专题3.1平均数与方差 讲义 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

本讲义聚焦初中数学“平均数与方差”核心知识点，系统梳理众数、算术平均数、加权平均数、方差的定义及应用，构建从基础计算（求众数、平均数）到综合应用（利用统计量求未知数据），再到实际决策（运用方差判断稳定性）的递进式学习支架。 资料以“小模块-微专题-大压轴”分层设计为亮点，通过典例与变式题培养学生运算能力和推理意识，压轴题结合生活情境（如销售决策、成绩分析）发展数据意识和应用意识，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.1平均数与方差》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 求众数 模块10 利用方差求未知数据的值 模块2利用众数求未知数据的值 模块11根据方差判断稳定性 模块3 求一组数据的平均数 微专题1利用已知的平均数求相关数据的平均数 模块4 已知平均数求未知数据的值 微专题2出错情况下的平均数问题 模块5 求加权平均数 【压轴一】运用众数做决策 模块6利用加权平均数求未知数据的值 【压轴二】利用平均数做决策 模块7求离差平方和 【压轴三】运用方差做决策 模块8 离差平方和的应用 通关检测·实战演练 模块9求方差 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 众数 定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 知识点二:算术平均数 定义:一般地，对于n个数x1，X2，.，Xn，则这n个数据的平均数为记作 读作“x拔” 知识点三:加权平均数 权的概念：:一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 定义:若n个数x1，X2，...，Xn的权分别是W1，W2,...，Wn，则叫做这n个数的加权平均数. 权的作用：权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大;权越小，该数据所占的比重越小. 权常见的表现形式:①用频数表示，即用出现的次数表示;②百分数的形式;③连比的形式. 知识点四:方差 定义:设有n个数据X1，X2，..，Xn，各个数据与平均数x的差的平方分别是(x1-x)2，(x2-x)2,...,(xn-x)2, 我 们用 这些值的平均数，即用s2=[x1-x)2+(x2-x)2+-+(xn-x)2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 方差的作用:方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 模块通关·举一反 三 【模块一】求众数 【典例1】在某市举行的“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学的捐款金额统计如下表，则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是（    ） 金额/元 20 30 35 50 100 学生数 18 12 5 10 5 A．20元 B．30元 C．35元 D．100元 【答案】A 【难度】0.94 【来源】【智】48 第4章 章末对点导练（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】求众数 【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 直接根据众数的定义，找出出现次数最多的金额． 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数据， ∴ 比较各金额的学生数：元对应人，元对应人，元对应人，元对应人，元对应人， ∵ ， ∴ 众数是元. 故选：A． 【变式1-1】有一组数据：1，2，2，2，3，4，4，这组数据的众数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.94 【来源】江苏省苏州市2025-2026学年第一学期九年级数学期末调研试题 【知识点】求众数 【分析】本题考查众数的定义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，只需统计各数据出现的次数，找出次数最多的即可． 【详解】∵在数据1，2，2，2，3，4，4中，1出现1次，2出现3次，3出现1次，4出现2次， ∴出现次数最多的数是2， ∴这组数据的众数是2． 故选：B． 【变式1-2】在贵阳贵安第四届“大脑运动会”暨“第一届数智文化节”预赛中，某校六位评委老师给第一小组的评分（单位：分）为：95，90，89，95，88，95，则这组数据的众数是 ． 【答案】95 【难度】0.94 【来源】贵州省贵阳市花溪区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】求众数 【分析】本题主要考查了求一组数据的众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，据此可得答案． 【详解】解：数据95出现3次，90出现1次，89出现1次，88出现1次， 因此众数为95． 故答案为：95． 【变式1-3】某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【答案】42 【难度】0.94 【来源】广东省深圳市龙岗区沙湾中学2025-2026学年上学期八年级数学1月月考试卷 【知识点】求众数、运用众数做决策 【分析】本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键．由于每件夹克利润相同，销售量最大的尺码应多进货，尺码42的销售量最大，为众数． 【详解】解：由统计表可知，尺码为38的夹克销售10件，尺码为40的夹克销售12件，尺码为42的夹克销售20件，尺码为44的夹克销售12件，尺码为46的夹克销售12件，其中尺码为42的夹克销售量最大，为20件，因此这组数据的众数是42，所以下一周应进尺码为42的夹克最多． 故答案为：． 【模块二】利用众数求未知数据的值 【典例2】已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【难度】0.85 【来源】【智】39 第2课时 中位数与众数（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 【变式2-1】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【答案】D 【难度】0.65 【来源】【智】34 第1课时 中位数和众数（学海风暴26春八年级数学下册人教版-课外作业） 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】本题考查众数的概念和数据的排列顺序，注意唯一众数的条件，理解题意是解题的关键． 数据从大到小排列，为正整数且；再根据众数是且唯一，排除的情况，得到． 【详解】解：∵数据从大到小排列为5，4，4，3，，且为正整数， ∴，即可能为1，2，3. ∵唯一的众数是，且出现两次， ∴若，则出现两次，众数为和，不唯一； 若，则其他数均出现一次，是唯一众数． ∴． 故选：D． 【变式2-2】若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 【答案】A 【难度】0.85 【来源】第六章 数据的分析 1平均数与方差 第1课时 众数与平均数 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】此题考查了众数的定义，众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个． 根据众数的定义求解即可． 【详解】解：数据11，12，12，19，11，x的众数是12， ． 故选：A． 【变式2-3】一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ． 【答案】1或2 【难度】0.85 【来源】2025年河南省九年级中考数学模拟试题（二） 【知识点】 利用众数求未知数据的值 【分析】根据众数的定义，结合正整数的性质解答即可． 本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4， ∴， 由x为正整数, 故数据x是1或2． 故答案为：1或2． 【模块三】求一组数据的平均数 【典例3】某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 【答案】A 【难度】0.94 【来源】甘肃省酒泉市肃州区2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试卷 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】此题考查了平均数，根据平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：平均数为． 故选：A． 【变式3-1】在一次歌唱祖国演唱比赛中，评分办法采用7位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数．已知7位评委给某位选手的打分为：94，94，93，98，99，98，96，那么这位选手的最后得分是（    ） A．94 B．96 C．97 D．98 【答案】B 【难度】0.94 【来源】江苏省南通市崇川区2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题主要考查算术平均数．根据算术平均数的概念计算可得． 【详解】解：这位选手的最后得分是：（分）． 故选：B． 【变式3-2】4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025--2026学年第一学期九年级期末考试数学试卷？ 【知识点】求一组数据的平均数、 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 【变式3-3】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:3:6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【答案】85分 【难度】0.85 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了加权平均数和一元一次不等式的应用，设小王的期末考试成绩为x，根据加权平均数的概念列出一元一次不等式求解即可．解题的关键是掌握加权平均数的求法：若n个数的权分别为，，…，，则加权平均数为，和正确找准题目中的不等关系． 【详解】设小王的期末考试成绩为x， ∴ 解得． ∴他的期末考试最低成绩是85分． 故答案为：85分． 【模块四】已知平均数求未知数据的值 【典例4】某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 【变式4-1】某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】专题01 数据的分析（七大类型）（题型专练）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读�题型专练》（人教版） 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的求法，设成绩为环的人数为，则根据平均数的计算公式即可求得的值，熟练掌握加权平均数是解题的关键． 【详解】解：设成绩为环的人数是x，根据题意得： ， 解得：， 则成绩为环的人数是， 故选：． 【变式4-2】坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山西省太原市实验中学等多校2023-2024学年八年级上学期联考数学试题 【知识点】分式方程的其他实际问题、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的定义，分式方程的应用，加权平均数：（其中）；理解定义，掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根； 故选：B. 【变式4-3】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【难度】0.85 【来源】湖南省怀化市鹤城区2020-2021学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】设物理要考x分，根据加权平均数的计算公式得到方程，解方程即可． 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 【模块五】求加权平均数 【典例5】某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（    ） A．80分 B．82分 C．84分 D．87分 【答案】D 【难度】0.94 【来源】广西南宁市北湖北路学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数的相关定义，解题的关键是根据加权平均数的相关定义计算. 利用加权平均数的公式直接计算即可得到答案． 【详解】解：数学成绩为：分 故选：D 【变式5-1】某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A．85分 B．89分 C．90分 D．92分 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省郑州市郑东新区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握运算方法是解题的关键． 计算加权平均数，将各项成绩乘以其对应的权重比例后求和即可． 【详解】解：最终成绩， ∴小颖的最终成绩为分， 故选：C． 【变式5-2】在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的成绩是（   ） A．89.2分 B．90分 C．90.4分 D．89.6分 【答案】A 【难度】0.65 【来源】江苏省宿迁市宿城区2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数的计算，解题的关键是根据加权平均数的公式，结合给定的权重计算成绩． 根据加权平均数公式，用演唱技巧得分乘对应权重、舞台表现得分乘对应权重，求和后除以总权重，得到选手成绩． 【详解】这是加权平均数的计算问题，权重比为， 总权重为． 选手成绩为：（分） 故选A． 【变式5-3】某中学评选先进班级，主要从班级精神面貌、学习风气、遵守纪律、清洁卫生四个方面考核评分，各项满分均为100分，占比如下表： 项目 精神面貌 学习风气 遵守纪律 清洁卫生 所占比例 九年级（1）班这四项得分依次为80分、80分、90分、70分，则该班四项综合得分是（    ） A．75分 B．80分 C．80.5分 D．85.5分 【答案】C 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年九年级上学期阶段性学习评价数学试卷 【知识点】求加权平均数 【分析】用四项得分分别乘以各自的权，并相加可得答案．本题考查加权平均数，掌握加权平均数的计算方法是解答本题的关键． 【详解】解： 综合得分 （分）， ∴ 该班四项综合得分是80.5分， 故选：C． 【模块六】利用加权平均数求未知数据的值 【典例6】坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【难度】0.85 【来源】山西省太原市实验中学等多校2023-2024学年八年级上学期联考数学试题 【知识点】分式方程的其他实际问题、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的定义，分式方程的应用，加权平均数：（其中）；理解定义，掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根； 故选：B. 【变式6-1】某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【答案】 【难度】0.85 【来源】第二十章 能力提升卷 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了加权平均数的求法，熟记定义是解题的关键．设男、女生的人数分别为人，根据加权平均数的概念列式整理即可得解． 【详解】解：设男生人数为人，女生人数为人， 则有， 即， ． 男，女生人数之比为． 【变式6-2】一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是和，公司给出他这两项测试的平均成绩为，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【答案】面试 【难度】0.85 【来源】北京市三帆中学2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、 利用加权平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查加权平均数，解题的关键是设出面试和笔试的权重，根据加权平均数的定义列出方程．设面试成绩所占百分比为，则笔试成绩所占百分比为，根据加权平均数的定义列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：设面试成绩所占百分比为，则笔试成绩所占百分比为， 根据题意，得：， 解得：， 则， ∴此次招聘中面试的权重较大， 故答案为：面试． 【变式6-3】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:3:6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【答案】85分 【难度】0.85 【来源】山东省烟台市芝罘区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题 【知识点】 利用加权平均数求未知数据的值、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】此题考查了加权平均数和一元一次不等式的应用，设小王的期末考试成绩为x，根据加权平均数的概念列出一元一次不等式求解即可．解题的关键是掌握加权平均数的求法：若n个数的权分别为，，…，，则加权平均数为，和正确找准题目中的不等关系． 【详解】设小王的期末考试成绩为x， ∴ 解得． ∴他的期末考试最低成绩是85分． 故答案为：85分． 【模块七】求离差平方和 【典例7】一组数据的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（   ） A．10 B． C．2 D． 【答案】A 【难度】0.65 【来源】第六章 数据的分析 本章考点检测训练 【知识点】求离差平方和、已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题主要考查平均数，离差平方和；先根据平均数的公式计算出，再结合离差平方和计算求解即可． 【详解】解：∵一组数据的平均数是5， ∴， 解得， ∴离差平方和：， 故选：A． 【变式7-1】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【答案】D 【难度】0.94 【来源】第六章 数据的分析 1 平均数与方差 第3课时 离差平方和、方差、标准差 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查求一组数据的离差平方和，解题的关键是熟练掌握离差平方和的计算方法． 先求平均数，再求各个数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】解：一组数据为2，3，4，5，6， 平均数为， ∴这组数据的离差平方和为， 故选：． 【变式7-2】“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【来源】贵州省贵阳市云岩区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查求离差平方和，先计算数据的平均值，再求每个数据与平均值之差的平方和即可. 【详解】解：∵平均数为， ∴ 离差平方和. 故选C. 【变式7-3】青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了离差平方和．先计算数据的平均值，然后求每个数据与平均值的差的平方和，据此进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵数据：10，11，12，10，12， 则平均值， 依题意， ， 即这组数据的离差平方和为4， 故选：B． 【模块八】 离差平方和的应用 【典例8】现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【答案】A 【难度】0.65 【来源】【智】43 24.4 数据的分组（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求离差平方和 【分析】计算各选项的组内离差平方和总和，总和最小的分组最优． 本题考查了组内离差平方和的计算， 掌握离差平方和的定义是解题的关键． 【详解】解：A、∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． B.∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． C.∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． D.∵第一组均值，离差平方和； 第二组均值，离差平方和； ∴总和． ∵选项A的总离差平方和最小， ∴最优分组为A． 故选：A． 【变式8-1】科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况． 【答案】 小 大 7 【难度】0.85 【来源】第6章1课时4离差平方和、方差、标准差的应用－【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024） 【知识点】离差平方和的应用 【分析】本题考查组内离差平方和的定义，根据组内离差平方和的定义解答即可． 【详解】解：按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由小到大排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成种情况． 故答案为：小，大，7． 【变式8-2】体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷 【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 【变式8-3】为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 【答案】乙测试成绩的离差平方和为2，方差为0.4；乙参加更合适，理由见解析 【难度】0.65 【来源】甘肃省甘南藏族自治州卓尼县藏族中学2025-2026学年上学期八年级月考数学试题 【知识点】求方差、求离差平方和 【分析】此题主要考查了方差、离差平方和、算术平均数等统计量，其中方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．先根据平均数和方差的定义求出乙测试成绩的离差平方和及方差，再根据平均数和方差的意义判断即可． 【详解】解：乙的平均数为：， 乙的离差平方和为：， 乙的方差为：； 乙参加学校“英语听说”大赛更合适，理由如下： 因为甲的平均成绩等于乙的平均成绩，且乙的方差较小，即乙的成绩稳定， 所以选乙参加学校的“英语听说”大赛更合适． 【模块九】求方差 【典例9】求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【来源】期末检测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、求离差平方和 【分析】本题考查了方差，平均数，离差平方和．依题意，得出原始数据为，，平均数，当加入两个7后，，平均数不变，方差变小，离差平方和不变，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴原始数据为，， 当加入两个7后，此时， ∴n的值增加了2， ∴①是符合题意的； 则原始数据求和：， ∴平均数， 则当加入两个7后，新数据求和：， 此时新数据的平均数，平均数不变， ∴ ②符合题意； ∴原始方差； 新方差为， ∵， ∴方差变小， ∴ ③符合题意； 依题意，原始离差平方和 新离差平方和，不变， ∴ ④是不符合题意， ∴ 正确结论有3个， 故选：C 【变式9-1】在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（    ）人，最低分为（    ）分． A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80 【答案】B 【难度】0.94 【来源】2025年上海市初中数学二模中考模拟练习：标新立异卷 【知识点】求方差 【分析】本题考查方差的计算公式，根据题中给的公式可得参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95，平均分为89，据此即可得到答案． 【详解】由题可知参加选手的成绩从低到高依次为：80，85，85，90，90，90，90，90，95，95， 平均分为：89 故这次成绩低于平均分的有3人，最低分为80分． 故选：B． 【变式9-2】已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是 ． 【答案】5 【难度】0.85 【来源】2025~2026学年度第一学期期末检测试题（卷） 八年级数学（北师大版） 【知识点】求离差平方和、求方差 【分析】本题考查方差与离差平方和，根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为4，离差平方和为20，代入公式计算即可 【详解】解：一组数据的离差平方和， ∴这组数据的方差的值是， 故答案为：5． 【变式9-3】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（   ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【答案】C 【难度】0.94 【来源】山东省青岛市李沧区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】求一组数据的平均数、求方差 【分析】本题主要考查平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．分别计算出原数据和新数据的平均数和方差，再进行比较即可得出答案． 【详解】解：原数据的平均数为， 新数据的平均数为， 原数据的方差为， 新数据的方差为， 所以平均数变大，方差变小． 故选：C． 【模块十】利用方差求未知数据的值 【典例10】数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差，根据方差计算公式分析x的范围即可得到答案． 【详解】解：数据中，每2个数相差1， 数据，前2个数据也是相差1， 若或时，两组数据方差相等， 而数据的方差比数据的方差大， 则的值大于4或者小于1， 故选：A． 【变式10-1】如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【答案】B 【难度】0.65 【来源】陕西省西安市莲湖区多校联考2024-2025学年上学期八年级数学月考试卷 【知识点】 利用方差求未知数据的值 【分析】本题主要考查了方差与平均数的计算公式，熟记公式是解题关键． 先根据方差的计算公式可得这组数据的平均数，再利用平均数的计算公式即可得． 【详解】解：由题意得：这组数据的平均数为6， 则， 解得：， ∴ 故选：B． 【变式10-2】一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【难度】0.65 【来源】2024年浙江省杭州市西湖区中考数学三模试题 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、已知 平均数求未知数据的值、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查平均数和方差、完全平方公式的运用，先根据求平均数和方差的公式求得，，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：∵数据：2，3，4，x，y的平均数是3， ∴， ∴ ∵数据：2，3，4，x，y的方差是0.8， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式10-3】甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【答案】D 【难度】0.65 【来源】浙江省宁波市鄞州区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】求方差、 利用方差求未知数据的值 【分析】本题考查了方差，掌握方差的定义与计算公式是解答本题的关键． 先计算出甲的平均数和方差，再根据方差的定义解答即可． 【详解】解：甲的平均数为：， 故甲的方差为：； 当乙为179或184时，乙的五个数是相邻的正整数，其方差与甲相等，即为2； 当乙为182时，乙的五个数的波动比相邻的正整数小，方差比2小； 当乙为185时，乙的五个数的波动比相邻的正整数大，方差比2大； 所以的值可能是185． 故选：D． 【模块十一】根据方差判断稳定性 【典例11】“无体育，不南开”．南开中学历来重视体育，并积极选派学生参加各类赛事．已知甲、乙、丙、丁四位同学在为期一周的封闭训练之后，进行了五次跳远测试．他们跳远成绩的平均分相同，方差分别是．学校想选择一名发挥稳定的学生参加某个比赛，你认为最合适的人选是（      ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【难度】0.94 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年八年级上学期数学期末考试卷 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了根据方差判断稳定性． 方差越小表示成绩越稳定，因此选择方差最小的甲． 【详解】解：∵，且， ∴甲方差最小，成绩最稳定， 即最合适的人选是甲． 故选：A． 【变式11-1】甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，则（    ） A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大 C．甲、乙两组数据波动一样大 D．无法比较 【答案】B 【难度】0.85 【来源】河南省开封市尉氏县两校联考2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了方差的意义，熟练掌握“方差越大，数据波动程度越大”是解题的关键． 根据方差的意义，比较两组数据的方差大小，判断数据波动程度． 【详解】解：∵ 方差是衡量数据波动程度的量，方差越大，数据波动越大， 又 ∵，，且 ， ∴ 乙组数据比甲组数据波动大， 故选：B． 【变式11-2】近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 2 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】四川省达州市达川区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，根据乙品种产量最稳定即方差最小，且产量不都一样即方差不为零；比较各品种方差，乙的方差a需小于其他品种的最小方差且大于0，即可． 【详解】解：∵乙品种产量最稳定， ∴方差a最小； ∵乙的10棵果树产量不都一样， ∴； 其他品种方差：甲为，丙为2，丁为，最小方差为； ∴ ∴a的值可能是． 故选D． 【变式11-3】从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价（满分10分），并进行整理、描述和分析． 项目统计量软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 7.3 n 5.6      乙 m 7 4.9      根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中 分， 分， （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数； 【答案】(1)，9， (2)（万人） 【难度】0.65 【来源】湖南省怀化市九县十校联考2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试题 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、求众数、根据方差判断稳定性 【分析】本题考查了平均数、众数的计算和根据方差判断稳定性，用样本估计总体及数据的分析与比较，能根据中位数、众数、平均数对题目进行分析是解题的关键． （1）根据条形统计图的信息求出乙款软件中的信息处理速度得分的平均数，甲款软件中的信息处理速度得分众数，最后观察信息识别准确度得分折线统计图，甲款软件得分相对更集中在平均数附近，乙款软件得分相对更分散，即可得出答案； （2）先从信息识别准确度得分折线统计图中数出抽取的名甲软件使用者中打分超过7分的人数，再计算打分超过7分的人数占抽取人数的比例，最后用某市使用甲款软件的总人数乘以这个比例，即可估计出对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数； 【详解】（1）解：乙款软件中的信息处理速度得分平均数为， ∴分， 由条形统计图可知，甲款软件中的信息处理速度得分众数为9， ∴分， 由折线统计图可知，甲款软件的信息识别准确度得分波动程度更小，则， 故答案为：，，． （2）解：（万人） 即对甲款软件信息识别准确度打分超过7分的人数约为2.5万． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例12】小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【来源】重庆市第八中学校2025-2026学年上学期期末考试八年级数学试题 【知识点】求加权平均数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了平均数的计算，计算一周总睡眠时间除以总天数7，得到平均睡眠时间即可． 【详解】解：小王这一周的平均睡眠时间为：（小时）， 故选：B． 【变式12-1】是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【来源】浙江省台州市温岭市第三中学2022—2023学年九年级上学期四科联赛考试数学试卷 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了算术平均数，掌握算术平均数的定义是解答本题关键； 根据算术平均数的定义解答即可. 【详解】解：∵是的平均数，是的平均数，是的平均数， ∴，， ∴. 故选：B. 【变式12-2】如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】1 平均数与方差 第1课时 众数、算术平均数及加权平均数【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（北师大版2024） 【知识点】 利用已知的平均数求相关数据的平均数 【分析】本题考查了平均数的变化规律，利用平均数的运算性质得： 数据变化后计算平均数将其代入计算即可 ． 【详解】解：原数据平均数为5，即 ，即， 新数据为 ， 新平均数 ； 故选D． 【变式12-3】．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到不相同的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；若去掉一个最低分，平均分为y；若同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z．x，y，z的大小关系为 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】【智】53 期末专项复习四 数据分析（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】有理数大小比较、有理数减法的实际应用、求一组数据的平均数 【分析】设五位评委的打分从低到高为，然后根据题目条件分别写出的表达式，再通过作差比较它们的大小． 【详解】解：设五位评委的分数为， 去掉一个最高分，剩余分数的平均分为： ． 去掉一个最低分，剩余分数的平均分为： ． 同时去掉一个最高分和一个最低分，剩余分数的平均分为： ． ①比较与： ， ∵， ∴，即： ∴． ②比较与： ， ∵， ∴，即：． ∴． 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平均数的计算与大小比较，解题关键是通过设出分数的大小顺序，将平均分用表达式表示，再利用作差法比较大小． 【微专题二】出错情况下的平均数问题 【典例13】．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【答案】C 【难度】0.85 【来源】冀教版2023-2024学年九年级数学上册第二十三章 数据分析 单元测试题 【知识点】出错情况下的平均数问题 【分析】本题主要是平均数的运用问题，根据题意可以得到错误的数据总和与实际的数据总和的差；再除以总个数30即可得出求出的平均数与实际平均数的差. 【详解】解：求30个数据的平均数时，错将其中的一个数据105输入成15，即少加了90， 则由此求出的平均数与实际平均数的差是：， 故选：C． 【变式13-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是 ． 【答案】 【难度】0.4 【来源】湖南省新邵县酿溪镇2023—2024学年上学期拔尖创新人才培养学科知识竞赛九年级数学试卷 【知识点】求一组数据的平均数、出错情况下的平均数问题 【分析】本题考查了算术平均数， 关键是要理清各数量间的关系， 明白“多输入的数值”就是“ 个 ” ．根据平均数的定义可得： 最大的一个数的错误数据与实际数据相差元， 据此求出错误数据 ． 【详解】解： 由题意得， 输入错误的数据为：． 故答案为： ． 【变式13-2】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”“变大”“变小”） 【答案】(1)分 (2)160份 (3)变大 【难度】0.85 【知识点】求加权平均数、出错情况下的平均数问题、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题考查条形统计图、加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）将条形统计图中各个分数段的人数相加，即可得出总人数，再根据加权平均数的计算方法计算即可； （2）求出10分占调查人数的百分比，即可预测出一等奖的人数即可． （3）计算平均数解答即可． 【详解】（1）解：依题意， （分）， 答：本次调查获取的样本数据的平均数为8.26分； （2）解：依题意，（份）， 答：估计需准备160份一等奖奖品． （3）解：将得8分的居民统计为14人， （分）， ∵ ∴平均数会变大． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】运用众数做决策 【典例14】江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题主要考查统计中的众数概念．掌握众数是一组数据中出现次数最多的数据成为解题的关键． 根据进货量应多进众数对应的码号，据此即可解答． 【详解】解：∵ 41码的销售件数为18双，高于其他码号的件数（38码2双、39码4双、40码7双、42码5双、43码1双）， ∴ 41码是众数，应多进41码的鞋子． 故选C． 【变式14-1】在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题考查平均数、中位数、众数、方差的意义．理解众数的含义是解题的关键． 根据题意，结合众数的意义，即可求解． 【详解】解：“最畅销”涉及的统计量是众数， 故选：D． 【变式14-2】“信阳毛尖”是中国十大名茶之一，在今年清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的信阳毛尖（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装信阳毛尖的进货数量，影响经销商决策的统计量是（    ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 16 20 18 10 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】C 【难度】0.94 【来源】河南省驻马店市泌阳县部分私立初中联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题考查众数的意义，根据众数最多销量最好多进货．根据众数的意义结合题意即可得到乙的销量最好，要多进即可得到答案． 【详解】解：由表格数据可知，， ∴这组数据中乙出现次数最多，因此的众数是乙，即影响经销商决策的统计量是众数． 故选：C． 【变式14-3】某商场上月空调的销售情况如下表所示： 品牌 A B C D 销售量/台 260 140 300 480 商场经理决定本月增加库存时多加一些D品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【难度】0.94 【来源】河南省许昌市禹州市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题？ 【知识点】运用众数做决策 【分析】本题主要考查了用众数做决策，众数代表一组数据中出现次数最多的数值．虽然本题中各品牌的销售量均不同，严格来说没有众数，但D的销售量最大，可视为“最畅销”的，因此用众数来解释这一决策最为合适． 【详解】解：根据表格数据，D品牌销售量（480台）显著高于其他品牌．众数用于表示数据中出现次数最多的值，而在此情境下，D的销售量最高，可理解为“最畅销”，因此经理的决定可用众数来解释．其他统计量如平均数、中位数、方差均无法直接反映销售量最高的特征． 故选：C． 【压轴二】利用平均数做决策 【典例15】立德树人    最美人间四月天，正是读书好时节．中共中央总书记习近平曾指出，阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，涵养浩然之气．某中学在今年读书日来临之际，举行相关朗诵比赛，更好地落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读．下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩（如表所示），每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 95分 90分 93分 评委（老师） 90分 95分 92分 经过最后汇总，总分最高的是 选手（填“甲、乙、丙”）． 【答案】乙 【难度】0.85 【来源】基础知识抓分练8 数据的分析－【追梦之旅�期末真题篇】2024-2025学年八年级数学下册（人教版 河南专用） 【知识点】求加权平均数、利用平均数做决策 【分析】本题考查的是加权平均数的计算，根据加权平均数的定义先计算三人各自的平均数，再进行比较即可． 【详解】解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ， ∴总分最高的是乙选手． 故答案为：乙 【变式15-1】某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】(1)甲50分；乙80分；丙70分 (2)乙将被录用 (3)丙将被录用 【难度】0.65 【来源】山东省威海市环翠区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】求扇形统计图的某项数目、求一组数据的平均数、利用平均数做决策、运用加权平均数做决策 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，要注意各部分的权重与相应的数据的关系，根据公式列出算式是解题的关键． （1）根据扇形统计图得出每部分所占的百分比，求出甲、乙、丙民主评议的得分， （2）根据平均数的计算公式求出各自的平均数，然后进行比较，即可得出答案； （3）利用加权平均数的计算公式列式计算求出三人的得分，然后即可判断录用的候选人． 【详解】（1）解：甲的民主评议得分为：（分）， 乙的民主评议得分为：（分）， 丙的民主评议得分为：（分）， （2）解：甲的平均成绩是：（分）， 乙的平均成绩是：（分）， 丙的平均成绩是：（分）， 根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么乙被录用； （3）解：将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例， 则甲得分：（分）， 乙得分：（分）， 丙得分：（分）， ， 丙将被录用． 【变式15-2】．为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． (2)如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ (3)哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 【答案】(1)丙 (2)乙 (3)第（2）问的计算方法比较合理；乙 【难度】0.65 【来源】【智】37 第1课时 平均数与加权平均数（支点2026春八年级数学下册人教版-课时检测） 【知识点】求一组数据的平均数、求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题考查的是加权平均数的求法，算术平均数的求法，根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适是解题的关键． （1）先根据三项得分计算各人的平均分，再比较即可； （2）按照权重为，，的比例计算各人的测试成绩，再进行比较； （3）根据某方面的需要选拔时往往利用加权平均数更合适进行解答即可． 【详解】（1）解：丙． （分）， （分）， （分）． ， 丙为优胜者． （2）解：甲的平均成绩为（分）， 乙的平均成绩为（分）， 丙的平均成绩为（分）． 丙的平均成绩＜甲的平均成绩＜乙的平均成绩， 乙为优胜者． （3）解：加权平均数能够体现权重的重要性，有利于人才的选拔， 所以第（2）问的计算方法比较合理，我认为要选乙去参加比赛． 【变式15-3】某班为了从甲、乙两名同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A，B，C，D，E五名老师对演讲答辩进行打分（单位：分），结果如下表： 老师 A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 全班其余48名同学则参与民主测评进行投票，结果如下图所示． 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分． (1)求甲、乙两名同学各自演讲答辩的得分． (2)民主测评统计图中，________，________． (3)若演讲答辩得分和民主测评得分按的比例计算两名同学的综合得分，则应选取哪名同学当班长？ 【答案】(1)甲92分  乙89分 (2)   (3)甲同学 【难度】0.65 【来源】【智】38 第1课时 平均数与加权平均数（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】求加权平均数、运用加权平均数做决策、求一组数据的平均数、求条形统计图的相关数据 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键； （1）根据题干要求去掉最高分和最低分后计算平均数即可； （2）用同学总数减去好和一般的评价即为较好的票数，甲、乙两名同学均按这个方法计算即可； （3）先计算出两名同学的民主测评得分，再根据比例进行计算得出分数高者当选班长． 【详解】（1）解：甲的演讲答辩得分为（分）． 乙的演讲答辩得分为（分）． （2）解：， ． （3）解：甲的民主测评得分为（分）， 乙的民主测评得分为（分）， ∴甲的综合得分为（分）， 乙的综合得分为（分）． ， ∴应选取甲同学当班长． 【压轴三】运用方差做决策 【例16】某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了10个螺丝，并规定它们的方差大于0.04就可以要求退货．这10个螺丝的直径（单位：mm）如下： 11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1． 该工厂是否可以退货？ 【答案】可以退货 【难度】0.4 【来源】【智】40 4.2 方差（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】求方差、运用方差做决策 【分析】本题考查了平均数与方差的意义，正确计算是解题的关键． 先求出样本平均数，再根据方差公式：求解即可． 【详解】解：样本平均数为， 方差是． ， ∴该工厂可以退货． 【变式16-1】为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】(1) (2)乙的体育成绩更好，理由见解析 (3)变小 【难度】0.65 【来源】河南省新乡市第十中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、 利用方差求未知数据的值、运用方差做决策 【分析】本题考查平均数、方差， （1）根据乙同学的方差计算过程可以确定五次测试成绩，根据甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同列方程可得的值； （2）利用方差作比较可得结论； （3）求出甲次模拟测试成绩的方差，然后与前次模拟测试成绩的方差作比较即可； 解题的关键是牢记方差和平均数定义及计算公式． 【详解】（1）由题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）乙的体育成绩更好，理由： ∵， ∴， ∵，，即两人的平均成绩相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定， ∴乙的体育成绩更好； （3）∵甲第六次模拟测试成绩为分， 又∵甲前次模拟测试成绩的平均成绩为分， ∴甲次模拟测试成绩的平均成绩为：， 则甲次模拟测试成绩的方差为： ， ∵， ∴与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差变小． 故答案为：变小． 【变式16-2】某校拟派一名跳高运动员参加中学生运动会，对甲、乙两名跳高运动员进行了10次选拔比赛，他们的成绩（单位：）如图所示（成绩为整数）． (1)甲、乙两名跳高运动员的平均成绩分别是多少？ (2)甲、乙两名跳高运动员成绩的方差分别是多少？ (3)历届比赛成绩表明，成绩达到就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应该选谁参加比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加比赛？ 【答案】(1)甲、乙两名跳高运动员的平均成绩分别是， (2)甲、乙两名跳高运动员成绩的方差分别是； (3)甲；乙 【难度】0.65 【来源】期末检测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册 【知识点】求一组数据的平均数、求方差、运用方差做决策 【分析】本题主要考查了平均数和方差： （1）根据平均数公式计算即可 （2）根据方差公式计算即可； （3）根据两人的成绩解答即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：； ． （3）解：在10次比赛中，甲有9次成绩达到或超过，而乙只有6次成绩达到或超过， 所以为了夺冠应该选甲参加比赛． 在10次比赛中，甲只有2次成绩达到或超过，而乙有4次成绩达到或超过，而且乙的最好成绩比甲的最好成绩高， 因此为了打破纪录应选乙参加比赛． 【变式16-3】综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 任务1：利用，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式； 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为，越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“，”和“，”这两组数据得到函数表达式为：；利用“，”和“，”这两组数据得到函数表达式为：；利用“，”和“，”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量（）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如下表： 观察值 对于，计算，同理，的值为，的值为． 任务2： （1）计算任务1得到的函数表达式的值； （2）写出你认为最优的函数表达式：________________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3：请你简要写出时间刻度与水面高度变化之间的关系． 【答案】任务1：； 任务2：（1），（2） 任务3：水面变化时间变化． 【难度】0.65 【来源】广东省深圳市南山区2025-2026学年上学期八年级1月期末数学试题 【知识点】求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)、运用方差做决策 【分析】本题主要考查一次函数的应用、方差的计算，解决本题的关键是用待定系数法求出一次函数的解析式，根据方差判断最优函数表达式． 任务：用待定系数法求出一次函数表达式； 任务：（1）利用方差计算公式求出对应的值； （2）通过比较方差确定最优函数表达式； 任务：根据函数表达式可知，水面变化时间变化． 【详解】任务：解：设一次函数解析式是， ，，时，， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 任务：（1）解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：由题意可知： 对于，， 的值为， 的值为， 其中对应的值最小为， 即的偏差最小， 为最优函数表达式； 任务：解：为最优函数表达式， 水面变化时间变化． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.气象小组测得上周星期一至星期日的室外气温如下表所示，并算得平均气温为31℃，则星期三的气温是（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 31 34 31 32 28 29 A．30℃ B．31℃ C．32℃ D．33℃ 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算方法是解题的关键； 根据平均数倒推星期三的气温即可． 【详解】解：∵平均气温为 ∴这一周气温总和为 周三温度为： 故选：C． 2.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（    ） A．80分 B．82分 C．84分 D．87分 【答案】D 【难度】0.94 【来源】广西南宁市北湖北路学校2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查了加权平均数的相关定义，解题的关键是根据加权平均数的相关定义计算. 利用加权平均数的公式直接计算即可得到答案． 【详解】解：数学成绩为：分 故选：D 3.贵州某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照的比例确定最终成绩，该学生各项成绩（百分制）如下表，则该生最终的综合成绩为（    ） 笔试 面试 实际操作 94 80 90 A．88分 B．89分 C．90分 D．94分 【答案】C 【难度】0.65 【来源】贵州省贵阳市观山湖区2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试卷 【知识点】求加权平均数 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据给定的比例和成绩，使用加权平均数公式求解． 【详解】解：该生最终的综合成绩为（分）， 故选：C． 4.在某市举行的“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学的捐款金额统计如下表，则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是（    ） 金额/元 20 30 35 50 100 学生数 18 12 5 10 5 A．20元 B．30元 C．35元 D．100元 【答案】A 【难度】0.94 【来源】【智】48 第4章 章末对点导练（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】求众数 【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 直接根据众数的定义，找出出现次数最多的金额． 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的数据， ∴ 比较各金额的学生数：元对应人，元对应人，元对应人，元对应人，元对应人， ∵ ， ∴ 众数是元. 故选：A． 5.若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 【答案】B 【难度】0.65 【来源】期末综合测试卷三 【知识点】求离差平方和 【分析】本题主要考查了组内离差平方和的定义，离差平方和是指每个数据点与组平均数的差的平方和，当数据分为两组后，组内离差平方和应计算每组内部的离差平方和，再将两组的结果相加，以反映整体的组内变异．根据组内离差平方和的定义即可求解． 【详解】解：由组内离差平方和的定义可知，需计算两组离差平方和的总和． 故选：B． 二 填空题 6.已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是 ． 【答案】10 【难度】0.94 【来源】江苏省南京市2025年初中学业水平考试数学真题 【知识点】求一组数据的平均数 【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答． 【详解】解：依题意，数据之和为， ∵数据的个数为， ∴平均数为． 故答案为：10． 7 .在中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】2025年下半年期末检测 八年级数学试卷 【知识点】已知 平均数求未知数据的值 【分析】本题考查了平均数，先计算原数据的平均数，再根据添加后平均数不变列方程求解即可，掌握平均数的定义是解题的关键． 【详解】解：原数据的平均数为， 设添加的数为，则新数据的平均数为， 解得， 故答案为：． 8.一组数据：6，7，9，6，9，10，6．则这组数据的众数为 ． 【答案】6 【难度】0.94 【来源】河南省郑州市第五十七中学南校2025-2026学年上学期期末评价八年级数学 【知识点】求众数 【分析】本题考查了众数的概念.注意众数是指一组数据中出现次数最多的数据，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的． 【详解】解：数据中6出现3次，7出现1次，9出现2次，10出现1次，因此众数为6； 故答案为：6． 9．已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为 ． 【答案】16 【难度】0.65 【来源】【智】41 4.3 数据分类（学海风暴26春八年级数学下册湘教版－课时检测） 【知识点】求离差平方和 【分析】本题考查了离差平方和的定义（离差平方和是各数据与它们平均数之差的平方和），组内离差平方和的定义（组内离差平方和是指每组数据的离差平方和），熟练掌握以上知识点是关键． 计算每组数据的均值，再求每组数据与均值的离差平方和，最后将两组的离差平方和相加即可． 【详解】解：第一组数据：， 均值为， 离差平方和为； 第二组数据：， 平均值为， 离差平方和为； 组内离差平方和为． 故答案为：． 10.已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是 ． 【答案】5 【难度】0.85 【来源】2025~2026学年度第一学期期末检测试题（卷） 八年级数学（北师大版） 【知识点】求离差平方和、求方差 【分析】本题考查方差与离差平方和，根据方差是离差平方和的平均值，数据个数为4，离差平方和为20，代入公式计算即可 【详解】解：一组数据的离差平方和， ∴这组数据的方差的值是， 故答案为：5． 三 解答题 11.学校举行广播操比赛，七年级三个班的各项得分如下（单位：分）． 服装统一 队形整齐 动作规范 一班 80 84 88 二班 97 78 80 学校将“服装统一”“队形整齐”“动作规范”三项按的比例计算各班成绩，则哪个班会成为优胜班级？ 【答案】一班 【难度】0.94 【知识点】运用加权平均数做决策、求加权平均数 【分析】根据加权平均数的定义计算出两个班级的平均成绩即可得出答案． 【详解】解：一班成绩为（分）， 二班成绩为（分）， ， 优胜班级是一班． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数和算术平均数的概念． 12. 体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【答案】离差平方和为2，乙组同学的比赛成绩更稳定． 【难度】0.65 【来源】2025-2026学年上学期期末八年级数学试卷 【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用 【分析】本题考查了求离差平方和，根据离差平方和判断稳定性． 先求出乙组同学进球个数的平均数，再求出乙组同学进球个数的离差平方和，根据离差平方和判断即可． 【详解】解：乙组同学进球个数的平均数为（个）， ∴乙组同学进球个数的离差平方和为． ∵，甲、乙两组人数相同， ∴乙组同学的比赛成绩更稳定． 13.某校进行消防安全知识测试，测试成绩只分为A，B，C，D四个等级，等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如图所示信息． (1)求此次测试中被抽取的学生成绩的众数和平均数； (2)为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中得9分的有6名，得8分的有2名，还有两名学生M和N的成绩被墨水污染（都不是8分和9分），且学生M的成绩高于学生N的成绩．求M和N两名学生的成绩，并与（1）相比，判断众数是否发生变化． 【答案】(1)众数为7分；平均数为8.1分 (2)不变 【难度】0.85 【来源】第6章1课时1众数与平均数－【勤径学升】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步练测（北师大版2024） 【知识点】求众数、求一组数据的平均数 【分析】本题考查了众数，平均数的求解，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据众数，平均数的定义进行求解即可； （2）先求出剩下的2名成绩的平均数，从而得出两名学生的成绩，再根据众数定义进行求解即可． 【详解】（1）由条形统计图可知，被抽取的学生的成绩为7分的有8人，人数最多，所以众数为7分； 被抽取的学生的成绩的平均数为（分）． （2）因为学生M和N的成绩被墨水污染（都不是8分和9分），且学生M的成绩高于学生N的成绩， 所以学生M和学生N的成绩分别为10分和7分，所以易知新数据中成绩为7分的人数最多，所以新数据的众数为7分． 因为（1）中的众数为7分，所以众数没有发生变化． 14.为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．现得到如下信息： 信息一：20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值） 信息二：小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 a 93 b 信息三：在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67、72、68、69、74、69、71． 根据以上信息解决下列问题： (1)求小亮语言类得分a； (2)请你计算小亮的总评成绩b； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 【答案】(1)70 (2)81分 (3)小明不能入选，小亮能入选，理由见解析 【难度】0.65 【来源】2025年江西省九江市中考模拟预测数学试题 【知识点】频数分布直方图、求一组数据的平均数、求加权平均数、运用加权平均数做决策 【分析】本题考查了频数分布直方图，加权平均数，解题的关键在于熟练掌握加权平均数，中位数和众数的计算方法． （1）根据平均数的定义即可求出答案； （2）根据加权平均数公式计算即可求解； （3）根据20名学生的总评成绩频数分布直方图即可得出答案； 【详解】（1）解：小亮语言这项测试的得分为：； （2）解：． 答：小亮的总评成绩为81分． （3）解：小明不能入选，小亮能入选． ∵由这20名选手的总评成绩频数直方图可知，分数小于80分的有10人， 又∵学校准备根据总评成绩择优选拔10名广播员， ∴小亮总评成绩超过80分，能够入选；小明总评成绩没超过80分，不能入选． 15. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 【答案】(1)，见解析 (2)甲，见解析 【难度】0.65 【来源】福建省漳州第一中学2025-2026学年八年级上学期1月月考数学试题 【知识点】求一组数据的平均数、利用平均数做决策、求方差、运用方差做决策 【分析】本小题考查平均数、方差，正确求出乙的方差是解答本题的关键． （1）先求出乙的方差，然后比较即可； （2）先求出五年获奖的平均数，然后根据甲、乙十次测试成绩达到平均成绩的频数多少判断即可． 【详解】（1）解：， 即． 因为， 所以， 所以甲、乙两人的整体水平相当，但乙的成绩比甲稳定． （2）解：由已知得，获奖分数线的平均数为 ， 从信息一可知，在集训期间的十次测试成绩中，甲达到获奖分数线的平均数的频数为4，而乙的频数为1，所以甲获奖的可能性更大，故选甲参加更合适． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题3.1平均数与方差》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 求众数 模块10 利用方差求未知数据的值 模块2利用众数求未知数据的值 模块11根据方差判断稳定性 模块3 求一组数据的平均数 微专题1利用已知的平均数求相关数据的平均数 模块4 已知平均数求未知数据的值 微专题2出错情况下的平均数问题 模块5 求加权平均数 【压轴一】运用众数做决策 模块6利用加权平均数求未知数据的值 【压轴二】利用平均数做决策 模块7求离差平方和 【压轴三】运用方差做决策 模块8 离差平方和的应用 通关检测·实战演练 模块9求方差 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 众数 定义:一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数. 知识点二:算术平均数 定义:一般地，对于n个数x1，X2，.，Xn，则这n个数据的平均数为记作 读作“x拔” 知识点三:加权平均数 权的概念：:一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的数值有关，而且与各个数据的“重要程度”有关，我们把衡量各个数据“重要程度”的数值叫做权. 定义:若n个数x1，X2，...，Xn的权分别是W1，W2,...，Wn，则叫做这n个数的加权平均数. 权的作用：权能反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重越大;权越小，该数据所占的比重越小. 权常见的表现形式:①用频数表示，即用出现的次数表示;②百分数的形式;③连比的形式. 知识点四:方差 定义:设有n个数据X1，X2，..，Xn，各个数据与平均数x的差的平方分别是(x1-x)2，(x2-x)2,...,(xn-x)2, 我 们用 这些值的平均数，即用s2=[x1-x)2+(x2-x)2+-+(xn-x)2]来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2. 方差的作用:方差是用来衡量数据在平均数附近波动大小的量，方差越大，数据的波动性越大，方差越小，数据的波动性越小. 模块通关·举一反 三 【模块一】求众数 【典例1】在某市举行的“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学的捐款金额统计如下表，则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是（    ） 金额/元 20 30 35 50 100 学生数 18 12 5 10 5 A．20元 B．30元 C．35元 D．100元 【变式1-1】有一组数据：1，2，2，2，3，4，4，这组数据的众数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】在贵阳贵安第四届“大脑运动会”暨“第一届数智文化节”预赛中，某校六位评委老师给第一小组的评分（单位：分）为：95，90，89，95，88，95，则这组数据的众数是 ． 【变式1-3】某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为 的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【模块二】利用众数求未知数据的值 【典例2】已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【变式2-1】已知一组从大到小排列的数据：5，4，4，3，（为正整数）．若唯一的众数是4，则数据是（   ） A．1 B．2或4 C．0或1 D．1或2 【变式2-2】若数据11，12，12，19，11，x的唯一众数是12，则x的值是（   ） A．12 B．11 C．11.5 D．19 【变式2-3】一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ． 【模块三】求一组数据的平均数 【典例3】某小组6名同学的身高（单位：）分别为160、162、159、161、158、160，则这组数据的平均数是（   ） A．160 B．161 C．162 D．163 【变式3-1】在一次歌唱祖国演唱比赛中，评分办法采用7位评委现场打分，每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数．已知7位评委给某位选手的打分为：94，94，93，98，99，98，96，那么这位选手的最后得分是（    ） A．94 B．96 C．97 D．98 【变式3-2】4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:3:6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【模块四】已知平均数求未知数据的值 【典例4】某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式4-1】某次射击训练中，一小组的成绩如表所示： 环数 人数 若该小组的平均成绩为环，则成绩为环的人数是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-3】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【模块五】求加权平均数 【典例5】某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（    ） A．80分 B．82分 C．84分 D．87分 【变式5-1】某校举行主持人评选活动，需进行知识储备、应变能力、朗读水平三项测试，小颖三项测试成绩分别为85分、90分、92分．若评委按照知识储备占20%，应变能力占30%，朗读水平占50%，计算加权平均数来作为最终成绩，则小颖的最终成绩为（　　） A．85分 B．89分 C．90分 D．92分 【变式5-2】在一场校园歌手大赛中，某位选手的演唱技巧、舞台表现的得分分别为88分，92分，将演唱技巧、舞台表现的成绩按计算，则该选手的成绩是（   ） A．89.2分 B．90分 C．90.4分 D．89.6分 【变式5-3】某中学评选先进班级，主要从班级精神面貌、学习风气、遵守纪律、清洁卫生四个方面考核评分，各项满分均为100分，占比如下表： 项目 精神面貌 学习风气 遵守纪律 清洁卫生 所占比例 九年级（1）班这四项得分依次为80分、80分、90分、70分，则该班四项综合得分是（    ） A．75分 B．80分 C．80.5分 D．85.5分 【模块六】利用加权平均数求未知数据的值 【典例6】坚定不移听党话，跟党走，让红色基因、革命薪火代代传承，某校组织开展“从小学党史，永远跟党走”系列知识竞赛，培育孩子们的爱党、爱国情怀．下表是该学校学习小组知识竞赛的成绩统计表： 成绩 86 90 98 100 人数 1 3 1 已知该学习小组本次知识竞赛的平均分是分，那么表中的x的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式6-1】某班在一次数学考试中，平均成绩是78分，男，女生的平均成绩分别是81分，75.5分，求该班男，女生人数之比． 【变式6-2】一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是和，公司给出他这两项测试的平均成绩为，可知此次招聘中 （填“面试”或“笔试”）的权重较大． 【变式6-3】某校八年级学生某科目期末评价成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，评价成绩80分以上（含80分）为“优秀”．下面表中是小王同学的成绩记录： 项目 完成作业 单元测试 期末考试 成绩 65 75 若完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1:3:6的权重来确定期末评价成绩，小王的期末评价为优秀，那么他的期末考试最低成绩是 ． 【模块七】求离差平方和 【典例7】一组数据的平均数是5，那么这组数据的离差平方和是（   ） A．10 B． C．2 D． 【变式7-1】已知一组数据为2，3，4，5，6，则该组数据的离差平方和为（    ） A．2 B．4 C．6 D．10 【变式7-2】“强省会·劳动美”2025贵阳贵安职工篮球赛于7月19日晚正式落下帷幕，贵阳教育工会夺得机关组冠军．若比赛中六位队员得分（单位：分）分别为：7，7，8，8，9，9，则这六位队员得分的离差平方和为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式7-3】青青记录了某一周每天下午放学回家所用的时间（单位：分）：10，11，12，10，12，则这组数据的离差平方和为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【模块八】 离差平方和的应用 【典例8】现有数据：6，9，12，15，18，21．若将其分为2组，根据组内离差平方和最小的原则，下列选项中，最优的分组方法是（   ） A．第一组，第二组 B．第一组，第二组 C．第一组，第二组 D．第一组，第二组 【变式8-1】科研人员选出8株植物，在同等实验条件下，测量它们光合作用速率（单位：）．统计结果为35，30，23，17，20，25，32，30，若按照“组内离差平方和达到最小”法，则需先将数据由 到 排序，再将这8株植物分成两组时，共可以分成 种情况． 【变式8-2】体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 【变式8-3】为迎接学校“英语听说”大赛，某班在甲、乙两名同学中选拔一人参加，在相同的测试条件下，两人进行了5次测试，已知甲同学5次测试的平均成绩是28分，甲测试成绩的方差为3，乙同学的测试成绩（单位：分）统计如下：28，28，27，28，29． 求乙测试成绩的离差平方和及方差，如果要选出一个成绩较为稳定的同学参加学校的“英语听说”大赛，请你判断谁参加学校的“英语听说”大赛更合适，并说明理由． 【模块九】求方差 【典例9】求一组数据方差的算式为．由算式提供的信息，下列结论：①加入两个数7，7后，n的值增加了2；②加入两个数7，7后，该组数据的平均数不变；③加入两个数7，7后，该组数据的方差变小；④加入两个数7，7后，该组数据的离差平方和变大．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式9-1】在一次“科普知识测试”中，按照公式列出参加选手成绩的方差，则可以知道这次成绩低于平均分的有（    ）人，最低分为（    ）分． A．3，85 B．3，80 C．2，85 D．2，80 【变式9-2】已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是 ． 【变式9-3】某篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：190，194，198，200，202，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员．与换人前相比，下列对5名场上队员身高的平均数和方差描述正确的是（   ） A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大 C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大 【模块十】利用方差求未知数据的值 【典例10】数据A：2，3，x；数据B：4，5，6．若数据A的方差比数据B的方差大，则x的值可能是（    ） A．5 B．4 C．3 D．1 【变式10-1】如果用公式计算一组数据的方差，那么数据，，，…，的和是（   ） A．268 B．240 C．90 D．43 【变式10-2】一组数据：2，3，4，x，y的平均数是3，方差是0.8，则（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式10-3】甲、乙两位同学分别进行了5次一分钟跳绳测试的成绩如下表，若乙同学跳绳成绩的方差大于甲同学跳绳成绩的方差，则的值可能是（    ） 甲 178 179 180 181 182 乙 180 181 182 183 A．179 B．182 C．184 D．185 【模块十一】根据方差判断稳定性 【典例11】“无体育，不南开”．南开中学历来重视体育，并积极选派学生参加各类赛事．已知甲、乙、丙、丁四位同学在为期一周的封闭训练之后，进行了五次跳远测试．他们跳远成绩的平均分相同，方差分别是．学校想选择一名发挥稳定的学生参加某个比赛，你认为最合适的人选是（      ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式11-1】甲、乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差，乙组数据的方差，则（    ） A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大 C．甲、乙两组数据波动一样大 D．无法比较 【变式11-2】近年来，绿色、健康、可持续的农业发展稳中有进，科技赋能增强，呈现良好的发展势头，某地果农公司为了解几种新推广的葡萄树的产量情况，随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数方差（单位：千克）如表： 甲 乙 丙 丁 25 25 24 22 2 已知乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样，则的值可能是（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式11-3】从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革，为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价（满分10分），并进行整理、描述和分析． 项目统计量软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 7.3 n 5.6      乙 m 7 4.9      根据以上信息，解答下列问题： (1)表格中 分， 分， （填“＞”“＝”或“＜”）； (2)若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数； 专题攻坚·多题归一 【微专题一】利用已知的平均数求相关数据的平均数 【典例12】小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【变式12-1】是的平均数，是的平均数，是平均数，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【变式12-3】．在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到不相同的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；若去掉一个最低分，平均分为y；若同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z．x，y，z的大小关系为 ． 【微专题二】出错情况下的平均数问题 【典例13】．某同学用计算器计算30个数据时，错将其中一个数据105输入15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是（    ） A．3.5 B．3 C． D．0.5 【变式13-1】长沙市抽样调查了位蓝领的月收入，其中月收入最高的只有一位，是元．由于将这个数据输入错了，所以计算机显示的这位蓝领的平均月收入比实际平均月收入高出了元，则输入计算机的那个错误数据是 ． 【变式13-2】为了解居民的环保意识，社区工作人员在某小区随机抽取了若干名居民开展有奖问卷调查活动，并用得到的数据绘制了如下条形统计图．请根据图中信息，解答下列问题． (1)求本次调查获取的样本数据的平均数； (2)如果对该小区的800名居民全面开展这项有奖问卷活动，得10分者设为一等奖，请你根据调查结果，估计需准备多少份一等奖奖品？ (3)若小明统计该表中，将得8分的居民统计为14人，其余均未出错，那么平均数会 ．（填“不变”“变大”“变小”） 压轴拓展·素养提升 【压轴一】运用众数做决策 【典例14】江津万达某品牌店，新进一批新款男士运动鞋，试销一周的情况如下： 码号（码） 38 39 40 41 42 43 件数（双） 2 4 7 18 5 1 你认为该店确定进货量时，应多进多少码的鞋子（   ） A．39 B．40 C．41 D．42 【变式14-1】在文创商店，小明向服务人员询问丹顶鹤、麋鹿、勺嘴鹬三种卡通饰品哪种最畅销．“最畅销”涉及的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【变式14-2】“信阳毛尖”是中国十大名茶之一，在今年清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的信阳毛尖（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装信阳毛尖的进货数量，影响经销商决策的统计量是（    ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 16 20 18 10 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【变式14-3】某商场上月空调的销售情况如下表所示： 品牌 A B C D 销售量/台 260 140 300 480 商场经理决定本月增加库存时多加一些D品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【压轴二】利用平均数做决策 【典例15】立德树人    最美人间四月天，正是读书好时节．中共中央总书记习近平曾指出，阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，涵养浩然之气．某中学在今年读书日来临之际，举行相关朗诵比赛，更好地落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读．下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩（如表所示），每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 95分 90分 93分 评委（老师） 90分 95分 92分 经过最后汇总，总分最高的是 选手（填“甲、乙、丙”）． 【变式15-1】某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【变式15-2】．为推选一名同学参加学校的演讲比赛，班里组织了一次选拔赛，由教师组成评委，对甲、乙、丙三名候选人分别从演讲内容、语言表达能力和感染力三方面打分，评委打分的结果如下表： 演讲内容 语言表达能力 感染力 甲的成绩/分 9.0 8.6 8.0 乙的成绩/分 8.0 9.2 8.2 丙的成绩/分 9.4 8.8 7.5 (1)如果按三项得分的平均数确定优胜者，__________是优胜者（填“甲”“乙”或“丙”）． (2)如果三项得分分别按25%，35%，40%的比例计算总成绩，谁是优胜者？ (3)哪一种计算方法比较合理？你认为要选哪一名学生去参加比赛？ 【变式15-3】某班为了从甲、乙两名同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A，B，C，D，E五名老师对演讲答辩进行打分（单位：分），结果如下表： 老师 A B C D E 甲 90 92 94 95 88 乙 89 86 87 94 91 全班其余48名同学则参与民主测评进行投票，结果如下图所示． 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分． (1)求甲、乙两名同学各自演讲答辩的得分． (2)民主测评统计图中，________，________． (3)若演讲答辩得分和民主测评得分按的比例计算两名同学的综合得分，则应选取哪名同学当班长？ 【压轴三】运用方差做决策 【例16】某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了10个螺丝，并规定它们的方差大于0.04就可以要求退货．这10个螺丝的直径（单位：mm）如下： 11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1． 该工厂是否可以退货？ 【变式16-1】为迎接中考体育测试．本学期九年级学生共进行了五次体育模拟测试，已知甲、乙两位同学五次模拟测试成绩的总分相同，小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了尚不完整的统计表，并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程． 甲同学五次体育模拟测试成绩统计表 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 成绩（分） 小明将乙同学五次模拟测试成绩直接代入方差公式．计算过程如下： 根据上述信息，完成下列问题： (1)的值是　　　　； (2)根据甲、乙两位同学这五次模拟测试成绩，你认为谁的体育成绩更好？并说明理由； (3)如果甲再测试次，第六次模拟测试成绩为分，与前次相比，甲次模拟测试成绩的方差　　　．（填“变大”“变小”或“不变”） 【变式16-2】某校拟派一名跳高运动员参加中学生运动会，对甲、乙两名跳高运动员进行了10次选拔比赛，他们的成绩（单位：）如图所示（成绩为整数）． (1)甲、乙两名跳高运动员的平均成绩分别是多少？ (2)甲、乙两名跳高运动员成绩的方差分别是多少？ (3)历届比赛成绩表明，成绩达到就很有可能夺冠，你认为为了夺冠应该选谁参加比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加比赛？ 【变式16-3】综合与实践 刻漏是中国古代科技的重要发明，体现了古人对“匀速运动”“流体力学”的早期探索，其原理影响了后续计时工具的发展，如图1所示为唐代制造的一种四级漏刻的示意图． 如图2所示，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作了一个简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后每隔观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表： 观察值 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 任务1：利用，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数表达式； 【模型优化】 经检验，发现表中有三组观察值不满足任务1中求出的函数表达式，存在偏差，小组决定优化函数表达式，减少偏差．通过查阅资料后知道：为表中数据时，根据表达式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的观察值之差的平方和，记为，越小，偏差越小． 为了减少偏差，小组同学利用“，”和“，”这两组数据得到函数表达式为：；利用“，”和“，”这两组数据得到函数表达式为：；利用“，”和“，”这两组数据得到函数表达式为：． 把自变量（）值代入各函数所对应的表达式，所得的h值如下表： 观察值 对于，计算，同理，的值为，的值为． 任务2： （1）计算任务1得到的函数表达式的值； （2）写出你认为最优的函数表达式：________________． 【设计刻度】 得到优化的函数表达式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务3：请你简要写出时间刻度与水面高度变化之间的关系． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.气象小组测得上周星期一至星期日的室外气温如下表所示，并算得平均气温为31℃，则星期三的气温是（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 31 34 31 32 28 29 A．30℃ B．31℃ C．32℃ D．33℃ 2.某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%．小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（    ） A．80分 B．82分 C．84分 D．87分 3.贵州某校决定选择一批学生作为新闻播报员，现有一学生要进行选拔考核，按照的比例确定最终成绩，该学生各项成绩（百分制）如下表，则该生最终的综合成绩为（    ） 笔试 面试 实际操作 94 80 90 A．88分 B．89分 C．90分 D．94分 4.在某市举行的“慈善万人行”大型募捐活动中，某班50位同学的捐款金额统计如下表，则在这次活动中，该班同学捐款金额的众数是（    ） 金额/元 20 30 35 50 100 学生数 18 12 5 10 5 A．20元 B．30元 C．35元 D．100元 5.若将排序后的数据分为两组，计算组内离差平方和时需（   ） A．仅计算第一组的离差平方和 B．计算两组离差平方和的总和 C．仅计算最大值与最小值的差 D．计算两组离差平方和的平均数 二 填空题 6.已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是 ． 7 .在中再添加一个数，使得添加前、后两组数据的平均数相同，则添加的数为 ． 8.一组数据：6，7，9，6，9，10，6．则这组数据的众数为 ． 9．已知一组数据分为两组，分别为3，5，7和11，13，15，则这两组数据的组内离差平方和为 ． 【答案】16 10.已知一组数据的离差平方和，则这组数据的方差的值是 ． 三 解答题 11.学校举行广播操比赛，七年级三个班的各项得分如下（单位：分）． 服装统一 队形整齐 动作规范 一班 80 84 88 二班 97 78 80 学校将“服装统一”“队形整齐”“动作规范”三项按的比例计算各班成绩，则哪个班会成为优胜班级？ 12. 体育课上，甲、乙两组各选出5名同学组成代表进行“定点投篮比赛”，两组同学进球个数的平均数相同，甲组同学进球个数的离差平方和为4，乙组同学进球个数分别为（单位：个）：3，4，4，4，5．求乙组同学进球个数的离差平方和，并判断哪个组的比赛成绩更稳定． 13.某校进行消防安全知识测试，测试成绩只分为A，B，C，D四个等级，等级得分依次记为10分，9分，8分，7分．学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如图所示信息． (1)求此次测试中被抽取的学生成绩的众数和平均数； (2)为了使平均数更准确一些，又抽取了10名学生的成绩，其中得9分的有6名，得8分的有2名，还有两名学生M和N的成绩被墨水污染（都不是8分和9分），且学生M的成绩高于学生N的成绩．求M和N两名学生的成绩，并与（1）相比，判断众数是否发生变化． 14.为了丰富学校文化氛围，促进学生综合素质发展，增强学生的学习动力和求知欲，增强师生之间归属感和凝聚力．某校准备成立校园广播站，有20名学生报名参加选拔，报名选手需参加综合知识，语言，写作三项测试（每项测试满分100分，打分为整数），然后将三项测试的成绩按的比例计算出最后每人的总评成绩，其中，语言测试由七位评委打分，取评委打分的平均分作为该项测试的成绩．现得到如下信息： 信息一：20名选手的总评成绩频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值） 信息二：小明和小亮两位选手的三项测试成绩如下表： 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 综合知识 语言 写作 小明 83 72 80 78 小亮 86 a 93 b 信息三：在语言测试中，七位评委给小亮打出的分数（单位：分）如下：67、72、68、69、74、69、71． 根据以上信息解决下列问题： (1)求小亮语言类得分a； (2)请你计算小亮的总评成绩b； (3)学校决定根据总评成绩择优选拔10名广播员，试分析小明，小亮能否入选？并说明理由． 15. 甲、乙两人是新华高级中学数学兴趣小组成员．以下是他们在参加高中数学联赛预备队员集训期间的测试成绩及当地近五年高中数学联赛的相关信息． 信息一：甲、乙两人集训期间的测试成绩（单位：分） 日期 队员 2月 10日 2月 21日 3月 5日 3月 14日 3月 25日 4月 7日 4月 17日 4月 27日 5月 8日 5月 20日 甲 75 80 73 81 90 83 85 92 95 96 乙 82 83 86 82 92 83 87 86 84 85 其中，甲、乙成绩的平均数分别是；方差分别是． 信息二：当地近五年高中数学联赛获奖分数线（单位：分） 年份 2020 2021 2022 2023 2024 获奖分数线 90 89 90 89 90 试根据以上信息及你所学的统计学知识，解决以下问题： (1)计算a的值，并根据平均数与方差对甲、乙的成绩进行评价； (2)计算当地近五年高中数学联赛获奖分数线的平均数，并说明：若要从中选择一人参加高中数学联赛，选谁更合适． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $