第31讲 机械振动、机械波 讲义-2027届高考物理一轮复习

该高中物理高考复习教案围绕机械振动与机械波专题，覆盖简谐运动规律、振动与波动图像、单摆周期、波的传播及干涉衍射等核心考点，按“概念规律—图像分析—综合应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、题型分类、方法指导、真题训练四环节，帮助学生构建知识网络，突破难点。 教案突出科学思维与模型建构，如对比弹簧振子与单摆模型深化简谐运动理解，结合波动图像与振动图像综合训练培养科学推理能力。设置分层练习与真题回顾，确保复习针对性，助力学生高效提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第31讲 机械振动、机械波 题型一 简谐运动的基本规律 知识点1 简谐运动的基本知识 一、简谐运动 1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，这样的运动就是简谐运动。 2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。 3.回复力 （1）定义：使物体返回到平衡位置的力。 （2）方向：总是指向平衡位置。 （3）性质：属于效果力。 （4）来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4.描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移（x） 由平衡位置指向质点所在位置的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅（A） 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期（T） 振动物体完成一次全振动所需时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝。 频率（f） 振动物体单位时间内完成全振动的次数 5.简谐运动的两种模型的比较 模型示意图 弹簧振子 单摆 简谐运 动条件 （1）弹簧质量可忽略 （2）无摩擦和空气阻力 （3）在弹簧弹性限度内 （1）摆线为不可伸缩的轻细线 （2）无空气阻力 （3）最大摆角小于5° 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝ 2π　 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 知识点2 简谐运动的特征 简谐运动的五个特征： 1.受力特征：回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，与x的方向相反。 2.运动特征：靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小。 3.能量特征：振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。 4.周期性特征：质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。 5.对称性特征 （1）相隔Δt＝nT（n＝1,2,3…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。 （2）相隔Δt＝（n+½）T（n＝0,1,2…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向（或都为零），速度也等大反向（或都为零）。 （3）如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 （4）振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。 （5）振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP＝tPO。 考向1 简谐运动的规律 例1 （2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，一质量均匀分布的木块竖直浮在水面上，现将木块竖直向上拉一小段距离后由静止释放，并开始计时，经时间木块第一次回到原位置，在短时间内木块在竖直方向的上下振动可近似看作简谐运动，则在时间内木块运动的距离为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·河南郑州·二模）某同学在粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，然后将其竖直浮在较大的装有水的杯中。、、是木筷上等间距的各点，静止时，点恰好与水面平齐。现把木筷向上提起至点与水面平齐后由静止释放，木筷做周期为3 s的简谐振动，则一个周期内点在水面以下的时间是（　　） A． B． C．2s D． 【变式训练2】（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，斜面倾角。小球在斜面上做简谐运动，振幅为A，到达最高点时，弹簧处于原长，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g，则小球的最大速度为（　　） A． B． C． D． 考向2 弹簧振子模型 例2（2026·山东烟台·二模）一劲度系数为k的轻质弹簧竖直放置，下端固定在地面上，上端固定连接一个轻质的小托架。质量为m的小球从离托架一定高度处由静止开始自由下落，小球恰好落到托架中心位置，然后经过一段时间又回到初始下落位置。不计空气阻力，弹簧始终在弹性范围内，已知弹簧振子周期，弹簧弹性势能表达式，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，m为弹簧振子的质量，重力加速度为g。若小球在上述运动过程中的最大加速度大小为2g，则小球从初始下落位置到第一次到达最低点的时间为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一轻质弹簧，将质量为的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度随位移变化的规律如图乙所示，则（     ） A．弹簧的劲度系数为 B． C．弹簧的最大弹性势能为 D．物块的最大动能为 【变式训练2】（2026·浙江·二模）如图甲所示是用手机和轻弹簧制作的一个振动装置示意图。手机内置加速度传感器记录了手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线，如图乙中实线1所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（     ） A．t=0.2s时，弹簧弹力为0 B．t=0.4s时，手机正在向下运动 C．从t=0.4s至t=0.6s过程中，手机的动能不断减小 D．更换劲度系数更小的弹簧，所得曲线可能如图中的虚线2所示 题型二 简谐运动的公式和图像 知识点1 简谐运动的表达式和图像 1.简谐运动的表达式 （1）动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力方向与位移的方向相反。 （2）运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ），ωt＋φ为相位，φ为初相，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω＝ 。 2.简谐运动的振动图像 表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。 知识点2 简谐运动的图像的解读 1.简谐运动的振动方程和图像 （1）从平衡位置开始计时：x＝Asin ωt，如图甲所示。 （2）从最大位移处开始计时：x＝Acos ωt，如图乙所示。 （3）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。 2.图像信息的解读 （1）确定振动质点在任一时刻的位移：图中t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm。 （2）确定振动的振幅、周期和频率：图中的振幅A＝10 cm。周期T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期。 （3）确定质点的振动方向：图中的t1、t3时刻，质点向正方向运动；t2时刻，质点向负方向运动。 （4）确定质点加速度的大小和方向：由于回复力总是指向平衡位置，所以加速度在图像上总是指向t轴，图中t1时刻加速度a1为负，t2时刻加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。 考向1 振动图像的应用 例1 （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，其振动图像如图所示。下列说法正确的是（    ） A．图线的某点的切线的斜率即是弹簧振子在某时刻的加速度 B．在、内相对平衡位置的位移方向跟它的瞬时速度方向相同 C．弹簧振子在前内通过的路程是 D．弹簧振子在第初的位移大小是 【变式训练1】 如图甲所示，弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，以竖直向上为正方向，图乙为其位移随时间变化的图像。下列说法正确的是（     ） A．时刻弹簧处于原长 B．振子位于最高点时弹簧相对原长的形变量为A C．与时刻振子的加速度相同 D．与时刻振子的加速度相同 【变式训练2】 （25-26高二·全国）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是（     ） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．从到时间内，弹簧振子做加速度减小的减速运动 C．在与两个时刻，弹簧振子在同一位置 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【变式训练3】 如图甲所示，直立的轻弹簧一端固定在地面上，另一端拴住一个物块。现让该物块在竖直方向做简谐运动，从物块所受合力为零开始计时，取向上为正方向，其简谐运动的位移-时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当时，物块对弹簧的弹力最小 B．在和两时刻，弹簧的弹力大小相等 C．在0.25s~0.50s内，物块做加速度逐渐增大的加速运动 D．在0.25s~0.50s内，物块重力势能减小 【变式训练4】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动。取竖直向上为正方向，一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（　　） A．振动的振幅为 B．振动的频率为 C．在时距平衡位置 D．在时加速度方向竖直向下 题型三 受迫振动和共振 知识点1 受迫振动和共振的概念 1.受迫振动 （1）概念：系统在驱动力作用下的振动。 （2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 2.共振 （1）概念：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。 （2）共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。 （3）共振的特征：共振时振幅最大。 （4）共振曲线（如图所示）。 f ＝f0时，A＝Am，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅越小。 知识点2 受迫振动和共振的比较 简谐运动、受迫振动和共振的关系比较 振动类型 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力 振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动等 共振筛、声音的共鸣等 考向1 受迫振动 例1 如图所示为某弹簧振子的振动图像，则该振子（     ） A．产生的机械波的波速增加 B．产生的机械波的频率增加 C．做受迫振动 D．做阻尼振动 【变式训练1】 如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为。则（　　） A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5s B．当振子稳定振动时，它的振动频率是2Hz C．当转速增大时，弹簧振子可能发生共振 D．当转速减小时，弹簧振子可能发生共振 【变式训练2】 如图所示，三根轻质弹性细杆上端分别固定相同的小球，下端固定在一平板上。当平板固定时，杆越长，小球振动的周期越大。现对平板施加周期性驱动力，使平板左右振动并带动各小球振动，稳定后观察到B球的振动幅度最大。则关于稳定后各小球的振动情况，下列说法正确的是（    ） A．小球B振动周期最大 B．只有小球B的振动周期与平板振动周期相同 C．三个小球的振动周期均与平板振动周期相同 D．若缓慢增大驱动力的频率，则可以观察到C球的振动幅度变大 【变式训练3】 跳板跳水是运动员在弹性跳板上起跳，在空中完成翻腾转体动作后入水的竞技项目。跳水运动员在起跳前通过周期性上下移动重心使跳板周期性振动，某次训练中运动员重心的振幅为12cm，起跳前跳水运动员双脚没有离开跳板，跳板振动的固有频率为，下列说法正确的是（　　） A．运动员位移最大时，其加速度为零 B．运动员在任意一个周期内的位移均为48cm C．无论运动员的振动频率是多少，跳板振动的频率都为 D．运动员的振动周期为0.6s时，运动员和跳板发生共振 考向2 共振及其应用 例2（2026·四川资阳·三模）如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），下列说法正确的是（　　） A．此单摆的摆长约为0.5m B．此单摆的固有周期约为0.5s C．若摆长变小，共振曲线的峰将左移 D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移 【变式训练1】（2026·河南南阳·模拟预测）某桥梁检测团队用“共振法”检测桥梁固有频率：将一个频率可调的振动发生器固定在桥梁某支撑点（视为简谐振动源），当振动发生器频率调至桥梁振幅最大时，在桥梁另一端的振动传感器测得振动波的传播速度为，振动发生器的竖直位移随时间变化的规律为。已知振动传感器与振动发生器的水平距离满足，且某时刻振动传感器检测到波峰时，振动发生器恰好处于平衡位置并向y轴负方向运动。则下列说法正确的是（　　） A．桥梁的固有周期为0.1s B．振动波的波长为40m C．振动传感器与振动发生器的水平距离可能为150m D．振动传感器与振动发生器的水平距离可能为195m 【变式训练2】（2025·贵州·模拟预测）工程师在验收某即将通车的跨江大桥时发现，桥面在风力的驱动下有比较明显的振动。他用传感器测得桥面振动的频率为。下列说法正确的是（　　） A．当风的驱动频率发生变化时，桥面的振动频率保持为不变 B．当风的驱动频率恰好等于桥的固有频率时，桥面将不会振动 C．为防止共振，可以通过改变桥的固有频率来实现 D．当风的驱动频率逐渐增大时，桥面振幅一定也会增大 【变式训练3】 把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期，则下列说法正确的是（　　） A．增大电压，筛子的振幅一定会先增大再减小 B．增大筛子质量，筛子的振幅一定会增大 C．偏心轮的转速为时，筛子的振幅最大 D．偏心轮的转速为时，筛子的振幅最大 题型四 单摆及其周期公式 知识点1 单摆的受力特征 1.单摆的受力特征 （1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 （2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ。 （3）两点说明 ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 知识点2 单摆的周期公式 1.周期公式T＝2π的理解 （1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 （2）g为当地重力加速度。 说明：在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 2.等效摆长及等效重力加速度 有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2π，其中g′和l′的意义如下： （1）l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcos α。乙图中小球（可看作质点）在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 （2）g′——等效重力加速度一般情况下，g′＝，F为单摆摆球相对于摆动圆弧的圆心静止时，摆线或圆弧轨道对摆球的作用力，如图丙中g′＝＝gsin α。如图丁中g′＝＝。 考向1 单摆及其振动图像 例1 （2025·湖北武汉·模拟预测）如图是用传感器和计算机描绘的甲、乙两个单摆的振动图像。关于两个单摆运动的描述，下列说法正确的是（　　） A．甲单摆的振动方程为 B．任意内，乙单摆经过的路程均为 C．甲、乙单摆的摆长之比为 D．甲、乙单摆的最大摆角之比为 【变式训练1】（2025·河北秦皇岛·一模）如图甲所示是一个单摆，摆球在竖直面做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度大小为，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知（　　） A．该单摆振动的频率为 B．振动方程为 C．时，摆球速度大小为 D．时，摆球加速度为零 【变式训练2】（2026·北京顺义·一模）某单摆做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式为，关于此单摆，下列说法正确的是（　　） A．振幅为8cm B．周期为1.25s C．摆长为1m D．t=0.2s时，速度为零 【变式训练3】（2025·黑龙江·二模）如图所示是同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆长之比为 B．乙单摆的振动方程 C．甲单摆的机械能小于乙单摆的机械能 D．内，甲摆球的重力势能增大，乙摆球的重力势能减小 【变式训练4】（多选）（2026·四川成都·二模）如图甲所示，单摆摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，最大摆角α为5°，悬点O处接有一力传感器，记录摆线拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．单摆的周期为1s B．单摆的周期为2s C．时刻，摆球在A点 D．时刻，摆球在B点 【变式训练5】（多选）（2026·广西贵港·一模）如图甲所示，有一根较长的细线和一个较小的沙漏。当沙漏小角度摆动时，分别以不同速度匀速拉动沙漏下方的木板，漏出的沙在木板上会形成一条曲线，如图乙所示。已知OB=O′B′，假设沙漏小角度摆动过程中，单位时间内漏出的细沙体积不变，则下列说法正确的是（　　） A．木板1中曲线上各位置处堆积的细沙一样多 B．木板1、2中的A、A′两位置处堆积的细沙不一样多 C．木板1拉动的速度与木板2拉动的速度之比为4:3 D．木板1拉动的速度与木板2拉动的速度之比为3:4 考向2 单摆的周期及其等效摆长 例2（2026·重庆·模拟预测）图1中，用一轻质细线将一可视为质点的小球悬挂在天花板上，其摆动周期为T1；图2中，用一轻质细线将该小球挂在光滑固定的斜面上，使其紧贴斜面摆动，摆动周期为T2；图3中，用两根等长的轻质细线将该小球悬挂在水平天花板上，使其沿垂直纸面方向摆动，摆动周期为T3。若所有摆动均视为单摆运动，且所有细线长度相同，重力加速度均为g，则（　　） A．T2>T1>T3 B．T1>T3>T2 C．T1>T2>T3 D．T2>T1=T3 【变式训练1】（2026·广东东莞·二模）图示为很小一段光滑的圆弧形滑道，其半径远大于弧长，O为圆弧最低点。两个相同的小球甲和乙从圆弧高度和位置同时静止释放（）。下列关于两球相碰说法正确的是（     ） A．在O点相碰 B．在O点左侧相碰 C．在O点右侧相碰 D．相碰点不确定 【变式训练2】（2025·河南·二模）如图甲所示为杆线摆的原理图，它可以绕着悬挂轴来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。某同学利用铁架台做了一个杆线摆，如图乙所示，用来探究它的周期的影响因素。把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，摆杆通过光滑铰链与立柱连接，摆杆始终与立柱垂直。让钢球小角度摆动，测出静止时摆杆与重垂线的夹角为，摆线的长度为，摆杆的长度为，根据已有的知识，下列关系可能正确的是（　　） A．、不变时，越大，周期越短 B．、不变时，越大，周期越长 C．、不变时，越大，周期越长 D．无论、怎样改变，只要不变，则周期不变 【变式训练3】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图甲所示，光滑水平面上有大小相同的小球A和B靠在一起，小球A与轻绳组成单摆，小球B与轻弹簧组成的弹簧振子，刚开始小球A和B均处于静止状态。现将小球A向左拉开一个较小角度（小于5°）并t=0时由静止释放，经最低点时与小球B发生碰撞，碰撞时间可忽略不计，此后小球B运动的v-t图像如图乙所示。以最低点为零势能面，小球A与B第一次碰撞后A球速度恰好为零，已知小球B的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．弹簧振子的周期等于 B．单摆的摆长等于 C．球释放的高度为 D．球运动的最大速率为 【变式训练4】（多选）（2026·天津南开·一模）如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两摆的振幅之比为2:1 B．时，甲摆摆球到达重力势能最小处，乙摆摆球的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为1:2 D．甲摆摆球在最低点时的向心加速度大于乙摆摆球在最低点时的向心加速度 题型五 机械波的传播与图像 知识点1 机械波的概念及图像及其描述 1.机械波的形成条件 （1）有发生机械振动的波源。 （2）有传播介质，如空气、水等。 2.传播特点 机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。 3.机械波的分类 （1）横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰（凸部）和波谷（凹部）。 （2）纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部。 4.横波的图像 （1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。 （2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。 （3）图像 （4）应用 ①直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。 ②确定某时刻各质点加速度方向，并能比较大小。 ③结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。 5.波长、波速、频率及其关系 （1）波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 （2）波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。 （3）频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。 （4）波长、波速和频率的关系 ①v=λf ;②v= 　. 知识点2 机械波的传播特征 1.波在传播过程中的特点 （1）波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速和波长改变。 （2）振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf。 （3）波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。 （4）后面质点的振动状态落后于先振动的质点，每隔一个波长，振动落后一个周期。 2.波的传播方向与质点的振动方向的判断方法 内容 图像 上下坡法 沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动 同侧法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧 微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定 考向1 波长、频率、波速间的关系 例1 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）O为两不同材质的绳A、B的结点，a为绳A上一质点，绳置于光滑水平台面上。用手抓住O点前后快速振动，某时刻绳中的波形如图所示，则（     ） A．A绳中波的速度更大 B．A绳中波的周期更大 C．B绳中波的频率更大 D．质点a此时刻在向左运动 【变式训练1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，水黾通过后足（视为质点）以一定频率f在水平面上振动产生水波纹（视为简谐波），和同类之间传递信息。已知该水波纹相邻的峰和谷之间的水平距离为d，则波速为（　　） A． B．df C． D． 【变式训练2】（2026·江西宜春·模拟预测）如图，停在水面上的甲、乙两条小船相距，一列水波正在水面上沿甲乙连线的方向匀速传播，每条小船每分钟上下浮动15次。当甲船位于波峰时，乙船在波谷，这时两船之间还有一个波峰。若将水波视为横波，则这列水波的波长和波速分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 考向2 波的图像及其应用 例2（2026·内蒙古乌海·模拟预测）位于坐标原点O的波源在时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿轴正方向传播。平衡位置在处的质点开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则（　　） A．波的周期是 B．波的振幅是 C．波的传播速度是 D．平衡位置在处的质点开始振动时，质点处于平衡位置 【变式训练1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）为了研究横波的形成过程，在绳上标记一系列等间距的点。如图，时，点1开始振动；时点1到达波谷，点4刚要离开平衡位置。图中箭头表示点的振动方向；则时，点间的波形为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·辽宁沈阳·三模）坐标原点的波源在时发出一列简谐波，沿x轴正向传播。在时，该列波的最前端刚好到达B点，此时AB段的波形如图所示，下列判断正确的是（　　） A．波长为3.5 m B．波速为0.5 m/s C．再经过4 s，B处质点运动到C处 D．时，B处质点准备向y轴正方向运动 【变式训练3】（2026·辽宁营口·二模）图为一列沿x轴传播的简谐横波在t=0时刻的波形图，a、b为波传播路径上的两个质点，质点a的振动方程为y=10sin（πt+π）cm，则下列说法正确的是（　　） A．该波的波速大小为3m/s B．该波沿x轴负方向传播 C．当质点b位于平衡位置时，质点a的位移一定为+5cm D．质点b在0~0.5s时间内运动的路程为（15-5）cm 题型六 波动图像与振动图像综合 知识点1 两种图像的比较 两种图像的比较 图像类型 振动图像 波的图像 研究对象 某一振动质点 沿波传播方向上的所有质点 研究内容 某一质点的位移随时间变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律 图像 物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 图像信息 （1）质点振动周期 （2）质点振幅 （3）各时刻质点位移 （4）各时刻速度、加速度方向 （1）波长、振幅 （2）任意一质点在该时刻的位移 （3）任意一质点在该时刻加速度方向 （4）传播方向、振动方向的互判 形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片 图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移 一完整曲线占横坐 标距离 表示一个周期 表示一个波长 知识点2 波动图像和振动图像的综合问题 重难 波动图像与振动图像结合问题的关键，可总结为‌辨图像、找信息、连纽带、定方向‌四步核心逻辑，每一步都是解题的核心节点： 1. 先辨图像：从横坐标区分类型，避免概念混淆。这是解题的基础前提，只要错判图像类型，后续推导全错； 振动图像‌：横坐标是时间t，描述单个质点不同时刻的位移； 波动图像‌：横坐标是质点平衡位置x，描述同一时刻所有质点的位移。 2. 提取关键基础信息 从两类图像中分别读取独有直接信息，振幅可互相印证：振动图像直接给出‌周期T‌ + 振幅A，还能确定目标质点在某一时刻的振动方向；波动图像直接给出‌波长λ+振幅A，可完成波传播方向和质点振动方向的互推。 3. 通过纽带建立关联 两类问题的核心连接点是‌振幅、周期‌，结合波速公式即可串联所有物理量：利用公式v=求出波速，打通“振动信息→波动参数”和“波动信息→振动参数”的推导路径。 4. 锁定对应关系是核心 这是这类题型最容易出错的环节，必须明确两个对应： 振动图像对应波动图像中‌某一特定位置的质点‌，要确定你分析的质点在波形图上的具体位置； 波动图像对应振动图像中‌某一特定时刻‌，要确定当前波形是振动图像中哪个时间点的状态。 最后结合质点振动方向就能确定波的传播方向，或反过来由传播方向确定振动方向，进而解决其他问题。 考向1 由某质点振动图像到波动图像 例1 （2025·辽宁·模拟预测）一波源位于x轴上的坐标原点O，其垂直x轴方向做简谐振动的图像如图所示，若在均匀介质中形成简谐波，则T时刻的波形图为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】如图1所示，用手握住长绳的一端，时刻在手的带动下O点开始上下振动，选向上为正方向，其振动图像如图2所示，则以下四幅图中能正确反映时刻绳上形成的波形的是（　　）    A．   B．   C．   D．   考向2 由波动图像判断振动图像 例2（2026·辽宁·一模）现代大型无人机编队表演中，数百甚至上千架无人机通过接收地面控制站发出的无线电指令实现同步飞行。在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立轴，该传播方向上有a、b两架水平方向相距3m的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b两无人机的振动图像分别如图乙、丙所示。则下列说法正确的是（　　） A．无人机a的振动方程为 B．该波的波长可能为4m C．该波的波速大小可能为 D．0.85s末A质点的振动速度大于B质点的振动速度 故选C。 【变式训练1】（2026·甘肃酒泉·一模）如图甲所示是在t＝0时刻一列沿x轴传播的简谐横波，P点的振动图像如图乙所示，由图可知（    ） A．波速为4m/s B．波沿x轴正方向传播 C．在t＝0.8s时间内，质点P运动的路程为4m D．如果这列波能与另一列波发生稳定干涉，则另一列波的频率为1.25Hz 【变式训练2】（2025·黑龙江·模拟预测）一列简谐横波沿轴传播，时，处的质点开始振动，此时的波形如图所示，图乙是质点的振动图像，是位于处的质点，则下列说法正确的是（   ） A．点开始振动的方向沿轴正方向 B．至时间内，质点的路程为 C．，质点的位移为 D．质点开始振动后与坐标原点的振动方向始终相反 【变式训练3】（2025·山东德州·三模）波源O垂直于纸面做简谐运动，其在均匀介质中产生的横波在t=0.10s时的波形如图甲所示，实线表示波峰，虚线表示波谷，波源O及质点P、质点Q的平衡位置在同一直线上。规定垂直纸面向外为正方向，图乙为该介质中某一质点的振动图像。下列说法正确的是（　　） A．该波的波速为25cm/s B．图乙可能为质点M的振动图像 C．t=0.20s时质点P的位置与t=0时质点Q的位置相同 D．t=0.10s时，质点M正垂直纸面向外运动 考向3 波动图像与振动图像综合 例3（2025·黑龙江·二模）如图，甲为一列简谐横波在某时刻的波形图，乙为处质点从此刻开始计时的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．此列波沿x轴负向传播 B．时，处质点的位移为0.5m C．时，处质点的位移为 D．处质点比处质点振动相位滞后 【变式训练1】（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图甲所示为时沿x轴方向传播的简谐横波的波形，图乙为质点b的振动图像，a点为处的质点，时的位移为5cm。则下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴负方向传播 B．该波的波速为6m/s C．时质点a的位移为5cm D．2~3s内质点a通过的路程为10cm 【变式训练2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图甲所示是在时刻一列沿轴传播的简谐横波，点的振动图像如图乙所示，由图可知（　　） A．这列波沿轴正方向传播 B．这列波的波速为 C．如果这列波能与另一列波发生稳定干涉，则另一列波的频率为 D．在时间内，质点运动的路程为 题型七 波的多解问题 知识点1 波的多解性 1.波的周期性 （1）质点振动nT（n＝1,2,3，…）时，波形不变。 （2）在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ时（n＝1,2,3，…），它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为（2n＋1）(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。 2.造成波动问题多解的主要因素 （1）周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 （2）双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 （3）波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 考向1 求周期的多解问题 例1 （2025·黑龙江哈尔滨·二模）一列沿x轴负方向传播的简谐横波时刻的波形如图中实线所示，时刻的波形如图中虚线所示。关于这列波，下列说法正确的是（　　） A．波长为 B．周期一定为 C．频率可能为 D．波速可能为 【变式训练1】（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，实线和虚线分别表示沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图，已知在时刻，介质中处的质点P沿y轴负方向运动，Q的纵坐标为，下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴正方向传播 B．内，质点P的路程可能为 C．若周期，则波速为 D．若周期，Q的振动方程为 【变式训练2】（多选）（2026·江西南昌·三模）如图所示，波速为30m/s，向右传播的机械横波，在时刻的部分波形对应图中的实线所示，时刻的部分波形对应图中的虚线所示（），A、B两质点间的距离为7.5m，下列说法正确的是（     ） A．这列波的频率为0.25Hz B．时刻质点B的加速度最大 C．时刻质点A向上振动 D．与的差值为 考向2 传播方向的多解问题 例2（2026·安徽合肥·模拟预测）一列沿轴传播的简谐横波在某时刻的波形图如图甲所示，平衡位置位于x=4m处的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示。若该波的波长大于4m，则（    ） A．周期为2.5s B．最小波长为16m C．最大波速为10m/s D．从该时刻起经过，处质点的位移为，且向方向振动 【变式训练1】（多选）（2026·四川成都·一模）一列简谐横波沿x轴传播在t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.5s时刻的波形如图中虚线所示，虚线恰好过质点P的平衡位置。已知质点P平衡位置的坐标x=0.5m。下列说法正确的是（　　） A．该简谐波传播的最小速度为1.0m/s B．若波向轴正方向传播，质点P比质点Q先回到平衡位置 C．若波向轴负方向传播，质点P运动路程的最小值为5cm D．质点O的振动方程可能为 【变式训练2】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）一列简谐横波沿轴传播，时刻的波形如图所示。图中质点的纵坐标为，质点的平衡位置在处。已知时，质点到达负向最大位移处，该波的周期，下列说法正确的是（　　） A．该波一定沿轴正方向传播 B．该波的周期可能为8s C．该波的波速可能为 D．从到，质点通过的路程可能为 题型八 波的干涉、衍射、多普勒效应 知识点1 波的干涉、衍射及多普勒效应的概念 1.波的叠加 观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。 2.波的干涉和衍射 波的干涉 波的衍射 条件 两列波的频率必须相同 明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多 现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播 3.多普勒效应 （1）定义：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感受到波的频率发生变化的现象。 （2）实质：波源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。 （3）规律 ①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大； ②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小； ③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。 知识点2 波的干涉的判断 1.波的干涉中振动加强点和减弱点的判断 （1）根据干涉图样判断 ①波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点，一定是加强点； ②波峰与波谷的交点一定是减弱点。 （2）根据路程差判断 某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的路程差Δr。 ①当两波源振动步调一致时：若Δr＝nλ（n＝0,1,2…），则振动加强； 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动减弱。 ②当两波源振动步调相反时： 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动加强； 若Δr＝nλ（n＝0,1,2…），则振动减弱。 知识点3 对波的衍射的理解 1.衍射是否明显，要看孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长的比值，比值越小，衍射现象相对越明显。 2.任何时候都会产生衍射现象，只有明显和不明显的差异。当衍射现象弱时，可认为波沿直线传播。 知识点4 对多普勒效应的判断 多普勒效应的成因与判断 （1）接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝。 （2）判断方法：当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，相互远离时，接收到的频率变小。 考向1 波的干涉 例1 （2026·河北邢台·二模）如图所示，一均匀介质中方波甲的一个完整波形向右传播，波峰为A，波谷为-2A，简谐横波的一个完整波形向左传播，振幅为A，方波的波峰、波谷宽度与简谐横波的半波长相等。某时刻两波分别传到M、N两点，则之后x轴上M、N间某质点的振动图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026·湖北武汉·三模）两列简谐横波分别沿x轴正向和x轴负向传播，两波源P、Q分别位于和处，两列波的周期均为1.0 s，振幅均为0.2 m。时刻的波形图如图所示，其中区域为介质Ⅰ，区域为介质Ⅱ，M点的坐标是。下列说法正确的是（    ） A．P、Q起振方向相反 B．时，两列波相遇 C．质点M在内的路程为0.6 m D．P、Q连线之间（含P、Q两点）有7个振动加强点 【变式训练2】（2026·辽宁朝阳·模拟预测）钱塘江大潮，在中国文化中是时序节律、民俗精神的多重象征。如图甲所示，某次观测到产生鱼鳞潮的两列振幅均为的水波以的速度向前行进，假设本次鱼鳞潮的水波波长为，其模型可简化为图乙所示。实线表示波峰，虚线表示波谷。为的中点，是延长线上与点相距的点，与点相交的两条实线是两列波最靠前的波峰。则下列正确的是（　　） A．图中、两点振动始终加强，而点振动始终减弱 B．此时点的振动方向向下 C．图示时刻、两点间的高度差为 D．从图示时刻再经，点开始振动 考向2 波的衍射 例2（2026·辽宁·二模）9月18日上午9点18分，沈阳上空响起防空警报，某条街道上驾车市民都自发停车鸣笛，参与”勿忘国耻、珍爱和平”的纪念活动。某同学走在人行路上，仔细听车辆的鸣笛声，结合所学的知识进行了如下判断，其中正确的是（　　） A．两辆车发出的声波相遇，一定会在空气中产生干涉现象 B．声波遇到障碍物时，只有当障碍物尺寸小于波长时，才会发生衍射 C．声波遇到障碍物反射后，其频率保持不变 D．当鸣笛车辆与该同学发生相对运动时，声波的传播速度随之改变 【变式训练1】（2026·江西·模拟预测）带操是艺术体操项目之一，使用彩带作为器械．某次比赛中彩带的运动可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，t=0.2 s时的波形图如图甲所示，P是平衡位置在x=3 m处的质点，Q是平衡位置在x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像．下列说法正确的是（    ） A．t=0.2 s时刻质点P正沿y轴正方向运动 B．这列波遇到尺寸为8 m的障碍物时不能发生衍射现象 C．如果将波源的振动周期增大为0.8 s，则该波的波速为20 m/s D．平衡位置在x=2 m和x=6 m处的质点振动方向总是相同的 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·二模）如图所示是观察水面波衍射的实验装置，和是两块挡板，是一个孔，是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间距离表示一个波长。关于波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是（　　） A．如果将孔扩大，有可能不能发生衍射现象 B．挡板前后波纹间距离不等 C．此时能明显观察到波的衍射现象 D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现象 考向3 波的多普勒效应 例3（2026·湖北武汉·模拟预测）关于教材中出现的以下四张图片，下列说法错误的是（     ） A．图1所示疾驰而过的急救车使人感觉音调变化，是由于多普勒效应引起的 B．图2所示竖直的肥皂膜看起来常常是水平彩色横纹，是由于光的衍射产生的 C．图3所示泊松亮斑现象是由于光的衍射产生的 D．图4所示水中的气泡看上去特别明亮，是由于光的全反射引起的 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）声现象在生产、生活和乐器演奏中十分常见，则（　　） A．救护车鸣笛驶向路口时，路口行人听到的笛声频率比声源频率高 B．做“彩超”检查，是利用了超声波的衍射现象 C．琴弦与音叉固有频率不同，也会发生明显共振 D．用音叉校准琴弦，利用的是波的干涉现象 【变式训练2】（2026·广西南宁·三模）关于多普勒效应，下列说法正确的是（    ） A．急救车从身边疾驰而过时，听到鸣笛的音调发生变化的现象属于多普勒效应 B．多普勒效应说明波源的振动频率发生了改变 C．金属安检门的工作原理是多普勒效应 D．电磁波没有多普勒效应 【真题回顾】 1．（2026·浙江·高考真题）在地质探测中，可利用横波传播速度的不同，探测岩石密度信息。选择岩石分界面上的一点为原点、垂直分界面方向为x轴，建立如图所示的坐标系。在坐标原点安装周期、振幅的人工振源。时振源从平衡位置（）开始沿y轴正方向振动，同时向两侧传播简谐横波。时在岩石Ⅰ（）中的波恰好到达处，岩石Ⅱ（）中的波速为，则（   ） A．岩石Ⅰ和岩石Ⅱ中两波波长之比为 B．时，处质点的振动方向沿y轴正方向 C．在内，处质点经过的路程为21mm D．增大振源的振动周期，岩石Ⅱ中的波速将变小 2．（2025·浙江·高考真题）如图甲所示，有一根长、两端固定紧绷的金属丝，通过导线连接示波器。在金属丝中点处放置一蹄形磁铁，在中点附近范围内产生、方向垂直金属丝的匀强磁场（其他区域磁场忽略不计）。现用一激振器使金属丝发生垂直于磁场方向的上下振动，稳定后形成如图乙所示的不同时刻的波形，其中最大振幅。若振动频率为f，则振动最大速度。已知金属丝接入电路的电阻，示波器显示输入信号的频率为。下列说法正确的是（　　） A．金属丝上波的传播速度为 B．金属丝产生的感应电动势最大值约为 C．若将示波器换成可变电阻，则金属丝的最大输出功率约为 D．若让激振器产生沿金属丝方向的振动，其他条件不变，则金属丝中点的振幅为零 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（   ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 4．（2025·四川·高考真题）某多晶薄膜晶格结构可以等效成缝宽约为3.5×10−10m的狭缝。下列粒子束穿过该多晶薄膜时，衍射现象最明显的是（　　） A．德布罗意波长约为7.9×10−13m的中子 B．德布罗意波长约为8.7×10−12m的质子 C．德布罗意波长约为2.6×10−11m的氮分子 D．德布罗意波长约为1.5×10−10m的电子 5．（2025·北京·高考真题）“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。”除了夜深人静的原因，从波传播的角度分析，特定的空气温度分布也可能使声波传播清明致远。声波传播规律与光波在介质中传播规律类似。类比光线，用“声线”来描述声波的传播路径。地面上方一定高度S处有一个声源，发出的声波在空气中向周围传播，声线示意如图（不考虑地面的反射）。已知气温越高的地方，声波传播速度越大。下列说法正确的是（　　） A．从M点到N点声波波长变长 B．S点气温低于地面 C．忽略传播过程中空气对声波的吸收，则从M点到N点声音不减弱 D．若将同一声源移至N点，发出的声波传播到S点一定沿图中声线 6．（2025·安徽·高考真题）如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确的是（　　） A．弹簧上形成的波是横波 B．推、拉弹簧的周期越小，波长越长 C．标记物振动的速度就是机械波传播的速度 D．标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量 7．（多选）（2025·天津·高考真题）位于坐标原点的波源从平衡位置开始沿y轴运动，在均匀介质中形成了一列沿x轴正方向传播的简谐波，P和Q是平衡位置分别位于和处的两质点，时波形如图所示，此时Q刚开始振动，时Q第一次到达波谷。则（　　） A．该波在此介质中的波速为 B．波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向 C．P的位移随时间变化的关系式为 D．平衡位置位于处的质点在时第一次到达波峰 8．（多选）（2025·全国卷·高考真题）一组身高相近的学生沿一直线等间隔排成一排，从左边第一位同学开始，依次周期性地“下蹲、起立”，整个队列呈现类似简谐波的波浪效果，如图所示。假定某次游戏中，形成的波形的波长为4m，左边第一位同学蹲至最低点时，队列中另一位同学恰好站直，则这两位同学间的距离可能是（   ） A．1m B．2m C．5m D．6m 9．（多选）（2025·重庆·高考真题）一浮筒（视为质点）在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪（视为简谐波）。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则（　　） A．该波的波长为4r B．该波的波速为2fr C．此时浮筒在最低点 D．再经过，浮筒将在最低点 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第31讲 机械振动、机械波 题型一 简谐运动的基本规律 知识点1 简谐运动的基本知识 一、简谐运动 1.定义：如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，这样的运动就是简谐运动。 2.平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。 3.回复力 （1）定义：使物体返回到平衡位置的力。 （2）方向：总是指向平衡位置。 （3）性质：属于效果力。 （4）来源：可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。 4.描述简谐运动的物理量 物理量 定义 意义 位移（x） 由平衡位置指向质点所在位置的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于平衡位置的位移 振幅（A） 振动物体离开平衡位置的最大距离 描述振动的强弱和能量 周期（T） 振动物体完成一次全振动所需时间 描述振动的快慢，两者互为倒数：T＝。 频率（f） 振动物体单位时间内完成全振动的次数 5.简谐运动的两种模型的比较 模型示意图 弹簧振子 单摆 简谐运 动条件 （1）弹簧质量可忽略 （2）无摩擦和空气阻力 （3）在弹簧弹性限度内 （1）摆线为不可伸缩的轻细线 （2）无空气阻力 （3）最大摆角小于5° 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝ 2π　 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒 知识点2 简谐运动的特征 简谐运动的五个特征： 1.受力特征：回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，与x的方向相反。 2.运动特征：靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小。 3.能量特征：振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。 4.周期性特征：质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为。 5.对称性特征 （1）相隔Δt＝nT（n＝1,2,3…）的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同。 （2）相隔Δt＝（n+½）T（n＝0,1,2…）的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向（或都为零），速度也等大反向（或都为零）。 （3）如图所示，振子经过关于平衡位置O对称的两点P、P′（OP＝OP′）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 （4）振子由P到O所用时间等于由O到P′所用时间，即tPO＝tOP′。 （5）振子往复过程中通过同一段路程（如OP段）所用时间相等，即tOP＝tPO。 考向1 简谐运动的规律 例1 （2026·陕西西安·模拟预测）如图所示，一质量均匀分布的木块竖直浮在水面上，现将木块竖直向上拉一小段距离后由静止释放，并开始计时，经时间木块第一次回到原位置，在短时间内木块在竖直方向的上下振动可近似看作简谐运动，则在时间内木块运动的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】规定竖直向上为正方向，则该简谐运动的位移公式为 当时，有 所以在时间内木块从最高点向下运动的距离为 故选A。 【变式训练1】（2026·河南郑州·二模）某同学在粗细均匀的木筷下端绕几圈铁丝，然后将其竖直浮在较大的装有水的杯中。、、是木筷上等间距的各点，静止时，点恰好与水面平齐。现把木筷向上提起至点与水面平齐后由静止释放，木筷做周期为3 s的简谐振动，则一个周期内点在水面以下的时间是（　　） A． B． C．2s D． 【答案】C 【详解】木筷静止时O点与水面平齐，说明O点是简谐振动的平衡位置。设O、P、Q三点的间距为L，将木筷提至Q点与水面平齐时释放，此时O点在水面上方2L处，且静止释放，因此简谐振动的振幅A=2L 周期T=3s，角频率 以平衡位置O为原点，向下为正方向，t=0s时O点位移x=−2L 初速度为0，因此位移方程为 P点在O点下方L处，因此P点相对于水面的位置为 P点在水面以下，即，代入位移方程得 化简得 令，一个周期内。由于 解得 对应时间 解得 因此一个周期内P点在水面以下的时长为 故选C。 【变式训练2】（2026·四川广安·模拟预测）如图所示，小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端，斜面倾角。小球在斜面上做简谐运动，振幅为A，到达最高点时，弹簧处于原长，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g，则小球的最大速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】小球在斜面上做简谐运动，平衡位置是合力为零的位置。 沿斜面方向平衡时，重力分力与弹簧弹力平衡 简谐运动的最大速度出现在平衡位置，对从最高点到平衡位置过程由动能定理得 代入化简得 因此最大速度 故选C。 考向2 弹簧振子模型 例2（2026·山东烟台·二模）一劲度系数为k的轻质弹簧竖直放置，下端固定在地面上，上端固定连接一个轻质的小托架。质量为m的小球从离托架一定高度处由静止开始自由下落，小球恰好落到托架中心位置，然后经过一段时间又回到初始下落位置。不计空气阻力，弹簧始终在弹性范围内，已知弹簧振子周期，弹簧弹性势能表达式，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量，m为弹簧振子的质量，重力加速度为g。若小球在上述运动过程中的最大加速度大小为2g，则小球从初始下落位置到第一次到达最低点的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小球开始时距离托架h，有 小球接触托架后与托架一起向下运动，继续压缩弹簧向下运动的过程符合简谐振动，在简谐运动的平衡位置处小球受力平衡，加速度为0，此时弹簧的压缩量设为，有 所以 小球运动到最低点时速度为0，加速度最大，设弹簧压缩量为，有 所以 所以简谐运动的振幅为 可以写出简谐振动的位移表达式 设竖直向下为运动的正方向，小球刚接触弹簧时速度方向向下，位移为 根据三角函数关系可得初始相位 所以从接触弹簧开始运动到最低点的过程中所用的时间 从小球释放到弹簧压缩到最短的过程中系统的机械能是守恒的，所以 可解得 运动的总时间为 故选C。 【变式训练1】（2026·安徽芜湖·模拟预测）如图甲所示，一光滑斜面固定在水平地面上，其底端固定一轻质弹簧，将质量为的物块从斜面顶端由静止释放，物块运动到最低点的过程中，其加速度随位移变化的规律如图乙所示，则（     ） A．弹簧的劲度系数为 B． C．弹簧的最大弹性势能为 D．物块的最大动能为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，在过程中，物块加速度恒为，说明物块未接触弹簧，斜面光滑，由牛顿第二定律得 在处加速度为0，物块受力平衡，此时弹簧压缩量为，由平衡条件得 联立解得弹簧劲度系数，故A错误； B．物块接触弹簧后做简谐运动，平衡位置在处。若物块在处速度为0，根据简谐运动的对称性，应有 但物块在处已经具有向下的速度，说明物块会运动到关于对称点的下方才停止，即振幅大于，所以，故B错误； C．物块运动到最低点时，速度为0，弹簧弹性势能最大。对物块从释放到最低点的全过程应用机械能守恒定律，重力势能的减小量等于弹性势能的增加量，即 又 所以，故C错误； D．物块向下先做匀加速运动，挤压弹簧后做加速度逐渐减小的加速运动，当位移为时，动能最大，由动能定理可知最大动能为 联立， 解得，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·浙江·二模）如图甲所示是用手机和轻弹簧制作的一个振动装置示意图。手机内置加速度传感器记录了手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线，如图乙中实线1所示（以竖直向上为正方向）。下列说法正确的是（     ） A．t=0.2s时，弹簧弹力为0 B．t=0.4s时，手机正在向下运动 C．从t=0.4s至t=0.6s过程中，手机的动能不断减小 D．更换劲度系数更小的弹簧，所得曲线可能如图中的虚线2所示 【答案】C 【详解】A．时加速度为正方向最大值（向上最大加速度），对手机受力分析：合力 得弹簧弹力，故A错误； B．：手机从平衡位置向最低点（下方）运动，到达最低点，速度减为0； ：手机从最低点向上运动回到平衡位置，到达平衡位置，速度方向向上，因此手机向上运动，故B错误； C．，手机从平衡位置向最高点运动，远离平衡位置，速度不断减小，因此动能不断减小，故C正确； D．弹簧振子周期公式，劲度系数更小，周期更大；由图可知虚线2的周期比实线1更小，不符合规律，故D错误。 故选C。 题型二 简谐运动的公式和图像 知识点1 简谐运动的表达式和图像 1.简谐运动的表达式 （1）动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力方向与位移的方向相反。 （2）运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ），ωt＋φ为相位，φ为初相，ω为圆频率，ω与周期T的关系为ω＝ 。 2.简谐运动的振动图像 表示做简谐运动的物体的位移随时间变化的规律，是一条正弦曲线。 知识点2 简谐运动的图像的解读 1.简谐运动的振动方程和图像 （1）从平衡位置开始计时：x＝Asin ωt，如图甲所示。 （2）从最大位移处开始计时：x＝Acos ωt，如图乙所示。 （3）图像反映的是位移随时间的变化规律，随时间的增加而延伸，图像不代表质点运动的轨迹。 2.图像信息的解读 （1）确定振动质点在任一时刻的位移：图中t1、t2时刻的位移分别为x1＝7 cm，x2＝－5 cm。 （2）确定振动的振幅、周期和频率：图中的振幅A＝10 cm。周期T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期。 （3）确定质点的振动方向：图中的t1、t3时刻，质点向正方向运动；t2时刻，质点向负方向运动。 （4）确定质点加速度的大小和方向：由于回复力总是指向平衡位置，所以加速度在图像上总是指向t轴，图中t1时刻加速度a1为负，t2时刻加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|。 考向1 振动图像的应用 例1 （2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，其振动图像如图所示。下列说法正确的是（    ） A．图线的某点的切线的斜率即是弹簧振子在某时刻的加速度 B．在、内相对平衡位置的位移方向跟它的瞬时速度方向相同 C．弹簧振子在前内通过的路程是 D．弹簧振子在第初的位移大小是 【答案】C 【详解】A．位移-时间图线的某点的切线的斜率即某时刻的速度，故A错误； B．弹簧振子相对平衡位置的位移的方向在和内跟它的瞬时速度的方向相反，故B错误； C．弹簧振子在前内通过的路程是，故C正确； D．弹簧振子在第初的位移是0，故D错误。 故选C。 【变式训练1】 如图甲所示，弹簧振子在竖直方向上做简谐运动，以竖直向上为正方向，图乙为其位移随时间变化的图像。下列说法正确的是（     ） A．时刻弹簧处于原长 B．振子位于最高点时弹簧相对原长的形变量为A C．与时刻振子的加速度相同 D．与时刻振子的加速度相同 【答案】C 【详解】A．时刻重力等于弹力，弹簧被压缩，故A错误； B．振子位于最高点时振子离开平衡位置的位移为，但弹簧相对于原长形变量不为，故B错误； C．由图乙可知，与时刻振子位移相同，加速度相同，故C正确； D．与时刻振子的加速度大小相同，方向相反，故D错误。 故选C。 【变式训练2】 （25-26高二·全国）如图甲所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，图乙为这个弹簧振子的振动图像，向右为正方向，由图可知下列说法中正确的是（     ） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．从到时间内，弹簧振子做加速度减小的减速运动 C．在与两个时刻，弹簧振子在同一位置 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【答案】C 【详解】A．在时，弹簧振子位移正向最大，可知此时的加速度为负向最大，A错误； B．从到时间内，弹簧振子位移逐渐变大，则回复力变大，加速度变大，即弹簧振子做加速度增大的减速运动，B错误； C．在与两个时刻，弹簧振子的位移相同，在同一位置，C正确； D．在时，弹簧振子有负向的最大的位移，D错误。 故选C。 【变式训练3】 如图甲所示，直立的轻弹簧一端固定在地面上，另一端拴住一个物块。现让该物块在竖直方向做简谐运动，从物块所受合力为零开始计时，取向上为正方向，其简谐运动的位移-时间图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．当时，物块对弹簧的弹力最小 B．在和两时刻，弹簧的弹力大小相等 C．在0.25s~0.50s内，物块做加速度逐渐增大的加速运动 D．在0.25s~0.50s内，物块重力势能减小 【答案】D 【详解】A．当时，物块在平衡位置处，加速度为零，弹簧的弹力等于物块重力，弹力既不是最小也不是最大，A错误； B．时，物块在平衡位置上方最大位移处，弹力 时，物块在平衡位置下方最大位移处，弹力 在和两时刻，物块相对平衡位置的位移大小相等，即弹簧的弹力不相等，B错误； C．在0.25s~0.50s内，物块从最高点向平衡位置运动，相对平衡位置的位移逐渐减小，则物块所受合力逐渐减小，加速度减小，即物块做加速度逐渐减小的加速运动，C错误； D．在0.25s~0.50s内，物块从最高点向平衡位置运动，高度降低，物块的重力势能减小，D正确。 故选D。 【变式训练4】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图甲所示，底部固定有砂粒的塑料管竖直浮于水面，将塑料管向下压一小段距离后释放，砂粒（视为质点）随塑料管在竖直方向做简谐运动。取竖直向上为正方向，一段时间内砂粒的振动图像如图乙所示，则砂粒（　　） A．振动的振幅为 B．振动的频率为 C．在时距平衡位置 D．在时加速度方向竖直向下 【答案】BD 【详解】A．由图可知砂粒振动的振幅为，故A错误； B．由图可知砂粒振动的周期为0.4s，则频率，故B正确； C．由图可得砂粒的振动方程为 当时，，即在时距平衡位置，故C错误； D．由图可知，在时位移竖直向上且最大，根据牛顿第二定律可得可知此时加速度方向竖直向下，故D正确。 故选BD。 题型三 受迫振动和共振 知识点1 受迫振动和共振的概念 1.受迫振动 （1）概念：系统在驱动力作用下的振动。 （2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于驱动力的频率，与物体的固有频率无关。 2.共振 （1）概念：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，物体做受迫振动的振幅达到最大的现象。 （2）共振的条件：驱动力的频率等于物体的固有频率。 （3）共振的特征：共振时振幅最大。 （4）共振曲线（如图所示）。 f ＝f0时，A＝Am，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅越小。 知识点2 受迫振动和共振的比较 简谐运动、受迫振动和共振的关系比较 振动类型 简谐运动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力 振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T0或f驱＝f0 振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大 常见例子 弹簧振子或单摆（θ≤5°） 机械工作时底座发生的振动等 共振筛、声音的共鸣等 考向1 受迫振动 例1 如图所示为某弹簧振子的振动图像，则该振子（     ） A．产生的机械波的波速增加 B．产生的机械波的频率增加 C．做受迫振动 D．做阻尼振动 【答案】C 【详解】A．机械波波速由介质决定，因为介质不变，所以波速不变，故A错误； B．机械波频率由振源决定，所以频率不变，故B错误； CD．振子振幅增大，做受迫振动，如果做阻尼振动，振幅将减小，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练1】 如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把，曲轴可带动弹簧振子上下振动。开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为2Hz。现匀速转动摇把，转速为。则（　　） A．当振子稳定振动时，它的振动周期是0.5s B．当振子稳定振动时，它的振动频率是2Hz C．当转速增大时，弹簧振子可能发生共振 D．当转速减小时，弹簧振子可能发生共振 【答案】D 【详解】AB．摇把转速 即驱动力的频率 受迫振动稳定时，振动周期等于驱动力的周期，振动频率等于驱动力的频率，故当振子稳定振动时，它的振动频率是，振动周期，AB错误； C．由题意可知，振子固有频率 转速增大时，驱动力频率增大，会大于，与固有频率的差值越来越大，无法发生共振，C错误； D．转速减小时，驱动力频率减小，当减小到等于固有频率时会发生共振，因此可能发生共振，D正确。 故选D。 【变式训练2】 如图所示，三根轻质弹性细杆上端分别固定相同的小球，下端固定在一平板上。当平板固定时，杆越长，小球振动的周期越大。现对平板施加周期性驱动力，使平板左右振动并带动各小球振动，稳定后观察到B球的振动幅度最大。则关于稳定后各小球的振动情况，下列说法正确的是（    ） A．小球B振动周期最大 B．只有小球B的振动周期与平板振动周期相同 C．三个小球的振动周期均与平板振动周期相同 D．若缓慢增大驱动力的频率，则可以观察到C球的振动幅度变大 【答案】C 【详解】ABC．根据题目描述，小球B的振动幅度最大，这表明小球B的固有周期与平板振动周期相同或相近，即小球B处于共振状态。三个小球的振动周期与振动振幅无关，等于平板振动的周期，故AB错误，C正确； D．若缓慢增大驱动力频率，即减小了驱动力的周期，由于平板固定时，杆越长，小球振动的周期越大，则小球A的固有周期最小，所以小球A的振动幅度变大，故D错误。 故选C。 【变式训练3】 跳板跳水是运动员在弹性跳板上起跳，在空中完成翻腾转体动作后入水的竞技项目。跳水运动员在起跳前通过周期性上下移动重心使跳板周期性振动，某次训练中运动员重心的振幅为12cm，起跳前跳水运动员双脚没有离开跳板，跳板振动的固有频率为，下列说法正确的是（　　） A．运动员位移最大时，其加速度为零 B．运动员在任意一个周期内的位移均为48cm C．无论运动员的振动频率是多少，跳板振动的频率都为 D．运动员的振动周期为0.6s时，运动员和跳板发生共振 【答案】D 【详解】A．运动员随跳板做简谐运动，加速度满足 位移最大时，回复力最大，加速度最大，故A错误； B．位移是初位置指向末位置的有向线段，一个周期后运动员回到初始位置，位移为0，故B错误； C．跳板的振动是受迫振动，稳定时振动频率等于运动员给的驱动力频率，随驱动力频率变化而变化，并非固定为，故C错误； D．运动员振动周期为0.6s时，驱动力频率 当驱动力频率等于跳板固有频率时发生共振，故D正确。 故选D。 考向2 共振及其应用 例2（2026·四川资阳·三模）如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），下列说法正确的是（　　） A．此单摆的摆长约为0.5m B．此单摆的固有周期约为0.5s C．若摆长变小，共振曲线的峰将左移 D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移 【答案】D 【详解】AB．由图像可知，此单摆的固有频率为，则固有周期约为，根据可得，此单摆的摆长约为L=1m，AB错误； C．若摆长变小，则固有周期减小，固有频率变大，则共振曲线的峰将右移，C错误； D．若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，根据，因月球上重力加速度较小，可知固有周期变大，固有频率减小，则共振曲线的峰将左移，D正确。 故选D。 【变式训练1】（2026·河南南阳·模拟预测）某桥梁检测团队用“共振法”检测桥梁固有频率：将一个频率可调的振动发生器固定在桥梁某支撑点（视为简谐振动源），当振动发生器频率调至桥梁振幅最大时，在桥梁另一端的振动传感器测得振动波的传播速度为，振动发生器的竖直位移随时间变化的规律为。已知振动传感器与振动发生器的水平距离满足，且某时刻振动传感器检测到波峰时，振动发生器恰好处于平衡位置并向y轴负方向运动。则下列说法正确的是（　　） A．桥梁的固有周期为0.1s B．振动波的波长为40m C．振动传感器与振动发生器的水平距离可能为150m D．振动传感器与振动发生器的水平距离可能为195m 【答案】D 【详解】A．振动发生器的位移函数为，频率 周期 共振时驱动频率等于桥梁固有频率，故桥梁固有周期为，故 A 错误； B．波长，故 B 错误； CD．当传感器检测到波峰时，振动发生器处于平衡位置并向y 轴负方向运动。则两者间相距（n=0.1.2…） 在 范围内，可能为或，故C错误D正确。 故选D。 【变式训练2】（2025·贵州·模拟预测）工程师在验收某即将通车的跨江大桥时发现，桥面在风力的驱动下有比较明显的振动。他用传感器测得桥面振动的频率为。下列说法正确的是（　　） A．当风的驱动频率发生变化时，桥面的振动频率保持为不变 B．当风的驱动频率恰好等于桥的固有频率时，桥面将不会振动 C．为防止共振，可以通过改变桥的固有频率来实现 D．当风的驱动频率逐渐增大时，桥面振幅一定也会增大 【答案】C 【详解】A．在受迫振动中，系统的振动频率始终等于驱动频率。若风的驱动频率变化，桥面的振动频率也会相应变化，不会保持为2.2Hz不变，A错误； B．当驱动频率等于桥的固有频率时，发生共振，桥面振幅达到最大，而非不会振动，B错误； C. 共振条件为驱动频率等于固有频率。为防止共振，可通过改变桥的结构（如增加质量或调整刚度）来改变其固有频率，使其避开常见驱动频率，C正确； D. 在受迫振动中，振幅与驱动频率的关系取决于其与固有频率的相对位置：当驱动频率接近固有频率时，振幅增大；等于固有频率时，振幅最大；超过固有频率后，振幅减小。因此，驱动频率逐渐增大时，振幅不一定增大，D错误。 故选C。 【变式训练3】 把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，如图甲所示，该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心轮转速提高，增加筛子质量，可增大筛子的固有周期，则下列说法正确的是（　　） A．增大电压，筛子的振幅一定会先增大再减小 B．增大筛子质量，筛子的振幅一定会增大 C．偏心轮的转速为时，筛子的振幅最大 D．偏心轮的转速为时，筛子的振幅最大 【答案】C 【详解】AB．筛子做受迫振动，故与偏心轮的转速有关，所以增大电压，转速提高，筛子上农作物漏出质量减小，则筛子固有周期减小，固有频率增大，由于开始转速未知，故无法确定振幅变化规律，故AB错误； CD．由图乙可知，该共振筛的固有频率为0.8Hz，则偏心轮的转速为48r/min时，频率为 可知会发生共振现象，振幅最大，故C正确，D错误。 故选C。 题型四 单摆及其周期公式 知识点1 单摆的受力特征 1.单摆的受力特征 （1）回复力：摆球重力沿与摆线垂直方向的分力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。 （2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向分力的合力充当向心力，F向＝FT－mgcos θ。 （3）两点说明 ①当摆球在最高点时，F向＝＝0，FT＝mgcos θ。 ②当摆球在最低点时，F向＝，F向最大，FT＝mg＋m。 知识点2 单摆的周期公式 1.周期公式T＝2π的理解 （1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。 （2）g为当地重力加速度。 说明：在不同星球表面：g′＝，M为星球的质量，R为星球的半径。 2.等效摆长及等效重力加速度 有些情况下，单摆处在并非只有重力场的环境中，即为类单摆，则T＝2π，其中g′和l′的意义如下： （1）l′——等效摆长：摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l′＝r＋Lcos α。乙图中小球（可看作质点）在半径为R的光滑圆槽中靠近A点的附近振动，其等效摆长为l′＝R。 （2）g′——等效重力加速度一般情况下，g′＝，F为单摆摆球相对于摆动圆弧的圆心静止时，摆线或圆弧轨道对摆球的作用力，如图丙中g′＝＝gsin α。如图丁中g′＝＝。 考向1 单摆及其振动图像 例1 （2025·湖北武汉·模拟预测）如图是用传感器和计算机描绘的甲、乙两个单摆的振动图像。关于两个单摆运动的描述，下列说法正确的是（　　） A．甲单摆的振动方程为 B．任意内，乙单摆经过的路程均为 C．甲、乙单摆的摆长之比为 D．甲、乙单摆的最大摆角之比为 【答案】C 【详解】A．由图可知， 经检验分析可得甲单摆的振动方程为，选项A错误； B．由图可知 为四分之一个周期，经过的路程与计时起点有关，选项B错误； C．根据周期公式 可得摆长 将两单摆周期代入，可得两单摆的摆长之比为，选项C正确； D．设最大摆角为，振幅为，由 可得最大摆角为 则甲、乙两单摆的最大摆角之比 代入数据得，选项D错误。 故选C。 【变式训练1】（2025·河北秦皇岛·一模）如图甲所示是一个单摆，摆球在竖直面做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度大小为，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由此可知（　　） A．该单摆振动的频率为 B．振动方程为 C．时，摆球速度大小为 D．时，摆球加速度为零 【答案】B 【详解】A．由振动图，可知周期为，即可得频率 解得 故A错误； B．由振动图可得到振幅，因为 联立以上解得质点的振动方程为 故B正确； C．由质点的振动图的斜率表示速度，可知时，摆球速度大小为0，故C错误； D．由回复力与位移的关系，结合振动图，可知摆球在平衡位置，速度最大，在竖直方向上，拉力与重力的合力提供向心力，即小球有向心加速度，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（2026·北京顺义·一模）某单摆做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式为，关于此单摆，下列说法正确的是（　　） A．振幅为8cm B．周期为1.25s C．摆长为1m D．t=0.2s时，速度为零 【答案】D 【详解】AB．单摆做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式可知，振幅为，角频率 所以周期为，故AB错误； C．根据单摆的周期公式，代入数据解得，故C错误； D．t=0.2s时，位移为，摆球处于正的最大位移处，此时速度为0，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（2025·黑龙江·二模）如图所示是同一地点的甲、乙两单摆的部分振动图像，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两单摆的摆长之比为 B．乙单摆的振动方程 C．甲单摆的机械能小于乙单摆的机械能 D．内，甲摆球的重力势能增大，乙摆球的重力势能减小 【答案】B 【详解】A．由振动图像可知，甲、乙单摆的周期， 根据单摆周期公式 可知 故A错误； B．对乙单摆有， 故 由图可知，时刻，乙单摆的位移为0，且向负方向运动，故乙单摆的振动方程为 故B正确； C．单摆的机械能与摆球的质量、振幅等因素有关，仅从振动图像无法判断两单摆小球的质量关系，所以不能比较机械能的大小，故C错误； D．内，甲、乙摆球均从平衡位置向最高点运动，故甲、乙摆球的重力势能均增大，故D错误。 故选B。 【变式训练4】（多选）（2026·四川成都·二模）如图甲所示，单摆摆球在竖直面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，最大摆角α为5°，悬点O处接有一力传感器，记录摆线拉力大小F随时间t变化的关系如图乙所示。下列判断正确的是（　　） A．单摆的周期为1s B．单摆的周期为2s C．时刻，摆球在A点 D．时刻，摆球在B点 【答案】BD 【详解】AB．单摆摆球在最低点B时速度最大，由牛顿第二定律 可知此时拉力最大；在最高点A、C时速度为零，拉力最小。由图乙可知，拉力变化的周期为，而单摆在一个周期内两次经过最低点，拉力两次达到最大值，故单摆的周期，故A错误，B正确； C．由图乙可知，时拉力达到最大值，对应摆球经过最低点B，故C错误； D．由图乙可知，时拉力达到最大值，对应摆球经过最低点B，故D正确。 故选BD。 【变式训练5】（多选）（2026·广西贵港·一模）如图甲所示，有一根较长的细线和一个较小的沙漏。当沙漏小角度摆动时，分别以不同速度匀速拉动沙漏下方的木板，漏出的沙在木板上会形成一条曲线，如图乙所示。已知OB=O′B′，假设沙漏小角度摆动过程中，单位时间内漏出的细沙体积不变，则下列说法正确的是（　　） A．木板1中曲线上各位置处堆积的细沙一样多 B．木板1、2中的A、A′两位置处堆积的细沙不一样多 C．木板1拉动的速度与木板2拉动的速度之比为4:3 D．木板1拉动的速度与木板2拉动的速度之比为3:4 【答案】BD 【详解】A．木板1中曲线上，沙漏经过各位置处时的瞬时速率不相等，所以漏出的细沙不是一样多的，故A错误； B．沙漏经过木板1、2中的曲线A、A′两位置时，沙漏的运动速率大小相等，但拉动木板的速度不等，故漏出的细沙不一样多，故B正确； CD．设沙漏摆动周期为T，由图乙可知木板1移动距离OB用时2T，木板2移动距离O′B′用时1.5T，由速度公式， 可得，木板1拉动的速度与木板2拉动的速度之比为3:4，故C错误，D正确。 故选BD。 考向2 单摆的周期及其等效摆长 例2（2026·重庆·模拟预测）图1中，用一轻质细线将一可视为质点的小球悬挂在天花板上，其摆动周期为T1；图2中，用一轻质细线将该小球挂在光滑固定的斜面上，使其紧贴斜面摆动，摆动周期为T2；图3中，用两根等长的轻质细线将该小球悬挂在水平天花板上，使其沿垂直纸面方向摆动，摆动周期为T3。若所有摆动均视为单摆运动，且所有细线长度相同，重力加速度均为g，则（　　） A．T2>T1>T3 B．T1>T3>T2 C．T1>T2>T3 D．T2>T1=T3 【答案】A 【详解】设细线长度为L，图2斜面倾角为，图3中两线夹角为，则图1、图2、图3单摆周期分别为，， 综上可知。 故选A。 【变式训练1】（2026·广东东莞·二模）图示为很小一段光滑的圆弧形滑道，其半径远大于弧长，O为圆弧最低点。两个相同的小球甲和乙从圆弧高度和位置同时静止释放（）。下列关于两球相碰说法正确的是（     ） A．在O点相碰 B．在O点左侧相碰 C．在O点右侧相碰 D．相碰点不确定 【答案】A 【详解】两个小球同时由图示位置从静止释放后，由于光滑槽半径远大于小球运动的弧长，它们都做简谐运动，等效摆长都是槽的半径R，则它们的周期相同，都为 到达槽底部的时间都是 所以，则两球在O点相碰。 故选 A。 【变式训练2】（2025·河南·二模）如图甲所示为杆线摆的原理图，它可以绕着悬挂轴来回摆动，其摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内。某同学利用铁架台做了一个杆线摆，如图乙所示，用来探究它的周期的影响因素。把铁架台底座的一侧垫高，立柱倾斜，摆杆通过光滑铰链与立柱连接，摆杆始终与立柱垂直。让钢球小角度摆动，测出静止时摆杆与重垂线的夹角为，摆线的长度为，摆杆的长度为，根据已有的知识，下列关系可能正确的是（　　） A．、不变时，越大，周期越短 B．、不变时，越大，周期越长 C．、不变时，越大，周期越长 D．无论、怎样改变，只要不变，则周期不变 【答案】B 【详解】杆线摆可看成以为摆长，以为等效加速度的单摆，其摆动周期 A．、不变时，越大，周期越长，故A错误； B．、不变时，越大，周期越长，故B正确； C．、不变时，越大，周期不变，故C错误； D．由题意可知其摆动的周期不仅与有关，还与有关，故D错误。 故选B。 【变式训练3】（多选）（2026·海南省直辖县级单位·二模）如图甲所示，光滑水平面上有大小相同的小球A和B靠在一起，小球A与轻绳组成单摆，小球B与轻弹簧组成的弹簧振子，刚开始小球A和B均处于静止状态。现将小球A向左拉开一个较小角度（小于5°）并t=0时由静止释放，经最低点时与小球B发生碰撞，碰撞时间可忽略不计，此后小球B运动的v-t图像如图乙所示。以最低点为零势能面，小球A与B第一次碰撞后A球速度恰好为零，已知小球B的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．弹簧振子的周期等于 B．单摆的摆长等于 C．球释放的高度为 D．球运动的最大速率为 【答案】AC 【详解】A．小球A与B第一次碰撞后A球速度恰好为零，可知两小球是等质量弹性碰撞，小球B获得向右速度，向右减速到零，又返回初始位置，则结合图像弹簧振子运动半个周期，即弹簧振子的周期为，故A正确； B．根据周期公式 解得摆长 故B错误； CD．由题知，小球A与小球B发生碰撞后，小球B的速度为，小球A静止，则A、B两球的质量相等，速度交换，且该碰撞为弹性碰撞，即小球A在与小球B碰撞前的速度为，即 设小球的质量为，根据机械能守恒有 解得 因为在最低点速度最大，故小球A的最大速度为，故C正确，D错误。 故选 AC。 【变式训练4】（多选）（2026·天津南开·一模）如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两摆的振幅之比为2:1 B．时，甲摆摆球到达重力势能最小处，乙摆摆球的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为1:2 D．甲摆摆球在最低点时的向心加速度大于乙摆摆球在最低点时的向心加速度 【答案】ABD 【详解】A．根据图示可知，甲摆的振幅为2cm，乙摆的振幅为1cm，则甲、乙两摆的振幅之比为2:1，故A正确； B．2s时，甲的位移为0，表明甲摆摆球位于最低点，此时甲摆摆球到达重力势能最小处乙的位移为最大值1cm，表明乙摆摆球位于最高点，此时乙摆摆球的动能为零，故B正确； C．根据图示可知， 根据单摆周期公式有， 解得，故C错误； D．令甲、乙摆动过程的摆角分别为、，在最低点的速度大小分别为、，根据动能定理有， 摆球在最低点时的向心加速度分别为， 解得， 由于甲的摆长小于乙的摆长，甲的振幅大于乙的振幅，则有 解得 即甲摆摆球在最低点时的向心加速度大于乙摆摆球在最低点时的向心加速度，故D正确。 故选ABD。 题型五 机械波的传播与图像 知识点1 机械波的概念及图像及其描述 1.机械波的形成条件 （1）有发生机械振动的波源。 （2）有传播介质，如空气、水等。 2.传播特点 机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移。 3.机械波的分类 （1）横波：质点的振动方向与波的传播方向相互垂直的波，有波峰（凸部）和波谷（凹部）。 （2）纵波：质点的振动方向与波的传播方向在同一直线上的波，有密部和疏部。 4.横波的图像 （1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移。 （2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移。 （3）图像 （4）应用 ①直接读取振幅A和波长λ，以及该时刻各质点的位移。 ②确定某时刻各质点加速度方向，并能比较大小。 ③结合波的传播方向可确定各质点的振动方向或由各质点的振动方向确定波的传播方向。 5.波长、波速、频率及其关系 （1）波长λ：在波动中，振动相位总是相同的两个相邻质点间的距离。 （2）波速v：波在介质中的传播速度，由介质本身的性质决定。 （3）频率f：由波源决定，等于波源的振动频率。 （4）波长、波速和频率的关系 ①v=λf ;②v= 　. 知识点2 机械波的传播特征 1.波在传播过程中的特点 （1）波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速和波长改变。 （2）振源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离，所以有v＝＝λf。 （3）波源质点的起振方向决定了它后面的质点的起振方向，各质点的起振方向与波源的起振方向相同。 （4）后面质点的振动状态落后于先振动的质点，每隔一个波长，振动落后一个周期。 2.波的传播方向与质点的振动方向的判断方法 内容 图像 上下坡法 沿波的传播方向，上坡时质点向下振动，下坡时质点向上振动 同侧法 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧 微平移法 将波形图沿传播方向进行微小平移，再由x轴上某一位置的两波形曲线上的点来判定 考向1 波长、频率、波速间的关系 例1 （2026·重庆沙坪坝·模拟预测）O为两不同材质的绳A、B的结点，a为绳A上一质点，绳置于光滑水平台面上。用手抓住O点前后快速振动，某时刻绳中的波形如图所示，则（     ） A．A绳中波的速度更大 B．A绳中波的周期更大 C．B绳中波的频率更大 D．质点a此时刻在向左运动 【答案】A 【详解】BC．A、B绳中波是由同一波源产生，而波的周期或频率由波源决定，故绳中波的周期或频率一样大，故BC错误； A．由 A绳中波的波长更长，故A绳中波的速度更大，故A正确； D．根据质点振动的前带后，后跟前，质点a此时刻在向上运动，故D错误。 故选A。 【变式训练1】（2026·云南昆明·模拟预测）如图，水黾通过后足（视为质点）以一定频率f在水平面上振动产生水波纹（视为简谐波），和同类之间传递信息。已知该水波纹相邻的峰和谷之间的水平距离为d，则波速为（　　） A． B．df C． D． 【答案】A 【详解】横波中，相邻波峰与相邻波谷的水平距离为半个波长，根据题意可得 波速、波长、频率满足关系 联立解得 故选A。 【变式训练2】（2026·江西宜春·模拟预测）如图，停在水面上的甲、乙两条小船相距，一列水波正在水面上沿甲乙连线的方向匀速传播，每条小船每分钟上下浮动15次。当甲船位于波峰时，乙船在波谷，这时两船之间还有一个波峰。若将水波视为横波，则这列水波的波长和波速分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】每条小船每分钟上下浮动15次，则水波的周期为 当甲船位于波峰时，乙船位于波谷，且两船之间还有一个波峰，可知两船之间的距离与波长的关系为 已知，解得波长为 根据波速公式可得这列水波的波速为 故选B。 考向2 波的图像及其应用 例2（2026·内蒙古乌海·模拟预测）位于坐标原点O的波源在时开始振动，振动图像如图所示，所形成的简谐横波沿轴正方向传播。平衡位置在处的质点开始振动时，波源恰好第2次处于波谷位置，则（　　） A．波的周期是 B．波的振幅是 C．波的传播速度是 D．平衡位置在处的质点开始振动时，质点处于平衡位置 【答案】D 【详解】AB．波的周期和振幅与波源相同，故可知波的周期为，振幅为，故AB错误； C．P开始振动时，波源第2次到达波谷，故可知此时经过的时间为 故可得波速为，故C错误； D．波从P传到Q点需要的时间为 故可知质点P处于平衡位置，故D正确。 故选D。 【变式训练1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）为了研究横波的形成过程，在绳上标记一系列等间距的点。如图，时，点1开始振动；时点1到达波谷，点4刚要离开平衡位置。图中箭头表示点的振动方向；则时，点间的波形为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，点1经过t0振动周期，则波的周期为T=4t0，则时点1振动1.5T，则点1此时在平衡位置向上振动，在点间的波形为D所示。 故选D。 【变式训练2】（2026·辽宁沈阳·三模）坐标原点的波源在时发出一列简谐波，沿x轴正向传播。在时，该列波的最前端刚好到达B点，此时AB段的波形如图所示，下列判断正确的是（　　） A．波长为3.5 m B．波速为0.5 m/s C．再经过4 s，B处质点运动到C处 D．时，B处质点准备向y轴正方向运动 【答案】B 【详解】A．由图可知，则波长为λ=2m，A错误； B．波速为，B正确； C．质点只能在自己平衡位置附近振动，而不随波迁移，C错误； D．根据“同侧法”可知，时，B处质点准备向y轴负方向运动，D错误。 故选B。 【变式训练3】（2026·辽宁营口·二模）图为一列沿x轴传播的简谐横波在t=0时刻的波形图，a、b为波传播路径上的两个质点，质点a的振动方程为y=10sin（πt+π）cm，则下列说法正确的是（　　） A．该波的波速大小为3m/s B．该波沿x轴负方向传播 C．当质点b位于平衡位置时，质点a的位移一定为+5cm D．质点b在0~0.5s时间内运动的路程为（15-5）cm 【答案】D 【详解】A．由质点的振动方程，可得角频率，周期 由题中波形图可知波长，波速，故A错误； B．质点a的振动方程，可知时刻，质点a在平衡位置正沿y轴负方向运动，由同侧法可知波沿轴正方向传播，故B错误； C．从图示位置开始，当b质点先向上振动到达最大位移处，再回到平衡位置，第一次回到平衡位置时，所用时间为,质点a经过这段时间运动了-5cm处，故C错误； D．，时的位移为，时的位移 内，先从向上运动到最高点，再向下运动到，总路程为，故D正确。 故选D。 题型六 波动图像与振动图像综合 知识点1 两种图像的比较 两种图像的比较 图像类型 振动图像 波的图像 研究对象 某一振动质点 沿波传播方向上的所有质点 研究内容 某一质点的位移随时间变化规律 某时刻所有质点的空间分布规律 图像 物理意义 表示某质点各个时刻的位移 表示某时刻各质点的位移 图像信息 （1）质点振动周期 （2）质点振幅 （3）各时刻质点位移 （4）各时刻速度、加速度方向 （1）波长、振幅 （2）任意一质点在该时刻的位移 （3）任意一质点在该时刻加速度方向 （4）传播方向、振动方向的互判 形象比喻 记录着一个人一段时间内活动的录像带 记录着许多人某时刻动作、表情的集体照片 图像变化 随时间推移，图像延续，但已有形状不变 随时间推移，图像沿传播方向平移 一完整曲线占横坐 标距离 表示一个周期 表示一个波长 知识点2 波动图像和振动图像的综合问题 重难 波动图像与振动图像结合问题的关键，可总结为‌辨图像、找信息、连纽带、定方向‌四步核心逻辑，每一步都是解题的核心节点： 1. 先辨图像：从横坐标区分类型，避免概念混淆。这是解题的基础前提，只要错判图像类型，后续推导全错； 振动图像‌：横坐标是时间t，描述单个质点不同时刻的位移； 波动图像‌：横坐标是质点平衡位置x，描述同一时刻所有质点的位移。 2. 提取关键基础信息 从两类图像中分别读取独有直接信息，振幅可互相印证：振动图像直接给出‌周期T‌ + 振幅A，还能确定目标质点在某一时刻的振动方向；波动图像直接给出‌波长λ+振幅A，可完成波传播方向和质点振动方向的互推。 3. 通过纽带建立关联 两类问题的核心连接点是‌振幅、周期‌，结合波速公式即可串联所有物理量：利用公式v=求出波速，打通“振动信息→波动参数”和“波动信息→振动参数”的推导路径。 4. 锁定对应关系是核心 这是这类题型最容易出错的环节，必须明确两个对应： 振动图像对应波动图像中‌某一特定位置的质点‌，要确定你分析的质点在波形图上的具体位置； 波动图像对应振动图像中‌某一特定时刻‌，要确定当前波形是振动图像中哪个时间点的状态。 最后结合质点振动方向就能确定波的传播方向，或反过来由传播方向确定振动方向，进而解决其他问题。 考向1 由某质点振动图像到波动图像 例1 （2025·辽宁·模拟预测）一波源位于x轴上的坐标原点O，其垂直x轴方向做简谐振动的图像如图所示，若在均匀介质中形成简谐波，则T时刻的波形图为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】AB．位于坐标原点O的波源振动形成沿x轴正方向和负方向传播的波形图应关于y轴对称，故AB错误； CD．根据振动图像可知，在T时刻波源振动方向沿y轴正方向，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练1】如图1所示，用手握住长绳的一端，时刻在手的带动下O点开始上下振动，选向上为正方向，其振动图像如图2所示，则以下四幅图中能正确反映时刻绳上形成的波形的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】根据O点振动图像可知，在t1时刻绳上O点向下运动，由振动图像可知t1时，波传播的周期恰好为一个周期，传播的距离为一个波长，而图A中O点向下振动，图C向上振动。 故选A。 考向2 由波动图像判断振动图像 例2（2026·辽宁·一模）现代大型无人机编队表演中，数百甚至上千架无人机通过接收地面控制站发出的无线电指令实现同步飞行。在某次大型庆典活动中，技术人员采用数百架无人机编队表演模拟水波纹扩散的壮观效果。通过精确控制无人机模拟水面上质点的振动，形成以点为波源向外传播的圆形波。以某一方向建立轴，该传播方向上有a、b两架水平方向相距3m的无人机，如图甲所示。从计时开始a、b两无人机的振动图像分别如图乙、丙所示。则下列说法正确的是（　　） A．无人机a的振动方程为 B．该波的波长可能为4m C．该波的波速大小可能为 D．0.85s末A质点的振动速度大于B质点的振动速度 【答案】C 【详解】A．无人机a的振动方程为，A错误； B．由题意可知（n=0、1、2、3…..），可得，则该波的波长不可能为4m，B错误； C．该波的波速大小为（n=0、1、2、3…..），当n=1时，C正确； D．0.85s末，因B质点距离平衡位置比A质点更近，可知B质点的振动速度大于A质点的振动速度，D错误。 故选C。 【变式训练1】（2026·甘肃酒泉·一模）如图甲所示是在t＝0时刻一列沿x轴传播的简谐横波，P点的振动图像如图乙所示，由图可知（    ） A．波速为4m/s B．波沿x轴正方向传播 C．在t＝0.8s时间内，质点P运动的路程为4m D．如果这列波能与另一列波发生稳定干涉，则另一列波的频率为1.25Hz 【答案】D 【详解】A．由图甲可得，这列波的波长为4m，由图乙可得，这列波的周期为0.8s，所以这列波的波速为，A错误； B．由图乙可得，在t＝0时刻，P点向下运动，根据前一质点带动后一质点运动的原理，这列波沿x轴负方向传播，B错误； C．0.8s是一个周期，质点P运动的路程为4个振幅，即40cm，C错误； D．发生稳定干涉的条件是频率相等，所以另一列波的频率为，D正确。 故选D。 【变式训练2】（2025·黑龙江·模拟预测）一列简谐横波沿轴传播，时，处的质点开始振动，此时的波形如图所示，图乙是质点的振动图像，是位于处的质点，则下列说法正确的是（   ） A．点开始振动的方向沿轴正方向 B．至时间内，质点的路程为 C．，质点的位移为 D．质点开始振动后与坐标原点的振动方向始终相反 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，3s时质点N向y轴负向振动，由甲图根据同侧法可判断该列波沿轴正方向传播，质点M和质点N的平衡位置相差一个波长，则各点起振方向沿着轴负方向，A错误； B．由图甲可知波长，振幅，由图乙可知，振动周期 时点振动时间，通过的路程为，B错误； C．因 时间内波传播的距离为，即图甲中处的质点的振动情况在时传播到Q点，此时质点Q的位移，故C错误； D． 所以质点Q开始振动后和原点的振动方向始终相反，故D正确。 故选D。 【变式训练3】（2025·山东德州·三模）波源O垂直于纸面做简谐运动，其在均匀介质中产生的横波在t=0.10s时的波形如图甲所示，实线表示波峰，虚线表示波谷，波源O及质点P、质点Q的平衡位置在同一直线上。规定垂直纸面向外为正方向，图乙为该介质中某一质点的振动图像。下列说法正确的是（　　） A．该波的波速为25cm/s B．图乙可能为质点M的振动图像 C．t=0.20s时质点P的位置与t=0时质点Q的位置相同 D．t=0.10s时，质点M正垂直纸面向外运动 【答案】D 【详解】A．由甲图可知，该波的波长为 由乙图可知，该波的周期为 故该波的波速为 A错误； BD．由甲图可知，再经过波峰传到M点，故M点此时正垂直纸面向外振动，而图乙中，的质点沿负方向运动，即垂直纸面向里运动，则图乙不可能为质点M的振动图像，B错误，D正确； C．时质点P由波峰（）位置刚好到达波谷的位置，结合甲图可知，时刻，质点Q也在波谷位置，两者具有相同的垂直于纸面的位移，但波只是振动形式的传播，质点并未随波逐流，两者不是同一个点，显然在纸面内的不同位置，显然C错误。 故选D。 考向3 波动图像与振动图像综合 例3（2025·黑龙江·二模）如图，甲为一列简谐横波在某时刻的波形图，乙为处质点从此刻开始计时的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．此列波沿x轴负向传播 B．时，处质点的位移为0.5m C．时，处质点的位移为 D．处质点比处质点振动相位滞后 【答案】C 【详解】A．由图乙可知该时刻处质点沿轴负方向振动，根据同侧法可知此列波沿x轴正向传播，A错误； BC．根据题图可知该波的周期为 结合图甲可知处质点的振动方程为 时，处质点的位移为 C正确，B错误； D．根据图甲可得 可得该时刻处质点的位移为 则x=0.5m处质点的振动方程为 其中 联立可得 则处质点比处质点振动相位超前，D错误。 故选C。 【变式训练1】（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图甲所示为时沿x轴方向传播的简谐横波的波形，图乙为质点b的振动图像，a点为处的质点，时的位移为5cm。则下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴负方向传播 B．该波的波速为6m/s C．时质点a的位移为5cm D．2~3s内质点a通过的路程为10cm 【答案】B 【详解】A．由图乙（b质点的振动图像）可知，时b质点通过平衡位置向下振动。 用微平移法判断可知波沿轴正方向传播，故A错误； B．由甲图得波长，由乙图得周期，因此波速 故B正确； C． 到的时间间隔 质点经过半个周期，位移大小相等、方向相反。已知时a位移为，因此时a位移为，故C错误； D．的时间间隔 只有质点从平衡位置/最大位移处开始运动，内路程才等于振幅。时a位移为，既不在平衡位置也不在最大位移处，因此路程不等于，故D错误。 故选B。 【变式训练2】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图甲所示是在时刻一列沿轴传播的简谐横波，点的振动图像如图乙所示，由图可知（　　） A．这列波沿轴正方向传播 B．这列波的波速为 C．如果这列波能与另一列波发生稳定干涉，则另一列波的频率为 D．在时间内，质点运动的路程为 【答案】C 【详解】A．由图乙可得，在时刻，点向下运动，根据同侧法可知，这列波沿轴负方向传播，A错误； B．由图甲可得，这列波的波长为，由图乙可得，这列波的周期为0.8s，所以这列波的波速为，B错误； C．发生稳定干涉的条件是频率相等，所以另一列波的频率为，C正确； D．是一个周期，质点运动中的路程为，D错误。 故选C。 题型七 波的多解问题 知识点1 波的多解性 1.波的周期性 （1）质点振动nT（n＝1,2,3，…）时，波形不变。 （2）在波的传播方向上，当两质点平衡位置间的距离为nλ时（n＝1,2,3，…），它们的振动步调总相同；当两质点平衡位置间的距离为（2n＋1）(n＝0,1,2,3，…)时，它们的振动步调总相反。 2.造成波动问题多解的主要因素 （1）周期性 ①时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。 ②空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确。 （2）双向性 ①传播方向双向性：波的传播方向不确定。 ②振动方向双向性：质点振动方向不确定。 （3）波形的隐含性形成多解 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态。这样波形就有多种情况，形成波动问题的多解性。 考向1 求周期的多解问题 例1 （2025·黑龙江哈尔滨·二模）一列沿x轴负方向传播的简谐横波时刻的波形如图中实线所示，时刻的波形如图中虚线所示。关于这列波，下列说法正确的是（　　） A．波长为 B．周期一定为 C．频率可能为 D．波速可能为 【答案】D 【详解】A．由题图可知，波长为8cm，故A错误； BCD．简谐横波沿x轴负方向传播，根据波的平移知识，则有 可得 当n=0时，可得周期为 则频率为 波速为 当n=1时，可得周期为 则频率为 波速为 由上分析可知频率不可能为2Hz，故BC错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】（多选）（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，实线和虚线分别表示沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图，已知在时刻，介质中处的质点P沿y轴负方向运动，Q的纵坐标为，下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴正方向传播 B．内，质点P的路程可能为 C．若周期，则波速为 D．若周期，Q的振动方程为 【答案】AC 【详解】A．在时刻，介质中处的质点P沿y轴负方向运动，由“同侧法”可知，该波沿x轴正方向传播，故A正确； B．波沿正方向传播，从到，波的传播时间满足（n=0，1，2，…） 时在平衡位置，内的总路程为（n=0，1，2，…） 由图可知，振幅，最小路程为时， 不可能为，故B错误； C．若，则只能取，即 得 由图可得，波长，波速，故C正确； D．时， 设的振动方程为 时， 代入得 波沿x轴正方向传播，点时沿正方向运动，因此 振动方程为，故D错误。 故选AC。 【变式训练2】（多选）（2026·江西南昌·三模）如图所示，波速为30m/s，向右传播的机械横波，在时刻的部分波形对应图中的实线所示，时刻的部分波形对应图中的虚线所示（），A、B两质点间的距离为7.5m，下列说法正确的是（     ） A．这列波的频率为0.25Hz B．时刻质点B的加速度最大 C．时刻质点A向上振动 D．与的差值为 【答案】CD 【详解】A．由波形图可知，A、B两质点间距为，解得波长 由波速公式得频率，故A错误； B．时刻质点B处于平衡位置，回复力为零，加速度为零，故B错误； C．波向右传播，沿波的传播方向，处于下坡段的质点振动方向向上，时刻质点A处于下坡段，故向上振动，C正确； D．波向右传播，从到，波形向右平移的距离为 对应的时间差，故D正确。 故选 CD。 考向2 传播方向的多解问题 例2（2026·安徽合肥·模拟预测）一列沿轴传播的简谐横波在某时刻的波形图如图甲所示，平衡位置位于x=4m处的质点从该时刻开始的振动图像如图乙所示。若该波的波长大于4m，则（    ） A．周期为2.5s B．最小波长为16m C．最大波速为10m/s D．从该时刻起经过，处质点的位移为，且向方向振动 【答案】C 【详解】A．根据图乙写出平衡位置位于的质点的振动方程为 ，代入点 和 ，解得， 可得，故A错误； BC．因波长大于，在图甲中标出位移为的质点，如图所示 若波沿轴正方向传播，则该质点为点，沿轴负方向传播，则该质点为点，则波长满足或 解得或 则最小波长为，最大波长为，最大波速为，故B错误，C正确； D．因 当波沿 轴负方向传播时，将0时刻的波形图向左平移即得到后的波形图，则处的质点的位移为，向方向振动；当波沿轴正方向传播时，将0时刻的波形图向右平移即得到后的波形图，则处的质点的位移为，向方向振动，故D错误。 故选C。 【变式训练1】（多选）（2026·四川成都·一模）一列简谐横波沿x轴传播在t=0时刻的波形如图中实线所示，t=0.5s时刻的波形如图中虚线所示，虚线恰好过质点P的平衡位置。已知质点P平衡位置的坐标x=0.5m。下列说法正确的是（　　） A．该简谐波传播的最小速度为1.0m/s B．若波向轴正方向传播，质点P比质点Q先回到平衡位置 C．若波向轴负方向传播，质点P运动路程的最小值为5cm D．质点O的振动方程可能为 【答案】AD 【详解】A．0.5s内波传播的最短距离为0.5m，故最小速度为1.0m/s，故A正确； B．若波向x轴正方向传播，波速为 若波向x轴负方向传播，波速为 波向x轴正方向传播，0时刻后质点P背离平衡位置运动，质点Q靠近平衡位置运动，故质点P比质点Q后回到平衡位置，故B错误； C．若波向x轴负方向传播，质点P向平衡位置运动，0.5s时质点P至少运动T，最短路程为25cm。故C错误； D．若波向x轴正方向传播，则周期 质点O的振动方程 若波向x轴负方向传播，则周期 质点O的振动方程，故D正确。 故选AD。 【变式训练2】（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）一列简谐横波沿轴传播，时刻的波形如图所示。图中质点的纵坐标为，质点的平衡位置在处。已知时，质点到达负向最大位移处，该波的周期，下列说法正确的是（　　） A．该波一定沿轴正方向传播 B．该波的周期可能为8s C．该波的波速可能为 D．从到，质点通过的路程可能为 【答案】BC 【详解】A．若波沿轴正方向传播，根据“上下坡法”可知质点振动方向向上，有 可得周期 波的周期，可知或 若波沿轴负方向传播，根据“上下坡法”可知质点振动方向向下，有 可得周期 波的周期，可知或 可知该波不一定沿轴正方向传播，故A错误； B．若波沿轴正方向传播，波的周期为或 若波沿轴负方向传播，波的周期为或 可知该波的周期可能为8s，故B正确； C．波长为，根据可得该波的波速 若波沿轴正方向传播，波速或 若波沿轴负方向传播，波速或 可得该波的波速可能为，故C正确； D．若波沿轴正方向传播，质点振动方向向下，当波的周期为时，质点的振动方程为 从到，即，时质点的位移为，可得质点通过的路程为 若波沿轴正方向传播，质点振动方向向下，当波的周期为时，质点的振动方程为 从到，即，每个周期质点运动的路程为，时质点的位移为，可得质点通过的路程为 若波沿轴负方向传播，质点振动方向向上，波的周期为，质点的振动方程为 从到，即，时质点的位移为，可得质点通过的路程为 若波沿轴负方向传播，质点振动方向向上，波的周期为，质点的振动方程为 从到，即，时质点的位移为，可得质点通过的路程为 可知质点通过的路程不可能为，故D错误。 故选BC。 题型八 波的干涉、衍射、多普勒效应 知识点1 波的干涉、衍射及多普勒效应的概念 1.波的叠加 观察两列波的叠加过程可知：几列波相遇时，每列波都能够保持各自的状态继续传播而不互相干扰，只是在重叠的区域里，质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和。 2.波的干涉和衍射 波的干涉 波的衍射 条件 两列波的频率必须相同 明显条件：障碍物或孔的尺寸比波长小或相差不多 现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的干涉图样 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播 3.多普勒效应 （1）定义：由于波源和观察者之间有相对运动，使观察者感受到波的频率发生变化的现象。 （2）实质：波源频率不变，观察者接收到的频率发生变化。 （3）规律 ①波源与观察者如果相互靠近，观察者接收到的频率变大； ②波源与观察者如果相互远离，观察者接收到的频率变小； ③波源和观察者如果相对静止，观察者接收到的频率等于波源的频率。 知识点2 波的干涉的判断 1.波的干涉中振动加强点和减弱点的判断 （1）根据干涉图样判断 ①波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点，一定是加强点； ②波峰与波谷的交点一定是减弱点。 （2）根据路程差判断 某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的路程差Δr。 ①当两波源振动步调一致时：若Δr＝nλ（n＝0,1,2…），则振动加强； 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动减弱。 ②当两波源振动步调相反时： 若Δr＝(2n＋1)(n＝0,1,2…)，则振动加强； 若Δr＝nλ（n＝0,1,2…），则振动减弱。 知识点3 对波的衍射的理解 1.衍射是否明显，要看孔、缝的宽度或障碍物的尺寸与波长的比值，比值越小，衍射现象相对越明显。 2.任何时候都会产生衍射现象，只有明显和不明显的差异。当衍射现象弱时，可认为波沿直线传播。 知识点4 对多普勒效应的判断 多普勒效应的成因与判断 （1）接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。当波以速度v通过观察者时，时间t内通过的完全波的个数为N＝。 （2）判断方法：当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率变大，相互远离时，接收到的频率变小。 考向1 波的干涉 例1 （2026·河北邢台·二模）如图所示，一均匀介质中方波甲的一个完整波形向右传播，波峰为A，波谷为-2A，简谐横波的一个完整波形向左传播，振幅为A，方波的波峰、波谷宽度与简谐横波的半波长相等。某时刻两波分别传到M、N两点，则之后x轴上M、N间某质点的振动图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．图中初始时刻位移从-2A减小，则该质点到M、N的距离相等，根据波的叠加原理可知，位移应先减小为-A，再增大至-2A；接着位移应从A减小至0，再增大到A，故A错误； B．图中质点初始时按照正弦曲线振动，则该质点靠近N，质点先振动到0.5A，再与方波相遇叠加，根据波的叠加原理可知B图符合质点的振动，故B正确； C．图中质点初始时按照正弦曲线振动，则该质点进一步靠近N，质点振动时间后，两列波叠加，此后质点的最大位移为-3A，故C错误； D．图中质点初始时按照方波的形式振动，则该质点靠近M，最后质点应以正弦曲线振动，故D错误； 故选B。 【变式训练1】（2026·湖北武汉·三模）两列简谐横波分别沿x轴正向和x轴负向传播，两波源P、Q分别位于和处，两列波的周期均为1.0 s，振幅均为0.2 m。时刻的波形图如图所示，其中区域为介质Ⅰ，区域为介质Ⅱ，M点的坐标是。下列说法正确的是（    ） A．P、Q起振方向相反 B．时，两列波相遇 C．质点M在内的路程为0.6 m D．P、Q连线之间（含P、Q两点）有7个振动加强点 【答案】D 【详解】A．波最前端的振动方向等于波源起振方向，根据“上坡下行”规律，波源P、Q的起振方向均向下，故A错误； B．由图可知在介质Ⅰ、Ⅱ区域，波长，，两列波的周期，波的传播速度满足 可知在介质Ⅰ、Ⅱ区域波速，，时刻起，两波均在介质Ⅱ区域进行传播，两波将在处相遇，相遇时间，故B错误； C．至时间内，两波均未传到M点，由B选项分析可知两列波在M点相遇，且相位相同，故点为振动加强点，至，即时间间隔 M点由平衡位置起振，振幅，运动的路程为，故C错误； D．同一均匀介质中，相邻加强点平衡位置间的距离为半个波长，即；在介质Ⅱ区域，点为振动加强点，故平衡位置坐标为，，，，的位置为振动加强点；同理可知，在介质Ⅱ区域，及处为振动减弱点。 因为介质Ⅰ、Ⅱ的交界区域，介质Ⅰ、Ⅱ内加强点相互独立、分开分布，故在介质Ⅰ区域，减弱点平衡位置间的距离为半个波长，即；有为振动减弱点；因此，在介质Ⅰ区域，平衡位置坐标为，的位置为振动加强点。综上P、Q连线之间（含P、Q两点）有7个振动加强点，故D正确。 故选D。 【变式训练2】（2026·辽宁朝阳·模拟预测）钱塘江大潮，在中国文化中是时序节律、民俗精神的多重象征。如图甲所示，某次观测到产生鱼鳞潮的两列振幅均为的水波以的速度向前行进，假设本次鱼鳞潮的水波波长为，其模型可简化为图乙所示。实线表示波峰，虚线表示波谷。为的中点，是延长线上与点相距的点，与点相交的两条实线是两列波最靠前的波峰。则下列正确的是（　　） A．图中、两点振动始终加强，而点振动始终减弱 B．此时点的振动方向向下 C．图示时刻、两点间的高度差为 D．从图示时刻再经，点开始振动 【答案】B 【详解】A．稳定的鱼鳞区域是波的干涉图样，波峰遇波峰振动加强，波谷遇波谷振动也加强，波峰遇波谷振动才减弱，因此、、三点振动始终加强，故A错误； B．根据同侧法，此时的振动方向向下，故B正确； C．由于两列波的振幅均为，叠加的结果使点在平衡位置上方处，而点在平衡位置下方处，故图示时刻、两点间的高度差为，故C错误； D．波从传到用时 实际情况是图示时刻点在波峰，波已经传到的前方，故此时波传到点用时小于，故D错误。 故选B。 考向2 波的衍射 例2（2026·辽宁·二模）9月18日上午9点18分，沈阳上空响起防空警报，某条街道上驾车市民都自发停车鸣笛，参与”勿忘国耻、珍爱和平”的纪念活动。某同学走在人行路上，仔细听车辆的鸣笛声，结合所学的知识进行了如下判断，其中正确的是（　　） A．两辆车发出的声波相遇，一定会在空气中产生干涉现象 B．声波遇到障碍物时，只有当障碍物尺寸小于波长时，才会发生衍射 C．声波遇到障碍物反射后，其频率保持不变 D．当鸣笛车辆与该同学发生相对运动时，声波的传播速度随之改变 【答案】C 【详解】A．波产生干涉的必要条件是两列波频率相同、相位差恒定、振动方向相同。两辆汽车的鸣笛频率不一定相同，不满足干涉的前提条件，不一定会产生干涉现象，故A错误。 B．衍射是波的固有属性，任何情况下波遇到障碍物都能发生衍射，障碍物尺寸与波长相近或小于波长只是发生明显衍射的条件，并非衍射发生的条件，故B错误。 C．声波的频率仅由波源决定，声波反射过程中波源不变，传播介质仍为空气，因此反射后声波频率保持不变，故C正确。 D．声波的传播速度仅由传播介质的性质（介质种类、温度）决定，与波源和观察者的相对运动无关，相对运动只会改变观察者接收到的频率，不会改变波的传播速度，故D错误。 故选C。 【变式训练1】（2026·江西·模拟预测）带操是艺术体操项目之一，使用彩带作为器械．某次比赛中彩带的运动可简化为沿x轴方向传播的简谐横波，t=0.2 s时的波形图如图甲所示，P是平衡位置在x=3 m处的质点，Q是平衡位置在x=4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像．下列说法正确的是（    ） A．t=0.2 s时刻质点P正沿y轴正方向运动 B．这列波遇到尺寸为8 m的障碍物时不能发生衍射现象 C．如果将波源的振动周期增大为0.8 s，则该波的波速为20 m/s D．平衡位置在x=2 m和x=6 m处的质点振动方向总是相同的 【答案】C 【详解】A．由题图乙可知，0.2s时，质点Q向下振动，根据同侧法可得，波向x轴负方向传播，质点P正沿y轴负方向运动，故A错误； B．由题图甲可知这列波的波长为8m，遇到尺寸为8m的障碍物时能发生衍射现象，故B错误； C．波速由介质本身决定，与波的周期没有关系，由题图乙可知波的周期为0.4s，则波速，故C正确； D．和处的质点平衡位置间的距离为半个波长，所以两质点的振动方向总是相反的，故D错误。 故选C。 【变式训练2】（2026·江苏宿迁·二模）如图所示是观察水面波衍射的实验装置，和是两块挡板，是一个孔，是波源，图中已画出波源所在区域波的传播情况，每两条相邻波纹（图中曲线）之间距离表示一个波长。关于波经过孔之后的传播情况，下列描述正确的是（　　） A．如果将孔扩大，有可能不能发生衍射现象 B．挡板前后波纹间距离不等 C．此时能明显观察到波的衍射现象 D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，能更明显地观察到衍射现象 【答案】C 【详解】A．由题图可知，孔的尺寸小于水波的波长，故能发生明显的衍射现象，如果将孔扩大，仍然能发生衍射现象，只是衍射现象没有题图的情况明显，因为衍射是波的特有属性，不论孔的尺寸与水波的波长关系如何，都能发生衍射现象，只是明显程度可能不同，故A错误； B．介质决定波速，波源决定周期，故和均不变，根据，挡板前后水波的波长相同，则波纹间距离相等，B错误； C．由题图可知，孔的尺寸小于水波的波长，能发生明显的衍射现象，此时能明显观察到波的衍射现象，故C正确； D．如果孔的大小不变，使波源频率增大，则波的周期变小，根据，波的波长变小，衍射现象变得不明显，不能更明显地观察到衍射现象，D错误。 故选C。 考向3 波的多普勒效应 例3（2026·湖北武汉·模拟预测）关于教材中出现的以下四张图片，下列说法错误的是（     ） A．图1所示疾驰而过的急救车使人感觉音调变化，是由于多普勒效应引起的 B．图2所示竖直的肥皂膜看起来常常是水平彩色横纹，是由于光的衍射产生的 C．图3所示泊松亮斑现象是由于光的衍射产生的 D．图4所示水中的气泡看上去特别明亮，是由于光的全反射引起的 【答案】B 【详解】A．图1所示疾驰而过的急救车，由于波源与观察者之间有相对运动，观察者接收到的声波频率发生变化，使人感觉音调变化，这是多普勒效应，故A正确； B．图2所示竖直的肥皂膜，在重力作用下形成上薄下厚的楔形膜，光照射到膜上，从膜的前后表面反射的光波发生叠加，形成干涉条纹，看起来是水平彩色横纹，这是光的干涉现象，不是衍射，故B错误； C．图3所示泊松亮斑，是光照射在不透明圆盘上，光绕过圆盘边缘传播到阴影中心形成的亮斑，这是光的衍射现象，故C正确； D．图4所示水中的气泡，光从水射向气泡内的空气时，若入射角大于临界角，会发生全反射，反射光较强，所以看上去特别明亮，故D正确。 本题选错误的，故选B。 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）声现象在生产、生活和乐器演奏中十分常见，则（　　） A．救护车鸣笛驶向路口时，路口行人听到的笛声频率比声源频率高 B．做“彩超”检查，是利用了超声波的衍射现象 C．琴弦与音叉固有频率不同，也会发生明显共振 D．用音叉校准琴弦，利用的是波的干涉现象 【答案】A 【详解】A．根据多普勒效应规律，当声源向观察者靠近时，观察者接收到的声波频率大于声源本身的频率，救护车鸣笛驶向路口行人符合该规律，故A正确； B．医学“彩超”检查利用的是超声波的反射特性和多普勒效应，不是衍射，故B错误； C．发生明显共振的条件是驱动力频率等于物体的固有频率，琴弦和音叉固有频率不同时，不可能发生明显共振，故C错误； D．用音叉校准琴弦，核心是利用共振现象，通过调整琴弦让琴弦固有频率和音叉频率一致，共振振幅最大，不是利用波的干涉，故D错误。 故选 A。 【变式训练2】（2026·广西南宁·三模）关于多普勒效应，下列说法正确的是（    ） A．急救车从身边疾驰而过时，听到鸣笛的音调发生变化的现象属于多普勒效应 B．多普勒效应说明波源的振动频率发生了改变 C．金属安检门的工作原理是多普勒效应 D．电磁波没有多普勒效应 【答案】A 【详解】A. 急救车作为鸣笛声波的波源，和观察者存在相对运动时，观察者接收到的声波频率会发生变化，而音调由频率决定，因此听到的鸣笛音调变化的现象属于多普勒效应，故A正确； B. 多普勒效应的本质是观察者接收到的波的频率随波源与观察者的相对运动发生变化，波源本身的振动频率并未改变，故B错误； C. 金属安检门的工作原理是电磁感应的涡流效应：交变磁场在金属内部激发涡流，涡流的磁场反作用于安检门的探测电路触发报警，和多普勒效应无关，故C错误； D. 多普勒效应是所有波的共有性质，电磁波作为横波也存在多普勒效应，天文学中的星系红移就是电磁波的多普勒效应的典型应用，故D错误。 故选A。 【真题回顾】 1．（2026·浙江·高考真题）在地质探测中，可利用横波传播速度的不同，探测岩石密度信息。选择岩石分界面上的一点为原点、垂直分界面方向为x轴，建立如图所示的坐标系。在坐标原点安装周期、振幅的人工振源。时振源从平衡位置（）开始沿y轴正方向振动，同时向两侧传播简谐横波。时在岩石Ⅰ（）中的波恰好到达处，岩石Ⅱ（）中的波速为，则（   ） A．岩石Ⅰ和岩石Ⅱ中两波波长之比为 B．时，处质点的振动方向沿y轴正方向 C．在内，处质点经过的路程为21mm D．增大振源的振动周期，岩石Ⅱ中的波速将变小 【答案】C 【详解】A．岩石Ⅰ中，横波传播速度 波长公式，两波周期相同，故波长比等于波速比，A错误； B．时振源从平衡位置（）开始沿y轴正方向振动，波传到的时间 在时，可知处质点的已经振动的时间 振源起振方向为y轴正方向，经过半个周期后，质点振动方向为y轴负方向，B错误； C．波传到 的时间 该质点振动的总时间 即2个全振动和剩余时间，质点从平衡位置（y=0）开始向y轴正方向振动，则该质点经过的路程为，C正确； D．机械波在介质中的传播速度由介质本身的性质（如密度、弹性模量）决定，与振源的周期、频率无关，故波速不变，D错误。 故选C。 2．（2025·浙江·高考真题）如图甲所示，有一根长、两端固定紧绷的金属丝，通过导线连接示波器。在金属丝中点处放置一蹄形磁铁，在中点附近范围内产生、方向垂直金属丝的匀强磁场（其他区域磁场忽略不计）。现用一激振器使金属丝发生垂直于磁场方向的上下振动，稳定后形成如图乙所示的不同时刻的波形，其中最大振幅。若振动频率为f，则振动最大速度。已知金属丝接入电路的电阻，示波器显示输入信号的频率为。下列说法正确的是（　　） A．金属丝上波的传播速度为 B．金属丝产生的感应电动势最大值约为 C．若将示波器换成可变电阻，则金属丝的最大输出功率约为 D．若让激振器产生沿金属丝方向的振动，其他条件不变，则金属丝中点的振幅为零 【答案】C 【详解】A．先由图可判断金属丝振动形成三节（如图乙所示共有三个波腹），则波长为 又振动频率为f = 150Hz，可得波速为，故A错误； B．金属丝在中点附近的匀强磁场中振动，其振动最大速度为 其中A = 0.5cm = 0.005m，f =150 Hz，计算得 中点切割的有效长度为 则中点处感应电动势最大值为，故B错误； C．金属丝在中点附近的匀强磁场中振动，产生的是正弦式交流电，电动势的有效值为，若用最大感应电动势接外电阻，则金属丝本身内阻r = 0.5 Ω，正弦交流源在内阻r和外阻R串联时，当R = r=0.5 Ω时可得最大输出功率为，故C正确； D．若改为沿金属丝方向振动形成纵波，两端固定则端点处必为纵波的振动节(位移为零处)，其基频振型中点恰为振幅最大处(波腹)，并非振幅为零，故D错误。 故选C。 3．（2025·四川·高考真题）如图所示，甲、乙、丙、丁四个小球用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，从左至右摆长依次增加，小球静止在纸面所示竖直平面内。将四个小球垂直纸面向外拉起一小角度，由静止同时释放。释放后小球都做简谐运动。当小球甲完成2个周期的振动时，小球丙恰好到达与小球甲同侧最高点，同时小球乙、丁恰好到达另一侧最高点。则（   ） A．小球甲第一次回到释放位置时，小球丙加速度为零 B．小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙动能为零 C．小球甲、乙的振动周期之比为 D．小球丙、丁的摆长之比为 【答案】C 【详解】根据单摆周期公式 可知 CD．设甲的周期为，根据题意可得 可得，， 可得， 根据单摆周期公式 结合 可得小球丙、丁的摆长之比 故C正确，D错误； A．小球甲第一次回到释放位置时，即经过（）时间，小球丙到达另一侧最高点，此时速度为零，位移最大，根据可知此时加速度最大，故A错误； B．根据上述分析可得 小球丁第一次回到平衡位置时，小球乙振动的时间为（即）可知此时小球乙经过平衡位置，此时速度最大，动能最大，故B错误。 故选C。 4．（2025·四川·高考真题）某多晶薄膜晶格结构可以等效成缝宽约为3.5×10−10m的狭缝。下列粒子束穿过该多晶薄膜时，衍射现象最明显的是（　　） A．德布罗意波长约为7.9×10−13m的中子 B．德布罗意波长约为8.7×10−12m的质子 C．德布罗意波长约为2.6×10−11m的氮分子 D．德布罗意波长约为1.5×10−10m的电子 【答案】D 【详解】当波通过尺寸与其波长相近的障碍物或狭缝时，会发生明显的衍射现象。对于粒子而言，德布罗意波长λ决定了其波动性，衍射的明显程度通常与波长λ和狭缝宽度的比值相关，当接近或大于1时，衍射现象非常明显，则可知电子的衍射现象最明显。 故选D。 5．（2025·北京·高考真题）“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。”除了夜深人静的原因，从波传播的角度分析，特定的空气温度分布也可能使声波传播清明致远。声波传播规律与光波在介质中传播规律类似。类比光线，用“声线”来描述声波的传播路径。地面上方一定高度S处有一个声源，发出的声波在空气中向周围传播，声线示意如图（不考虑地面的反射）。已知气温越高的地方，声波传播速度越大。下列说法正确的是（　　） A．从M点到N点声波波长变长 B．S点气温低于地面 C．忽略传播过程中空气对声波的吸收，则从M点到N点声音不减弱 D．若将同一声源移至N点，发出的声波传播到S点一定沿图中声线 【答案】D 【详解】声音的传播类比光线传播，即类比光线的折射率；若空气中的温度均匀，从S发出的光线应该向四周沿直线传播，题目中“声线”向地面传播的过程中，越来越靠近法线，即，因此越靠近地面空气对声音的折射率越大，类比光在介质中传播的速度可知折射率越大，光速越小，因此声音越靠近地面，声速越小，温度越低。 A．从M点到N点靠近地面，声音频率不变，声速减小，根据可知波长变短，A错误； B．声源S处在地面上方，温度高于地面，B错误； C．声音在传播过程中受到介质的阻碍和向四周分散，声音强度会减弱，C错误； D．将声源移至N点，类比光路的可逆性可知发出的声波传播到S点一定沿图中声线，D正确。 故选D。 6．（2025·安徽·高考真题）如图，某同学演示波动实验，将一根长而软的弹簧静置在光滑水平面上，弹簧上系有一个标记物，在左端沿弹簧轴线方向周期性地推、拉弹簧，形成疏密相间的机械波。下列表述正确的是（　　） A．弹簧上形成的波是横波 B．推、拉弹簧的周期越小，波长越长 C．标记物振动的速度就是机械波传播的速度 D．标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量 【答案】D 【详解】A．弹簧上形成的波的振动方向与传播方向平行是纵波，故A错误； B．同一介质中，波的传播速度相同，则波的传播速度不变，推、拉弹簧的周期越小，波的周期越小，由公式可知，波长越短，故B错误； C．标记物振动的速度反映的是标志物在平衡位置附近往复运动的快慢，机械波的传播速度是波在介质中的传播速度，二者不是同一个速度，故C错误； D．标记物由静止开始振动，说明它获得了能量，这是因为机械波使得能量传递给标记物，则标记物由静止开始振动的现象表明机械波能传递能量，故D正确。 故选D。 7．（多选）（2025·天津·高考真题）位于坐标原点的波源从平衡位置开始沿y轴运动，在均匀介质中形成了一列沿x轴正方向传播的简谐波，P和Q是平衡位置分别位于和处的两质点，时波形如图所示，此时Q刚开始振动，时Q第一次到达波谷。则（　　） A．该波在此介质中的波速为 B．波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向 C．P的位移随时间变化的关系式为 D．平衡位置位于处的质点在时第一次到达波峰 【答案】AB 【详解】AB．由图根据同侧法可知，点开始振动时的运动方向沿y轴负方向，则波源开始振动时的运动方向沿y轴负方向，由图可知，该波的波长为 根据题意可知，周期为 则该波在此介质中的波速为，故AB正确； C．根据公式可得 由同侧法可知，此时点沿y轴正方向振动，振幅为，则P的位移随时间变化的关系式为，故C错误； D．该波传播到处的时间为 质点起振方向沿轴负方向，则第一次到达波峰的时间为 则平衡位置位于处的质点第一次到达波峰的时间为，故D错误。 故选AB。 8．（多选）（2025·全国卷·高考真题）一组身高相近的学生沿一直线等间隔排成一排，从左边第一位同学开始，依次周期性地“下蹲、起立”，整个队列呈现类似简谐波的波浪效果，如图所示。假定某次游戏中，形成的波形的波长为4m，左边第一位同学蹲至最低点时，队列中另一位同学恰好站直，则这两位同学间的距离可能是（   ） A．1m B．2m C．5m D．6m 【答案】BD 【详解】由题知游戏中，形成的波形的波长为4m，左边第一位同学蹲至最低点时（此时为波谷），队列中另一同学恰好站直（此时为波峰），则这两位同学间的距离可能是（n = 1，3，5，7，…） 故选BD。 9．（多选）（2025·重庆·高考真题）一浮筒（视为质点）在池塘水面以频率f上下振动，水面泛起圆形的涟漪（视为简谐波）。用实线表示波峰位置，某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，如图所示，则（　　） A．该波的波长为4r B．该波的波速为2fr C．此时浮筒在最低点 D．再经过，浮筒将在最低点 【答案】AD 【详解】A．根据题意某时刻第1圈实线的半径为r，第3圈实线的半径为9r，故可得 即，故A正确； B．该波的波速为，故B错误； CD．由，根据某时刻第1圈实线的半径为可得此时浮筒处于平衡位置，由于波向外传播，根据同侧法可知此时浮筒处于平衡位置向下振动，故再经过，浮筒将在最低点，故C错误，D正确。 故选AD。 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $