第8卷 正、余弦定理（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统构建正余弦定理的方法体系与知识网络，培养推理意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|1表+3结论|对比呈现定理内容、变形及适用场景，提炼边角互化核心方法|从定理本质（公式）到变形应用，再到三角形性质，形成“概念-推理-应用”递进链| |真题精讲|8道近3年真题|分考点（正弦/余弦定理应用等）归纳解题步骤，强调公式选择与多解讨论|以真题为载体，对应考纲考点，体现“问题情境-定理应用-结论验证”思维过程| |举一反三|15题|通过变式训练强化“已知条件→定理选择→运算求解”流程|覆盖基础题型，巩固概念回顾与真题精讲中的方法迁移| |拓展提升|15题|引入综合应用题与实际情境题，提升复杂问题分析与模型构建能力|从单一应用到综合运用，对接升学命题趋势，发展数学应用意识|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 （1）∠A＋∠B＋∠C＝π. （2）在三角形中，大边对大角，大角对大边． （3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （4）sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C （5）∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【真题精讲】 考点01 正弦定理的应用 1.(2024·河北对口升学) 已知在中，，，，则________． 2.(2023·河北对口升学)在中，分别为的对边，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 3.（2020·河北对口升学） 已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则__________． 考点02 余弦定理的应用 4.（2026·河北对口升学）三角形三边满足，该三角形最大的内角是_______. 5.(2023·河北对口升学)在中，a、b、c分别为的对边，且满足则_______. 考点03 三角形形状的判断 6.(2021·河北对口升学)在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 考点04 正、余弦定理的综合应用 7.（2025·河北对口升学）记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）求. 8.(2022·河北对口升学)已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则_______________. 【举一反三】 1．在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．1 2．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 4．在中，角，，所对的边分别为，，，且．则角（   ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 6．已知的三个内角之比为，那么，对应的三边之比等于（    ） A． B． C． D． 7．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 8．在中，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．若三角形三条边满足 ，则三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 10．在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．在中，，，，则的面积为 . 12．在中，内角的对边分别，若，，，则 ． 13．在中，已知，，，则______． 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求： (1)b的值； (2)的面积. 15．已知在中，角的对边分别为且． (1)求； (2)求的大小及的面积． 【拓展提升】 一、选择题 1．在三角形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．在中，角所对的边分别为，若，则角等于（     ） A． B． C． D． 3．在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．在中，已知，则（   ） A． B． C． D．2 5．在中，，则（    ）． A．或 B． C． D．或 6．在中，，则边（    ） A． B． C． D． 7．在中，，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 8．（2026·河北对口升学联合体模拟）在中，若，，，则的最大角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 9．在中，若，则的形状为（   ）． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 10．如图所示，A、B是相距10海里的两个灯塔，某日在海上C处发生险情，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则C与A的距离为（精确到0.1海里）（   ） A．8.9海里 B．10.9海里 C．12.2海里 D．14.2海里 二、填空题 11．在中，，，则 ． 12．在中，，则最短边的边长等于 ． 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 . 三、解答题 14.（2026·山西对口升学）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 15．（2026·河北承德丰宁对口升学检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. （1）求B； （2）若的面积为，求c. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝　＝2R(其中R是△ABC外接圆的半径) a2＝ b2＋c2－2bccos A b2＝ a2＋c2－2accos B c2＝ a2＋b2－2abcos C 常见 变形 ①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ②sin A＝ 　，sin B＝ 　，sin C＝ 　 ③a：b：c＝ sin A：sin B：sin C ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B， asin C＝csin A cos A＝ 　 cos B＝ 　 cos C＝ 　 解决解 斜三角 形的问 题 (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求各角 (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 2.在△ABC中，常有以下结论 （1）∠A＋∠B＋∠C＝π. （2）在三角形中，大边对大角，大角对大边． （3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （4）sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C （5）∠A>∠B⇔a>b⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B． 3.三角形常用面积公式 (1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A. 【真题精讲】 考点01 正弦定理的应用 1.(2024·河北对口升学) 已知在中，，，，则________． 【答案】 【分析】利用同角关系式、正弦定理求值. 【详解】 故答案为：. 2.(2023·河北对口升学)在中，分别为的对边，，，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【分析】由正弦定理得的值，进而求得A，再由三角形内角和为，即可求得B. 【详解】由正弦定理可得，所以，解得， 因为，所以或，当时，， 当时，. 故选：B. 3.（2020·河北对口升学） 已知，，和a，b，c分别为的3个内角及其对边，若，则__________． 【答案】 【详解】由题可知，所以由正弦定理得， 所以，即，又因为为的三个内角，即，故是等边三角形，所以. 故答案为： 考点02 余弦定理的应用 4.（2026·河北对口升学）三角形三边满足，该三角形最大的内角是_______. 【答案】 【分析】根据比例设参数的方法求出，结合三角形的性质得到最大角为，利用余弦定理即可得解. 【详解】三角形三边满足， 设， 则， 所以， ， ， 所以最大边为，则该三角形最大的内角为， ， 因为，所以， 则该三角形最大的内角为， 故答案为：. 5.(2023·河北对口升学)在中，a、b、c分别为的对边，且满足则_______. 【答案】 【分析】利用余弦定理表示出，将已知等式代入计算求出的值，由∠A是的内角，利用特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】因为即所以 因为∠A是的内角，所以. 故答案为：. 考点03 三角形形状的判断 6.(2021·河北对口升学)在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即，故， 因为，且属于三角形内角，所以，所以或， 解得或，所以为等腰或直角三角形. 故选：C 考点04 正、余弦定理的综合应用 7.（2025·河北对口升学）记的内角的对边分别为，已知. （1）求角； （2）求. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（）根据题意结合正弦定理得出即可得解. （）根据余弦定理求出，代入正弦定理公式即可得解. 【详解】(1)的内角的对边分别为， 由正弦定理可知，， 由题意可知，所以， 因为，则当时，此时（舍）； 当时，， 综上所述，. （2）因为，，， 由余弦定理可知，， 整理可得，， 解得或（舍）， 由正弦定理可知，，解得. 8.(2022·河北对口升学)已知三角形的三个内角为A，B，C，若，则_______________. 【答案】 【分析】根据已知可以得到三条边的比例关系，再利用余弦定理即可求解. 【详解】因为， 所以，可设 利用余弦定理： . 故答案： 【举一反三】 1．在中，已知，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求得. 【详解】在中，因为，，， 由正弦定理可得. 故选：C. 2．在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理得，∴. 故选：B. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，， ，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，， ，所以，解得. 故选：B. 4．在中，角，，所对的边分别为，，，且．则角（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正弦定理边化角，即可求解. 【详解】因为， 根据正弦定理边角互化，得到，即， 又，则，则，显然， 所以，，得到. 故选：B. 5．在中，，，，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理，同角三角函数的平方关系以及三角形面积公式计算即可求解. 【详解】因为，，， 所以在中，由余弦定理得， . 因为在中，， 所以， 所以. 故选：B. 6．已知的三个内角之比为，那么，对应的三边之比等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出的度数，利用正弦定理即可得解. 【详解】因为，， 所以，，， 由正弦定理可知， . 故选：. 7．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边角互换结合余弦定理可得答案. 【详解】因，则，则. 故选：A 8．在中，若，则（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据正弦定理进行边角互化即可得解. 【详解】在中，若， 由正弦定理得， 因为，所以≠， 所以，即， 因为，所以或， 故选：D. 9．若三角形三条边满足 ，则三角形的形状是（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】由题意得，设，根据余弦定理求出的值即可判断. 【详解】三角形三条边满足 ， 可得，角为最大角， 设， 所以， 所以角为钝角，且， 所以三角形的形状是钝角三角形. 故选：C. 10．在中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易知，在和中分别利用余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，得. 故选：C 11．在中，，，，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据题意得出是等腰三角形，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】在中，，则是等腰三角形，且， 则， 故答案为：. 12．在中，内角的对边分别，若，，，则 ． 【答案】 【分析】根据余弦定理结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】因为在中，内角的对边分别，且，，， 由余弦定理可知， 因为，所以， 故答案为：. 13．在中，已知，，，则______． 【答案】 【分析】由正弦定理即可求出. 【详解】在中，，，， 由正弦定理得，解得 因为，所以或， 又因为，需舍去，所以. 故答案为：. 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，求： (1)b的值； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理代值求解即可. （2）根据三角形面积公式代值求解即可. 【详解】（1）在中，根据余弦定理， 代入，，可得： 化简得，解得或（舍去），故. （2）面积. 15．已知在中，角的对边分别为且． (1)求； (2)求的大小及的面积． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（）根据题意结合正弦定理即可得解. （）根据题意结合余弦定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）正弦定理中，又， 所以， 又，所以. （2）由余弦定理， 又，所以， 所以. 【拓展提升】 一、选择题 1．在三角形中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】已知在三角形中，， 由正弦定理可得，，即. 故选：A. 2．在中，角所对的边分别为，若，则角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】∵，∴， ∴由余弦定理得，∵，∴. 故选：A. 3．在△ABC中，所对的边分别为，若则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以. 故选：B. 4．在中，已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意结合正弦定理即可得解. 【详解】在中，已知， 由正弦定理可知， 故选：. 5．在中，，则（    ）． A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理，得， 因为，所以或， 因为，所以，故． 故选：. 6．在中，，则边（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求值即可. 【详解】在中，，则有， 由正弦定理，得，即，解得， 故选：A. 7．在中，，，，则的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理、余弦定理求出边，再利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 ，解得，故， 所以的面积为. 故选：B. 8．（2026·河北对口升学联合体模拟）在中，若，，，则的最大角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据大边对大角以及余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，若，，，根据大边对大角知，的最大角为角， 再由余弦定理，得． 故选：A. 9．在中，若，则的形状为（   ）． A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理边角互化，及余弦定理解三角形，即可判断求解. 【详解】因为，由正弦定理可得为，即， 因为，则， 所以，又，所以，因此为等边三角形． 故选：D. 10．如图所示，A、B是相距10海里的两个灯塔，某日在海上C处发生险情，测得∠CAB=75°，∠CBA=60°，则C与A的距离为（精确到0.1海里）（   ） A．8.9海里 B．10.9海里 C．12.2海里 D．14.2海里 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由题可知，. 因为. 所以由正弦定理可得，海里. 故选：C. 二、填空题 11．在中，，，则 ． 【答案】2 【分析】根据三角形面积公式列方程求解即可. 【详解】在中，，且， ，.解得． 故答案为：2. 12．在中，，则最短边的边长等于 ． 【答案】 【分析】根据正弦定理以及三角形的内角和性质求解即可. 【详解】由题意，因为，，所以，最短边为b. 由正弦定理，得． 故答案为：. 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数求得的值，再结合正弦定理求解即可； 【详解】因为，所以， 又因为， 所以由正弦定理可得，， 故答案为： 三、解答题 14.（2026·山西对口升学）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角C的大小； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用余弦定理计算即可. （2）利用正弦定理结合（1）的结论求出即可. 【详解】（1）， ， 又，所以. （2）由（1）可知，，且， ，， ，. 15．（2026·河北承德丰宁对口升学检测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，. （1）求B； （2）若的面积为，求c. 【答案】（1） （2） 【详解】（1）由余弦定理的推论得， 又，. 由得， ，由得. （2）由（1）得，.，. 令，，则，， ，， ， ，因此. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $