第04讲 直线、平面垂直的判定与性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学讲义聚焦直线、平面垂直的判定与性质，以线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化逻辑为主线，通过知识解构、题型破译、真题溯源等环节，系统梳理判定定理、性质应用及综合题型，帮助学生构建垂直关系的知识框架和解题思路。 讲义突出逻辑推理与直观想象素养，如在题型1中通过“判定定理法、平行线传递法、面面垂直性质法”三维度指导线面垂直证明，配合易错分析和分层变式训练。结合高考真题与课本典例，助力学生高效突破垂直关系难点，为教师把控复习节奏提供精准教学支持。

第04讲 直线、平面垂直的判定与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1直线与平面垂直的判定与性质 知识点2 平面与平面垂直的判定与性质 知识点3垂直关系的相互转化 题型破译 题型1 直线与平面垂直的判定与证明 【方法技巧】证明线面垂直的三大常用方法、线面角的求解步骤 【易错分析】 题型2 平面与平面垂直的判定与证明 【方法技巧】证明面面垂直的常用方法、二面角的求解思路 【易错分析】 题型3 垂直关系的性质应用 【方法技巧】垂直关系性质的应用思路 【易错分析】 题型4 垂直关系中的动点与探究问题 【方法技巧】垂直关系中动点与探究问题的解题策略 【易错分析】 题型5 垂直关系的综合应用 【方法技巧】垂直关系综合应用的解题思路 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 线面垂直的判定与性质 全国一卷T15（13分） 全国一卷T9（6分） 全国Ⅰ卷T17（6分） 全国Ⅱ卷T17（6分） 全国甲卷（理）T10（5分） 全国甲卷（文）T11（5分） 全国甲卷（文）T19（8分） 面面垂直的判定与性质 —— 全国一卷T17（6分） —— 垂直关系的综合应用 全国一卷T10（5分） 全国一卷T16（15分） —— —— 考情分析 直线、平面垂直的判定与性质是立体几何的核心考点，是高考必考内容，承接空间点线面位置关系与平行关系，后续衔接空间角、空间距离、空间向量与立体几何计算，突出直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。 题型分值：单选 / 多选第 4～10 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），解答题常作为立体几何第 1 问考查垂直关系证明（5～6 分），总分值 5～12 分；整体难度中等，以定理应用与规范证明为主，常与几何体结构、空间向量交汇。 四大考查方向： a. 线面垂直的判定与证明，核心是构造线线垂直的方法； b. 面面垂直的判定与证明，重点是判定定理的条件完整性； c. 垂直关系的性质应用，利用性质定理推导线线垂直、求解距离与体积； d. 垂直关系中的动点、存在性探究与综合计算。 综合融合：常与棱柱、棱锥、棱台、折叠几何体结合，以具体几何体为载体考查垂直证明；也可与空间向量、勾股定理、二面角结合，为后续夹角与距离计算铺垫。 复习目标 1. 掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，能规范书写证明过程，准确罗列定理条件； 2. 理解垂直关系的转化逻辑，能熟练实现线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互推导； 3. 掌握垂直关系中动点、存在性问题的分析方法，能完成轨迹判断与条件探究； 4. 能以常见几何体为载体，综合分析垂直关系的证明与应用，提升空间想象与逻辑推理能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点 1 直线与平面垂直的判定与性质 一、直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面互相垂直，记作 。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。 二、直线与平面垂直的判定定理 定理 文字语言 符号语言 作用 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 证明直线与平面垂直 推论 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 间接证明线面垂直 三、直线与平面垂直的性质定理 定理 文字语言 符号语言 作用 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 证明直线与直线平行 补充性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 证明直线与直线垂直 四、核心说明 1. 判定定理的核心条件是 “两条相交直线”，若替换为两条平行直线，无法判定线面垂直； 2. 定义中 “任意一条直线”≠“无数条直线”，直线垂直于平面内无数条平行直线，不能推出线面垂直； 3. 线面垂直是线线垂直的 “放大器”，由线面垂直可得到该直线与平面内所有直线垂直，是空间中证线线垂直的核心工具。 五、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。直线垂直于平面时，所成角为；直线平行于平面或在平面内时，所成角为。 2. 范围： 3. 求解步骤： · 找垂足：过直线上一点作平面的垂线，确定垂足位置； · 找射影：连接垂足与斜足，得到斜线在平面内的射影； · 算角度：在垂线段、斜线、射影构成的直角三角形中，求解夹角的三角函数值。 六、点到平面的距离 1. 定义：从平面外一点向平面引垂线，这个点和垂足之间的线段长度，叫做点到平面的距离。 2. 常用求法： · 直接法：利用线面垂直直接作出垂线段，计算线段长度； · 等体积法：通过转换三棱锥的顶点和底面，利用体积不变列方程间接求解。 自主检测a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成角时，AB与b成角； ②当直线AB与a成角时，AB与b成角； ③直线AB与a所成角的最小值为； ④直线AB与a所成角的最大值为． 其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，， ，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C为坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【详解】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1，故， ， 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则，直线a的方向单位向量，直线b的方向单位向量， 设B点在运动过程中的坐标为，其中θ为与CD的夹角，， ∴在运动过程中的向量，，设与所成夹角为， 则，所以，因此③正确，④错误． 设与所成夹角为，则， 当与夹角为时，即时，， 又，则，又因为，所以，此时与的夹角为，所以②正确，①错误． 知识点 2 平面与平面垂直的判定与性质 一、平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作 。 二、平面与平面垂直的判定定理 定理 文字语言 符号语言 作用 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 证明平面与平面垂直 三、平面与平面垂直的性质定理 定理 文字语言 符号语言 作用 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 证明直线与平面垂直 四、核心结论 (1) 两个平面垂直，过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，垂线必在第一个平面内； (2) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面； (3) 面面垂直的性质定理是 “面面垂直” 向 “线面垂直” 转化的核心依据，是立体几何中找垂线、求高的常用方法。 五、二面角 1. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 2. 范围：，平面角是直角的二面角叫做直二面角，是面面垂直的定义基础。 3. 常用构造方法： · 定义法：棱上取点，双垂线夹棱； · 垂面法：作棱的垂面，交线形成平面角； · 三垂线法：利用线面垂直，结合三垂线定理构造平面角。 六、面面垂直下的距离转化 两个平面垂直时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离，可转化为该点到两平面交线的垂线段长度，是 “面面垂直→线面垂直” 在距离计算中的典型应用，可避免重复作垂线的复杂推导。 自主检测如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 【答案】2 【分析】设，则，到平面距离为，由题意根据可得，根据二次函数性质计算可得最大值. 【详解】在中，因为，，所以． 由余弦定理可得．设，则，． 在中，由余弦定理可得． 在中，，，， 设到平面的距离为， 因为平面垂直于平面，所以到平面的距离即为的高， 则， 解得， 由，令，， 当时，函数有最小值为，因为，所以． 知识点 3 垂直关系的相互转化 一、转化逻辑 垂直关系的证明与应用核心是转化思想，三类垂直关系可相互推导： · 判定方向：线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直（低维→高维） · 性质方向：面面垂直 → 线面垂直 → 线线垂直（高维→低维） 二、证明线线垂直的常用方法 1. 平面几何法：勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角； 2. 线面垂直的性质：线面垂直→线线垂直（最常用）； 3. 面面垂直的性质：面面垂直→线面垂直→线线垂直； 4. 向量法：通过向量数量积为 0 证明垂直（空间向量章节延伸）。 三、角度与距离的转化逻辑 1. 空间角的转化路径 · 线面角 → 斜线与射影的线线角（直角三角形中求解）； · 二面角 → 垂直于棱的两条射线的线线角（平面角定义）； 核心是通过垂直关系，将三维空间角降维为二维平面内的线线角。 2. 空间距离的转化路径 · 点面距 → 线面垂直的垂线段长度； · 线面距、面面距 → 转化为点面距求解； 核心是通过垂直关系，将空间距离转化为平面内的线段长度计算。 自主检测（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，，，过作，垂足为点，可证平面，从而可求点到平面的距离. 【详解】如图，取的中点，连接，，，则，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理. 又，所以，所以，确定一个平面，即为平面. 过作，垂足为点，因为平面，平面， 所以，又，平面, 所以平面，即. 在中， ，所以. 题●型●破●译 题型 1 直线与平面垂直的判定与证明 例1-1已知平面满足，和是夹在α与β之间的线段，，且，如果直线与所成的角为，那么线段的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用图像，结合线段的最小位置计算结果即可。 【详解】 因为直线与所成的角为,，所以平面与平面的距离, 当平面时，此时最短，由题可得。此时直线与平面成的角， 所以，当几乎与面平行时，最长，趋向于无穷， 故线段的长的取值范围为． 例1-2（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，．    (1)求证：平面 (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明：已知底面，且底面，所以，因为，，所以，又，可得为等边三角形，又E为CD的中点，所以，又，所以，又，PA，AB平面PAB，所以平面． (2) 【分析】（1）由底面，得到，易得为等边三角形，根据E为CD的中点，得到，从而得到，再利用线面垂直的判定定理证明； （2）由（1）知AE，AB，AP两两互相垂直，建立空间直角坐标系，易知是平面的一个法向量，再求得平面的一个法向量，由求解. 【详解】（1）略； （2）解：在中，，，所以， 由（1）知AE，AB，AP两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，，，则，，，，， 因为底面，且底面，所以， 由，可得，又，，平面， 所以平面，可知是平面的一个法向量， 又，， 设平面的一个法向量为，则，得， 即，令，得， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 方法技巧 证明线面垂直的三大常用方法： 1. 判定定理法：在平面内找两条相交直线，分别证明与已知直线垂直； 2. 平行线传递法：先证明与该直线平行的另一条直线垂直于平面，再传递得到结论； 3. 面面垂直性质法：先确定面面垂直，再在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直。 线面角的求解步骤： 1. 定垂足：利用线面垂直确定斜线在平面内的射影端点； 2. 构直角三角形：连接斜足与垂足，明确斜线、射影、垂线段三边； 3. 算比值：利用三角函数求解线面角的正弦 / 余弦值。 易错分析 1. 忽略 “两条相交直线” 的前提，用两条平行直线判定线面垂直； 2. 混淆 “无数条直线” 与 “任意一条直线”，误将线线垂直推广到线面垂直； 3. 利用面面垂直性质时，遗漏 “直线在平面内”“垂直于交线” 两个关键条件； 4. 找错射影位置，误将斜线与平面内任意直线的夹角当作线面角。 【变式训练1-1】（多选题）（2026·湖南益阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 【答案】ACD 【分析】选项A，由题意平面，可得为底面上的高，然后计算的面积，利用求解即可.选项B，利用向量夹角公式，再结合在中由余弦定理计算，利用向量的数量积以及线性运算进行转化，最终得到直线与直线所成角的余弦值为；选项C，利用等体积法，求出点到平面的距离，然后利用线面角的定义得到直线与平面所成角的正弦值为；D选项，先求出的外接圆半径，然后构造直角三角形得到，解得外接球半径，再利用球的体积公式求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为，平面， 所以平面，所以为底面上的高， 选项A，因为由翻折得到，所以. 在中，，边上的高为， 所以，A正确 选项B，在中，， 可得 ，所以直线与直线所成角的余弦值为，B错误. 选项C，由题意得，设点到平面的距离为， 由，可得，解得 所以直线与平面所成角的正弦值为，C正确. 选项D，由选项B知，， 所以，所以的外接圆半径 设三棱锥的外接球半径为， 因为平面，所以，解得. 所以外接球的体积是，D正确. 【变式训练1-2】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)因为，是的中点，所以， 取的中点，，且，，所以四边形是矩形， 所以，又，因此是正三角形，而是的中点，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以． (2) 【分析】（1）取的中点，利用平面几何的基本性质得到是正三角形，从而结合线面垂直的判定定理可得到平面，进而可得； （2）通过面面垂直的性质定理可得到平面，则通过空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，进而可求解它们夹角的余弦值. 【详解】（1）略. （2）因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以，，． 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以为平面的一个法向量． 设平面的法向量， 则，即，令，则，， 故为平面的一个法向量． 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 【变式训练1-3】如图，在四棱锥中，底面，．证明：平面平面. 【答案】由题意，在四棱锥中，平面， ∵平面，∴， 又，平面，平面，且， ∴平面， ∵平面，∴平面平面． 【详解】略 题型 2 平面与平面垂直的判定与证明 例2-1（2026·山东济南·模拟预测）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 例2-2（2026·山东济南·模拟预测）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 【答案】/ 【分析】取的中点，连接、、、，即可证明、，从而得到为平面与平面的夹角，利用锐角三角函数计算可得. 【详解】取的中点，连接、、、， 在正三棱柱中，，所以， 又平面，平面，所以，，， 不妨令，则，所以， 所以为平面与平面的夹角， 又， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 方法技巧 证明面面垂直的常用方法： 判定定理法：在一个平面内找一条直线，证明它垂直于另一个平面（最常用）； 定义法：证明两个平面所成的二面角为直二面角； 传递法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。 二面角的求解思路： 1. 先定位棱，再结合垂直关系构造平面角； 2. 优先用三垂线法，利用线面垂直快速作棱的垂线； 3. 计算时优先放在直角三角形中求解，复杂情况用余弦定理。 易错分析 1. 找不到合适的垂线，无法将面面垂直转化为线面垂直证明； 2. 证明线面垂直时条件不充分，导致面面垂直推导依据不足； 3. 混淆面面垂直的判定与性质，逻辑推导方向颠倒。 4. 构造二面角平面角时，未满足 “两条射线均垂直于棱” 的核心条件。 【变式训练2-1】如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，．证明：平面平面． 【答案】证明：取的中点，连接， ∵与都是边长为2的等边三角形， ∴，，且， 在中，，即 由勾股定理得， 又，平面， ∴平面， 又平面， ∴平面平面． 【分析】根据三棱锥的性质，结合已知条件，由线线垂直得出线面垂直，进而得出面面垂直． 【详解】略 【变式训练2-2】如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为是等边三角形，所以， 又是的中点，所以， 又底面是矩形，则，所以， 又，平面， 所以平面， 平面，所以． (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据线面垂直的判定得出平面，再根据线面垂直的性质即可证明； （2）由（1）知为二面角的平面角，记，由得出，由余弦定理得出，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】（1）略. （2）由（1）知为二面角的平面角， 在中，，，， 则， 在中，， 记，则， 在中，，， 因为，即，， 设， ， 所以， 由余弦定理知 ， 故， 在中，由余弦定理得， 又，所以． 【变式训练2-3·变载体】（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 【答案】(1)在平行四边形中，因为是的中点， 所以． 又，则，， 所以，． 又，则，即． 又平面平面，平面平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质以及勾股定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求出二面角余弦值. 【详解】（1）略 （2）分别取，的中点，，连接，． 由（1）知，． 因为，分别为，的中点，所以，则． 因为，所以，， 所以为二面角的平面角，则. 由题意，以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，以过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则， ，，． 设平面的法向量为，所以 令，则． 设平面的法向量为，所以 令，则． 所以， 所以二面角的余弦值为． 题型 3 垂直关系的性质应用 例3-1在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意确定点B，C在以所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上；再推出，求出，确定平面与圆柱的交线是以为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆，由此可知线段为该椭圆的焦点弦，即可求得答案. 【详解】如图，在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1， 故点B，C在以所在直线为轴、底面半径为1的圆柱的侧面上； 又点H为棱上一点，满足平面，且，平面， 则，则，， 故且在平面与圆柱的交线上， 设直线与圆柱侧面的交点为，如图，， 同理，则， 结合圆锥曲线性质可知平面与圆柱的交线是以为长轴、圆柱的底面直径2为短轴的椭圆， ，则H恰为该椭圆的焦点，因此线段为该椭圆的焦点弦，（不含长轴，否则共面）， 当时，，故， 结合选项可知棱的长度不可能为4. 例3-2（多选题）在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．棱上存在点，使得平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的大小为 【答案】AC 【详解】 设底面正方形边长为，取的中点， 因为为正三角形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 如图，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于A，，， 因为， 所以，即，A正确； 对于B，因为在轴上，设， ，，， 若平面，则，， ，即， ，即， 然而不能同时等于和，即不存在这样的，B错误； 对于C，，， ， 因为异面直线与所成角为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为，C正确； 对于D，因为平面，所以平面的一个法向量为， ，， 设平面的法向量， 所以，即， 令，得， ， 所以二面角的大小不为，D错误． 方法技巧 垂直关系性质的应用思路： 线面垂直性质：已知线面垂直，直接得到直线垂直于平面内所有直线，用于证线线垂直； 面面垂直性质：已知面面垂直，作交线的垂线，转化为线面垂直，是找高、求距离的核心方法； 核心作用：实现 “高维垂直” 向 “低维垂直” 的转化，将空间问题平面化，为角度、距离计算铺垫。点面距求解：简单图形用直接法作垂线计算；复杂几何体用等体积法，通过换顶点列方程求解。 易错分析 1. 利用面面垂直性质时，未作交线的垂线，无法得到线面垂直； 2. 忽略 “直线在平面内” 的条件，直接由面面垂直推导线面垂直； 3. 体积、距离计算时，高的位置找错，导致计算结果错误。 4. 等体积法转换顶点时，底面积与高对应关系混淆，计算出现偏差。 【变式训练3-1】如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，，则的体积为___；若为中点，则点到平面的距离为____. 【答案】 / / 【分析】利用棱锥体积公式 计算四棱锥体积，利用面面垂直的性质定理，将点到平面的距离转化为点到直线的距离求解. 【详解】①因为底面 是矩形，，， 所以底面的面积， 因为 底面，且， 所以四棱锥的体积 ； ②因为 底面，平面，所以平面平面， 又平面平面，过点在底面内作于点， 因为平面，由面面垂直的性质定理可知，平面 ， 所以线段的长度即为点到平面的距离， 在矩形中，为中点，，所以， 在中，，， 由勾股定理得， 利用等面积法，，即， 解得，故点到平面的距离为 . 【变式训练3-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点．证明：． 【答案】因为底面平面， 所以 因为，所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 【分析】先应用线面垂直判定定理得出平面，再应用线面垂直得出线线垂直. 【详解】略 【变式训练3-3·变考法】四棱锥中，底面是正方形，是棱上一个点，平面平面． (1)若，求证：； (2)若，是中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定．求直线与平面成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】(1)证明：因为底面是正方形，所以； 因为平面平面，且平面平面； 故平面，因为平面，则； 又因为，且，平面， 所以； (2)选条件①：不可取，四棱锥不存在； 选条件②：； 选条件③：． 【分析】（1）根据面面垂直的性质得到线线垂直，通过证明线面垂直得到两条直线垂直； （2）根据题干要求，通过垂直关系建系求解B点坐标，根据B点坐标情况确定四棱锥是否唯一，根据条件所确定的B点坐标，利用空间向量计算线面夹角． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面，以A为坐标原点，为x轴，为z轴，垂直于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 可设，则； 因为，则； 选①： 因为是中点，则，故； 根据坐标可得，得到，显然不成立； 则四棱锥不存在，故不能选①； 选②：； 由可得，为直角三角形， 可以为y轴建系，B点坐标可唯一确定， 则四棱锥存在且唯一确定；故可以选②； 选③：； 因为，则； 因为； 则，即，解得， 代入，可解得； 则四棱锥存在且唯一确定；故可以选③；    选②：； 因为，则 故为直角三角形，则； 由（1）可知，平面， 故以A为坐标原点，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，； 则，，； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设为直线与平面成角， 则； 直线与平面成角的正弦值为． 选③：； 以A为坐标原点，为x轴，为z轴，垂直于的直线为y轴，建立空间直角坐标系， 可设，则； 因为，则； 因为，则； 因为； 则，即，解得， 代入，可解得，，则， 则，，； 设为平面的法向量，则 ，则，取； 设为直线与平面成角， 则； 同理，当时，可得直线与平面成角的正弦值也为． 题型 4 垂直关系中的动点与探究问题 例4-1（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得直线与所成的角为 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线平面 【答案】BCD 【分析】当点为线段上靠近的四等分点时，利用线线角的定义求解判断A；当点为中点时，证明面面平行，即可判断B；结合等体积转化，即可判断C；当点为中点时，证明线面垂直，即可判断D. 【详解】对于A：当点为线段上靠近的四等分点时， 如图，连接,过点作，交于， 则,又正方体中，，所以， 则直线与所成角为， 又，， 所以为等边三角形，所以，故A错误； 对于B，当点为中点时，有，平面，平面， 所以平面，同理，平面， 且，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C：三棱锥的体积，故C正确； 对于D：当点为中点时，有，又， 所以平面即平面， 因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面，故D正确. 例4-2在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用对称性和平移法求出取得最小值时的长度，再利用几何法得到直线与底面所成的角为，然后在中即可计算的正切值． 【详解】因为分别为棱的中点，所以， 在棱上取点，使得，连结， 则四边形为平行四边形，故， 又因为关于的对称点为，连结，则， 因此， 当三点共线时，取得最小值，此时， 由于底面，连结，则直线与底面所成的角为， 而此时， 故当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为．    方法技巧 垂直关系中动点与探究问题的解题策略： 轨迹分析法：分析动点满足的垂直条件，结合线面垂直的判定，确定动点的轨迹（线段、直线等）； 先猜后证法：先根据中点、端点等特殊位置猜想结论，再严格证明； 存在性问题：先假设存在，利用垂直条件建立等量关系，求解后验证合理性。 角度与距离最值：分析动点运动过程中射影、垂线段的变化规律，结合边界位置确定极值。 易错分析 1、忽略动点的取值范围（棱上、面上的边界），得出的结论超出几何边界； 2、线面垂直的条件使用错误，轨迹判断出错； 3、体积、距离类问题，不会利用垂直关系转化为定值分析。 4、角度最值分析时，未验证边界位置的角度大小，导致最值结论错误。 【变式训练4-1】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】首先根据线面垂直的判定定理证明平面，进而得到，所以只需要再垂直于平面内的一条和相交的直线即可满足条件. 【详解】因为底面为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以． 所以当时，平面， ，则平面， 而平面，所以平面平面． 【变式训练4-2】（2026·山东济南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，和分别为线段和上的动点． (1)当为线段的中点时，证明：平面平面； (2)当时，求多面体体积的最小值． 【答案】(1)证明：如图所示， 因为底面，平面，所以 又因为底面为正方形，所以， 且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再由，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）设，得到，根据，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：因为底面为正方形，底面，且， 在直角中，可得, 因为，设，则， 又由 ， 当且仅当时，等号成立， 所以当时多面体的体积取得最小值，最小值为. 题型 5 垂直关系的综合应用 例5-1（多选题）在三棱台中，底面，，分别为棱的中点，则下列判断正确的有（    ） A． B．平面 C．直线与直线共面 D．直线与直线异面 【答案】ACD 【分析】利用线面垂直证得A,利用棱台还原棱锥，判断与侧面相交否定B；相交直线必共面判定C；依据异面直线定义，验证和无交点且不平行，确定D. 【详解】对于选项A，如图所示： 已知，是中点，所以，又，因此， 由底面，平面，故，则， 又，且平面，所以平面， 又平面可得，则A正确. 对于选项B，棱台由棱锥截得，延长侧棱交于顶点P，因为分别为棱的中点，则三点共线，同时三点共线，故P是与直线的交点，平面，即直线与平面存在公共点P，则B错误. 对于选项C,由B选项可知，直线与直线交于原棱锥顶点P，空间中，两条相交直线可以确定唯一一个平面，因此与在同一个平面内，两直线共面，故C正确. 对于选项D，若，共面，则四点共面，则平面，又，平面，所以平面，所以平面，但平面，矛盾，假设错误，所以直线与直线异面,故D正确. 例5-2（多选题）在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点的轨迹长度为 【答案】ABD 【分析】利用空间直角坐标系，将几何条件转化为坐标运算.通过向量数量积判断异面直线垂直，借助平面法向量求解点到平面距离、直线与平面所成角；把动点Q约束在侧面上，将空间距离条件转化为平面圆方程，结合侧面边界确定圆弧轨迹并计算弧长. 【详解】以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 由题得各点坐标： ，是的中点，故. 对于选项，向量，，故 . 因此，即，正确. 对于选项，， 设平面的一个法向量，则 解得，令，则. 因为 ，所以点到平面的距离为，正确. 对于选项，向量，设直线与平面所成角为， 则，错误. 对于选项，侧面内的点满足.设，由得： ，化简得. 该圆半径为，在矩形（）内的部分是圆心角为的圆弧， 所以轨迹长度为，正确. 方法技巧 垂直关系综合应用的解题思路： 1、明确证明或计算目标，选择合适的转化方向（线线→线面→面面，或反向）； 2、结合几何体的结构特征，挖掘隐含的垂直、平行关系，简化推导； 3、计算类问题，利用垂直关系找到线面角、二面角的平面角，或转化为高计算体积、距离。 4、折叠类问题，先明确折叠前后不变的垂直关系和长度，再结合新位置求解角度与距离。 易错分析 1. 转化逻辑混乱，线线、线面、面面垂直的推导方向颠倒； 2. 综合问题中条件梳理不清，遗漏几何体本身的几何性质； 3. 角度计算时，混淆线面角、二面角的定义，找错平面角； 4. 折叠问题中，误将折叠前的角度、距离直接套用在折叠后图形中。 【变式训练5-1·变考法】（2026·安徽·模拟预测）已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 【答案】/ 【分析】直接建立空间直角坐标系，用向量的方法求点到面的距离可得，再构造函数，用导数求函数的最大值可得. 【详解】设圆柱底面半径为，高为，由圆柱体积公式得：，得. 以底面圆心为原点，分别以方向为轴，圆柱高的方向为轴建立空间直角坐标系，如图. 则，上底面圆心. 由，得点坐标为. 所以，设平面的法向量为， 则，，，取，则， 所以. 所以到平面的距离为，， 则， 又因为，得，所以， 令，， 因为，令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以当时，，即，. 因此点到平面距离的最大值为. 【变式训练5-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)因为底面是平行四边形，所以． 因为是边的中点，是边的中点，所以，则． 而平面，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）利用线线平行，证明线面平行. （2）利用中位线证明线面垂直，从而求出点到面的距离. （3）利用几何法求线面成角的正弦值，需求出线面成角所构成的直角三角形中 两条边的长度和，可求线面成角正弦值. 【详解】（1）略. （2）因为平面，，所以平面， 则点到平面的距离即为长. 而，所以点到平面的距离为． （3）因为平面，，平面，所以，， 则即为二面角的平面角，即．    因为，由余弦定理得， 即，解得，所以． 如图，过点作于点，连接． 因为平面，平面，所以． 而，，平面，所以平面． 在中，， 因为是边的中点，所以点到平面的距离是点到平面 距离的一半，即．   因为平面，平面，所以， 即四边形是直角梯形，由（1）知，． 在等腰三角形中，． 所以在直角梯形中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【变式训练5-3】如图所示，在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点．当时，证明：平面． 【答案】因为，是的中点，所以． 在直三棱柱中， 因为底面，底面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 显然， 所以．所以． 因为，，平面， 所以平面． 【分析】根据题意先证平面，得到，再利用勾股定理证明，然后由线面垂直的判定即可证明平面． 【详解】略 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2009·全国·高考真题）已知二面角为，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】分别作于，于，于，于，连接,则，在三角形中将表示出来，再研究其最值即可． 【详解】如图分别作于A，于C，于B，于D， 连接CQ，BD，则， ，，∴， 又∵， 当且仅当，即点A与点P重合时取最小值． 故选：C．    二、多选题 2．（2026·全国一卷·高考真题）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 【答案】BC 【分析】做出满足条件的图，过点作，为垂足，过点作，为垂足，过点作，由条件可得，解三角形可得，由此判断B，当点与点的距离无限大时，可得趋向于，排除A，先证明平面，结合，证明 重合，由此证明平面，由平面推出点与点重合，点与点重合，判断D. 【详解】不失一般性作图如下， 过点作，为垂足，过点作，为垂足， 过点作，，连接， 则，因为二面角为， 所以，由已知， 所以，所以， 故，，B正确； 当点与点的距离无限大时，，无限大，无限靠近， 此时趋向于，A错误； 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以， 若，不重合，结合，平面， 可得平面，平面， 所以，矛盾，所以重合， 因为，，，平面， 所以平面， 故平面，C正确； 因为平面，若平面， 则平面与平面重合，此时点与点重合，点与点重合， 故与的夹角为，D错误， 三、解答题 3．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 【答案】(1) 由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； (2) 【分析】（1）由题意，根据余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可证得，则，结合线面垂直的判定定理与性质即可证明； （2）由（1），根据线面垂直的判定定理与性质可证明，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）略 （2）连接，由，则， 在中，，得， 所以，由（1）知，又平面， 所以平面，又平面， 所以，则两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则， 由是的中点，得， 所以， 设平面和平面的一个法向量分别为， 则，， 令，得， 所以， 所以， 设平面和平面所成角为，则， 即平面和平面所成角的正弦值为. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 【答案】(1)证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. (2) 【分析】(1)由平面得，又因为，可证平面，从而证得平面平面； (2) 过点作，可证四棱锥的高为,由三角形全等可证，从而证得为中点，设，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求. 【详解】（1）略 （2）如图，    过点作，垂足为. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以四棱锥的高为. 因为平面，平面, 所以,, 又因为，为公共边， 所以与全等，所以. 设，则， 所以为中点，, 又因为,所以, 即，解得， 所以， 所以四棱锥的高为． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．回答问题（画图并说明理由）． (1)长方体与平行六面体的区别是什么？怎么判断一个四棱柱是长方体？ (2)指出长方体中对角面与底面所成的二面角及其平面角；对角面与侧面所成的二面角及其平面角；两个对角面所成的二面角及其平面角． (3)长方体中哪些二面角构成直二面角？正四棱柱呢？正方体呢？ (4)为什么说长方体中侧面与底面一定是垂直的？ (5)长方体中侧棱与底面内的每一条直线是什么关系？两条侧棱有什么关系？为什么？ (6)长方体中平行于侧棱的直线与底面内的每一条直线是什么关系？长方体的上下两底中心连线与底面内的每一条直线是什么关系？为什么？ (7)利用长方体模型，把关于垂直关系的判定定理与性质定理所表示的图形找出来，并用文字及符号表达． 【答案】(1) 如图， AI 长方体的各个面都是矩形，平行六面体的各个面都是平行四边形．当一个四棱柱的底面为矩形，侧棱与底面垂直时，这个四棱柱就是长方体． (2) 长方体的对角面与底面所成的二面角，其平面角为，对角面与侧面所成的二面角，其平面角为.对角面与平面所成的二面角，其平面角为. (3)长方体中底面与侧面所成的二面角均是是直二面角，相邻的两个侧面所成的二面角也是直二面角．正四棱柱为底面为正方形的长方体，直二面角同长方体．另外正四棱柱的两个对角面所成的二面角也是直二面角．正方体中底面与侧面，相邻两个侧面，两个对角面所成的角均是直二面角 (4)根据平面与平面垂直的判定定理，可知长方体的侧面与底面一定垂直． (5)长方体中侧棱与底面内的每一条直线都是垂直的．根据长方体知侧棱与底面垂直，根据直线与平面垂直的定义，知侧棱垂直于底面内的任意一条直线．长方体的两条侧棱是平行的，因为长方体的侧棱都垂直于底面，根据线面垂直的性质定理可知，侧棱是互相平行的． (6)长方体中平行于侧棱的直线与底面内的每一条直线是垂直的，长方体中，上下两底中心连线与底面内的每一条直线是垂直的． (7) 直线与平面垂直的判定定理：平面（侧棱都垂直于底面）, 平面． 平面与平面垂直的判定定理：平面平面（侧面与底面都垂直）. 平面,平面，所以平面平面. 直线与平面垂直的性质定理： . 平面， 平面，所以, 平面与平面垂直的性质定理： 平面. 平面平面， 平面平面， 平面， ， 所以平面 【分析】结合各自的概念即判定定理即可 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 （5）略 （6）略 （7）略 2．在正方体中，过三个点作一个平面，请画出二面角的平面角，并说明画图的根据． 【答案】 连接，交于点，连接，则就是二面角的平面角，如下图所示:    根据：在底面正方形中，易知，且点为的中点， 又正方体中，易知，所以； 由二面角定义可知就是二面角的平面角. 【分析】根据正方体性质可知，连接交于点，易知且，由二面角定义可知就是二面角的平面角. 【详解】略 3．求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． 【答案】 转化为符号语言为：如图，，，求证：. 在内作直线垂直于与的交线，在内作直线垂直于与的交线， ，， ，又在内，，，，，，即证. 【分析】利用面面垂直的性质定理和线面平行的性质即可证明. 【详解】略 4．某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图）．上面为花篮，支架为三根细钢管．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①支架高度为108cm，②架面是边长为30cm的正三角形，③三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面．    (1)三只支架与地面所成的角均为60°，确定节点O分细钢管上、下两段的比值；（精确到0.01） (2)节点O分细钢管上、下两段之比为1：2，确定细钢管的长度．（精确到0.1cm） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由架面高度求得细钢管长，进一步求得上下两部分的长度得答案； （2）设，由相似三角形对应边成比例分别求得节点O到架面与底面的距离，再由架面高度列式求得，则细钢管的长度可求. 【详解】（1）根据题意画出示意图，如图所示， 架面与架底平行，且与地面所成的角为， 支架高度，解得， 设架面的中心为， 由题意，，则. 故， 节点O分细钢管上、下两段的比值为； （2）由三根细钢管相交处的节点O与架面三角形重心的连线垂直于架面和地面， 结合三角形相似可得为正三角形，设的中心为，可得三点共线， 连接，由三角形相似可得 设，在正三角形中，求得，则， 则，解得. 细钢管的长度为.    5．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）    【答案】（其他答案正确也可） 【分析】根据线面垂直判定和性质推理即可得解. 【详解】当底面四边形满足. 如图所示，连接 ,    因为平面 平面 , 所以, 因为, 所以BD平面，因为平面 , 所以 ，因为 ，所以. 6．能否在长方体的侧面、对角面所在的平面内画出直线，与另一个平面内的一条直线垂直，却不与这个平面垂直？能否画出两条？无数条？你得到什么结论？ 【答案】 能画出两条符合要求的直线，由于在平面内可以作无数条直线与平行， 这些直线都符合要求，即可画无数条直线， 所以可得出结论：如果平面外的直线与平面内的一条直线垂直，不能说明该直线垂直于这个平面；    如图，取长方体的一个对角面，并取棱的中点分别为， 则直线，在平面内，不垂直于平面， 显然在平面内可画无数条直线与平行，它们都垂直于，但不垂直于所在的平面， 所以可得出结论：如果平面外的直线与平面内的一条直线垂直，不能说明该直线垂直于这个平面.    【分析】根据给定条件，作出符合题意的直线，结合平行线的性质可得直线条数，进而总结出结论. 【详解】如图，在长方体的侧面所在平面内，画直线， 显然，在平面内，不垂直于平面， 在平面内作直线，显然，在平面内，不垂直于平面， 因此能画出两条符合要求的直线，由于在平面内可以作无数条直线与平行， 这些直线都符合要求，即可画无数条直线， 所以可得出结论：如果平面外的直线与平面内的一条直线垂直，不能说明该直线垂直于这个平面；    如图，取长方体的一个对角面，并取棱的中点分别为， 则直线，在平面内，不垂直于平面， 显然在平面内可画无数条直线与平行，它们都垂直于，但不垂直于所在的平面， 所以可得出结论：如果平面外的直线与平面内的一条直线垂直，不能说明该直线垂直于这个平面.    7．如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．    (1)证明：平面 (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1) 连接，则， 因为点D为AC的中点，所以， 因为为的直径，所以，所以， 因为为的中点，D为AC的中点， 所以‖，，所以， 因为，平面， 所以平面，    (2) 【分析】（1）连接，则由等腰三角形的性质可得，再由圆的性质结合三角形中位线定理得，然后由线面垂直的判定定理可证得结论， （2）由（1）可得为二面角的平面角，可证得，然后在中求解即可 【详解】（1）略 （2）由（1）知，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面， 所以， 因为，，， 所以，所以， 所以在中，, 所以二面角的正弦值为 8．如图，AB是的直径，点C为该圆上异于A，B的点，所在的平面．求证：平面平面PBC．    【答案】 证明：∵是圆的直径，∴， 又∵平面，平面，∴. ∵，平面， ∴平面， 又因为平面，所以平面平面PBC． 【分析】由线面垂直和面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】略 2 / 53 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 直线、平面垂直的判定与性质 内容导航 01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势 02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维 03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧 知识解构 知识点1直线与平面垂直的判定与性质 知识点2 平面与平面垂直的判定与性质 知识点3垂直关系的相互转化 题型破译 题型1 直线与平面垂直的判定与证明 【方法技巧】证明线面垂直的三大常用方法、线面角的求解步骤 【易错分析】 题型2 平面与平面垂直的判定与证明 【方法技巧】证明面面垂直的常用方法、二面角的求解思路 【易错分析】 题型3 垂直关系的性质应用 【方法技巧】垂直关系性质的应用思路 【易错分析】 题型4 垂直关系中的动点与探究问题 【方法技巧】垂直关系中动点与探究问题的解题策略 【易错分析】 题型5 垂直关系的综合应用 【方法技巧】垂直关系综合应用的解题思路 【易错分析】 04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向 05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材 命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 核心考点 2026年 2025年 2024年 线面垂直的判定与性质 全国一卷T15（13分） 全国一卷T9（6分） 全国Ⅰ卷T17（6分） 全国Ⅱ卷T17（6分） 全国甲卷（理）T10（5分） 全国甲卷（文）T11（5分） 全国甲卷（文）T19（8分） 面面垂直的判定与性质 —— 全国一卷T17（6分） —— 垂直关系的综合应用 全国一卷T10（5分） 全国一卷T16（15分） —— —— 考情分析 直线、平面垂直的判定与性质是立体几何的核心考点，是高考必考内容，承接空间点线面位置关系与平行关系，后续衔接空间角、空间距离、空间向量与立体几何计算，突出直观想象、逻辑推理、数学运算核心素养。 题型分值：单选 / 多选第 4～10 题（5 分），填空题第 13～15 题（5 分），解答题常作为立体几何第 1 问考查垂直关系证明（5～6 分），总分值 5～12 分；整体难度中等，以定理应用与规范证明为主，常与几何体结构、空间向量交汇。 四大考查方向： a. 线面垂直的判定与证明，核心是构造线线垂直的方法； b. 面面垂直的判定与证明，重点是判定定理的条件完整性； c. 垂直关系的性质应用，利用性质定理推导线线垂直、求解距离与体积； d. 垂直关系中的动点、存在性探究与综合计算。 综合融合：常与棱柱、棱锥、棱台、折叠几何体结合，以具体几何体为载体考查垂直证明；也可与空间向量、勾股定理、二面角结合，为后续夹角与距离计算铺垫。 复习目标 1. 掌握线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理，能规范书写证明过程，准确罗列定理条件； 2. 理解垂直关系的转化逻辑，能熟练实现线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互推导； 3. 掌握垂直关系中动点、存在性问题的分析方法，能完成轨迹判断与条件探究； 4. 能以常见几何体为载体，综合分析垂直关系的证明与应用，提升空间想象与逻辑推理能力。 思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知●识●解●构 知识点 1 直线与平面垂直的判定与性质 一、直线与平面垂直的定义 如果一条直线与一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面互相垂直，记作 。直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，它们唯一的公共点叫做垂足。 二、直线与平面垂直的判定定理 定理 文字语言 符号语言 作用 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 证明直线与平面垂直 推论 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面 间接证明线面垂直 三、直线与平面垂直的性质定理 定理 文字语言 符号语言 作用 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 证明直线与直线平行 补充性质 直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线 证明直线与直线垂直 四、核心说明 1. 判定定理的核心条件是 “两条相交直线”，若替换为两条平行直线，无法判定线面垂直； 2. 定义中 “任意一条直线”≠“无数条直线”，直线垂直于平面内无数条平行直线，不能推出线面垂直； 3. 线面垂直是线线垂直的 “放大器”，由线面垂直可得到该直线与平面内所有直线垂直，是空间中证线线垂直的核心工具。 五、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。直线垂直于平面时，所成角为；直线平行于平面或在平面内时，所成角为。 2. 范围： 3. 求解步骤： · 找垂足：过直线上一点作平面的垂线，确定垂足位置； · 找射影：连接垂足与斜足，得到斜线在平面内的射影； · 算角度：在垂线段、斜线、射影构成的直角三角形中，求解夹角的三角函数值。 六、点到平面的距离 1. 定义：从平面外一点向平面引垂线，这个点和垂足之间的线段长度，叫做点到平面的距离。 2. 常用求法： · 直接法：利用线面垂直直接作出垂线段，计算线段长度； · 等体积法：通过转换三棱锥的顶点和底面，利用体积不变列方程间接求解。 自主检测a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成角时，AB与b成角； ②当直线AB与a成角时，AB与b成角； ③直线AB与a所成角的最小值为； ④直线AB与a所成角的最大值为． 其中正确的是______．（填写所有正确结论的编号） 知识点 2 平面与平面垂直的判定与性质 一、平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作 。 二、平面与平面垂直的判定定理 定理 文字语言 符号语言 作用 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直 证明平面与平面垂直 三、平面与平面垂直的性质定理 定理 文字语言 符号语言 作用 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 证明直线与平面垂直 四、核心结论 (1) 两个平面垂直，过第一个平面内一点作第二个平面的垂线，垂线必在第一个平面内； (2) 两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面； (3) 面面垂直的性质定理是 “面面垂直” 向 “线面垂直” 转化的核心依据，是立体几何中找垂线、求高的常用方法。 五、二面角 1. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。 2. 范围：，平面角是直角的二面角叫做直二面角，是面面垂直的定义基础。 3. 常用构造方法： · 定义法：棱上取点，双垂线夹棱； · 垂面法：作棱的垂面，交线形成平面角； · 三垂线法：利用线面垂直，结合三垂线定理构造平面角。 六、面面垂直下的距离转化 两个平面垂直时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离，可转化为该点到两平面交线的垂线段长度，是 “面面垂直→线面垂直” 在距离计算中的典型应用，可避免重复作垂线的复杂推导。 自主检测如图，在中，，．在边上取一点（不含、），将沿线段折起，得到．当平面垂直于平面时，则到平面距离的最大值为______． 知识点 3 垂直关系的相互转化 一、转化逻辑 垂直关系的证明与应用核心是转化思想，三类垂直关系可相互推导： · 判定方向：线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直（低维→高维） · 性质方向：面面垂直 → 线面垂直 → 线线垂直（高维→低维） 二、证明线线垂直的常用方法 1. 平面几何法：勾股定理逆定理、等腰三角形三线合一、菱形对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角； 2. 线面垂直的性质：线面垂直→线线垂直（最常用）； 3. 面面垂直的性质：面面垂直→线面垂直→线线垂直； 4. 向量法：通过向量数量积为 0 证明垂直（空间向量章节延伸）。 三、角度与距离的转化逻辑 1. 空间角的转化路径 · 线面角 → 斜线与射影的线线角（直角三角形中求解）； · 二面角 → 垂直于棱的两条射线的线线角（平面角定义）； 核心是通过垂直关系，将三维空间角降维为二维平面内的线线角。 2. 空间距离的转化路径 · 点面距 → 线面垂直的垂线段长度； · 线面距、面面距 → 转化为点面距求解； 核心是通过垂直关系，将空间距离转化为平面内的线段长度计算。 自主检测（2026·河北邢台·二模）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，平面经过直线且平行于直线，则点到平面的距离为______. 题●型●破●译 题型 1 直线与平面垂直的判定与证明 例1-1已知平面满足，和是夹在α与β之间的线段，，且，如果直线与所成的角为，那么线段的长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例1-2（2026·黑龙江大庆·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面，，为的中点，已知，，．    (1)求证：平面 (2)若，求平面与平面夹角的余弦值． 方法技巧 证明线面垂直的三大常用方法： 1. 判定定理法：在平面内找两条相交直线，分别证明与已知直线垂直； 2. 平行线传递法：先证明与该直线平行的另一条直线垂直于平面，再传递得到结论； 3. 面面垂直性质法：先确定面面垂直，再在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直。 线面角的求解步骤： 1. 定垂足：利用线面垂直确定斜线在平面内的射影端点； 2. 构直角三角形：连接斜足与垂足，明确斜线、射影、垂线段三边； 3. 算比值：利用三角函数求解线面角的正弦 / 余弦值。 易错分析 1. 忽略 “两条相交直线” 的前提，用两条平行直线判定线面垂直； 2. 混淆 “无数条直线” 与 “任意一条直线”，误将线线垂直推广到线面垂直； 3. 利用面面垂直性质时，遗漏 “直线在平面内”“垂直于交线” 两个关键条件； 4. 找错射影位置，误将斜线与平面内任意直线的夹角当作线面角。 【变式训练1-1】（多选题）（2026·湖南益阳·模拟预测）如图，在矩形中，，，B为的中点，现分别沿，将，翻折，使点E，F重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则（    ） A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的体积是 【变式训练1-2】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，，分别是，的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【变式训练1-3】如图，在四棱锥中，底面，．证明：平面平面. 题型 2 平面与平面垂直的判定与证明 例2-1（2026·山东济南·模拟预测）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 例2-2（2026·山东济南·模拟预测）在正三棱柱中，，则平面与平面夹角的余弦值为______. 方法技巧 证明面面垂直的常用方法： 判定定理法：在一个平面内找一条直线，证明它垂直于另一个平面（最常用）； 定义法：证明两个平面所成的二面角为直二面角； 传递法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。 二面角的求解思路： 1. 先定位棱，再结合垂直关系构造平面角； 2. 优先用三垂线法，利用线面垂直快速作棱的垂线； 3. 计算时优先放在直角三角形中求解，复杂情况用余弦定理。 易错分析 1. 找不到合适的垂线，无法将面面垂直转化为线面垂直证明； 2. 证明线面垂直时条件不充分，导致面面垂直推导依据不足； 3. 混淆面面垂直的判定与性质，逻辑推导方向颠倒。 4. 构造二面角平面角时，未满足 “两条射线均垂直于棱” 的核心条件。 【变式训练2-1】如图，已知三棱锥，与都是边长为2的等边三角形，．证明：平面平面． 【变式训练2-2】如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，E是的中点，，，． (1)证明：； (2)求二面角的大小． 【变式训练2-3·变载体】（2026·山东聊城·一模）如图1，平行四边形ABCD中，，，E是CD的中点，将沿AE翻折至，如图2所示． (1)若平面平面ABCE，证明：平面； (2)若二面角为120°，求二面角的余弦值． 题型 3 垂直关系的性质应用 例3-1在三棱锥中，，点B，C到棱所在直线的距离均为1，点H为棱上一点，满足平面，且，则棱的长度不可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3-2（多选题）在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，且平面平面，则（    ） A． B．棱上存在点，使得平面 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．二面角的大小为 方法技巧 垂直关系性质的应用思路： 线面垂直性质：已知线面垂直，直接得到直线垂直于平面内所有直线，用于证线线垂直； 面面垂直性质：已知面面垂直，作交线的垂线，转化为线面垂直，是找高、求距离的核心方法； 核心作用：实现 “高维垂直” 向 “低维垂直” 的转化，将空间问题平面化，为角度、距离计算铺垫。点面距求解：简单图形用直接法作垂线计算；复杂几何体用等体积法，通过换顶点列方程求解。 易错分析 1. 利用面面垂直性质时，未作交线的垂线，无法得到线面垂直； 2. 忽略 “直线在平面内” 的条件，直接由面面垂直推导线面垂直； 3. 体积、距离计算时，高的位置找错，导致计算结果错误。 4. 等体积法转换顶点时，底面积与高对应关系混淆，计算出现偏差。 【变式训练3-1】如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，且，，，则的体积为___；若为中点，则点到平面的距离为____. 【变式训练3-2】如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点．证明：． 【变式训练3-3·变考法】四棱锥中，底面是正方形，是棱上一个点，平面平面． (1)若，求证：； (2)若，是中点，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在且唯一确定．求直线与平面成角的正弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 题型 4 垂直关系中的动点与探究问题 例4-1（多选题）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是（   ） A．不存在点，使得直线与所成的角为 B．存在点，使得平面平面 C．三棱锥的体积为 D．存在点，使得直线平面 例4-2在正四棱柱中，，，，分别为棱，的中点，，均为线段上的动点，，点在线段上，当取得最小值时，直线与底面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 方法技巧 垂直关系中动点与探究问题的解题策略： 轨迹分析法：分析动点满足的垂直条件，结合线面垂直的判定，确定动点的轨迹（线段、直线等）； 先猜后证法：先根据中点、端点等特殊位置猜想结论，再严格证明； 存在性问题：先假设存在，利用垂直条件建立等量关系，求解后验证合理性。 角度与距离最值：分析动点运动过程中射影、垂线段的变化规律，结合边界位置确定极值。 易错分析 1、忽略动点的取值范围（棱上、面上的边界），得出的结论超出几何边界； 2、线面垂直的条件使用错误，轨迹判断出错； 3、体积、距离类问题，不会利用垂直关系转化为定值分析。 4、角度最值分析时，未验证边界位置的角度大小，导致最值结论错误。 【变式训练4-1】如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，是上的一动点，当点满足________时，平面平面．（只要填写一个你认为是正确的条件即可） 【变式训练4-2】（2026·山东济南·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，和分别为线段和上的动点． (1)当为线段的中点时，证明：平面平面； (2)当时，求多面体体积的最小值． 题型 5 垂直关系的综合应用 例5-1（多选题）在三棱台中，底面，，分别为棱的中点，则下列判断正确的有（    ） A． B．平面 C．直线与直线共面 D．直线与直线异面 例5-2（多选题）在直三棱柱中，，，为棱的中点，是侧面内一点（含边界），，则（   ） A． B．点到平面的距离为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点的轨迹长度为 方法技巧 垂直关系综合应用的解题思路： 1、明确证明或计算目标，选择合适的转化方向（线线→线面→面面，或反向）； 2、结合几何体的结构特征，挖掘隐含的垂直、平行关系，简化推导； 3、计算类问题，利用垂直关系找到线面角、二面角的平面角，或转化为高计算体积、距离。 4、折叠类问题，先明确折叠前后不变的垂直关系和长度，再结合新位置求解角度与距离。 易错分析 1. 转化逻辑混乱，线线、线面、面面垂直的推导方向颠倒； 2. 综合问题中条件梳理不清，遗漏几何体本身的几何性质； 3. 角度计算时，混淆线面角、二面角的定义，找错平面角； 4. 折叠问题中，误将折叠前的角度、距离直接套用在折叠后图形中。 【变式训练5-1·变考法】（2026·安徽·模拟预测）已知圆柱的体积为，，是底面圆的圆周上两点，且，点满足，则点到平面距离的最大值为____________． 【变式训练5-2】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，，，，是边的中点，是边的中点． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值． 【变式训练5-3】如图所示，在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点．当时，证明：平面． 真题溯源·考向感知 ——溯源真题逻辑，感知高考考向 一、单选题 1．（2009·全国·高考真题）已知二面角为，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 二、多选题 2．（2026·全国一卷·高考真题）在空间中，，为两个定点，动点到直线的距离为2，动点到直线的距离为1．若二面角为，则（     ） A． B． C．当时，平面 D．当平面时， 三、解答题 3．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，，求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，求四棱锥的高． 课本典例·高考素材 ——立足课本典例，挖掘高考素材 1．回答问题（画图并说明理由）． (1)长方体与平行六面体的区别是什么？怎么判断一个四棱柱是长方体？ (2)指出长方体中对角面与底面所成的二面角及其平面角；对角面与侧面所成的二面角及其平面角；两个对角面所成的二面角及其平面角． (3)长方体中哪些二面角构成直二面角？正四棱柱呢？正方体呢？ (4)为什么说长方体中侧面与底面一定是垂直的？ (5)长方体中侧棱与底面内的每一条直线是什么关系？两条侧棱有什么关系？为什么？ (6)长方体中平行于侧棱的直线与底面内的每一条直线是什么关系？长方体的上下两底中心连线与底面内的每一条直线是什么关系？为什么？ (7)利用长方体模型，把关于垂直关系的判定定理与性质定理所表示的图形找出来，并用文字及符号表达． AI 长方体的各个面都是矩形，平行六面体的各个面都是平行四边形．当一个四棱柱的底面为矩形，侧棱与底面垂直时，这个四棱柱就是长方体． 2．在正方体中，过三个点作一个平面，请画出二面角的平面角，并说明画图的根据． 3．求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面． 4．某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图）．上面为花篮，支架为三根细钢管．考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①支架高度为108cm，②架面是边长为30cm的正三角形，③三根细钢管相交处的节点O与架面三角形ABC重心的连线垂直于架面和地面．    (1)三只支架与地面所成的角均为60°，确定节点O分细钢管上、下两段的比值；（精确到0.01） (2)节点O分细钢管上、下两段之比为1：2，确定细钢管的长度．（精确到0.1cm） 5．如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有．（填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．）    6．能否在长方体的侧面、对角面所在的平面内画出直线，与另一个平面内的一条直线垂直，却不与这个平面垂直？能否画出两条？无数条？你得到什么结论？ 7．如图，在圆锥PO中，已知，的直径，点C在上，且，点D为AC的中点．    (1)证明：平面 (2)求二面角的正弦值． 8．如图，AB是的直径，点C为该圆上异于A，B的点，所在的平面．求证：平面平面PBC．    2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $