第7卷 三角函数的图像和性质（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑链，系统构建三角函数图像与性质的专项突破体系，强化数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2大核心概念|表格对比法梳理正弦余弦函数性质，参数影响分层解析|从基础定义到图像变换，构建“性质-参数-图像”认知链条| |真题精讲|4考点9道真题|考点分类解题法（周期性/单调性/最值/平移）|近三年真题覆盖高频考点，实现“考法-解法”精准对接| |举一反三|15道变式题|变式训练法强化考点迁移|从基础应用到综合辨析，深化性质理解与运算能力| |拓展提升|14道综合题|综合问题建模法|结合图像分析与实际应用，培养几何直观与理性思维|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像和性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．正弦函数、余弦函数图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 【真题精讲】 考点01 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 1.（2022·河北对口升学）下列说法错误的是（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数与函数为同一函数 C. 函数在其定义域内是增函数 D. 函数的图像关于原点对称 【答案】B 【分析】由题奇函数和偶函数图像的对称性，指数函数的单调性，以及相等函数的判定等可得结果. 【详解】由题知奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于y轴对称， 指数函数为其定义域内的增函数，而函数与函数虽 然对应法则相同，定义域却不同，故两个函数不是同一个函数. 故选：B. 2.(2021·河北对口升学) 下列函数中，周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据最小正周期公式、二倍角公式以及正弦函数的和角公式，结合三角函数的奇偶性即可解得. 【详解】选项A：根据诱导公式可得，此函数为偶函数周期为，则错误；选项B：根据余弦二倍角公式可得，此函数为偶函数且周期为，则正确；选项C：根据正弦二倍角公式可得，此函数为奇函数且周期为，则错误； 选项D：根据正弦函数的和角公式可得，此函数非奇非偶函数，周期为，则错误. 故选:B. 3. （2020·河北对口升学）已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】易知函数定义域为，因为. 所以函数是偶函数. 故选：B. 考点02 三角函数的单调性 4.（2026·河北对口升学）已知函数. （1）求函数的图象与x轴的交点坐标； （2）求函数的单调递增区间. 【答案】（1）（） （2）（） 【分析】（1）先用二倍角公式、辅助角公式化简，令解方程，得到交点横坐标，写出交点坐标； （2）根据正弦函数的单调递增区间，整体代换解不等式，得到的递增区间. 【详解】（1）， 令，即， 所以，，解得，， 因此交点坐标为（）. （2）由正弦函数的单调递增区间得函数的单调递增区间满足： ，，解得，， 所以的单调递增区间为（）. 5.（2025·河北对口升学）已知函数，则函数（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 【答案】A 【分析】根据角的范围，结合正弦函数的单调性判断各选项． 【详解】令，． 当时，，此时单调递减， 则在上单调递减，故A正确； 当时，， 当时，单调递减，即当时，在单调递减； 当时，单调递增，当时，在单调递增，故B错误； 当时，， 当时，单调递减，即当时，在单调递减； 当时，单调递增，当时，在单调递增，故C错误； 当时，， 当时，单调递增，即当时，在单调递增； 当时，单调递减，当时，在单调递减，故D错误， 故选：A． 6.（2024·河北对口升学·）若，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数、正弦函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，又，即，所以. 故选：D. 考点03 三角函数最值问题 7.(2023·河北对口升学)函数的最大值是_______. 【答案】 【分析】首先根据诱导公式和正弦的二倍角公式化简，然后根据正弦函数的最值求出的最大值. 【详解】由，可得， 因为的最大值为1，所以的最大值为. 故答案为：. 8.（2022·河北对口升学）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值，最大值为多少？ 【答案】（1） （2）2 【分析】(1)由三角函数诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简后，利用周期公式解答即可； (2)利用三角函数值域求解即可. 【详解】（1）由三角函数周期性可将函数化简为， 再由二倍角公式化简为，再由辅助角公式化简为，所以函数的最小正周期为. （2）当时， 即时，函数取得最大值，且最大值为2. 考点04 三角函数的图像平移变换 9.（2024·河北对口升学）已知函数，将的图像沿x轴向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像． （1）写出函数的解析式； （2）求函数的最小值及取得最小值时x的集合． 【答案】（1） （2）； 【分析】（1）根据题意，结合正弦型函数的变换规律，即可求解； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得函数的最小值，及对应x的集合. 详解】（1）函数， 将的图像沿x轴向右平移个单位，再向上平移1个单位， 可得， （2）由（1）知，因为 所以当时，函数取得最小值，即， 此时，即， 所以函数取得最小值时x的集合为. 【举一反三】 1．函数在一个周期内的大致图像是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由正切函数的图像与性质判断， 【详解】由正切函数的图像与性质可知在上单调递增，图像为A， 故选：A. 2. 函数，的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据诱导公式化简，再由余弦函数的图像即可解答. 【详解】已知函数， 当时，余弦函数图像为 ，A选项符合， 故选：A. 3．函数和都是增函数的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦函数和正弦函数的单调区间即可得解. 【详解】的增区间为.的增区间为. 都为增区间的是.当时,增区间为. 故选:. 4. 将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数解析式为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用时的图像平移变换，求解即可． 【详解】将函数的图像向左平移个单位后， 所得图像对应的函数解析式为． 故选：A． 5．函数的最小正周期为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式计算求解即可. 【详解】因为函数为，所以函数的最小正周期为. 故选：C. 6.函数的值域是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， , 即， 的值域是 . 故选：C. 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意，结合正弦的二倍角公式，将函数化为正弦型函数，结合正弦函数的周期性，即可求解. 【详解】因为函数，所以函数的最小正周期. 故选：B. 8.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先转化，再利用的单调性判断大小. 【详解】，，在单调递增， ，即. 故选：C. 9. 若函数的最小正周期为，则的最小值为（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据正弦函数的周期公式求出的值，再由正弦函数的最值公式即可解答. 【详解】已知，因为，所以最小正周期为，解得， 则，当时，有最小值. 故选：B 10．函数（，，）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图像和性质，分别求出的值，代入即可求解. 【详解】由图知，，，所以， 所以函数解析式为， 又函数图像过点，代入得， 所以，所以，即，又，所以， 所以函数解析式为. 故选：C. 11.（2025河北对口升学样卷）下列关于函数的描述正确的是（ ） A. 最小正周期为π，最大值是1 B. 最小正周期为2π，最大值是1 C. 最小正周期为π，最大值是3 D. 最小正周期为2π，最大值是3 【答案】A 【详解】函数 所以最小正周期为π，最大值是1. 故选：A. 12．函数的递增区间为 . 【答案】 【分析】根据余弦函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】∵余弦函数是偶函数，∴函数. 根据余弦函数的单调性，在递增. 故设，其中. 则得到，其中. 故答案为：. 13.已知在单调递增，则实数的最大值为 . 【答案】 【详解】在上递增，在上递减.，当时，， 由于在单调递增，所以， 所以的最大值是. 故答案为：. 14.(2021年河北对口升学) 函数的图像向左平移个单位后得到的图像的解析式是__________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的平移变换求出解析式. 【详解】由题可得. 故答案为：. 15. （2021·河北对口升学）已知函数 （1）将此函数化为的形式； （2）写出此函数的值域； （3）求此函数的单调递减区间. 【分析】（1）根据正弦和角公式辅助角公式进行化简； （2）根据正弦函数性质求解函数值域； （3）根据正弦函数的单调减区间进行求解. 【详解】（1） . （2）由（1）得， ，的最大值为1，最小值为， 故的值域为. （3）由（1）得，令， 解得，所以的单调减区间为. 【拓展提升】 一、选择题 1.函数的简图是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由cos（﹣x）＝cosx及余弦函数的图像即可得解． 【详解】由知，其图像和的图像相同， 故选B． 2.若函数的最小正周期为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】周期,所以. 故选：B. 3.函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】由题可得，根据正弦函数的性质即得. 【详解】∵函数， ∴函数为最小正周期为的奇函数. 故选：A. 4．函数，的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】设，因为，所以．因为正切函数在上单调递增，所以正切函数在上单调递增，又，，所以， 所以函数，的值域为. 故选：A． 5．函数图像的一个对称中心可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的对称性，根据选项依次验证即可解得. 【详解】函数对称中心横坐标满足，即，纵坐标为，选项A：由，得，， 则不是函数图像的一个对称中心，故A错误； 选项B：由，得， 则不是函数图像的一个对称中心，故B错误； 选项C：由，得， 则不是函数图像的一个对称中心，故C错误； 选项D：由，得，， 则是函数图像的一个对称中心，故D正确. 故选：D. 6.函数的图像是下列哪个函数图像通过向左平移得到（  ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为向右平移得. 故选：B. 7. 已知函数的图像如图所示，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图像及性质，分析求解即可. 【详解】由图像可知，所以，所以， 故选：C. 8.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数，∵， ∴当时，函数取得最小值为， 当时，函数取得最大值为2， 故函数的值域为. 故选：A． 9．函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图像，根据割补法即可求解. 【详解】作出函数的图像，如图所示， 将到部分的图像与轴围成的图形补到图中到处的阴影部分， 将到部分的图像与轴围成的图形补到图中到处的阴影部分. 凑成两个长为，宽为的长方形.所以的图像与直线，及轴所围成的面积为：. 故选：C. 二、填空题 10.已知函数，，最小正周期为，则__________． 【答案】1 【分析】根据最小正周期的计算公式可求出，再利用特殊角三角函数即可求出答案． 【详解】由题意，得，解得，∴． 故答案为：1． 11．函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合周期公式即可求解. 【详解】由题意得，. 则其最小正周期为：. 故答案为：. 12. 函数的最小值是 . 【答案】0 【分析】先令，则，再将问题转化为关于的二次函数求最小值即可. 【详解】令 ，则，则，则函数在上为减函数， 则，即函数的最小值是0， 故答案为：0. 13.已知正弦函数图像的一个最高点的坐标是，相邻两个最高点之间距离为，则函数的解析式是 . 【答案】 【详解】依题意函数的周期,所以解得，,所以 将代入函数解得，所以函数的解析式是. 故答案为：. 三、解答题 14.（2023·河北对口升学·真题T34）已知正弦型函数的图像如图所示. （1）求函数解析式； （2）求函数取得最小值时x的集合. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）观察图像找出正弦型函数的最值，周期等求出解析式.（2）根据（1）中解析式求出函数取得最小值时x的集合. 【详解】（1））由图像可以看出的最大值为，最小值为， 所以，且，则，所以， 将代入中，可得， 即，所以， 即，且由图像可知，所以. 所以函数解析式为 （2）当函数取得最小值时，令， 则有，即 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像和性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．正弦函数、余弦函数图象和性质 　 函数 性质 　 y＝sin x y＝cos x 图象 定义域 {x|x∈R} {x|x∈R} 值域 {y|－1≤y≤1} {y|－1≤y≤1} 单调性 在 　， k∈Z上递增； 在 　， k∈Z上递减 在 [(2k－1)π，2kπ]　，k∈Z上递增； 在 [2kπ，(2k＋1)π]　，k∈Z上递减 最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1； x＝－＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 x＝ 2kπ(k∈Z)　时，ymax＝1； x＝ π＋2kπ(k∈Z)　时，ymin＝－1 奇偶性 奇 偶 最小正周期 2π　 2π 2. 参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 (1)φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响． (2)ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响． (3)A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响． 【真题精讲】 考点01 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 1.（2022·河北对口升学）下列说法错误的是（ ） A. 函数的图像关于轴对称 B. 函数与函数为同一函数 C. 函数在其定义域内是增函数 D. 函数的图像关于原点对称 2.(2021·河北对口升学) 下列函数中，周期为的偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. （2020·河北对口升学）已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 考点02 三角函数的单调性 4.（2026·河北对口升学）已知函数. （1）求函数的图象与x轴的交点坐标； （2）求函数的单调递增区间. 5.（2025·河北对口升学）已知函数，则函数（ ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递减 C. 在上单调递增 D. 在上单调递增 6.（2024·河北对口升学·）若，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 考点03 三角函数最值问题 7.(2023·河北对口升学)函数的最大值是_______. 8.（2022·河北对口升学）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值，最大值为多少？ 考点04 三角函数的图像平移变换 9.（2024·河北对口升学）已知函数，将的图像沿x轴向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像． （1）写出函数的解析式； （2）求函数的最小值及取得最小值时x的集合． 【举一反三】 1．函数在一个周期内的大致图像是（    ） A．    B．   C．   D．   2. 函数，的图像是（ ） A. B. C. D. 3．函数和都是增函数的区间是（    ） A． B． C． D． 4. 将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数解析式为（  ） A. B. C. D. 5．函数的最小正周期为（  ） A． B． C． D． 6.函数的值域是（  ） A． B． C． D． 7. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 8.已知，，，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 9. 若函数的最小正周期为，则的最小值为（  ） A. B. C. D. 10．函数（，，）的部分图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 11.（2025河北对口升学样卷）下列关于函数的描述正确的是（ ） A. 最小正周期为π，最大值是1 B. 最小正周期为2π，最大值是1 C. 最小正周期为π，最大值是3 D. 最小正周期为2π，最大值是3 12．函数的递增区间为 . 13.已知在单调递增，则实数的最大值为 . 14.(2021年河北对口升学) 函数的图像向左平移个单位后得到的图像的解析式是__________. 15. （2021·河北对口升学）已知函数 （1）将此函数化为的形式； （2）写出此函数的值域； （3）求此函数的单调递减区间. 【拓展提升】 一、选择题 1.函数的简图是（  ） A． B． C． D． 2.若函数的最小正周期为，则的值等于（ ） A. B. C. D. 3.函数是（  ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 4．函数，的值域为（ ） A． B． C． D． 5．函数图像的一个对称中心可以是（　　） A． B． C． D． 6.函数的图像是下列哪个函数图像通过向左平移得到（  ） A. B. C. D. 7. 已知函数的图像如图所示，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 8.函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．函数的图像与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 10.已知函数，，最小正周期为，则__________． 11．函数的最小正周期是 . 12. 函数的最小值是 . 13.已知正弦函数图像的一个最高点的坐标是，相邻两个最高点之间距离为，则函数的解析式是 . 三、解答题 14.（2023·河北对口升学·真题T34）已知正弦型函数的图像如图所示. （1）求函数解析式； （2）求函数取得最小值时x的集合. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $