1.2.4 圆与圆的位置关系教学设计-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修一册

1.2.4  圆与圆的位置关系

教材

北师大版（2019）选择性必修第一册

章节

第一章第二节2.4

课程类型

高二新授课

课时安排

2课时

备课人

青衫*-*

【课标要求】

能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系。

能用直线与圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题。

【教学目标】

1. 掌握圆与圆几种位置关系的几何特征，熟练运用几何法精准判定两圆位置关系
2. 掌握圆与圆位置关系的代数判定法，明确代数法的优势与局限性
3. 理解两圆相交时公共弦所在直线方程的推导方法，掌握两圆公共弦直线方程及弦长计算公式并能灵活应用
4. 理解两圆外切时，两圆相减所得直线为内公切线的几何本质，区分公共弦与公切线

【教学重难点】

重点

1. 圆与圆位置关系的几何判定规则；

2. 两圆位置关系的几何法、代数法综合判定应用。

3.两圆相交时公共弦方程的求解方法及 公共弦弦长公式的应用。

难点

1. 两圆位置关系中内切与外切、内含与外离的区分

2. 两圆位置关系中代数法的局限性及两种判定方法（几何/代数）的择优使用。

3. 理解两圆方程相减的几何意义；理解两圆相交和外切时，相减所得直线分别为公共弦和内公切线的原理。

核心素养

1.                 逻辑推理素养：根据两圆方程选择代数法或几何法判断位置关系
2.                 数学运算素养：根据两圆方程选择代数法或几何法判断位置关系
3.                 数学抽象思维：圆与圆的位置关系

教学过程(表格描述)

教学

环节

主要教学活动

设置意图

【导】2分钟

复习回顾，引入新课

【师生活动：师提问】

同学们，回忆前面的学习，点与圆、直线与圆都有哪些位置关系？我们又是如何判定的？核心依据是什么？

预估学生答：略；依靠“距离d与半径的大小关系”判定，通过公共点个数辅助判断。【教师总结】

我们用（几何法）距离与半径的大小关系和（代数法）方程组解的个数研究了点、直线与圆的位置关系，今天我们类比前面的学习思路，探究平面内圆与圆的位置关系。

通过复习点与圆，直线与圆的位置关系，由已知到未知，调动学生的学习积极性和求知欲.

知识精讲

第一课时

【学】基础感知

教师利用多媒体动态演示两圆由远及近的完整运动过程后提问：

探究一（8min）

问题1.两圆在移动过程中，公共点的个数有哪几种情况？根据公共点个数，两圆的位置关系可以分成几类？分别是什么？

预设：公共点个数有 个、 个、 个三种，位置关系可分为相离、相切、相交三类。

追问：相切和相离是否还能进一步细分？

预设：相切可分外切与内切，相离可分外离与内含。

问题2.类比前面的方法，如何用几何法来精确刻画上述五种位置关系？设定两圆圆心距d，半径、 .

预设： 时两圆相交； 时外切； 时内切； 时外离； 时内含

总结：（完善下表，小组讨论展示，教师点评补充完善）

通过探究问题1和追问，从直观图形入手，引导学生回顾已有经验，为量化判断奠定基础。

问题2让学生在几何直观视角下建立判断方法，突出数形结合思想。

探究二（6min）自主探究＋小组合作探究

问题3.类比直线与圆代数判定法，联立两圆方程，如何通过代数运算判断两圆位置关系？

预设：>0→两圆相交；=0→两圆外切或内切；→两圆外离或内含.

追问：与几何法相比，代数法的局限性在哪？

（优点：可以计算求出交点坐标.）

缺点：无法区分外切和内切、外离和内含.

几何法简单、清楚，因此一般采取几何法.

深入探究【例题探究10-13分钟】

1.（P38例10） 已知圆C与x轴和y轴都相切，且与圆O:相外切，求圆C的方程

【师生活动】

（首先学生自主思考完成，然后再进行展示。易忽略：与坐标轴相外切时圆心位置的确定）

2.（P39练习3）若圆与圆相交，求实数m的取值范围.

【师生活动】学生完成

【展评】学生展示问题2表格，问题3，题1.其他小组点评补充，教师点评补充完善。

第二课时

自主探究 环节一：例题导入，探究公共弦所在直线方程推导及公共弦长求法（18-20分钟）

已知圆与圆交于A,B两点, AB即为这两圆的公共弦.

问题3让学生在代数方程下建立判断方法

追问对圆与圆的位置关系的判断方法进行梳理和对比，得到几何法和代数法的优缺点.

通过课本例题和相交圆含参问题，让学生熟悉两圆位置关系的判定方法和相关含参问题的求法，培养学生自主探究的能力，提高学生分析问题、解决问题的能力；加强数形结合及规范作答的意识.

问题4,5精准抓住