第6卷 任意角的三角函数及恒等变换（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统构建任意角三角函数及恒等变换的知识体系与解题方法，培养数学抽象、运算推理及应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|5大知识点|梳理核心概念与公式（弧度制、三角函数定义、诱导公式表格等）|从角的概念与度量（象限角、弧度制）到三角函数定义与符号，再到同角关系、诱导公式及恒等变换，形成概念-公式-应用递进链条| |真题精讲|5考点13题|按考点分类精讲近三年真题，提炼解题步骤（如扇形公式应用、三角函数符号判断）|覆盖高频考点，对应核心公式应用，强化知识与考题的直接关联| |举一反三|21题|通过变式训练强化方法迁移（如终边相同角判断、同角关系求值）|巩固基础题型，拓展解题思路，提升知识应用灵活性| |拓展提升|15题|综合应用与跨情境问题解决（如单位圆、会圆术实际应用）|深化知识综合运用，培养数学建模与问题分析能力|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第6卷 任意角的三角函数及恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.角的概念 （1） 象限角：如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （2）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． （3）弧度与角度的换算 ①1°＝ rad　；②1rad＝ °　. ②常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π （4）弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 ①弧长公式：:在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． ②扇形面积公式：． 2.三角函数定义 （1）任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． （2）三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （3）特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 3. 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： sin2α＋cos2α＝1；（2）商数关系： 4.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 5.三角恒等变换 （1）两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： （2）二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． （3）二倍角公式的变形 降幂公式： 升幂公式：. （4）辅助角(“二合一”)公式： ，其中cos φ＝ 　，sin φ＝ . 【真题精讲】 考点01 特殊角的三角函数值 1.（2026·河北对口升学）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】， 故选： 2.（2025·河北对口升学）计算 ______. 【答案】0 【分析】根据组合数的计算，特殊的三角函数值及指数幂的运算法则即可得解. 【详解】原式， 故答案为：. 3.（2024·河北对口升学）________． 【答案】 【分析】根据指数幂及对数的运算性质、特殊角的三角函数值可得结果. 【详解】. 故答案为：. 考点02 扇形的弧长、面积 4.（2026·河北对口升学）扇形弧长是，面积是π，则圆心角为（ ） A. π B. C. D. 【答案】D 【分析】由弧长公式和扇形面积公式即可得解. 【详解】设圆心角为，半径为，则扇形弧长为，面积为， 解得. 故选：D. 考点01 三角函数的定义、符号 5.(2024·河北对口升学) 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用三角函数定义即可求解. 【详解】，， 故选：A 6.(2023·河北对口升学)已知点P在第三象限，则终边在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】C 【分析】根据各象限三角函数值的正负即可求解. 【详解】因为点P在第三象限，所以.即终边在第三象限. 故选：C. 7.(2022·河北对口升学)设点在角α的终边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据角α终边上一点可求出，再利用二倍角公式求解. 【详解】因为点在角α的终边上，所以 ， 故选：B 考点02 同角的三角函数的关系 8.(2024·河北对口升学)已知，，则________． 【答案】 【分析】利用同角关系式、二倍角公式求值. 【详解】 故答案为：-11. 9.(2022·河北对口升学) 已知，且，则_______________. 【答案】 【分析】由三角函数公式及象限角的符号即可得解. 【详解】因为.所以.所以. 所以.. 因为为第一象限角.所以. 所以. 故答案为:. 考点03 三角函数诱导公式 10.（2025·河北对口升学）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据诱导公式求解即可； 【详解】因为，则， 故选：C 11.(2022·河北对口升学) 已知，且，则_______________. 【答案】 【分析】根据诱导公式可将原式化为，从而求解. 【详解】由得，且，. 故答案为： 考点04 三角函数恒等变换 12.（2025·河北对口升学）已知，则 【答案】 【分析】先根据已知条件求出的值，进而得到的值，最后利用两角和的正切公式计算出结果． 【详解】∵，∴， 所以，所以. 故答案为：. 13.(2024·河北对口升学)________． 【答案】 【分析】利用诱导公式、和角公式求值. 【详解】. 故答案为：. 【举一反三】 1. 下列各角中与角终边相同的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据角终边相同的角相差的整数倍，即可求解. 【详解】选项A，，不是的整数倍，错误； 选项B，，是的整数倍，正确； 选项C，，不是的整数倍，错误； 选项D，，不是的整数倍，错误； 故选：B. 2．（  ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角的三角函数值可求解. 【详解】. 故选：C 3. 若角终边上有一点，则的值是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用三角函数的定义，即可得解. 【详解】因为角终边上一点，则，所以，则. 故选：A. 4．的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式进行求解即可. 【详解】. 故选：A. 5.（2025·河北对口升学样卷）若α为第三象限角，则点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【详解为α为第三象限角，所以，所以点在第二象限， 故选：B. 6．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式将进行化简求得，再利用诱导公式结合已知条件即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：D. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由与的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以有，解得. 故选:D. 8.(2023·河北对口升学) “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据三角函数值求角和特殊角的三角函数值来进行判断. 【详解】因为当时，或， 而当时，成立，所以是的必要不充分条件. 故选：B. 9．计算：（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和差的正切公式即可求解. 【详解】. 故选：C. 10．在半径为的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据扇形的面积公式即可解得. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，所以由扇形的面积公式得. 故选：B. 11．已知扇形的周长为8cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式，即可求得. 【详解】设扇形的弧长为，半径为，所以，，则， 所以扇形的圆心角的弧度数是. 故选：C. 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据二倍角的余弦公式即可得解. 【详解】因为， 则， 故选：. 13．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式结合同角三角函数的商数关系计算出，在代入正切二倍角公式即可. 【详解】已知， 可化为，即，所以， 故. 故选：D. 14．已知锐角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由同角三角函数的平方关系求解与的值，再根据诱导公式以及两角差的余弦公式计算即可. 【详解】因为为锐角，所以， 又因为，所以， ，所以 . 故选：A. 15.（2023·河北对口升学）求值:_______. 【答案】 【分析】根据特殊角的三角函数值，指数幂的运算即可求解. 【详解】. 故答案为：. 16.（2025·河北对口升学样卷）计算：______． 【答案】 【详解】. 故答案为： 17．已知，则点在第 象限. 【答案】三 【分析】根据，求出余弦值和正切值，即可求点所在象限. 【详解】因为， ， 所以在第三象限. 故答案为:三. 18．已知是方程的两根，则 ． 【答案】/ 【分析】由韦达定理求出，再利用正切的两角和公式求解即可. 【详解】因为是方程的两根，所以， 所以. 故答案为：. 19.已知集合，且， 则 . 【答案】-1 【详解】因为，又即，所以，则， 又，所以，所以. 故答案为：-1. 20.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且， （1）求点的坐标； （2）求和的值. 【答案】（1）；（2）， . 【详解】（1）依题意，为第四象限角，其终边上的一个点是，则， ，解得，则. （2）所以，. 21.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角终边在第二象限且过点，若,求： （1） （2）将角的终边绕原点顺时针旋转得到角，求角的余弦值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为终边在第二象限，所以，依题意，所以，且，所以即，因此， （2）依题意有 . 【拓展提升】 一、选择题 1．已知角的终边与单位圆交于点,则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由终边上的点求三角函数即可得解. 【详解】由题意可知. 故选:. 2. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】利用扇形面积公式求圆心角即可. 【详解】扇形的面积为，半径为1，设圆心角为，则，解得； 故选：B. 3．若是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由诱导公式结合同角三角函数关系求解即可. 【详解】由得， 由是锐角得，，，， 故选：D． 4．若角的终边经过点，且，则m的值为（  ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】根据任意角的三角函数的定义，结合题意，即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，且，所以， 两边平方化简得，所以或， 故选：C. 5．若，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先结合已知条件求出，再由余弦的差角公式计算即可求解. 【详解】因为，且为第二象限角，所以， 所以. 故选：C. 6．设，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由同角三角函数关系求出，再利用诱导公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以. 故选：A. 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由已知条件利用同角三角函数的基本关系式求出，再用诱导公式化简并求值即可. 【详解】对两边平方：， 展开得， 所以，得到， ， 故选：A. 8.（2024·河北对口升学） “是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据条件的充分性和必要性分别进行证明讨论，从而得出结论. 【详解】若“是锐角”，则，故，充分性成立； 若，则可能是第一或第二象限角或角的终边在y轴正半轴，，即必要性不成立； 所以“是锐角”是“”的充分不必要条件. 故选A. 9.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】因为角的终边经过点,即，所以. 故选：A. 10．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，分别求出，再根据题中公式即可得出答案. 【详解】如图，连接，    因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即， 又，所以，则，故， 所以. 故选：. 二、填空题 11.已知，则____________. 【答案】 【分析】先根据角度所在象限和余弦值求出正弦值，再结合诱导公式和二倍角正弦公式求解即可. 【详解】因为，所以，且， 所以， 而. 故答案为：. 12. （2020·河北对口升学）计算：__________． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 13．，，，，那么 . 【答案】 【分析】利用三角函数的基本关系式与角的范围求得，再利用正弦函数的和角公式即可得解. 【详解】因为，， 所以， 因为，， 所以， 则. 故答案为：. 三、解答题 14.已知在半径为的圆中，弦的长为. （1）求弦所对的圆心角的大小； （2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积. 【答案】（1）（2） 【详解】（1）由于圆的半径为，弦的长为，所以为等边三角形，所以. （2）因为，所以.， 又，所以. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1）. （2）. 【分析】（）根据三角函数定义即可得解. （）根据二倍角的正弦公式及两角差的正切公式即可得解. 【详解】（1）∵，∴； ∴；∴． （2）由（1）得， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第6卷 任意角的三角函数及恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.角的概念 （1） 象限角：如果角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （2）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． （3）弧度与角度的换算 ①1°＝ rad　；②1rad＝ °　. ②常用特殊角的弧度数 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° 0 π 2π （4）弧度制下的弧长公式与扇形面积公式 ①弧长公式：:在半径为r的圆中， l＝|α|r，其中α的单位是弧度． ②扇形面积公式：． 2.三角函数定义 （1）任意角的三角函数 设是任意大小的角，点为角的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为，那么角的正弦、余弦、正切分别定义为 ；；． （2）三角函数值的符号 如图所示： 简记口诀为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． （3）特殊角的三角函数值 0 0 1 0 −1 0 1 0 −1 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 3. 同角三角函数的基本关系式 （1）平方关系： sin2α＋cos2α＝1；（2）商数关系： 4.三角函数的诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 5.三角恒等变换 （1）两角和与差的正弦、余弦及正切公式 两角和与差的余弦公式：. 两角和与差的正弦公式： 两角和与差的正切公式： （2）二倍角的正弦、余弦及正切公式 (S2α)． (C2α)． (T2α)． （3）二倍角公式的变形 降幂公式： 升幂公式：. （4）辅助角(“二合一”)公式： ，其中cos φ＝ 　，sin φ＝ . 【真题精讲】 考点01 特殊角的三角函数值 1.（2026·河北对口升学）（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河北对口升学）计算 ______. 3.（2024·河北对口升学）________． 考点02 扇形的弧长、面积 4.（2026·河北对口升学）扇形弧长是，面积是π，则圆心角为（ ） A. π B. C. D. 考点01 三角函数的定义、符号 5.(2024·河北对口升学) 已知角的终边经过点，且，则（ ） A. B. C. D. 6.(2023·河北对口升学)已知点P在第三象限，则终边在第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7.(2022·河北对口升学)设点在角α的终边上，则（ ） A. B. C. D. 考点02 同角的三角函数的关系 8.(2024·河北对口升学)已知，，则________． 9.(2022·河北对口升学) 已知，且，则_______________. 考点03 三角函数诱导公式 10.（2025·河北对口升学）已知，则（ ） A. B. C. D. 11.(2022·河北对口升学) 已知，且，则_______________. 考点04 三角函数恒等变换 12.（2025·河北对口升学）已知，则 13.(2024·河北对口升学)________． 【举一反三】 1. 下列各角中与角终边相同的是（ ）. A. B. C. D. 2．（  ） A． B．1 C． D． 3. 若角终边上有一点，则的值是（  ） A. B. C. D. 4．的值为（     ） A． B． C． D． 5.（2025·河北对口升学样卷）若α为第三象限角，则点在（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6．已知，则等于（ ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8.(2023·河北对口升学) “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9．计算：（    ） A．1 B． C． D． 10．在半径为的圆上，一扇形所对的圆心角为，则此扇形的面积为（ ） A． B． C． D． 11．已知扇形的周长为8cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（    ） A． B．1 C．2 D．3 12. 已知，则（ ） A. B. C. D. 13．若，则（ ） A． B． C． D． 14．已知锐角满足，则的值为（ ） A． B． C． D． 15.（2023·河北对口升学）求值:_______. 16.（2025·河北对口升学样卷）计算：______． 17．已知，则点在第 象限. 18．已知是方程的两根，则 ． 19.已知集合，且， 则 . 20.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且， （1）求点的坐标； （2）求和的值. 21.在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，角终边在第二象限且过点，若,求： （1） （2）将角的终边绕原点顺时针旋转得到角，求角的余弦值. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知角的终边与单位圆交于点,则的值为（  ） A． B． C． D． 2. 若扇形的面积为，半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A. B. C. D. 3．若是锐角，，则（    ） A． B． C． D． 4．若角的终边经过点，且，则m的值为（  ） A．3 B． C．3或 D．5或 5．若，且为第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 6．设，则（     ） A． B． C． D． 7 已知，则（ ） A. B. C. D. 8.（2024·河北对口升学） “是锐角”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 9.在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（  ） A. B. C. D. 10．沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算（    ）．    A． B． C． D． 二、填空题 11.已知，则____________. 12. （2020·河北对口升学）计算：__________． 13．，，，，那么 . 三、解答题 14.已知在半径为的圆中，弦的长为. （1）求弦所对的圆心角的大小； （2）求圆心角所在的扇形弧长及弧所在的弓形的面积. 15. 已知角的顶点在坐标原点，始边为轴的正半轴，终边经过点求： （1）的值； （2）的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $