第6章空间向量与立体几何单元练习卷-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 苏教版选择性必修第二册空间向量与立体几何单元卷，覆盖空间向量运算、立体几何证明与计算，梯度设计合理，适配单元复习，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|空间向量坐标运算、模长、投影向量|基础巩固，聚焦概念理解| |多选题|3|平面性质、向量共面、线面垂直|辨析能力，考查逻辑推理| |填空题|3|距离计算、动点范围、异面直线角|情境创新，体现空间观念| |解答题|5|线面角、二面角、体积最值、面面垂直|综合应用，培养模型观念与运算能力|

第6章空间向量与立体几何练习卷-2026-2027学年数学苏教版选择性必修第二册 一、单选题 1．已知向量 ，则等于（     ） A．2 B．1 C． D．0 2．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（   ） A． B． C． D． 3．已知点，向量，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量，，且，则（   ） A．2 B． C．1 D． 5．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．如图，在平行六面体-中，，则与的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题为真命题的是（    ）． A．空间内三点确定一个平面 B．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 C．若向量，，是不共面的向量，则，，也是不共面的向量 D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 10．已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 11．如图，半圆锥的底面直径的长为2，顶点V为矩形的边的中点，母线的长为2，P为半圆弧上任意一点（P不与A，D重合），则下列结论正确的是（    ） A．该半圆锥的表面积为 B．三棱锥的四个面都为直角三角形 C．当直线与平面所成的角为时，异面直线与所成角的余弦值为 D．当三棱锥的体积最大时，平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为 三、填空题 12．线段AB，BD在平面内，，且，若，，则C，D两点间的距离为_________． 13．如图，在长方体中，，，为长方体内部（含边界）一点，满足，则的取值范围是______. 14．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是______． 四、解答题 15．如图所示，直三棱柱的底面中，，，棱，M、N分别是、的中点． (1)求的长； (2)求证：． 16．如图1，在矩形ABCD中，于于，将沿AC翻折至，使得，连接，如图2． (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与直线AC所成角的余弦值． 17．已知空间中三点． (1)求； (2)求向量在向量上的投影向量的坐标； (3)若点在平面内，求的值． 18．如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．为的中点，为的三等分点（靠近点）．    (1)请用表示； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设为的中点，过的平面与射线、分别交于点、，求三棱锥体积的最小值． 19．如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点是棱的中点，． (1)求证：平面平面； (2)若，点满足， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）求二面角的平面角的余弦值． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《第6章空间向量与立体几何练习卷-2026-2027学年数学苏教版选择性必修第二册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A C A C C D B BCD BD 题号 11 答案 ABD 1．A 【详解】 ，故选项A正确． 2．A 【分析】根据空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】由题意知，为等边三角形，所以. 所以 . 3．C 【详解】由题，，， 所以，，， 因此点的坐标为. 4．A 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 5．C 【分析】根据投影向量的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，， 所以向量在向量上的投影向量是. 6．C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 7．D 【详解】 设，则， ， ． 设与的夹角为， 由 ， ． 8．B 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作面， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 而，由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 代入可得，解得（负根舍去）， 得到，则， 因为，所以， 设，则，可得，解得， 而，可得， 则，而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 因为平面，所以， 得到，化简得， 此时变为， 则，由模长公式得， 令，由二次函数性质得在处取得最小值， 而，则. 9．BCD 【分析】利用平面确定定理可判断A；根据线面垂直性质可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D. 【详解】A选项，不在同一条直线上的三点确定一个平面，若三点共线，则可确定无数个平面，故A错误； B选项，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，故B正确； C选项，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量， 与向量是不共面的向量矛盾，所以，，是不共面的向量，故C正确； D选项，因，则由空间向量共面的推论可知，四点共面， 故D正确. 故选：BCD. 10．BD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 11．ABD 【分析】对于A选项,半个圆锥的表面积为一个弧面、一个半圆、一个三角形的面积之和；对于B选项，主要运用线面垂直的判定定理从而证明线线垂直然后得出直角三角形；对于C选项，建立空间直角坐标系，求出与的向量坐标，再运用向量的相关计算求出异面直线与所成角的余弦值；对于D选项，先求出P点坐标，再求出三棱锥的外接球的球心，然后求出所得截面的半径从而求出面积. 【详解】对于A选项，因为，所以, 半圆锥的表面积等于圆锥侧面的一半+半圆+， 即，故A选项正确； 对于B选项，取的中点连接，因为为半圆锥的圆心，为半圆锥的顶点， 所以平面，又因点和点分别是，的中点，所以， 所以平面，所以， 所以为直角三角形，三点在圆上且为直径， 所以，且，所以平面， 又平面，故，， 所以为直角三角形， 综上所述三棱锥的四个面都为直角三角形，故B选项正确. 对于C选项，以为x轴，以为y轴，如下图作z轴建立空间直角坐标系， 则，，故， 由题可设，其中， 因为直线与平面所成的角为且面，面， 故面面，且面面，所以P投影在面上点在直线上， 故，所以， 即，且，解得，故， 因此，， 则异面直线与所成角的余弦值为，故C选项错误； 对于D选项， 运用到C选项的空间直角坐标系，除点P坐标未知其余坐标不变， 因为， h为的长，以为底，高为点到的距离，因为三棱锥的体积最大， 所以点到的距离就要最大，所以， 设三棱锥的外接球的球心， 则，解得， 球的半径，，， ，，设面的法向量， 则，令，则，故， 则点M到面的距离为， 故平面截三棱锥的外接球所得截面的半径， 平面截三棱锥的外接球所得截面的面积为，故D选项正确. 12．13 【详解】法一：(向量法)由 可得， 又因为，线段AB，BD在平面内， 所以,, 所以， 故,即C，D两点间的距离为13. 法二：（几何法）如图，在长方体中， ， 又因为 所以，，即C，D两点间的距离为13. 13． 【分析】以 为原点建立空间直角坐标系，把 化为坐标满足的方程，确定点 所在区域；再把 用坐标表示并配方，即可求出取值范围. 【详解】以 为原点，，， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 由 ， 得 ，，，. 设 . 因为 在长方体内部（含边界），所以 ，，. 又 ，. 由 得 ，即 ，化简得 . 由 得 ，解得 ，故 ，. 因为 ，，所以 . 又 ，代入得 . 配方得 . 因为 ，，所以当 ， 时（此时 ，符合 ）， 取最小值 . 当 ， 或 ， 时， 取最大值 . 所以 的取值范围是 . 14． 【分析】建立空间直角坐标系，设出点的坐标，由异面直线夹角公式可得方程，求出答案 【详解】平面平面，与均为等腰直角三角形， 且，，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， ，则，， 设，与为异面直线，故， ，，， 则，， 所以，解得， 所以，， 因为异面直线与成的角， 所以， 故，， 其中，故，又， 解得， ，故 线段长的取值范围是. 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先判断出是等边三角形，则有，在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用向量的线性运算和数量积运算证明即可. 【详解】（1）因为，， 所以是等边三角形， 所以， 又因为N是的中点， 所以, 在中，. （2）由已知 ， 所以， 所以. 16．(1) (2) 【分析】(1)作辅助线画出底面的高，利用已知条件算出底面积和高即可求出体积； (2)先算出和的比，利用向量线性关系求出和、，再利用向量数量积公式求出夹角余弦值. 【详解】（1）解：过点作交于点，如图所示， 由知，且， 又因为且，所以平面， 过点作交延长线于点，所以， 又因为，故平面，即为三棱锥的高， 由题知，，则，，， 所以； （2）解：因为，，解得，所以， 同理可得，所以，， 由图知， 两边平方得：，所以， 又因为， 所以. 17．(1)3 (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模的公式计算即得； （2）利用投影向量的计算公式结合向量数量积的坐标运算即得； （3）利用共面向量基本定理和向量坐标运算，结合题意列出方程组，求解即得. 【详解】（1）由可得， 故； （2）易得，又， 且， 则向量在向量上的投影向量为； （3）因为点在平面上，故存在，使得， 即， 又因，对照可得， 解得．故． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用空间向量基本定理线性表示出向量即可； （2）利用面面垂直的性质定理，余弦定理以及线面角的定义结合已知条件求解即可； （3）根据题意建立空间直角坐标系，写出相应的点坐标和求出相应向量坐标，利用点共面的性质、锥体体积公式以及基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）由题意，连接，如图所示，    由为的中点，为的三等分点（靠近点）， 则 . （2）因为平面，平面，所以， 过点作，垂足为，如图所示， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，面，面，则平面， 因为平面，所以， 过作，垂足为，由平面， 所以，所以平面，则为直线与平面所成角， 由题意可知， 根据余弦定理得：， 所以，, 设直线与平面所成角为， 在直角三角形中有： 所以直线与平面所成角的正弦值为．    （3）由（2）知，，，， 以为原点，以所在直线分别为轴， 在平面内，以与垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设， 则， 由于四点共面，则存在实数，使得， 即，解得， 而，故，解得， 当且仅当，即时等号成立， 而到平面的距离为， 所以， 当且仅当时等号成立. 19．(1)证明：取的中点，连接，，， 因为为的中点，为的中点，所以， 在三棱柱中，， 则四边形是菱形，得，则， 又，，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为是等边三角形，为的中点，所以， 又因为，，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面． (2)（i）（ii） 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）（i）建立空间直角坐标系，根据和空间向量的坐标表示求得，再求出和平面的法向量，利用空间向量法即可求解； （ii）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法即可求解． 【详解】（1）略 （2）（i）连接，因为，，所以是等边三角形，所以， 又因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 而平面，故，， 如图，以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设，又，解得， 则， 易得平面的一个法向量， 所以， 设直线与平面所成角为，则． （ii），则，， 设平面的法向量为， 则即可取， 设二面角的平面角为，则， 故二面角的平面角的余弦值为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $