海南海口市海南中学2026-2027学年高三上学期第一次周考数学试题

海南中学2027届高三年级第一次周考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第I卷（选择题) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l,1的斜率k,飞2是关于a的方程2a2+8a+n=0的两根，若l⊥12， 则实数n=（) A.-2 B.2 C.-8 D.8 2.下列函数中，在其定义域上单调递增的函数是（) A.y=Inx B.y=x c是 D.y=-1 3.已知来合A{,B=体>，则() A.A∩B=☑ B.AUB=B C.AB D.BSA 第1页共13页 4.若两条直线l:y=2x+m,42:y=2x+n与圆x2+y2=16的四个交，点能构成平行四 边形，则m+n=（) A.-1 B.0 C.2 D.4 6.旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格不同，出行中小胡有两种 加油方案：第一种，每次均加a升的燃油；第二种，每次加b元的燃油，则下列 说法正确的是（) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 第2页共13页 7.使命题“x∈R,mx2-mx+3≤0”是假命题的一个充分不必要条件是（) A.m∈[0,12) B.m∈[0,12]C.me(1,12)D.m∈l,12] S若双南我E号。=a>06>存在以(a0为中点的孩，刻离心率的取位范 围是() a. s c. .四5w】 第3页共13页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9.已知关于x的不等式ax2+bx+C>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 c不等式+(e-)x+2>0的解兔为2] D.不等式ax+b<0的解集为(-o,1) 第4页共13页 10.已知正实数a,b满足a+b=1,则（) A.ab的最大值为： B.42+46的最小值为 C.Va+Vb的最大值为2 D.6的最小值为号 a b+l 11.在平面直角坐标系中，对于给定的曲线C和定点F,设P为C上任意一点，1 是曲线C在，点P处的切线，n是过点P且与I垂直的直线.作线段PF的垂直平分 线m,若m与n相交，记交点为Q,当P在C上运动时，称，点Q的轨迹为曲线C关 于点F的“中垂法截线”，下列选项正确的有() A.若C为直线，F为直线外一，点，则中垂法截线是一条抛物线 B.若C为圆，F为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C.若C为圆，F为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D.若C为抛物线，F为C的焦点，则中垂法截线不是一个圆 第5页共13页 第Ⅱ卷（非选择题) 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若精圆号+号->同)的焦距是2，则共长轴长为一· 【答案】4 【详解】由题意得，2c=2,c2=a2-3,得c=1,a=2,则其长轴长为4. 第6页共13页 13.已知函数∫（四的定义域为(04），则x)=2的定义域为 x-1 14.已知关于x的不等式组 [x2-2x-8>0 22+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则实数k的取 值范围为 第7页共13页 四，解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（13分)已知一次函数f(x)满足f(f(x)=x+3. (1)求f(x)的解析式； ②)若8(x)=x 侧f国-，求g国+g(2)g220+g08*+89的位. 第8页共13页 16（15分)已知圆经过A(2,1)、B(1,2)、C(1,-4)三，点 (1)求圆的标准方程. (②)求，点P(4,-2)与圆上任一点连线的中，点的轨迹方程. 第9页共13页 17.（15分)某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米， 背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计设展房正面长 为a米，侧面长为b米 (1)若a,b满足a+b-ab+3=0,则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方 米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 第10页共13页 18.（17分)如图所示，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦，点为F,,点M在抛 物线上，点N(2,1)在抛物线C的内部，且N|+MF|的最小值为3. (I)求抛物线C的方程.（②设P(2,O),直线AB过焦点F,与C交于 M A,B两，点.直线AP,BP分别交C于另两点D,E.①求△PAB N2,1) 的面积的最小值；②试判断直线DE是否过定，点？若过定，点，求 出定，点坐标；若不过定点，请说明理由. 第11页共13页 1识(I7会)已知效曲线C晋示-a>0心0的一条精延线的领斜角为子， 点T(2,-3)在双曲线C上.，点M为双曲线C右支上除右顶点外的任意点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：，点M到C的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知C的左顶点A和右焦点F,直线AM与直线1：x=】相交于，点N. 试问是否存在常数1，使得∠AFM=入∠AFN?若存在，请求出1的值；若不存 在，请说明理由， 第12页共13页海南中学2027届高三年级第一次周考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效， 第I卷（选择题) 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知直线l,1的斜率k,飞是关于a的方程2a2+8a+n=0的两根，若l⊥12， 则实数n=（) A.-2 B.2 C.-8 D.8 【答案】A【详解】两直线垂直，斜率之积为-1，由一元二次方程根与系数关系可 知，分，故，解得n=2故速：A 2.下列函数中，在其定义域上单调递增的函数是（) A.y=Inx B.y=x 1 C.y=2 D.y=-1 【答案】A 3.已知集合 B={x>,则() A.A∩B=☑ B.AUB=B C.ASB D.BCA 【答案D【详解】对不等式<1移项得{-1<0，整理得<0，等价于x-)>0, 解得x<0或x>1,即A=(-0,0)UL,+o).已知B=(1,+∞)，A∩B=(L,+o)=B≠☑，故 A错误；AUB=(-∞，0)U(I,+o)=A≠B,故B错误；B的所有元素均属于A,且A 中存在小于0的元素不属于B,因此BSA,D正确，C错误 第1页共13页 4.若两条直线l:y=2x+m,1:y=2x+n与圆x2+y2=16的四个交，点能构成平行四 边形，则m+n=（） A.-1 B.0 C.2 D.4 【答案】B【详解】由题意直线，l2平行，且与圆的四个交点构成平行四边形， 则可知圆心到两直线的距离相等，圆x2+y2=16的圆心为(0,0)，圆心到直线的 距离为：d2.00+m_%,圆心到直线马的距离为：d,三20-0+m-以 5 5 5’ :-以→m=以，又m≠n,∴m=-n今m+n=0. 55 5.若函数f(x)= (3a-1)x+4a,x≤1 是定义在R上的减函数，则a的取值范围为() -ax,x>I A. B 0,3 C.) D.（o85+ 【答案】A【详解】若函数f(x)= (3a-1)x+4a,x≤1 是定义在R上的减函数， -ax,x>1 3a-1<0 Q<- 3 1 则 -a<0 解得 3a>0→ 8 行，所以a的取值范离为[8》 ≤a<- 3a-1+4a2-a a≥ 8 6.旅游博主小胡自驾出行周游世界已知各地燃油价格不同，出行中小胡有两种 加油方案：第一种，每次均加a升的燃油；第二种，每次加b元的燃油，则下列 说法正确的是（) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 【答案】B【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的 油价为n元/升.第一种方案的均价：am+m_m+n≥√mn,当且仅当m=n时取 2a 2 2b 2mn 等号；第二种方案的均价：b+bm+n,因m+n之2Wmn>0,则 1≤1 m+n2√mn’ m n 第2页共13页 故2m≤m,当且仅当m=n时取等号.综上，第一种方案的均价不低于第二种 m+n 方案的均价（当且仅当m=n时取等号）.结合题千“各地燃油价格高低不一”可 知油价会变化，此时第二种方案更划算.故选：B. 7.使命题“3x∈R,mx2-mx+3≤0”是假命题的一个充分不必要条件是（) A.m∈[0,12) B.m∈[0,12C.m∈(1,12) D.m∈[l,12] 【答案】C【详解】命题“x∈R,mx2-mx+3≤0”是假命题等价于“x∈R, mx2-mx+3>0”是真命题，即x∈R,不等式mx2-mx+3>0恒成立， 当m=0时，则不等式化简为3>0恒成立，当m≠0时，不等式mx2-mx+3>0恒成 m>0m>0 m>0 立，则等价于△<0(-m-4xm×3<0→0<m<12解得0<m<12, 综上所述命题“x∈R,mx2-mx+3>0”是真命题的充要条件是m∈[0,12) 即命题“xeR,mx2-mx+3≤0”是假命题的充要条件是m∈[0，l2), 若要找命题“xeR,mx2-mx+3≤0”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找[0,12)的真子集，由选项知只有(1,12)是[0,12)的真子集. 8,若双曲线E:二片(@>0.b>0)存在以Ba,四为中点的孩，则离心率的取值跑 围是() A. B. c. n.5 【答案】C【详解】若点(3a,d)在右焦点所在的双曲线内部，则必存在以(3a,a)为 中点的弦，此时9口4 b2. +1_32 3V2 符合题意；若，点(3a,a)在右焦，点所在的双曲线外部，则1<e< 43 第3页共13页 设以(3a,a为中点的弦与双曲线E交于A(x,)B(x2,2)两，点， 对场=+%=2加，尉后-茶，总答-1， 两式作差得二戈_2=0，整理得孩的斜率k=业-+3沙， a2 b2 -xa20+)2, 因为存在该中点弦，所以直线AB与双曲线E有2个不同的交点， ，b2,V10 3 符合题意 上，离心率的取值范是四平+ 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9.已知关于x的不等式x2+bx+c>0的解集为(-1,2)，则下列说法正确的是() A.a<0 B.a+b+c<0 C.不等式ax2+(c-1)x+2>0的解集为 2 D.不等式ax+b<0的解集为(-oo,1) 【答案】AC【详解】对于选项A:由关于x的不等式m2+bx+c>0的解集为(-1,2)， 可得a<0,故A正确；对于选项B:由题意可得 ax2+bx+c=a(x+1)(x-2)=ax2-ax-2a>0, 故b=-a,c=-2a,则a+b+c=a-a-2a=-2a>0,故B错误； 对于选项C:ax2+(c-1)x+2=ax2+(-2a-1)x+2=(ax-1)(x-2)>0, 由a<0,对该不等式解集为日2)： 故C正确. 第4页共13页 对于选项D:ax+b=ax-a=a(x-l)<0,由a<0,故x-1>0,即x>1,所以不等 式ar+b<0的解集为(1，+oo),故D错误； 10.已知正实数a,b满足a+b=1,则（) A.ab的最大值为日 B.口2+46的最小值为 C.Va+Vb的最大值为2 D.+4的最小值为？ a b+1 】ABD【详解】对于A,因为bsa中-，当且仅当a=b时 4 立，b的最大值为好，A正确； 对于B,将a1-6代d+-+4--手手，当且仅当b=写时，等号成 立，所以+46的最小值为，B正确； 对子C,因为(a+=a+b+2a西≤1+2x2,故a+6≤迈，所以、a+6的 最大值为√2，C错误； 对于D,因为a+b=1,即a+(b+1)=2, 则片-+0+明-sg+2品3， 当且仪当a号，b写时取等号，所以的最小值为3，D正确 a b+l 11.在平面直角坐标系中，对于给定的曲线C和定点F,设P为C上任意一点，1 是曲线C在，点P处的切线，n是过点P且与I垂直的直线.作线段PF的垂直平分 线m,若m与n相交，记交，点为Q,当P在C上运动时，称，点Q的轨迹为曲线C关 于点F的“中垂法截线”，下列选项正确的有() A.若C为直线，F为直线外一点，则中垂法藏线是一条抛物线 B.若C为圆，F为圆内一点，则中垂法截线是一个椭圆 C.若C为圆，F为圆外一点，则中垂法截线是双曲线 D.若C为抛物线，F为C的焦点，则中垂法截线不是一个圆 第5页共13页 【答案】ACD【详解】因为，点9在线段P℉的中垂线上，所以 Pg=lOF,A选项，1就是C,FEC,由Pg=lOF可知轨迹 是以F为焦点，以C为准线的抛物线，故A正确； B选项，由OP=l№F,得QF+QO=PO=r, 若F与O不重合，则点Q的轨迹为椭圆；若F与O重合，则 Q点轨迹是圆，故B错误； C选项，由QP=|QF得 2F-2O=Pg-2O=r,则Q轨迹是以O、F为焦点的双曲 线，故C正确； D选项，由抛物线的对称性可知，会存在无数多组关于抛物 线的对称轴对称的，点，显然不可能是圆，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题) 三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若椭圆二+兰-口>)的焦距是2，则其长轴长为一· 3 【答案】4 【详解】由题意得，2c=2,c2=d2-3,得c=1,a=2,则其长抽长为4. 第6页共13页 13.已知函数f田的定义域为(0,4)，则g)=(2的定义域为 x-1 0<2x<4 【答案】(0,1)U(1,2)【详解】由题意可得 x-1≠0，解得0<x<2且x1, 所以g)=f2型的定义域为(0.11,2. x-1 x2-2x-8>0 14.已知关于x的不等式组{ 22+(2k+7)x+7k<0仅有一个整数解，则实数的取 值范围为一 【答案】[-5,3)U(4,5]【详解】由不等式x2-2x-8>0,解得x<-2或x>4, 解方程2r+(2+7刃r+7张=0，解得气=或5=大， (①若-<-子，即>时，不等式2+(2k+7)x+7k<0的解果为(-63， 若不等式组只有1个整数解，则-5≤-k<-4,解得4<k≤5； (2②)若-k>子，即k<时，不等式2x+(2k+7)x+7张<0的解桑为(3， 若不等式组只有1个整数解，则-3<-k≤5，解得-5≤k<3, 综上可得，实数k的取值范围是[-5,3)U(4,5]. 第7页共13页 四，解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.（13分)已知一次函数f()满足f(f(x)=x+3. (1)求f(x)的解析式； ②)若8()= f-,求g0+g包+g2020+802*8应*+9的值. 【详解】(1)设f(x)=a+b(a≠0)， f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=ax+ab+b=x+3, 故有 a2=1 a=1 b+6=3,解得{b=3,a=-1时，0=3不成立，所以a=-1舍去 2 故f()=x+2 6分 1 +7,则g的 (2)由(1)知g(m)=上， =1 x I +1x+1, 则g)+g(白=x+1=+-1, x+1x+1x+1 故g(2)+8(）=g(3)+g月）==g2026)+82026)-=l, 且当x-1时，可得2g0=1,解得g0= 国此e0-91+82020+830283023*+83号2025x1=052 2 13分 第8页共13页 16（15分)已知圆经过A(2,1)、B(1,2)、C(1,-4)三，点 (1)求圆的标准方程. (②)求，点P(4,-2)与圆上任一点连线的中，点的轨迹方程. 【详解】(1)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, [4+1+2D+E+F=0 D=2 则1+4+D+2E+F=0,解得E=2, 1+16+D-4E+F=0 F=-11 所以圆的方程为x2+y2+2x+2y-11=0,(x+1)2+(y+1)}=13;7分 3 B -5-4-3-2-10 (2)设中，点为Q(x,y),圆上任一点M(x,), [x=4+西 因为P(4,-2),所以 2 x=2x-4 y= -2+y%0 整理得 6=2y+2,代入圆的方程得 2 24++2=B,理--- 所以中点的轨连方程为x-++引- …15分 第9页共13页 17.（15分)某公司准备搭建一间临时展房，用来开产品展览会，展房高为3米， 背面靠墙，其余三面使用一种新型板材围成，板材厚度忽略不计设展房正面长 为a米，侧面长为b米 (1)若a,b满足a+b-ab+3=0,则展房占地面积至少为多少平方米？ (2)若已知展房占地面积为192平方米，正面每平方米造价1200元，侧面每平方 米造价800元，屋顶造价5800元，怎样设计能使总造价最低？最低是多少？ 【详解】(1)：a+b=ab-3,且a+b≥2ab, ab-3≥2ab,即ab-2√ab-3≥0， 解得√ab≥3或√ab≤-1（舍），∴ab29, 当且仅当a=b=3时，等号成立. 所以当正面和侧面长均为3米时，展房占地面积最少为9平方米.7分 (2)由题知ab=192, 总造价为y=a×3×1200+2b×3×800+5800 =3600a+4800b+5800 =1200(3a+4b)+5800 ≥1200×2W12ab+5800 =1200×2V12×192+5800 =121000 当的物中8伦时，上式等号成立， 所以当展房正面长为16米，侧面长为12米时，总造价最低为121000元. 15分 第10页共13页 18.（17分)如图所示，已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在抛 物线上，点N(2,1)在抛物线C的内部，且N|+MF|的最小值为3. (I)求抛物线C的方程.（②设P(2,O),直线AB过焦点F,与C交于 M A,B两，点.直线AP,BP分别交C于另两点D,E.①求△PAB N2,1) 的面积的最小值；②试判断直线DE是否过定，点？若过定，点，求 出定点坐标若不过定点，请说明理由. 【详解】(I)由抛物线的定义可知N+MF|的最小值为点N 到准线的距离，2+号=3，p=2,抛物线C的方程为y2=4x: 4分 (2)①F(1,0),设AB为x=y+1,代入y2=4x,消去x,得y2-4y-4=0. 设A(x,),B(x2,y2),则+y2=41,y2=4.所以 B (y-)2=(y+y2)2-4y%2=162+16,y-y2=4WP+1,又PF=1, P 所以aPMB的画积为X1x4F+1=2F+I≥2， 当且仅当1=0时，取等号，所以△PAB的面积的最小值为2. 9分 ②设D(x,3),E(x4,y4),又P(2,0),直线AP的方程为(x-2)y=(x-2),与C方 程联立，消去x得y2-4(x-2)y-8y=0,又D是直线AP与C的交，点，所以 ，同理y=8 5=-8,⅓=-8 ，所以y=-16, 当y=4时，1=0，直线DB与x轴垂直，DE与x轴的交点为(4,0)， 、k=-当=4 4 1 当≠4时，1≠0，直线DE的斜率-，-名+片8-820y+)2. y y2 此时，可设直线DE的方粒为)y+b,与C联立，消去得y-0+8b=0， 所以%=8b,又y%=-16,所以8b=-16,b=-22 所以DB的方程化为y=x-2=x-4,直线过(4,0).综上，直线DB过定点(4,0). Γ2tt2t 17分 第11页共13页 1识(I7会)已知效曲线C晋示-a>0心0的一条精延线的领斜角为子， 点T(2,-3)在双曲线C上.，点M为双曲线C右支上除右顶点外的任意点. (1)求双曲线C的标准方程； (2)证明：，点M到C的两条渐近线的距离之积为定值； (3)已知C的左顶，点4和右焦点F,直线AM与直线1：x=相交于点N. 试问是否存在常数1，使得∠AFM=入∠AFN?若存在，请求出1的值；若不存 在，请说明理由. 【解折1)由双南或C的一条新近线的顿针角为行，有名m写，了得6-5a, 、π 49 又由成T在双曲线C上，有。厅=1， (2分) 代入6-a,有日品1，可得-1，-， 故双曲线的标准方程为x-二=1； (4分) 3 (2)设点M的坐标为(），则5-￡=1，即3戏-=3. 3 (5分) 双曲线的两条渐近线1,13的方程分别为√3x-y=0,√3x+y=0, 则，点M到两条渐近线的距离分别为d= 5,为，4+因， (7分) V3-5+_3-_3 2 所以点M到双曲线C的两条渐近线的距离之积为定值， (9分) (3)①当x0=2时，MF=AF=3,又N是AM的中点， 所以∠AFN=∠MFN=45°，所以∠AFM=2∠AFN,此时2=2. (10分) 若存在满足条件的常数入，则只能入=2. 第12页共13页 ②当x≠2时. )当M在x轴上方时，由A山，0，F2,0,M6,，可得则 所以直线AM的方程为y=（x+1), +1 (11分) 把x=二代入得N 13 2'2(x+1) 3×h 所以kN= 2+l-h,则tan∠AW=h 1 -2 +1 +1 (12分) 2 由二倍角公式可得tan2∠AFN= (x+1) 2(+1)y.= (x+1)-y2- (13分) yo x+1 因为直线M证的斜率o2及an之AM=-) 所以tan∠AFM=、, Γ2-x0 ,则tan∠AFM=tan2∠AFN. (14分) 因为∠AFM∈(0，)，∠AFN∈O, 2 所∠AFM=2∠AFN· (15分) iⅱ)当M在x轴下方时，同理可得∠AFM=2∠AFN, 故存在2=2，使得∠AFM=2∠AFN. (17分) 第13页共13页