根据等高三角形面积比等于底边比求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ，， ，， ， ， 设，，则，， ， 即， 等式两边同时除以 ， 得：， 解得 （负值舍去）， 与 在 边上的高相等， ， ． 故选 B． 14．（2026·江苏南通·二模）如图，在中，，，，，垂足为，为的中点，与交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于，则，设为，由已知条件可得，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等即可得到关于的方程，解方程求出的值，利用即可得到的长． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设为，则，由勾股定理得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（2026·云南昆明·模拟预测）如图，点、分别在边、上，，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，可得，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 16．（25-26九年级上·江苏扬州·开学考试）如图，中，D为的中点，点E在上，且，要使以A、D、E为顶点的三角形与相似，则_____． 【答案】 或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质. 根据题意可知为公共角，要使以、、为顶点的三角形与相似，需分两种情况进行讨论：一是，二是. 利用线段中点的定义求出的长，再根据相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：点为的中点，， ， ， 要使以、、为顶点的三角形与相似， 分两种情况讨论： 当时， ， 即， 解得； 当时， ， 即， 解得， 综上所述，的长为或 ． 17．（2026·广西南宁·三模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点将线段分为两线段，，使得其中较长的一段 是全长与较短的一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为“黄金分割”数，把点称为线段的“黄金分割”点．如图，在中，已知，，若， 是边的两个“黄金分割”点，则的面积为_______． 【答案】 【分析】过点作于点 ，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据线段“黄金分割”点的定义得到，的长，求出的长，最后由三角形面积公式解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ， ，， ， 在中，， ， 是边的两个“黄金分割”点， ， ， ． 18．（2026·江西上饶·三模）如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 【答案】2，，3 【分析】分类讨论，，，，由相似三角形的性质分别求解． 【详解】解：①若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ②若， 则， ∴， ∴， ∴ ∴ ③若， ∴， ∴， ∴ ∴． 19．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，，，分别延长，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，过作于点，则，通过勾股定理，直角三角形的性质可求出，，，再证明是等边三角形，则有，得，然后证明，所以，求得，最后由线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2026·吉林·模拟预测）如图①，在中，，，．点在边上（点不与、重合），连接，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图②，当点是中点时． ①用圆规和无刻度的直尺，在图②中作出线段、，与交于点； ②求线段的长； (3)当线段被分成的两部分时，直接写出线段的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)①如图，、即为所求； ②1 (3)或 【分析】 （1）根据同角的余角相等进行证明即可； （2）①连接，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点M，分别以点C、M为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点D，交于点F； ②根据勾股定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据等积法求出，证明，得出，即可求出结果； （3）分两种情况：当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①略 ②∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： 设，则， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； 综上，的长为或． 21．（2026·河南开封·模拟预测）综合与实践 【初步探究】 (1)如图1，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O，则的度数为_____________，的值为_____________； 【类比探究】 (2)如图2，在中，，M为边上一点，N为边的中点，于点O．请根据题意补全图形（无需尺规作图），并仅就图2的情形，求的值； 【拓展延伸】 (3)在中，，M为边上一点，N为边的三等分点．将沿所在直线翻折，点C的对应点为，连接，．若，请直接写出的值． 【答案】(1) ；2 (2)补全图形： ； (3)的值为2或5 【分析】（1）先证明，再用三线合一得到，过点A作于点A，交的延长线于点P，，即可得到的值为2； （2）过点A作 于点A，交的延长线于点P，证明，得到，再证明，即可得到； （3）分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵N是的中点，， ， ， ， 如图，过点A作于点A，交的延长线于点P， 则， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：补全图形； 如图，过点A作 于点A，交的延长线于点P， ． ， ， 在和 中， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵， ∴， 由折叠的性质知， ∴， 由折叠的性质知， ， ， ， 根据四边形内角和可知，， ， ． 分别过点N，作的垂线，垂足分别为点P，Q， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 分两种情况：①当时，， ，， ， ， ． ②当时，， ， 同理， ． 综上可知，的值为2或5． 22．（2026·湖北武汉·模拟预测）在中，（），D为上一点，过点D作交于点E． (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），连接，过点D作，若，连接和， ①求证：； ②若平分，，请直接写出的值（用含n的式子表示）． 【答案】(1) 证明：， ， ， ； (2)①证明：， ， ， 又， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ； ② 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）①证明，推出，从而证明，得到，进而证明，由此得到，根据三角形外角性质得到结论； ②设、交于点M，根据角平分线得到，由，推出，进而得到，设，由，得，勾股定理求出，由，得，结合，得到，由此得到答案． 【详解】（1）略； （2）①略； ②设、交于点M， ∵平分， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，是边的中点，连接，作，垂足为E，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）得出，根据两角分别相等的两个三角形相似即可得证； （2）先证出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵是边的中点， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，即， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）． 24．（25-26八年级下·山东泰安·期末）解决下列问题： (1)如图1，在中，D为上一点，．求证：； (2)如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】(1)证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． (2)9 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 25．（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． (1)求的长； (2)若交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【详解】（1）解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； （2）， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 26．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴； (2)． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 27．（2026·辽宁锦州·三模）已知 ，点D，E分别在边上． (1)如图1，当 ， 时，连接，过点E作的垂线交于点F，垂足为G，若 且． ①求证：； ②判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，连接，当 ，平分时，若 ， ，，求的长． 【答案】(1)①证明：， ， ，． ， ． ． 又， ． ， ． ． ②． 理由：连接， ， ， ． ， ． ∴， ， ， ． ． ． 由（1）知 ， ． (2) 【分析】（1）①先根据互余关系得到，再由证明，即可求证； ②连接，先证明，则，再由可得，即可证明； （2）作 于H，设，导角证明，则设，则，，然后在中，运用勾股定理求解，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）①略；②略 （2）解：作 于H， 平分 ， ， ， 设， 则，，， ， ∵，， ， ∴设， ，， ， ， ， 中，有， 即， ． ． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $