2.2 线段、射线、直线 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

**基本信息** 初中数学“线段、射线、直线”同步练，分层递进覆盖基础到拓展，强化概念理解与逻辑推理，适配新授课知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点（表示方法、基本事实、中点）|选择填空结合作图，强化几何直观与概念辨析| |能力提升|综合应用（分类讨论、多点线段计算）|解答题含两点距离分类，培养推理能力| |拓展探究|规律探究（线段条数公式推导）|表格归纳与方程应用，发展模型意识| |易错专练|易混点（射线表示、距离概念）|判断说明题纠正认知偏差，提升思维严谨性|

第二章　几何图形的初步认识　2.2　线段、射线、直线 第二章　几何图形的初步认识 2.2　线段、射线、直线 建议用时：45分钟　　内容：三种图形的表示 · 基本事实 · 线段的比较与和差 · 中点 · 线段条数规律 【课时学习目标】 1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的表示方法，会按要求画图． 2．掌握"经过两点有且只有一条直线""两点之间线段最短"两个基本事实，理解两点间的距离． 3．会比较线段的长短，会进行线段的和、差计算，理解线段中点的意义并会用它解题． 4．会数一条直线上的线段条数，掌握 这一规律． 一、知识点梳理 知识点1　直线、射线、线段 直线：向两方无限延伸，没有端点，不可度量． 射线：直线上一点和它一旁的部分，有一个端点，向一方无限延伸，不可度量． 线段：直线上两点和它们之间的部分，有两个端点，可以度量长度． 三者的关系：把线段向一方延长就得到射线，向两方延长就得到直线． 直线、射线、线段的图形与表示 知识点2　表示方法 ① 直线：可以用两个大写字母表示，如直线 AB（也可写作直线 BA）；也可以用一个小写字母表示，如直线 ． ② 射线：用两个大写字母表示，端点的字母必须写在前面，如以 O 为端点、经过点 A 的射线记作射线 OA，不能写成射线 AO． ③ 线段：可以记作线段 AB（或线段 BA），也可以用一个小写字母表示，如线段 ． ④ 点与直线的位置关系：点在直线上（直线经过这个点）或点在直线外． 知识点3　两个基本事实 基本事实1：经过两点有且只有一条直线，简述为"两点确定一条直线"． 应用：植树时先定两个点就能拉出一条直线；木条用两个钉子就能固定在墙上． 基本事实2：在所有连接两点的线中，线段最短，简述为"两点之间，线段最短"． 两点间的距离：连接两点的线段的长度叫做这两点间的距离（是长度，不是线段本身）． 两点之间线段最短；两点确定一条直线 知识点4　线段的比较、和差与中点 比较线段长短的方法：① 度量法（用刻度尺量出长度再比较）；② 叠合法（把一条线段移到另一条上，使一端重合）． 线段的和差：如图，若点 C 在线段 AB 上，则 ，，． 线段的中点：若点 M 在线段 AB 上，且 ，则点 M 叫做线段 AB 的中点． 此时 ，． 类似地还有三等分点、四等分点． 线段的中点与线段的和差 知识点5　直线上线段的条数 在一条直线上取 个点（），则图中共有线段 条． 推导：以每个点为一个端点，都可与其余 个点组成线段，共 种，但每条线段被数了 2 次，所以要除以 2． 例如：直线上有 4 个点时，线段共有 （条），也可以数成 （条）． 另外，直线上有 个点时，可以得到 条射线． 直线上有 4 个点时，共有 6 条线段 易错提醒 ① 射线的表示中，端点字母必须在前，射线 OA 与射线 AO 是两条不同的射线； ② 直线、射线不能度量长度，也不能说"延长直线"或"延长射线"，只能说"反向延长射线"； ③ "两点间的距离"指的是线段的长度，不能说成"线段 AB 就是 A，B 两点间的距离"； ④ 求线段长度时，若点的位置不确定（如"点 C 在直线 AB 上"），要分类讨论点在线段内还是在延长线上． 二、典例精析 例1　如图，读出图中直线、射线、线段的表示方法，并回答：射线 OA 与射线 AO 是同一条射线吗？ （例1图） 解答：图中依次是线段 AB、射线 OA、直线 AB（或直线 ）． 射线 OA 与射线 AO 不是同一条射线：射线 OA 的端点是 O，射线 AO 的端点是 A，它们的端点和延伸方向都不同． 点评：表示射线时，端点字母必须写在前面，这是最容易出错的地方． 例2　下列说法中正确的有哪些？ ① 直线 AB 与直线 BA 是同一条直线；② 线段 AB 与线段 BA 是同一条线段； ③ 射线 AB 与射线 BA 是同一条射线；④ 两点之间的所有连线中，直线最短． 解答：正确的有 ① ②． ③ 错误，射线 AB 的端点是 A，射线 BA 的端点是 B，不是同一条射线； ④ 错误，应该是"两点之间，线段最短"，直线不能度量长度． 点评：直线与线段用两个字母表示时可以交换顺序，射线不可以． 例3　如图，点 C 在线段 AB 上， cm， cm，求 的长；若 M 是 AB 的中点，求 的长． （例3图） 分析：由 求 ；由中点性质求 ，再用 ． 解答：因为点 C 在线段 AB 上，所以 （cm）． 因为 M 是 AB 的中点，所以 （cm）． 因为 cm cm，所以点 C 在点 A 与点 M 之间， 所以 （cm）． 点评：求两点间的距离时，先判断三个点的位置关系，再决定用加法还是减法． 例4　已知线段 cm，点 C 在直线 AB 上，且 cm，求 的长． 分析：点 C 在直线 AB 上，可能在线段 AB 上，也可能在 AB 的延长线上，要分类讨论． 解答：① 当点 C 在线段 AB 上时，（cm）； ② 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，（cm）． 所以 的长为 6 cm 或 14 cm． 点评：题目中说"点 C 在直线 AB 上"而不是"在线段 AB 上"时，一定要分类讨论． 例5　如图，点 M 是线段 AB 的中点，点 N 在 AB 的延长线上， cm， cm，求 的长． （例5图） 解答：因为 M 是 AB 的中点，所以 （cm）． 因为点 N 在 AB 的延长线上，所以 （cm）． 点评：画出图形、标出已知长度，再判断线段之间的和差关系，是解这类题的关键． 例6　平面内有 5 个点，其中任意三点都不在同一条直线上． （1）过其中任意两点画一条直线，一共可以画多少条直线？ （2）若这 5 个点都在同一条直线上，图中共有多少条线段？多少条射线？ 分析：（1）（2）都用"每两点确定一条"的计数方法． 解答：（1）（条）． （2）线段共有 （条）；射线共有 （条）． 点评：计数时每条线段（直线）被数了两次，所以要除以 2． 三、基础巩固 （一）选择题 1．下列图形中，能无限延伸的是（　　） A．线段 B．射线（向一方） C．直线（向两方） D．射线与直线都能 2．下列说法正确的是（　　） A．直线 的长度是 10 cm B．射线 OA 与射线 AO 是同一条射线 C．线段 AB 与线段 BA 是同一条线段 D．可以延长直线 AB 3．把弯曲的公路改直可以缩短路程，其数学依据是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．直线可以无限延伸 D．经过一点有无数条直线 4．木工师傅在墙上固定一根木条，至少要钉________个钉子，其依据是（　　） A．1 个；两点确定一条直线 B．2 个；两点确定一条直线 C．2 个；两点之间线段最短 D．3 个；两点确定一条直线 5．如果点 C 是线段 AB 的中点，那么下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．直线上有 5 个点，则图中共有线段（　　） A．5 条 B．8 条 C．10 条 D．20 条 7．已知线段 cm， cm，且 A，B，C 三点在同一条直线上，则 的长为（　　） A．4 cm B．8 cm C．4 cm 或 8 cm D．6 cm 8．下列关于"两点间的距离"的说法中，正确的是（　　） A．连接两点的线段叫做两点间的距离 B．连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 C．经过两点的直线叫做两点间的距离 D．两点间的距离可以是曲线的长度 （二）填空题 9．直线可以用________个大写字母表示，也可以用________个小写字母表示． 10．射线 AB 的端点是________；把线段 AB 向两方无限延伸，得到________． 11．经过两点有且只有________条直线，这个基本事实简述为________． 12．若点 M 是线段 AB 的中点， cm，则 ________cm． 13．若 ，则点 C 在线段________上． 14．直线上有 个点，则图中共有线段________条，射线________条． 15．已知线段 cm，点 C 在线段 AB 上， cm，则 ________cm． 16．平面内有 6 个点，任意三点都不在同一条直线上，过其中每两点画一条直线，一共可以画________条直线． （三）解答题 17．根据下列语句画出图形（在方框内作图）： （1）画直线 ，在直线 上顺次取三点 A，B，C； （2）画射线 OM，在射线 OM 上取一点 P； （3）连接线段 AB，并延长 AB 到点 D，使 ． 18．如图，点 C 在线段 AB 上， cm， cm． （第18题图） （1）求 的长； （2）若点 M 是 AB 的中点，求 的长． 19．已知线段 cm，点 C 在直线 AB 上， cm，求 的长． 20．如图，点 M 是线段 AB 的中点，点 N 在 AB 的延长线上， cm， cm． （第20题图） （1）求 的长；（2）求 的长． 21．直线上依次有 A，B，C，D 四个点． （第21题图） （1）图中共有多少条线段？请一一写出； （2）图中共有多少条射线？ 22．一条直线上有 8 个点，求图中线段的条数． 四、能力提升 23．已知点 C 在线段 AB 上，点 M，N 分别是 AC，BC 的中点，若 cm，则 的长为（　　） A．3 cm B．6 cm C．12 cm D．无法确定 24．平面内有 4 条直线，它们两两相交且没有三条直线交于同一点，则交点共有（　　） A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．8 个 25．下列说法中错误的是（　　） A．两条直线相交只有一个交点 B．射线是直线的一部分 C．线段 AB 的长度就是 A，B 两点间的距离 D．射线 AB 与射线 BA 表示同一条射线 26．已知线段 cm，点 C 是 AB 的中点，点 D 是 AC 的中点，则 ________cm． 27．如图，点 C 在线段 AB 上， cm， cm，点 M 是 AC 的中点，点 N 是 CB 的中点． （1）求 的长； （2）若把条件" cm， cm"改为" cm"，求 的长． 28．某条公路上依次有 A，B，C，D 四个车站，任意两个车站之间都要有一种车票，且往返车票不同（如 A 到 B 与 B 到 A 是两种）． （1）需要准备多少种不同的车票？ （2）若这条公路上有 个车站，需要准备多少种不同的车票？ 五、拓展探究 29．探索规律：在一条直线上取 2，3，4，5， 个点，数出线段的条数． （1）填表：2 个点有________条线段；3 个点有________条线段；4 个点有________条线段；5 个点有________条线段； （2） 个点时，线段的条数是多少？请写出式子并说明理由； （3）若某条直线上的点共组成 45 条线段，求这条直线上点的个数． 30．如图， cm，点 C 是线段 AB 上的一个动点（不与 A，B 重合），点 M 是 AC 的中点，点 N 是 BC 的中点． （1）当 cm 时，求 的长； （2）当点 C 在线段 AB 上运动时， 的长会变化吗？请说明理由； （3）由（2）你能得到怎样的结论？ 六、易错专练 31．判断下列说法是否正确，正确的画"√"，错误的画"×"，并说明理由． （1）射线 OA 的长度是 5 cm．（　　） （2）直线 AB 与直线 BA 是同一条直线．（　　） （3）若 ，则点 M 一定是线段 AB 的中点．（　　） （4）两点之间的距离就是连接这两点的线段．（　　） 32．小明这样解题："已知线段 cm，点 C 在直线 AB 上， cm，则 （cm）．" 他的解答完整吗？如果不完整，请补充完整． 参考答案及解析 三、基础巩固 1．D 线段有两个端点，不能延伸；射线向一方无限延伸；直线向两方无限延伸．所以射线与直线都能无限延伸． 2．C A 错，直线不能度量长度；B 错，射线 OA 与射线 AO 的端点不同；D 错，直线本身已经无限延伸，不能再"延长"；C 正确． 3．B 把弯路改直缩短了路程，依据是"两点之间，线段最短"． 4．B 至少钉 2 个钉子，依据是"经过两点有且只有一条直线"，即两点确定一条直线． 5．D 由中点的定义得 ，．而 与事实相反，是错误的． 6．C （条），也可以数成 （条）． 7．C 点 C 在线段 AB 上时，（cm）；点 C 在 AB 的延长线上时，（cm）． 8．B 两点间的距离是连接两点的线段的长度，是一个数量，而不是线段本身，更不是直线或曲线． （二）填空题 9．两；一 如直线 AB（两个大写字母）或直线 （一个小写字母）． 10．点 A；直线 AB 射线的表示中端点写在前面，所以射线 AB 的端点是 A．线段向两方无限延伸就成为直线． 11．一；两点确定一条直线 这是几何中的基本事实之一． 12． （cm）． 13．AB 只有当点 C 在线段 AB 上时，才有 ． 14．； 每两点确定一条线段，共 次但每条重复数了 2 次；每个点向两个方向各有一条射线． 15． （cm）． 16． （条）． （三）解答题 17．见解析 （1）画一条向两方带箭头的直线并标上 ，在其上依次标出 A，B，C 三点． （2）画一条以 O 为端点、向一方带箭头的射线，标上 M，再在射线上取一点 P． （3）先画线段 AB，再沿 A 到 B 的方向延长，在延长线上取点 D，使 ，此时 ． 18．（1） cm；（2） cm （1）（cm）． （2）因为 M 是 AB 的中点，所以 （cm）． 因为 cm cm，所以点 M 在点 A 与点 C 之间． 所以 （cm）． 19． cm 或 cm ① 当点 C 在线段 AB 上时，（cm）； ② 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，（cm）． 所以 的长为 14 cm 或 26 cm． 20．（1） cm；（2） cm （1）因为 M 是 AB 的中点，所以 （cm）． （2）因为点 N 在 AB 的延长线上，所以 （cm）． 21．（1）6 条；（2）8 条 （1）线段有：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 （条）． （2）直线上每个点向两个方向各发出一条射线，共 （条）． 22． 条 （条），也可以数成 （条）． 四、能力提升 23．B 因为 M 是 AC 的中点，所以 ；因为 N 是 BC 的中点，所以 ． 所以 （cm）． 24．C 每两条直线相交得到一个交点，（个）． 25．D 射线 AB 的端点是 A，射线 BA 的端点是 B，它们不是同一条射线，D 错误；A、B、C 都正确． 26． 因为 C 是 AB 的中点，所以 （cm）． 因为 D 是 AC 的中点，所以 （cm）． 所以 （cm）． 27．（1） cm；（2） cm （1）（cm），（cm），所以 （cm）． （2）（cm）． 这说明 的长只与 有关，等于 的一半． 28．（1） 种；（2） 种 （1）每两个车站之间有往、返两种车票．四个车站之间共有 （对），所以车票有 （种）． （2）同理， 个车站共有 对，车票有 （种）． 五、拓展探究 29．（1）1；3；6；10（2）（3）10 个 （1）2 个点有 1 条；3 个点有 条；4 个点有 条；5 个点有 条． （2） 个点时，线段条数为 ．理由：以每个点为端点都可以与其余 个点组成线段，共 条，但每条线段被数了 2 次，所以要除以 2． （3）由 得 ．因为 ，所以 ，即直线上有 10 个点． 30．（1） cm；（2）不变；（3）见解析 （1）（cm），（cm），（cm）． 所以 （cm）． （2）不变．设 cm，则 cm． （cm），与 无关． （3）结论：当点 C 在线段 AB 上运动时，AC 的中点与 BC 的中点之间的距离总等于 ，是一个定值． 六、易错专练 31．（1）×；（2）√；（3）×；（4）× （1）错误．射线向一方无限延伸，不能度量长度． （2）正确．直线用两个大写字母表示时，字母可以交换顺序． （3）错误．还必须说明点 M 在线段 AB 上．如果点 M 不在直线 AB 上，也可能有 （此时 M 到 A，B 的距离相等，但 M 不是中点）． （4）错误．两点间的距离是线段的长度，是一个数量，不是线段本身． 32．不完整 因为点 C 在直线 AB 上，所以点 C 的位置有两种可能，必须分类讨论． ① 当点 C 在线段 AB 上时，（cm）； ② 当点 C 在线段 BA 的延长线上（即点 A 的另一侧）时，（cm）． 所以 的长为 5 cm 或 13 cm．小明只考虑了第一种情况，漏掉了第二种． — — 学科网（北京）股份有限公司 $