第35讲 专题强化01： 带电粒子（体）在电场中运动的综合问题 专项训练-2027届高三物理一轮复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在电场与重力场复合中的运动，以题型递进构建从平衡到力电综合的知识逻辑链，强化科学思维与物理观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平衡问题|5题|静态受力分析，场强方向与平衡条件结合|从二力平衡到多力合成，奠定运动分析基础| |直线运动|6题|含变速、往返及简谐运动，涉及运动学公式与能量观点|平衡态到非平衡态的过渡，深化运动与相互作用观念| |一般运动|6题|曲线运动、阻力影响及轨迹分析，综合运动分解|直线运动的延伸，培养运动合成与分解能力| |圆周运动|6题|临界条件、等效重力场及轨道压力分析|向心力公式与能量守恒结合，提升模型建构能力| |力电综合|5题|碰撞、传送带及弹簧系统，融合力学与电场能量|多过程问题整合，强化科学推理与综合应用|

第35讲 专题强化：带电粒子（体）在电场中运动的综合问题 目 录 【题型演练】 1 题型01 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的平衡问题 1 题型02 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的直线运动 6 题型03 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的一般运动 11 题型04 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的圆周运动 17 题型05 电场中的力、电综合问题 23 【课时精练】 30 【真题回顾】 36 【题型演练】 题型01 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的平衡问题 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图所示的电路中，保持A、B两极板水平，闭合开关S，一带电小球恰好在两极板间静止，现仅将两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．小球带正电 B．小球仍静止 C．小球向上做加速运动 D．小球的加速度大小为 【答案】D 【详解】A．由题图可知，A极板带正电，A、B两极板间的场强方向竖直向下。对小球进行受力分析可知，要想小球恰好在两极板间静止，其受到的电场力必须与重力等大反向，所以小球所受的电场力方向竖直向上。由于小球所受的电场力方向与A、B两极板间的场强方向相反，所以小球带负电，故A错误； BCD．设A、B两极板间的电势差为，两极板间的距离为，则当小球恰好在两极板间静止时，有 当两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角时，A、B两极板间的距离为 此时两极板间的场强大小为 其方向垂直于极板，与竖直方向的夹角为。对小球进行受力分析可知，此时小球所受电场力的方向垂直两极板斜向右上方，小球的受力分析如图所示： 将电场力沿着水平方向和竖直方向进行正交分解，则在竖直方向有 即小球在竖直方向上合外力仍然为0，在水平方向上有 解得小球在水平方向的加速度为 综上所述，当两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角时，小球将不再静止，将以的加速度水平向右加速运动，故BC错误，D正确。 故选D。 2．（2026·山东济南·三模）如图所示，竖直平面内固定一圆心为O的圆弧细管道GH，绝缘且内壁光滑，管道底端H与水平地面相切。在圆弧轨道所处的平面内，质量为m的带电小球a由绝缘细线OM和ON悬挂在O点处于静止状态，OM水平，ON与水平方向夹角为。质量为m可视为质点的带电小球b从G端口由静止释放，当小球b运动到H端时对管道壁恰好无压力。已知重力加速度为g，，小球b由G滑到H过程中，OM绳上拉力的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球b所受库仑力和管道弹力始终与速度垂直，只有重力做功，小球b机械能守恒，从G滑到H的过程中有 只有当小球a和小球b存在相互吸引的库仑力时，小球b运动到H端时对管道壁才有可能恰好无压力，此时有 设小球b与O的连线与水平方向的夹角为，对小球a受力分析，在竖直方向 在水平方向其中 联立解得 当取时，OM绳上拉力最大，。 故选B。 3．（2026·云南·二模）如图所示，、两小球（可视为质点）用绝缘细线连接悬挂于点处于静止状态，两段绝缘细线长度均为，两小球质量均为，小球带电量为，小球带电量为。现在该空间加上水平向右、电场强度的匀强电场，最终两小球达到新的平衡状态再次保持静止。小球运动过程中还会受到与速率成正比的空气阻力。不计两小球之间的库仑力作用，则此过程中空气阻力对、两小球组成的系统做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对球进行受力分析，球带负电，受水平向左的电场力 重力竖直向下，设平衡时绳与竖直方向夹角为，则 解得 对、整体分析，水平方向所受电场力合力为零，故绳处于竖直状态，球位置不变。在此过程中，球位移为零，不做功。球向左上方运动，水平位移 竖直上升高度 电场力对球做正功 重力对球做负功 设空气阻力做功为，根据动能定理，对系统有 代入数据得 解得 故选B。 4．（2026·安徽淮北·二模）如图所示，绝缘斜面体放置在水平地面上，空间中存在竖直向下的匀强电场，一带正电的滑块沿斜面匀速下滑，在滑块下滑过程中，斜面体始终保持静止。则（　　） A．地面对斜面体施加水平向右的摩擦力 B．地面对斜面体施加水平向左的摩擦力 C．撤去电场，滑块仍然沿斜面匀速下滑 D．撤去电场，滑块将沿斜面匀加速下滑 【答案】C 【详解】AB．对滑块与斜面体整体受力分析，整体受竖直向下的重力，竖直向下的电场力和竖直向上的地面的支持力，斜面体与地面间没有摩擦力，故AB错误； CD．设斜面体倾角为θ，滑块沿斜面匀速下滑时，有，， 联立可得 撤去电场，滑块受重力，支持力和摩擦力，由于 则滑块仍然沿斜面匀速下滑，故C正确，D错误。 故选C。 5．（2026·江西新余·二模）如图所示，水平绝缘平板固定在水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一个带电量为（）的小物块放在平板上，刚好能保持静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。在平板上O点钉一小钉，在O点正前方d处（沿电场线方向）固定一光滑小圆环C。用一根绝缘的、自然长度为d的橡皮筋，一端系在O上，另一端穿过圆环后与物块相连，橡皮筋劲度系数为k且遵循胡克定律。保持物块、橡皮筋、圆环、钉子在同一直线上。当物块被拉至A点（在OC延长线上）时，物块恰好要沿板向左运动，此时A与O的距离为L。当物块被拉至另一位置B，使得BC与CA方向夹角为60°时，物块恰好也能保持静止。求此时B与C之间的距离x及橡皮筋的弹力大小F（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】最开始刚好能够静止，则有 在A点，受力平衡可得 在B点，设，橡皮筋总长度为，原长为，因此伸长量为，橡皮筋弹力大小，方向沿指向，与向右的电场力夹角为 物块恰好静止，摩擦力大小等于电场力与拉力的合力大小，且摩擦力达到最大静摩擦力 根据力的合成，对两个力（电场力向右、拉力与电场力夹角）由勾股定理 展开化简得 联立解得 故选A。 6．（2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时位于图中的Q点。若将该装置放在水平方向匀强电场中，小球静止于图中的P点，此时细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)判断电场方向，计算该匀强电场的电场强度的大小E。 (2)若规定Q点位置电势为零，求P点电势φ。 (3)若带电小球从Q点由静止释放，求小球再次到达P点时的速度的大小。 【答案】(1)电场方向水平向左， (2) (3) 【详解】（1）小球带正电，静止时偏在竖直方向左侧，电场力与电场方向同向，因此电场方向水平向左。 对P点小球受力平衡：竖直方向 水平方向 联立解得 （2）P、Q沿电场方向的距离 沿电场方向电势降低，因此电势差满足 已知，代入 得 （3）从Q到P由动能定理 代入数值化简 解得 题型02 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的直线运动 7．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）如图1所示，水平平行正对的两金属板M、N间加有如图2所示的电压。0~t0时间段内，一质量为m的带电油滴（可视为质点）静止在两板正中间P处。t=2.5t0时刻，该油滴恰好能到达某金属板。不计空气阻力，重力加速度为g，油滴的质量与电荷量保持不变，则M、N两板的间距为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】油滴静止，重力与电场力平衡 油滴从两板正中间开始运动，总位移为时到达金属板，分两段分析。阶段：板间电压为，电场力，方向向上 合力 加速度，运动时间，位移 末速度 阶段：板间电压为，电场力反向向下，大小仍为，合力 加速度（向下） 运动时间，取向上为正方向，位移 总位移等于，即 整理得 故选C。 8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，在光滑绝缘的水平面O点右侧存在水平向左的匀强电场，一均匀带正电的圆柱体直棒右端在O点，现给该直棒一初速度向右运动，直棒左侧运动至O点时恰好减速为零。电场对直棒上的电荷分布无影响，则（     ） A．直棒向右进入电场过程中电势能减小 B．直棒在往返运动过程中，前后经过同一路段所用时间不等 C．若只减小导体棒的初速度，则直棒向右减速为零的时间不变 D．若只减小导体棒的初速度，则直棒向右运动的最大位移不变 【答案】C 【详解】A．直棒向右进入电场过程中电场力做负功，电势能增大，故A错误； B．该运动为简谐运动，过程具有对称性：往返经过同一位置时速度大小相等，因此经过同一路段的平均速度大小相等，所用时间相等，B错误； C．根据牛顿第二定律，设直棒质量为 m，总电荷量为 Q，长度为 L。当直棒进入电场位移为 x 时，受到的电场力 回复力系数 角频率 简谐运动方程为 速度 第一次速度减为0时，满足 即​ 得​​，与初速度（振幅）无关，因此减小初速度，向右减速为零的时间不变，C正确； D．简谐运动的振幅（最大位移）满足 ，得​​ 初速度减小，最大位移减小，D错误。 故选C。 9．（2026·辽宁·一模）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于AB，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，BM与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列说法正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在MN的中点处的速度大小为 D．MN的长度为0.6m 【答案】C 【详解】A．设弹性绳与BM夹角为，由受力分析垂直斜面方向有 则，运动过程中斜面弹力不变，由可知，物块上滑过程中受到的摩擦力不变，故A错误； B．设弹性绳与BM夹角为，由受力分析沿斜面方向牛顿第二定律有 又由几何关系 联立可得 代入数据，故B错误； C D．根据上述作出图像如图所示 可知物块从到的过程，图线的面积乘以质量即为合力做功，根据对称性可知 解得 设物块在中点处的速度，根据动能定理可得 解得，故C正确、D错误。 故选C。 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示水平面上固定一个斜面体，斜面倾角，斜面长为5m。可视为质点的A、B两物块叠放在一起以5m/s的速度恰好一起从斜面顶端沿斜面匀速下滑，斜面各处的光滑程度相同，两物块滑过斜面的中点P后进入一匀强电场E中，电场方向垂直斜面向上，电场强度，物块A带电量为+q，质量为m，物块B不带电，二者绝缘。则关于AB两物体从斜面顶端运动至地面所需时间分别是（　　） A．tA=1s B． C．tB=1.25s D．tB=0.75s 【答案】A 【详解】AB从斜面顶端开始运动到P点的时间为 进入电场后， A竖直方向因，可知竖直方向受力平衡，则AB脱离，A竖直方向做匀速运动，则到达斜面底端的时间为 则A物体从斜面顶端运动至地面所需时间是； B进入电场后仍受力平衡沿斜面向下做匀速运动，则到达底端的时间为，则B物体从斜面顶端运动至地面所需时间是。 故选A。 11．（2026·四川眉山·二模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平桌面上，一轻质弹簧一端固定在斜面顶端，另一端连着小球P（可视为质点），小球质量为、带电量为，在足够大的空间范围内，存在平行于斜面向下的匀强电场，电场强度大小。小球在斜面上做振幅为A的简谐运动，到达最高点时，弹簧恰好处于原长。已知弹簧的劲度系数为k，且始终处在弹性限度内，小球做简谐运动的周期，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球P的最大速度为 B．小球P在最低点时的加速度大小为 C．小球P从最高点运动到最低点的过程中，弹簧弹力对小球的冲量大小为 D．若小球P运动到最低点时电场突然反向（大小不变），此后小球做简谐运动的振幅为 【答案】A 【详解】A．小球P受沿斜面向下的电场力 则沿斜面向下的合力为 则平衡位置满足，因小球在平衡位置速度最大，则由能量关系 解得最大速度为，A正确； B．小球P在最高点时的加速度大小为 由对称可知，在最低点的加速度也为g，B错误； C．小球P从最高点运动到最低点的过程中，根据动量定理 其中，解得弹簧弹力对小球的冲量大小为，C错误； D．若小球P运动到最低点时电场突然反向（大小不变），则此时电场力和重力的分量的合力为零，小球只在弹力作用下做简谐振动，则此后小球做简谐运动的振幅为，D错误。 故选A。 12．（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示，以绝缘水平面上O点为坐标原点，沿水平面建立坐标系，质量为m、带电荷量为（q>0）的滑块位于x轴上坐标为的P点，在过O点且垂直于x轴的虚线左、右两侧分布着平行于x轴、方向相反的匀强电场，电场强度大小分别为，。现将滑块由静止释放，滑块沿x轴运动。已知滑块与水平面之间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度为g，运动过程中滑块的电荷量不变，求： (1)滑块从P点到O点经历的时间； (2)滑块最终静止的位置到O点的距离。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将滑块由静止释放后，滑块做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 从P到O，根据运动学公式有 解得 （2）根据题意有，所以减速到零时，滑块会停下来。设滑块最终静止的位置到O点的距离为x，整个运动过程，根据动能定理有 解得 题型03 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的一般运动 13．（2026·重庆·三模）某小组同学利用人工智能模拟“风洞”实验。如图所示，整个竖直平面内存在与竖直方向夹角为θ的恒力风，现将一小球以速度水平抛出，小球在该竖直平面内运动且所受风力大小是其重力的一半。其他条件不变，若在该竖直平面内任意改变角θ的大小，则该小球在所有运动过程中的最小速度大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知，风力提供的加速度恒为 小球所受合加速度(等效重力加速度g1)是a与重力加速度g的矢量和，结合抛体运动规律易知，最小速度就是v0在垂直“等效重力加速度”方向的分速度（即匀速分运动的速度大小），由矢量三角形定则如图所示 可知，当a与g1垂直时，小球运动的最小速度即为所有运动过程中的最小速度，由几何关系易得 最小速度为。 故选D。 14．（2026·浙江·二模）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在水平向右的匀强电场，场强大小为E。时刻，M板下端A处的粒子源发射一质量为m、电荷量为+q、速度大小为的粒子，速度方向与M板的夹角为θ，粒子运动过程中受到与速度大小成正比的阻力作用，即，经时间到达N板上的B点（未画出）时的速度大小为v，方向斜向上且与N板的夹角为φ。不计粒子重力，不考虑边界效应，则（     ） A．粒子在电场中做类斜抛运动 B．与一定相等 C．金属板M、N间的板间距为 D．根据题干信息无法求出A、B两点间的距离 【答案】C 【详解】A．根据题意，假设粒子在电场中做类斜抛运动，则运动过程中粒子速度变化，粒子受到的阻力变化，粒子在电场中运动过程中合力变化，则假设不成立，故A错误； C．在水平方向上，取极短时间，粒子速度变化量为，由动量定理有 两边求和有 解得，故C正确； BD．在竖直方向上，取极短时间，粒子速度变化量为，由动量定理有 两边求和有 解得 可知，只有当竖直方向上的位移时，有 A、B两点间的距离可求，故BD错误。 故选C。 15．（2026·河南郑州·模拟预测）由太阳能板阵列产生的人工可控匀强电场，主要用于偏转太空尘埃和微小碎片。为了测试电场对带电微粒的偏转效果，工程师将一个足够长、倾角为的固定斜面置于电场强度大小、方向水平向右的匀强电场中，并向该区域发射了一质量为、电荷量为的小球，小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为，如图所示。重力加速度为，不计空气阻力。从抛出到落回斜面的过程中，小球机械能的增加量为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】小球落到斜面上时的水平位移，其中 竖直方向 其中 解得， 小球机械能的增加量为 故选D。 16．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在一个方向平行于纸面的匀强电场中，质量为的带电小球从A点以水平速度进入电场，经过一段时间到达B点，其速度竖直向下且大小为，小球的轨迹面为竖直平面。关于该带电小球的运动，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的电场力方向一定水平向左 B．小球受到的电场力大小可能是 C．小球的初动能和最小动能的比值一定是 D．小球运动的时间为 【答案】C 【详解】A．电场力一定有水平向左的分量，但可以同时有竖直分量，方向不一定是水平向左，故A错误。 B．将小球运动分解为水平方向和竖直方向，设水平向右为正方向，竖直向下为正方向，初速度， B点速度， 设运动时间为，加速度分量， 受力：电场力分量， 电场力大小 整理电场力大小得 由二次函数性质得电场力最小值 而， 故B错误； C．时刻动能 整理为关于的二次函数 可得最小动能 初动能 故 故C正确； D．只有当电场力竖直分量时，才有 即 若电场力存在竖直分量，时间不为该值，故D错误； 故选C。 17．（2026·海南·二模）如图所示，在足够大的范围内存在水平向左的匀强电场（图中未画出），倾角为α的足够长斜面固定在水平地面上，在斜面底端有一垂直斜面的足够长的绝缘挡板，现从斜面上O点垂直斜面、以大小为v的速度抛出一质量为m的带正电小球，O点到斜面底端的距离为s，小球刚被抛出时所受的合力方向沿斜面向下，小球碰到挡板后垂直挡板反弹（平行挡板方向的速度变为0），且每次反弹后的速度大小为碰前瞬间垂直挡板方向速度大小的，碰撞时间都极短，不计空气阻力，小球所带的电荷量始终不变，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力大小为 B．小球可能落在距O点为的斜面上 C．小球第一次落到挡板上的点到斜面底端的距离为 D．小球从第一次到第四次与挡板碰撞的过程中的路程为 【答案】D 【详解】A．已知合力沿斜面向下（垂直挡板方向），因此垂直斜面（平行挡板）方向合力为0： 重力垂直斜面分量为，电场力垂直斜面分量为，平衡得 解得 故A错误； B．沿斜面向下（垂直挡板方向）合力恒定，计算得加速度 平行挡板方向，合力为0，做匀速直线运动，初速度为； 垂直挡板方向，初速度为0，做匀加速直线运动，加速度恒定。 小球碰撞挡板后反弹，反弹后垂直挡板方向速度大小为碰前的，计算第一次反弹后上升的最大距离： 碰前速度 反弹后速度 上升最大距离 最高点距离斜面（）还有 后续每次反弹上升距离更小，永远无法到达斜面，因此不可能落在斜面上，故B错误； C．第一次碰撞挡板时，垂直挡板方向位移 代入 得运动时间 平行挡板方向（落点到O点的距离） 故C错误； D．计算第一次碰撞到第四次碰撞过程的总路程，第一次碰后→第二次碰：往返路程 第二次碰后→第三次碰 往返路程 第三次碰后→第四次碰 往返路程 总路程 故D正确。 故选D。 18．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，半径为的绝缘光滑半圆管道沿竖直方向固定，管道与绝缘水平面相切于点，为圆管的直径，过圆心的水平线下侧存在水平向右的匀强电场。质量为、电荷量为的小球静止在圆管内的点，连线与水平方向的夹角。质量为、电荷量为的滑块由水平面上点静止释放，、间距，经过一段时间滑块与小球发生弹性碰撞，碰后小球运动到点时与圆管间没有作用力。假设碰撞时间极短且无电荷量转移，滑块的大小以及小球的直径均小于圆管的内径，且圆管的内径可忽略，，重力加速度为。 (1)求电场强度的大小； (2)求滑块与水平面间的动摩擦因数； (3)改变使小球到达点时速度大小为，离开的同时，保持电场强度大小不变，方向变为水平向左，求小球离开再次到达水平轨道时的速度大小。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球静止在点时，小球受平衡力的作用，由力的平衡条件得 解得 （2）碰后小球在点时与圆管间没有作用力，则有 解得 对碰后的小球由到的过程，由动能定理得 解得 设碰前瞬间滑块的速度大小为，对滑块与小球碰撞的过程，系统动量守恒、机械能守恒，规定向右为正方向，则有， 解得 对滑块由到与小球碰撞的过程，由动能定理得 解得 （3）小球离开点进入电场前做平抛运动，在竖直方向上有 又 解得 此时的速度与水平方向的夹角为，则有 解得 此时小球速度大小 此时小球的速度方向与小球的合力相同，小球做匀加速直线运动 整理得 电场中的位移大小满足 又因为 联立解得 题型04 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的圆周运动 19．（2026·河南焦作·二模）如图甲所示，绝缘水平面与竖直面内光滑绝缘圆弧轨道相切于P点。M为圆弧轨道最高点，且空间存在竖直向上的匀强电场。在水平地面上并排放置、B两个物块，两物块质量均为1kg，A与地面间动摩擦因数，B与地面间无摩擦。A不带电，B带正电，且静电力与B的重力大小相等。两物块在水平外力F作用下向右运动，F随位移x的变化图像如图乙所示，两物块可看成质点，初始时水平地面上A、B与P点间的距离等于4m，重力加速度。则（　　） A．时，A与B间弹力为1N B．B运动到P点的速度为4m/s C．B在圆弧轨道运动时，对轨道的压力与半径成反比 D．只有当时，B才能到达M点 【答案】C 【详解】A．由图可得，可知时，水平外力，对、B整体，由牛顿第二定律得 解得 对B，有 即A与B间弹力为零，故A错误； B．由A选项可知位移时，B的加速度为零，二者已分离，对整体由动能定理得 其中，解得 分离后B做匀速直线运动，到达P点速度的大小，故B错误； C．B在圆弧轨道运动时，B的静电力与B的重力大小相等，竖直方向合力为零，B做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得轨道对B的弹力 由牛顿第三定律知B对轨道的压力大小 可知对轨道的压力与半径成反比，故C正确； D．B在轨道内运动时等效重力为零，只要B有初速度就能通过最高M点，与半径无关，故D错误。 故选C。 20．（2026·河北·二模）长度为L的轻绳（不可伸长）一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点，另一端连接带电荷量为−q的小球（置于桌面上）。整个空间存在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场，虚线PQ过O点且与电场方向平行。将小球拉至桌面上的A点，使轻绳伸直且与PQ间的夹角为45°，现由静止释放小球，下列说法正确的是（　　） A．小球绕O点做半径为L的圆周运动 B．一段时间后，小球将再次回到A点 C．小球速度再次为0时，轻绳与PQ所夹的角度为90° D．小球第一次经过虚线PQ时的动能为 【答案】C 【详解】AB．由静止释放小球，小球受到水平向左的电场力，小球向左做匀加速直线运动，直到轻绳再次伸直时，小球开始做圆周运动，由于轻绳伸直时小球的动能有损失，所以小球将不能回到A点，故AB错误； C．小球向左做匀加速运动，根据运动学规律可得 根据牛顿第二定律可得 联立解得 之后小球做圆周运动，设小球速度为零时轻绳与PQ所夹的角度为θ，根据动能定理可得 联立解得θ=90°，故C正确； D．小球从开始做圆周运动到第一次经过虚线PQ时，根据动能定理可得 联立解得，故D错误。 故选C。 21．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示，竖直面内有一半径为的光滑绝缘圆轨道，一质量为，电荷量大小为的带负电小球从轨道最低点出发，沿着轨道切线方向以大小为的初速度水平射出，整个装置处于竖直向下的匀强电场中，已知，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．小球在最低点对轨道的压力大小为 B．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 C．小球在最低点对轨道的压力大小为 D．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 【答案】B 【详解】AC．小球在最低点时，由牛顿第二定律可得 解得 根据牛顿第三定律可知小球在最低点对轨道的压力大小为，故AC错误； BD．若能够不脱轨到达最高点，当在最高点轨道对小球的弹力刚好为零时，则有 解得小球经过最高点的最小速度为 由动能定理可得 解得初速度最小值为，故B正确，D错误。 故选B。 22．（2026·黑龙江双鸭山·一模）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆周运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球受到的电场力大小为2mg B．小球通过D点时的速度大小为 C．小球在运动过程中的最大速度为 D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg 【答案】D 【详解】A．小球在通过D点时的速度最小，则在该点电场力与重力的合力沿半径方向，则小球受到的电场力大小为，故A错误； B．小球在通过D点时的速度最小，则D点为竖直平面内圆周运动的等效最高点，恰好能完整的做圆周运动，在等效最高点有最小速度，此时电场力与重力的合力刚好提供向心力，则有 解得，故B错误； CD．小球在等效最低点C点的速度最大，故小球从D到C的过程中，由动能定理得 解得 在C点，由牛顿第二定律得 解得，故C错误，D正确。 故选D。 23．（2026·四川凉山·二模）如图所示，在竖直平面内有水平向左场强的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。在点让小球获得一定的初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 【答案】D 【详解】A．小球带负电，受到的电场力水平向右，根据功能关系可知，小球的机械能变化等于电场力做功；小球向右运动时，电场力做正功，小球机械能增加；小球向左运动时，电场力做负功，小球机械能减少；所以小球运动至圆周轨迹的水平直径最左侧时，机械能最小，故A错误； C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，电场力先做正功，后做负功，再做正功，所以其电势能先减小后增大再减小，故C错误； BD．由于，则电场力与重力的合力大小为 电场力与重力的合力方向与竖直方向的夹角满足 解得 如图所示 可知图中M点为等效最高点，N点为等效最低点；小球恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，可知小球经过M点时细绳拉力为0，则有 可得小球做圆周运动过程中动能的最小值为 小球经过N点时的速度最大，受到的细绳拉力最大，从M点到N点过程，根据动能定理可得 在N点由牛顿第二定律可得 联立解得 可知小球对细绳的最大拉力为，故B错误，D正确。 故选D。 24．（2026·江西景德镇·三模）在某深空探测任务的地面模拟实验中，科研团队搭建了一个模拟引力场与电磁复合环境的实验装置：部分装置简化如图所示，半径为的半圆形内壁光滑的玻璃管固定在竖直平面内（等效重力加速度），其右端是坐标原点，在玻璃管内的最低点放置一质量为的不带电小球a。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，电场强度，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度（为常量）。现一质量为、电荷量为的带正电小球b从第二象限中离轴的距离为的某一位置点以一定初速度沿方向抛出，经过一段时间后b球恰好能无碰撞地从玻璃管的左端进入玻璃管。已知玻璃管的内径略大于a、b小球的直径，且两小球运动过程中可看成质点。（，） (1)求b球到达点的速度大小及点离轴的距离； (2)小球b在玻璃管最低点与a小球发生碰撞后黏在一起，电量不变。求碰后整体在玻璃管中运动的最大速率； (3)求碰后整体从原点进入第一象限运动到第一次返回轴时的轨迹与轴所围成的面积。（答案均可用根式表示） 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）由题意知，小球从到，水平方向速度减到0：由运动学可得水平方向 由牛顿第二定律可得水平方向加速度 竖直方向 解得 到达点的速度 （2）b球运动到玻璃管的最低点时速度为，根据动能定理有 b球与a球碰撞，根据动量守恒定律有 解得 碰后整体在玻璃管中的运动过程中，所受电场力与重力的合力方向与水平方向成，由几何关系可得 解得 F方向与水平方向的夹角为斜向右下方，根据分析可知，碰后整体在玻璃管中运动到速度与垂直处的点时速度最大，最大设为，从球整体碰撞后到点，根据动能定理有 解得 （3）ab整体运动到点时的速度为，从碰后到点，根据动能定理有 碰后球整体在第一象限运动时 故ab球整体的合力为洛伦兹力，对ab球整体在第一象限运动受力分析结合动力学和洛伦兹力的特点可知，碰后ab球整体进入第一象限后第一次运动至轴最远位置和从轴最远位置第一次回到轴处的轨迹是对称的。则ab球整体运动到最高点又回到轴时的速度为，即大小为，方向向下 取向上为正方向，竖直方向由动量定理 其中 由等式左边微元累积 整理得 而 解得 题型05 电场中的力、电综合问题 25．（2026·江西吉安·模拟预测）如图所示，绝缘水平地面上O点左侧光滑，放有可视为质点的A、B两个物体，A和B的质量都为1kg，A物体带负电，带电量为C；B绝缘不带电。在B的左侧，有一表面光滑，质量为2kg，半径为1 m的四分之一圆弧轨道C静止放于地面上，轨道末端与地面相切。O点右侧粗糙，动摩擦因数，以O为原点建立向右为正方向的一维坐标系。现给A一水平向左、大小为 m/s的初速度，随后A、B发生弹性正碰，碰撞过程中A的电荷量不变。重力加速度g=10 m/s2，求： (1)B物体滑上C轨道时离地的最大高度； (2)若B刚滑上C到运动至最高点过程历时s，求这一过程中C的对地位移； (3)经过B与A第二次弹性正碰，A开始向右运动，当物体A运动到O点位置瞬间，开始计时。同时在O点右侧空间加上一范围足够大的电场，电场强度大小E=x （V/m）（x为相对原点O的位置坐标），电场的正方向与x轴正方向相同。经过时间t0，A物体速度第一次减为0，求此时A的坐标和2t0时刻A的坐标？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）A、B弹性正碰，满足动量守恒和动能守恒，且，发生速度交换，碰后， 方向向左，B、C组成的系统水平方向动量守恒、机械能守恒，当滑到最高点时，B、C水平方向共速，系统水平方向动量守恒   代入数据得 方向向左。BC作用过程机械能守恒 得 （2）由第一问知，B滑上圆弧最高点时，可得到B、C水平方向的相对位移   由动量守恒 得   又   联立方程得 （3）①当B滑离C时，B、C的速度为、，动量守恒 机械能守恒 解得B滑离C的速度   方向向右，随后B与A发生弹性正碰，质量相等，发生速度交换，碰后A的速度 物体A滑到O处后，受到电场力和摩擦力。设滑到D点速度第一次减到0，位移为。由动能定理 其中， 得，所以A物体第一次速度减为0时的坐标为   ②A物体由O向右运动到最远点D的这一过程，可看作简谐运动的一部分，平衡位置满足 得 即平衡位置坐标为 该简谐运动的振幅为 则在时间内，A物体由O点（振幅）到D点（简谐运动的最大位移处），当A物体由D点向左返回时，可看成另一个简谐运动，平衡位置满足 得，即平衡位置坐标为 所以简谐运动的振幅 由于两次简谐运动的比例系数相同，周期不变，根据对称性：内物体要从D点（简谐运动的最大位移处）到振幅处， 所以时，物体的位置为 故时，A物体的坐标为 26．（2026·福建福州·模拟预测）如图所示，传送带左、右两侧分别与粗糙平台及光滑平台紧密对接，传送带的上表面与两平台处于同一水平面上，传送带以的速度顺时针转动，传送带上左右两端点B、C之间的距离，图中通过B点的竖直虚线左侧存在一水平向右的匀强电场，平台上固定一竖直挡板。现将一带电量为的滑块从A点由静止释放，间距。当滑块运动到B点时速度的大小，滑块经过传送带后在平台上与挡板碰撞，且每次碰撞后速度的大小均变为碰撞前的一半。已知滑块的质量，滑块与平台及传送带间的动摩擦因数，滑块可视为质点，取重力加速度的大小。求： (1)电场强度的大小 (2)滑块第一次与挡板碰撞前的速度大小； (3)滑块第二次撞击挡板前，与传送带之间由摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设电场强度的大小为E，则滑块在电场中运动过程中，由动能定理得 代入数据解得 （2）滑块滑上传送带后向右匀加速运动的加速度大小为a，有 设滑块达到传送带的速度的大小时运动位移大小为，则有 解得 所以滑块到达到与传送带右端之前已经与传送带共速，所以第一次与挡板碰撞之前的速度的大小 （3）滑块第一次滑上传送带过程，设滑块达与传送带共速用时，滑块与传送带相对位移，有，，， 滑块与挡板第一次碰撞后向左以 滑上传送带，减速到零的位移大小为 即滑块在传送带上减速到零后返回向右匀加速直线运动。所以滑块与挡板第一次碰撞后，从向左滑上传送带至速度减为零过程，设用时，滑块与传送带相对位移，则有，，， 滑块从速度为零，到向右匀加速直线运动，回到C点位移有 其所用时间为，有，， 故滑块第二次撞击挡板前，与传送带之间由摩擦产生的热量 27．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。电场中有一竖直放置的劲度系数为的轻质绝缘弹簧，两端连接两个绝缘小球A、B，其中A带正电、电荷量为、质量为，B不带电、质量也为。现将A、B同时由静止释放，释放时弹簧处于原长，A、B运动过程中弹簧始终不超过弹性限度。已知弹簧弹性势能和形变量的关系式，重力加速度为，忽略空气阻力，求： (1)A的速度最大时弹簧的形变量； (2)B的最大速度大小； (3)电场力对A做功的最大值。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）A速度最大时，加速度为零，合外力为零有 又 解得 （2）设A、B的最大速率为、，对A、B和弹簧系统，因 故系统外力矢量和为0，所以系统动量守恒，规定A速度方向为正方向，则有 解得 又 变形得 解得 又 联立解得 根据能量守恒有 解得 （3）由简谐运动的规律得A向上的最大位移为 电场力做功的最大值 28．（2026·安徽·二模）如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，场强大小未知。两个质量相等的带正电小球A、B电荷量之比为1:3，在M上方等高处分别以大小为v0和3v0的初速度同时水平反向抛出，A球进入电场时速度方向与边界M成60°角，在电场中做直线运动。不计空气阻力、小球大小和电荷间的作用力，重力加速度为g，在两球碰撞前，求： (1)刚开始时小球距水平边界M的高度； (2)B球在电场中运动过程中的最小速度； (3)从进入电场开始，经多长时间两球相距最远。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球在进入电场前做平抛运动，将进入电场时的速度分解 竖直方向速度 小球距水平边界M的高度 （2）A球在电场中做直线运动，说明合力方向与速度方向共线。A球受重力和电场力，设A球电荷量为q，质量为m，则 B球电荷量为3q，则电场力 设B球所受电场力和重力的合力与电场边界夹角为α，， 设B球进入电场时速度与电场边界夹角为β，，   速度大小 将速度分解为沿合力方向和垂直合力方向，则最小速度 （3）两球在竖直分运动相同，水平速度相同时相距最远，则有，即   对A球，根据牛顿第二定律，有，解得   对B球，根据牛顿第二定律，有，解得   联立解得 29．（2026·重庆永川·二模）如图所示，AB为足够大的光滑圆弧轨道，BC、EF均为光滑水平平台，CD是半径为R上端切线水平的光滑圆弧轨道。质量为m的滑块甲从AB不同高度H处自由释放，与静止在水平面上质量为nm（，且为定值）的滑块乙发生弹性正碰，两平台间高度差h可调，重力加速度为g。已知时，碰撞后乙恰能过C点做平抛运动。 (1)求n的值； (2)若、，求甲、乙在EF上落点间的水平距离；（结果用分式及根号表示） (3)若、h已知，甲带正电、电量为q，不加电场时甲落点在乙左侧，欲使甲落点在乙右侧，在C点右侧空间加一竖直向上的匀强电场，甲仅受重力和电场力，乙除受重力外还受始终与运动方向相反的某种阻力（k为常数）。已知在右侧空间运动时甲乙均不与轨道CDE相碰，乙刚过C点时，落到EF上时，乙的水平速度大小为且方向向右，求场强E的取值范围。（结果用m、g、q、h、R表示） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲滑下，由动能定理有 甲、乙弹性碰撞 乙在C点，有 联立解得 （2） 时，由（1）有、 ，甲先沿圆弧轨道运动后脱离，假设在P点脱离，PO与CO夹角为θ C→P过程有 P点有 联立得、 又， 联立得 乙做平抛运动，由平抛运动规律有、 联立得 又，代入数据解得 （3）甲下滑得 碰后， 对乙水平方向应用动量定理，水平方向阻力冲量等于动量变化： 代入 得： 由初始 得 代入得乙水平位移： 对甲，电场竖直向上，加速度 竖直方向 水平位移 得： 要求 且甲能落到，需 对 平方整理得： 结合题目“不加电场甲落点在乙左侧”，得 故范围： 【课时精练】 1．（2026·安徽·模拟预测）如图，位于竖直平面内、半径的圆弧形光滑绝缘轨道AB固定在水平面，其下端点与水平绝缘轨道相切，水平轨道与倾角为、固定在水平面的绝缘斜轨道在点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧（弹簧也由绝缘材料制成）。整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度。现有一质量为、带电荷量的小滑块（可视为质点）从点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至点。已知水平轨道长为，斜轨道上长为，滑块与水平轨道和斜轨道间的动摩擦因数均为，重力加速度，，，求： (1)小滑块第一次经过圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)小滑块在水平轨道上运动的总路程。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小滑块从A到B，由动能定理得 在B点 代入数据解得 由牛顿第三定律可知小滑块第一次经过圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小为 （2）小滑块所受电场力水平向左 小滑块所受重力和电场力的合力恰好平行于斜面向下，其大小为 因此小滑块在斜面上不受摩擦力。 小滑块在水平轨道上受到的摩擦力 从到，由动能定理可得 解得 所以弹簧的最大弹性势能 （3）由分析可知，最后小滑块静止在圆弧轨道上某点，该点与圆心连线与水平方向夹角为，则： 则 由能量守恒可得 解得 2．（2026·海南·模拟预测）如图所示，半径为、圆心角为的圆弧轨道固定在竖直面内，与绝缘的水平台平滑连接，竖直虚线的右侧空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。质量为、带电荷量为的滑块b静置于的左侧处，质量为、绝缘光滑的滑块从圆弧轨道顶点无初速度下滑，在处与滑块b发生弹性碰撞，随后两滑块从点飞出平台，滑块和b在水平地面上第一次的落点到的水平距离分别为和。已知，段光滑，滑块b与间的动摩擦因数为，滑块和b可视为质点，重力加速度取，不计空气阻力，，。求： (1)滑块滑到圆弧轨道最低点时受到的支持力大小（用含和的式子表示）； (2)滑块b从点飞离时的速度大小； (3)滑块在段运动的时间。 【答案】(1)5.4mg (2)1m/s (3) 【详解】（1）滑块滑到圆弧轨道最低点时，设其速度大小为，轨道对其的支持力大小为，根据动能定理可得 根据牛顿第二定律可得 解得， （2）滑块a与b碰撞后瞬间，设滑块a的速度为，滑块b的速度为，对滑块a和b组成的系统，根据动量守恒可得 根据机械能守恒可得 联立，解得， 碰撞后，滑块b进入电场做匀减速运动，从P点飞离平台做类平抛运动。滑块a进入电场后做匀速运动，从P点飞离做平抛运动的初速度大小为。对滑块b，根据牛顿第二定律可得 设P点离水平地面高度为h，滑块b做类平抛运动的时间为，对滑块b，则 滑块b在水平地面上的落点到P点的水平距离为 滑块a离开P点做平抛运动，则 滑块a在水平地面上的落点到P点的水平距离为 又 联立，解得滑块b从P点飞离时的速度大小为 （3）设BP间的距离为x，滑块b在BP段运动的过程中，根据动能定理可得 滑块a在BP段做匀速运动的时间为 联立，解得 3．（2026·湖南永州·三模）如图所示，传送带BC左、右两侧分别与粗糙平台AB及光滑平台CD紧密对接，传送带的上表面与两平台处于同一水平面上，传送带以v＝3m/s的速度顺时针转动，传送带上左右两端点B、C之间的距离L＝1.5m，图中通过B点的竖直虚线左侧存在一水平向右的匀强电场，平台CD上固定一竖直挡板。现将一带电量为q＝0.01C的带正电滑块从A点由静止释放，AB间距x＝2m。当滑块运动到B点时速度大小为vB＝2m/s，滑块经过传送带后在平台CD上与挡板碰撞，且每次碰撞后速度大小均变为碰撞前的一半，忽略碰撞对P、Q的影响。已知滑块的质量m1＝0.2kg，滑块与平台AB及传送带间的动摩擦因数均为μ＝0.2，质量为m2＝0.4kg的小球P与长度为R＝1.0m的轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为m3＝0.4kg的小滑块Q相连，小滑块Q套在光滑的水平杆上，水平杆固定且足够长。初始时轻杆竖直靠墙，小球P刚好处在平台的末端。滑块可视为质点，取重力加速度的大小g＝10m/s2。求： (1)电场强度的大小及滑块第一次与挡板碰撞前的速度大小； (2)滑块与挡板碰撞后在传送带上相对传送带运动的总路程 s。 (3)若滑块第一次运动至C点时，立即撤去挡板同时传送带停止转动，小滑块在CD的末端与小球P发生弹性正碰。轻杆在运动过程中不会和水平杆相碰，轻杆第一次水平时，小球的速度（角的大小可用三角函数表示）。 【答案】(1)，3m/s (2)9m (3)，方向与水平方向夹角满足 【详解】（1）滑块在电场中运动的过程中，由动能定理得 代入数据解得 对滑块由牛顿第二定律 解得滑块滑上传送带后向右匀加速运动的加速度大小为 设滑块达到传送带的速度的大小时运动位移大小为，则有 即滑块到达传送带右端之前已经与传送带共速，所以第一次与挡板碰撞之前的速度的大小 （2）滑块与挡板碰撞第一次向左以滑上传送带，接下来每一次与挡板碰撞后从传送带右边滑离时，速度大小等于滑上时的速度。设向左减速到零的时间为，则有 设第次滑块从滑上传送带到从右边滑离传送带，滑块相对传送带的路程大小为，则有 解得，（n=1，2，3……） 则滑块在传送带上相对传送带运动的总路程为 解得 （3）小滑块在CD的末端与小球P发生弹性正碰，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有， 解得 杆由推力变为拉力时，Q开始离开墙壁，此时杆的作用力为0，设此时杆与竖直方向的夹角为，对P球受力分析，如图所示 由牛顿第二定律 由动能定理 联立解得， 轻杆水平时，Q与P的水平分速度相等，设为，Q离墙后，Q、P组成系统水平方向动量守恒，有 解得 设杆第一次水平时，小球P的竖直速度为，从杆的弹力为零到杆第一次水平时，由动能定理 解得 轻杆第一次水平时，小球的速度大小为 方向与水平方向夹角满足 4．（2026·陕西宝鸡·三模）如图所示，为一竖直平面内的光滑绝缘的圆弧轨道，为圆心，、分别为水平和竖直方向的半径。紧贴圆弧轨道点有一对平行金属板、竖直放置（厚度不计），两金属板与圆弧轨道平面垂直，板间有水平向左的匀强电场（图中未画出）。一质量为，带电量的小球（可视为质点）从圆弧上的点由静止释放后，小球恰好不撞到板，最后从点离开电场。已知圆弧轨道半径，两板间距，重力加速度大小取，不计空气阻力，求： (1)两金属板间电场的电场强度； (2)金属板的长度； (3)从点开始刚到板的过程中，小球机械能的变化量。 【答案】(1) (2) (3)减少 【详解】（1）设小球滑到点的速度为，小球从到，由动能定理得 由题意可得小球进入电场后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动，设电场强度大小为，水平方向加速度大小为，从点进入到恰好不撞到板，则在水平方向有 其中 解得 （2）设小球在电场中运动时间为，由题意可得小球在水平方向上先向右做匀减速的时间和再向左做匀加速运动的时间相等，即 由水平方向的运动可得 由竖直方向做自由落体运动有 解得 （3）从点开始刚到板的过程中，电场力对小球做功为 由能量守恒定律可得小球机械能减少了 【真题回顾】 1．（2023·浙江·高考真题）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（    ）      A．MC距离为 B．电势能增加了 C．电场强度大小为 D．减小R的阻值，MC的距离将变大 【答案】B 【详解】A．根据平衡条件和几何关系，对小球受力分析如图所示    根据几何关系可得 联立解得 剪断细线，小球做匀加速直线运动，如图所示    根据几何关系可得 故A错误； B．根据几何关系可得小球沿着电场力方向的位移 与电场力方向相反，电场力做功为 则小球的电势能增加，故B正确； C．电场强度的大小 故C错误； D．减小R的阻值，极板间的电势差不变，极板间的电场强度不变，所以小球的运动不会发生改变，MC的距离不变，故D错误。 故选B。 2．（多选）（2025·海南·高考真题）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则（    ） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大速度为 C．M下滑的最大距离为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 【答案】BD 【详解】A．初始时，弹簧弹力等于N的重力，弹簧处于压缩状态，即 可得 释放M时，弹簧弹力不会突变，对M和N，根据牛顿第二定律 可得释放时M的加速度为，A错误； B．当M、N的加速度为零，M的速度最大，设此时弹簧的伸长量为，根据平衡条件 解得 由于，可知弹簧弹性势能不变，M从开始运动到速度达到最大过程，根据动能定理 联立解得M下滑的最大速度为，B正确； CD．以速度最大位置为原点，斜面向上为正方向，M、N所受的合外力与位移的关系满足 可知M、N做简谐运动，刚释放M时，加速度，根据简谐运动的对称性可知当M下滑的最大距离时，加速度大小也为，根据牛顿第二定律 解得M下滑的最大距离为 根据题意，M、N做简谐运动的周期 从释放开始计时，位移随时间变化的表达式为 当下滑距离为时，代入数据有 可得 即M下滑的距离为时，所用时间为，故D正确，C错误。 故选BD。 3．（多选）（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　） A．最低点的位置 B．速率达到最大值时的位置 C．最后停留位置x的区间是 D．若在最低点能返回，则初始电势能 【答案】BD 【详解】A．全过程，根据动能定理 解得 故A错误； B．当小球甲的加速度为零时，速率最大，则有 解得 故B正确； C．小球甲最后停留时，满足 解得位置x的区间 故C错误； D．若在最低点能返回，即在最低点满足 结合动能定理 又 联立可得 故D正确。 故选BD。 4．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为 （2）在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得 A到B过程根据动能定理得 联立解得 5．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m的小滑块A和B，其电荷量分别为和。A右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间存在水平向右场强大小为E的匀强电场。A、B与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为。时，A以初速度向右运动，B处于静止状态。在时刻，A到达位置S，速度为，此时弹簧未与B相碰；在时刻，A的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为；在细杆与B碰前的瞬间，A的速度为，此时。时间内A的图像如图（b）所示，为图线中速度的最小值，、、均为未知量。运动过程中，A、B处在同一直线上，A、B的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。 （1）求时间内，合外力对A所做的功； （2）求时刻A与B之间的距离； （3）求时间内，匀强电场对A和B做的总功； （4）若增大A的初速度，使其到达位置S时的速度为，求细杆与B碰撞前瞬间A的速度。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）时间内根据动能定理可知合外力做的功为 （2）由图（b）可知时刻A的加速度为0，此时滑块A所受合外力为0，设此时A与B之间的距离为r0，根据平衡条件有 其中 联立可得 （3）在时刻，A的速度达到最大，此时A所受合力为0，设此时A和B的距离为r1，则有 且有 ， 联立解得 时间内，匀强电场对A和B做的总功 （4）过S后，A、B的加速度相同，则A、B速度的变化相同。设弹簧的初始长度为；A在S位置时，此时刻A、B的距离为，A速度最大时，AB距离为，细杆与B碰撞时，A、B距离为。 A以过S时，到B与杆碰撞时，A增加的速度为，则B同样增加速度为，设B与杠相碰时，B向左运动。设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动。对A根据动能定理有 对B有 当A以过S时，设B与杆碰撞时，A速度为，则B速度为，设B与杠相碰时，B向左运动。设B与弹簧相碰到B与杆相碰时，B向左运动。 对A根据动能定理有 对B 联立解得 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第35讲 专题强化：带电粒子（体）在电场中运动的综合问题 目 录 【题型演练】 1 题型01 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的平衡问题 1 题型02 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的直线运动 3 题型03 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的一般运动 6 题型04 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的圆周运动 8 题型05 电场中的力、电综合问题 11 【课时精练】 14 【真题回顾】 16 【题型演练】 题型01 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的平衡问题 1．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图所示的电路中，保持A、B两极板水平，闭合开关S，一带电小球恰好在两极板间静止，现仅将两极板分别绕垂直于纸面的中心轴沿顺时针方向转过角，已知重力加速度为，则下列说法正确的是（     ） A．小球带正电 B．小球仍静止 C．小球向上做加速运动 D．小球的加速度大小为 2．（2026·山东济南·三模）如图所示，竖直平面内固定一圆心为O的圆弧细管道GH，绝缘且内壁光滑，管道底端H与水平地面相切。在圆弧轨道所处的平面内，质量为m的带电小球a由绝缘细线OM和ON悬挂在O点处于静止状态，OM水平，ON与水平方向夹角为。质量为m可视为质点的带电小球b从G端口由静止释放，当小球b运动到H端时对管道壁恰好无压力。已知重力加速度为g，，小球b由G滑到H过程中，OM绳上拉力的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．（2026·云南·二模）如图所示，、两小球（可视为质点）用绝缘细线连接悬挂于点处于静止状态，两段绝缘细线长度均为，两小球质量均为，小球带电量为，小球带电量为。现在该空间加上水平向右、电场强度的匀强电场，最终两小球达到新的平衡状态再次保持静止。小球运动过程中还会受到与速率成正比的空气阻力。不计两小球之间的库仑力作用，则此过程中空气阻力对、两小球组成的系统做的功为（　　） A． B． C． D． 4．（2026·安徽淮北·二模）如图所示，绝缘斜面体放置在水平地面上，空间中存在竖直向下的匀强电场，一带正电的滑块沿斜面匀速下滑，在滑块下滑过程中，斜面体始终保持静止。则（　　） A．地面对斜面体施加水平向右的摩擦力 B．地面对斜面体施加水平向左的摩擦力 C．撤去电场，滑块仍然沿斜面匀速下滑 D．撤去电场，滑块将沿斜面匀加速下滑 5．（2026·江西新余·二模）如图所示，水平绝缘平板固定在水平向右的匀强电场中，电场强度大小为E。一个带电量为（）的小物块放在平板上，刚好能保持静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。在平板上O点钉一小钉，在O点正前方d处（沿电场线方向）固定一光滑小圆环C。用一根绝缘的、自然长度为d的橡皮筋，一端系在O上，另一端穿过圆环后与物块相连，橡皮筋劲度系数为k且遵循胡克定律。保持物块、橡皮筋、圆环、钉子在同一直线上。当物块被拉至A点（在OC延长线上）时，物块恰好要沿板向左运动，此时A与O的距离为L。当物块被拉至另一位置B，使得BC与CA方向夹角为60°时，物块恰好也能保持静止。求此时B与C之间的距离x及橡皮筋的弹力大小F（　　）。 A． B． C． D． 6．（2026·北京房山·二模）如图所示，一质量为m、电荷量为+q的小球，用长为l的绝缘细线悬挂于O点。小球静止时位于图中的Q点。若将该装置放在水平方向匀强电场中，小球静止于图中的P点，此时细线与竖直方向的夹角θ=37°。已知重力加速度为g，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。 (1)判断电场方向，计算该匀强电场的电场强度的大小E。 (2)若规定Q点位置电势为零，求P点电势φ。 (3)若带电小球从Q点由静止释放，求小球再次到达P点时的速度的大小。 题型02 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的直线运动 7．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）如图1所示，水平平行正对的两金属板M、N间加有如图2所示的电压。0~t0时间段内，一质量为m的带电油滴（可视为质点）静止在两板正中间P处。t=2.5t0时刻，该油滴恰好能到达某金属板。不计空气阻力，重力加速度为g，油滴的质量与电荷量保持不变，则M、N两板的间距为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图所示，在光滑绝缘的水平面O点右侧存在水平向左的匀强电场，一均匀带正电的圆柱体直棒右端在O点，现给该直棒一初速度向右运动，直棒左侧运动至O点时恰好减速为零。电场对直棒上的电荷分布无影响，则（     ） A．直棒向右进入电场过程中电势能减小 B．直棒在往返运动过程中，前后经过同一路段所用时间不等 C．若只减小导体棒的初速度，则直棒向右减速为零的时间不变 D．若只减小导体棒的初速度，则直棒向右运动的最大位移不变 9．（2026·辽宁·一模）如图所示，一可视为点电荷带正电的小物块被锁定在固定斜面上的点，物块连接一个弹性绳，跨过墙上固定的光滑定滑轮B，固定在天花板上的点。某时刻，该空间加一平行于斜面向上的匀强电场，同时解除锁定，小物块从静止开始沿斜面向上运动，最远能到达点。已知匀强电场的电场强度为，斜面倾角，物块质量为，电荷量为，物块与斜面间动摩擦因数为，弹性绳的原长等于AB，绳中弹力符合胡克定律，劲度系数为，BM与斜面垂直，且。物块沿斜面方向移动的距离用表示，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度取，，，下列说法正确的是（　　） A．物块上滑过程中受到的摩擦力逐渐变大 B．物块的加速度随变化的关系为 C．物块在MN的中点处的速度大小为 D．MN的长度为0.6m 10．（2026·山东潍坊·模拟预测）如图所示水平面上固定一个斜面体，斜面倾角，斜面长为5m。可视为质点的A、B两物块叠放在一起以5m/s的速度恰好一起从斜面顶端沿斜面匀速下滑，斜面各处的光滑程度相同，两物块滑过斜面的中点P后进入一匀强电场E中，电场方向垂直斜面向上，电场强度，物块A带电量为+q，质量为m，物块B不带电，二者绝缘。则关于AB两物体从斜面顶端运动至地面所需时间分别是（　　） A．tA=1s B． C．tB=1.25s D．tB=0.75s 11．（2026·四川眉山·二模）如图所示，倾角的光滑斜面固定在水平桌面上，一轻质弹簧一端固定在斜面顶端，另一端连着小球P（可视为质点），小球质量为、带电量为，在足够大的空间范围内，存在平行于斜面向下的匀强电场，电场强度大小。小球在斜面上做振幅为A的简谐运动，到达最高点时，弹簧恰好处于原长。已知弹簧的劲度系数为k，且始终处在弹性限度内，小球做简谐运动的周期，重力加速度大小为g，则下列说法正确的是（　　） A．小球P的最大速度为 B．小球P在最低点时的加速度大小为 C．小球P从最高点运动到最低点的过程中，弹簧弹力对小球的冲量大小为 D．若小球P运动到最低点时电场突然反向（大小不变），此后小球做简谐运动的振幅为 12．（2026·河南新乡·模拟预测）如图所示，以绝缘水平面上O点为坐标原点，沿水平面建立坐标系，质量为m、带电荷量为（q>0）的滑块位于x轴上坐标为的P点，在过O点且垂直于x轴的虚线左、右两侧分布着平行于x轴、方向相反的匀强电场，电场强度大小分别为，。现将滑块由静止释放，滑块沿x轴运动。已知滑块与水平面之间的动摩擦因数μ=0.4，重力加速度为g，运动过程中滑块的电荷量不变，求： (1)滑块从P点到O点经历的时间； (2)滑块最终静止的位置到O点的距离。 题型03 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的一般运动 13．（2026·重庆·三模）某小组同学利用人工智能模拟“风洞”实验。如图所示，整个竖直平面内存在与竖直方向夹角为θ的恒力风，现将一小球以速度水平抛出，小球在该竖直平面内运动且所受风力大小是其重力的一半。其他条件不变，若在该竖直平面内任意改变角θ的大小，则该小球在所有运动过程中的最小速度大小为（    ） A． B． C． D． 14．（2026·浙江·二模）如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在水平向右的匀强电场，场强大小为E。时刻，M板下端A处的粒子源发射一质量为m、电荷量为+q、速度大小为的粒子，速度方向与M板的夹角为θ，粒子运动过程中受到与速度大小成正比的阻力作用，即，经时间到达N板上的B点（未画出）时的速度大小为v，方向斜向上且与N板的夹角为φ。不计粒子重力，不考虑边界效应，则（     ） A．粒子在电场中做类斜抛运动 B．与一定相等 C．金属板M、N间的板间距为 D．根据题干信息无法求出A、B两点间的距离 15．（2026·河南郑州·模拟预测）由太阳能板阵列产生的人工可控匀强电场，主要用于偏转太空尘埃和微小碎片。为了测试电场对带电微粒的偏转效果，工程师将一个足够长、倾角为的固定斜面置于电场强度大小、方向水平向右的匀强电场中，并向该区域发射了一质量为、电荷量为的小球，小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为，如图所示。重力加速度为，不计空气阻力。从抛出到落回斜面的过程中，小球机械能的增加量为（     ） A． B． C． D． 16．（2026·安徽芜湖·模拟预测）在一个方向平行于纸面的匀强电场中，质量为的带电小球从A点以水平速度进入电场，经过一段时间到达B点，其速度竖直向下且大小为，小球的轨迹面为竖直平面。关于该带电小球的运动，下列说法正确的是（     ） A．小球受到的电场力方向一定水平向左 B．小球受到的电场力大小可能是 C．小球的初动能和最小动能的比值一定是 D．小球运动的时间为 17．（2026·海南·二模）如图所示，在足够大的范围内存在水平向左的匀强电场（图中未画出），倾角为α的足够长斜面固定在水平地面上，在斜面底端有一垂直斜面的足够长的绝缘挡板，现从斜面上O点垂直斜面、以大小为v的速度抛出一质量为m的带正电小球，O点到斜面底端的距离为s，小球刚被抛出时所受的合力方向沿斜面向下，小球碰到挡板后垂直挡板反弹（平行挡板方向的速度变为0），且每次反弹后的速度大小为碰前瞬间垂直挡板方向速度大小的，碰撞时间都极短，不计空气阻力，小球所带的电荷量始终不变，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．小球所受电场力大小为 B．小球可能落在距O点为的斜面上 C．小球第一次落到挡板上的点到斜面底端的距离为 D．小球从第一次到第四次与挡板碰撞的过程中的路程为 18．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，半径为的绝缘光滑半圆管道沿竖直方向固定，管道与绝缘水平面相切于点，为圆管的直径，过圆心的水平线下侧存在水平向右的匀强电场。质量为、电荷量为的小球静止在圆管内的点，连线与水平方向的夹角。质量为、电荷量为的滑块由水平面上点静止释放，、间距，经过一段时间滑块与小球发生弹性碰撞，碰后小球运动到点时与圆管间没有作用力。假设碰撞时间极短且无电荷量转移，滑块的大小以及小球的直径均小于圆管的内径，且圆管的内径可忽略，，重力加速度为。 (1)求电场强度的大小； (2)求滑块与水平面间的动摩擦因数； (3)改变使小球到达点时速度大小为，离开的同时，保持电场强度大小不变，方向变为水平向左，求小球离开再次到达水平轨道时的速度大小。 题型04 带电粒子在复合场（电场+重力场）中的圆周运动 19．（2026·河南焦作·二模）如图甲所示，绝缘水平面与竖直面内光滑绝缘圆弧轨道相切于P点。M为圆弧轨道最高点，且空间存在竖直向上的匀强电场。在水平地面上并排放置、B两个物块，两物块质量均为1kg，A与地面间动摩擦因数，B与地面间无摩擦。A不带电，B带正电，且静电力与B的重力大小相等。两物块在水平外力F作用下向右运动，F随位移x的变化图像如图乙所示，两物块可看成质点，初始时水平地面上A、B与P点间的距离等于4m，重力加速度。则（　　） A．时，A与B间弹力为1N B．B运动到P点的速度为4m/s C．B在圆弧轨道运动时，对轨道的压力与半径成反比 D．只有当时，B才能到达M点 20．（2026·河北·二模）长度为L的轻绳（不可伸长）一端固定在光滑绝缘水平桌面上的O点，另一端连接带电荷量为−q的小球（置于桌面上）。整个空间存在电场强度大小为E、方向水平向右的匀强电场，虚线PQ过O点且与电场方向平行。将小球拉至桌面上的A点，使轻绳伸直且与PQ间的夹角为45°，现由静止释放小球，下列说法正确的是（　　） A．小球绕O点做半径为L的圆周运动 B．一段时间后，小球将再次回到A点 C．小球速度再次为0时，轻绳与PQ所夹的角度为90° D．小球第一次经过虚线PQ时的动能为 21．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示，竖直面内有一半径为的光滑绝缘圆轨道，一质量为，电荷量大小为的带负电小球从轨道最低点出发，沿着轨道切线方向以大小为的初速度水平射出，整个装置处于竖直向下的匀强电场中，已知，重力加速度大小为，下列说法正确的是（　　） A．小球在最低点对轨道的压力大小为 B．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 C．小球在最低点对轨道的压力大小为 D．小球若能够不脱轨到达最高点，则初速度最小为 22．（2026·黑龙江双鸭山·一模）如图所示，竖直平面内的固定光滑圆形绝缘轨道的半径为R，A、B两点分别是圆形轨道的最低点和最高点，圆形轨道上C、D两点的连线过圆心O且OC与竖直向下方向的夹角为60°。空间存在方向水平向右且平行圆形轨道所在平面的匀强电场，一质量为m的带负电小球（视为质点）恰好能沿轨道内侧做完整的圆周运动，且小球通过D点时的速度最小。重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．小球受到的电场力大小为2mg B．小球通过D点时的速度大小为 C．小球在运动过程中的最大速度为 D．小球通过C点时所受轨道的作用力大小为12mg 23．（2026·四川凉山·二模）如图所示，在竖直平面内有水平向左场强的匀强电场，在匀强电场中有一根长为的绝缘细线，细线一端固定在点，另一端系一质量为的带电小球。在点让小球获得一定的初速度且恰能绕点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为，小球带负电，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小 B．小球对细绳的最大拉力为 C．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大 D．小球做圆周运动过程中动能的最小值为 24．（2026·江西景德镇·三模）在某深空探测任务的地面模拟实验中，科研团队搭建了一个模拟引力场与电磁复合环境的实验装置：部分装置简化如图所示，半径为的半圆形内壁光滑的玻璃管固定在竖直平面内（等效重力加速度），其右端是坐标原点，在玻璃管内的最低点放置一质量为的不带电小球a。第二、三象限存在水平向右的匀强电场，电场强度，第一象限存在竖直向上的匀强电场和垂直纸面向外的非匀强磁场，电场强度，磁感应强度（为常量）。现一质量为、电荷量为的带正电小球b从第二象限中离轴的距离为的某一位置点以一定初速度沿方向抛出，经过一段时间后b球恰好能无碰撞地从玻璃管的左端进入玻璃管。已知玻璃管的内径略大于a、b小球的直径，且两小球运动过程中可看成质点。（，） (1)求b球到达点的速度大小及点离轴的距离； (2)小球b在玻璃管最低点与a小球发生碰撞后黏在一起，电量不变。求碰后整体在玻璃管中运动的最大速率； (3)求碰后整体从原点进入第一象限运动到第一次返回轴时的轨迹与轴所围成的面积。（答案均可用根式表示） 题型05 电场中的力、电综合问题 25．（2026·江西吉安·模拟预测）如图所示，绝缘水平地面上O点左侧光滑，放有可视为质点的A、B两个物体，A和B的质量都为1kg，A物体带负电，带电量为C；B绝缘不带电。在B的左侧，有一表面光滑，质量为2kg，半径为1 m的四分之一圆弧轨道C静止放于地面上，轨道末端与地面相切。O点右侧粗糙，动摩擦因数，以O为原点建立向右为正方向的一维坐标系。现给A一水平向左、大小为 m/s的初速度，随后A、B发生弹性正碰，碰撞过程中A的电荷量不变。重力加速度g=10 m/s2，求： (1)B物体滑上C轨道时离地的最大高度； (2)若B刚滑上C到运动至最高点过程历时s，求这一过程中C的对地位移； (3)经过B与A第二次弹性正碰，A开始向右运动，当物体A运动到O点位置瞬间，开始计时。同时在O点右侧空间加上一范围足够大的电场，电场强度大小E=x （V/m）（x为相对原点O的位置坐标），电场的正方向与x轴正方向相同。经过时间t0，A物体速度第一次减为0，求此时A的坐标和2t0时刻A的坐标？ 26．（2026·福建福州·模拟预测）如图所示，传送带左、右两侧分别与粗糙平台及光滑平台紧密对接，传送带的上表面与两平台处于同一水平面上，传送带以的速度顺时针转动，传送带上左右两端点B、C之间的距离，图中通过B点的竖直虚线左侧存在一水平向右的匀强电场，平台上固定一竖直挡板。现将一带电量为的滑块从A点由静止释放，间距。当滑块运动到B点时速度的大小，滑块经过传送带后在平台上与挡板碰撞，且每次碰撞后速度的大小均变为碰撞前的一半。已知滑块的质量，滑块与平台及传送带间的动摩擦因数，滑块可视为质点，取重力加速度的大小。求： (1)电场强度的大小 (2)滑块第一次与挡板碰撞前的速度大小； (3)滑块第二次撞击挡板前，与传送带之间由摩擦产生的热量。 27．（2026·辽宁朝阳·模拟预测）如图所示，空间存在竖直向上的匀强电场，电场强度大小为。电场中有一竖直放置的劲度系数为的轻质绝缘弹簧，两端连接两个绝缘小球A、B，其中A带正电、电荷量为、质量为，B不带电、质量也为。现将A、B同时由静止释放，释放时弹簧处于原长，A、B运动过程中弹簧始终不超过弹性限度。已知弹簧弹性势能和形变量的关系式，重力加速度为，忽略空气阻力，求： (1)A的速度最大时弹簧的形变量； (2)B的最大速度大小； (3)电场力对A做功的最大值。 28．（2026·安徽·二模）如图，水平边界M下方足够大的空间内存在水平向左的匀强电场，场强大小未知。两个质量相等的带正电小球A、B电荷量之比为1:3，在M上方等高处分别以大小为v0和3v0的初速度同时水平反向抛出，A球进入电场时速度方向与边界M成60°角，在电场中做直线运动。不计空气阻力、小球大小和电荷间的作用力，重力加速度为g，在两球碰撞前，求： (1)刚开始时小球距水平边界M的高度； (2)B球在电场中运动过程中的最小速度； (3)从进入电场开始，经多长时间两球相距最远。 29．（2026·重庆永川·二模）如图所示，AB为足够大的光滑圆弧轨道，BC、EF均为光滑水平平台，CD是半径为R上端切线水平的光滑圆弧轨道。质量为m的滑块甲从AB不同高度H处自由释放，与静止在水平面上质量为nm（，且为定值）的滑块乙发生弹性正碰，两平台间高度差h可调，重力加速度为g。已知时，碰撞后乙恰能过C点做平抛运动。 (1)求n的值； (2)若、，求甲、乙在EF上落点间的水平距离；（结果用分式及根号表示） (3)若、h已知，甲带正电、电量为q，不加电场时甲落点在乙左侧，欲使甲落点在乙右侧，在C点右侧空间加一竖直向上的匀强电场，甲仅受重力和电场力，乙除受重力外还受始终与运动方向相反的某种阻力（k为常数）。已知在右侧空间运动时甲乙均不与轨道CDE相碰，乙刚过C点时，落到EF上时，乙的水平速度大小为且方向向右，求场强E的取值范围。（结果用m、g、q、h、R表示） 【课时精练】 1．（2026·安徽·模拟预测）如图，位于竖直平面内、半径的圆弧形光滑绝缘轨道AB固定在水平面，其下端点与水平绝缘轨道相切，水平轨道与倾角为、固定在水平面的绝缘斜轨道在点平滑连接，斜面顶端固定一轻质弹簧（弹簧也由绝缘材料制成）。整个轨道处在水平向左的匀强电场中，电场强度。现有一质量为、带电荷量的小滑块（可视为质点）从点由静止释放，经水平轨道后滑上斜面并压缩弹簧，第一次可将弹簧压缩至点。已知水平轨道长为，斜轨道上长为，滑块与水平轨道和斜轨道间的动摩擦因数均为，重力加速度，，，求： (1)小滑块第一次经过圆弧形轨道最低点时对轨道的压力大小； (2)弹簧的最大弹性势能； (3)小滑块在水平轨道上运动的总路程。 2．（2026·海南·模拟预测）如图所示，半径为、圆心角为的圆弧轨道固定在竖直面内，与绝缘的水平台平滑连接，竖直虚线的右侧空间存在竖直向下的匀强电场，电场强度大小为。质量为、带电荷量为的滑块b静置于的左侧处，质量为、绝缘光滑的滑块从圆弧轨道顶点无初速度下滑，在处与滑块b发生弹性碰撞，随后两滑块从点飞出平台，滑块和b在水平地面上第一次的落点到的水平距离分别为和。已知，段光滑，滑块b与间的动摩擦因数为，滑块和b可视为质点，重力加速度取，不计空气阻力，，。求： (1)滑块滑到圆弧轨道最低点时受到的支持力大小（用含和的式子表示）； (2)滑块b从点飞离时的速度大小； (3)滑块在段运动的时间。 3．（2026·湖南永州·三模）如图所示，传送带BC左、右两侧分别与粗糙平台AB及光滑平台CD紧密对接，传送带的上表面与两平台处于同一水平面上，传送带以v＝3m/s的速度顺时针转动，传送带上左右两端点B、C之间的距离L＝1.5m，图中通过B点的竖直虚线左侧存在一水平向右的匀强电场，平台CD上固定一竖直挡板。现将一带电量为q＝0.01C的带正电滑块从A点由静止释放，AB间距x＝2m。当滑块运动到B点时速度大小为vB＝2m/s，滑块经过传送带后在平台CD上与挡板碰撞，且每次碰撞后速度大小均变为碰撞前的一半，忽略碰撞对P、Q的影响。已知滑块的质量m1＝0.2kg，滑块与平台AB及传送带间的动摩擦因数均为μ＝0.2，质量为m2＝0.4kg的小球P与长度为R＝1.0m的轻杆相连，轻杆的另一端通过铰链与质量为m3＝0.4kg的小滑块Q相连，小滑块Q套在光滑的水平杆上，水平杆固定且足够长。初始时轻杆竖直靠墙，小球P刚好处在平台的末端。滑块可视为质点，取重力加速度的大小g＝10m/s2。求： (1)电场强度的大小及滑块第一次与挡板碰撞前的速度大小； (2)滑块与挡板碰撞后在传送带上相对传送带运动的总路程 s。 (3)若滑块第一次运动至C点时，立即撤去挡板同时传送带停止转动，小滑块在CD的末端与小球P发生弹性正碰。轻杆在运动过程中不会和水平杆相碰，轻杆第一次水平时，小球的速度（角的大小可用三角函数表示）。 4．（2026·陕西宝鸡·三模）如图所示，为一竖直平面内的光滑绝缘的圆弧轨道，为圆心，、分别为水平和竖直方向的半径。紧贴圆弧轨道点有一对平行金属板、竖直放置（厚度不计），两金属板与圆弧轨道平面垂直，板间有水平向左的匀强电场（图中未画出）。一质量为，带电量的小球（可视为质点）从圆弧上的点由静止释放后，小球恰好不撞到板，最后从点离开电场。已知圆弧轨道半径，两板间距，重力加速度大小取，不计空气阻力，求： (1)两金属板间电场的电场强度； (2)金属板的长度； (3)从点开始刚到板的过程中，小球机械能的变化量。 【真题回顾】 1．（2023·浙江·高考真题）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为、质量为的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（    ）      A．MC距离为 B．电势能增加了 C．电场强度大小为 D．减小R的阻值，MC的距离将变大 2．（多选）（2025·海南·高考真题）一绝缘的固定倾斜斜面，斜面倾角为，空间中存在沿斜面向下的匀强电场，电场强度为。质量为m的物块M、N用一根不可伸长的轻绳绕过滑轮连接，M带正电，电荷量为q，N不带电，N一端与弹簧连接，弹簧另一端固定在地面上，劲度系数为k。初始时有外力作用使M静止在斜面上，轻绳恰好伸直，使M从静止释放，第一次到达最低点的时间为t，不计一切摩擦。则（    ） A．释放时M的加速度为 B．M下滑的最大速度为 C．M下滑的最大距离为 D．M下滑的距离为时，所用时间为 3．（多选）（2024·江西·高考真题）如图所示，垂直于水平桌面固定一根轻质绝缘细直杆，质量均为m、带同种电荷的绝缘小球甲和乙穿过直杆，两小球均可视为点电荷，带电荷量分别为q和Q。在图示的坐标系中，小球乙静止在坐标原点，初始时刻小球甲从处由静止释放，开始向下运动。甲和乙两点电荷的电势能（r为两点电荷之间的距离，k为静电力常量）。最大静摩擦力等于滑动摩擦力f，重力加速度为g。关于小球甲，下列说法正确的是（　　） A．最低点的位置 B．速率达到最大值时的位置 C．最后停留位置x的区间是 D．若在最低点能返回，则初始电势能 4．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在A、B两点的速度大小。 5．（2023·福建·高考真题）如图（a），一粗糙、绝缘水平面上有两个质量均为m的小滑块A和B，其电荷量分别为和。A右端固定有轻质光滑绝缘细杆和轻质绝缘弹簧，弹簧处于原长状态。整个空间存在水平向右场强大小为E的匀强电场。A、B与水平面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，其大小均为。时，A以初速度向右运动，B处于静止状态。在时刻，A到达位置S，速度为，此时弹簧未与B相碰；在时刻，A的速度达到最大，此时弹簧的弹力大小为；在细杆与B碰前的瞬间，A的速度为，此时。时间内A的图像如图（b）所示，为图线中速度的最小值，、、均为未知量。运动过程中，A、B处在同一直线上，A、B的电荷量始终保持不变，它们之间的库仑力等效为真空中点电荷间的静电力，静电力常量为k；B与弹簧接触瞬间没有机械能损失，弹簧始终在弹性限度内。 （1）求时间内，合外力对A所做的功； （2）求时刻A与B之间的距离； （3）求时间内，匀强电场对A和B做的总功； （4）若增大A的初速度，使其到达位置S时的速度为，求细杆与B碰撞前瞬间A的速度。 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $