第五单元 圆（知识梳理+典型例题+综合训练）六年级数学上册典例专项精讲（苏教版 新教材）

该小学数学“圆”单元复习讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以框架图形式呈现圆的基础特征、扇形、周长、面积及圆环与组合图形等内容，明确圆心、半径、直径等核心要素，梳理周长C=πd=2πr、面积S=πr²等公式，突出半圆周长与面积计算、圆环面积推导等重难点及内在联系。 讲义亮点在于典型例题按12个考点分层设计，如“圆中方和方中圆面积问题”“转化法求组合图形周长”等题型，结合车轮滚动、洒水装置覆盖面积等生活实例，培养几何直观与应用意识。综合训练涵盖选择、作图、解答题，基础题巩固概念，综合题提升思维，助力教师实施分层教学，学生自主复习时可精准突破薄弱点。

第五单元 圆 （知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 1 一、圆的基础特征 2 二、扇形的认识与特征 3 三、圆的周长 3 四、圆的面积 4 五、圆环与组合图形 4 典型例题 4 【考点一】圆的概念及特点 4 【考点二】画圆 6 【考点三】与圆相关的轴对称图形 7 【考点四】扇形的认识 9 【考点五】圆的周长图形计算 10 【考点六】圆的周长的应用 11 【考点七】圆的面积图形计算 12 【考点八】圆环的面积图形计算 13 【考点九】圆的面积的应用 15 【考点十】最大面积问题 16 【考点十一】圆中方和方中圆的面积问题 17 【考点十二】转化法求含圆的组合图形的周长或面积 19 综合训练 20 一、圆的基础特征 1、核心定义‌：圆是由封闭曲线围成的平面图形，外形易滚动，是生活中最常见的曲线图形。 2、三大基础要素‌ 圆心O：圆中心的点，将圆形纸片对折两次，折痕的交点就是圆心，‌圆心确定圆的位置‌。 半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段，圆规两脚间的距离就是半径，‌半径确定圆的大小‌。同圆/等圆内有无数条半径，所有半径长度完全相等。 直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段，是圆内最长的线段。同圆/等圆内有无数条直径，所有直径长度完全相等。 3、核心等量关系‌：同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即‌d=2r‌，反过来半径是直径的一半，即‌r=d÷2‌。 4、特殊圆分类‌：半径相等的圆叫等圆，平移后能完全重合；圆心重合、半径不等的圆叫同心圆。 5、轴对称属性‌：圆是轴对称图形，有‌无数条对称轴‌，所有对称轴都是直径所在的直线。半圆、扇形只有1条对称轴，圆环同样有无数条对称轴。 6、标准画圆步骤‌：定半径（调整圆规两脚距离为指定半径）→ 定圆心 → 旋转一周画出完整圆。 二、扇形的认识与特征 1、扇形定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分。 2、各部分名称：扇形的曲线部分叫做弧；两条半径的夹角叫做圆心角，圆心角决定扇形的大小。 3、大小规律：在同一个圆中，圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 4、特殊扇形：圆心角是90°的扇形是四分之一圆，圆心角是180°的扇形是半圆，半圆也是特殊的扇形。 5、轴对称特征：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴。 三、圆的周长 1、基础定义‌：围成圆的曲线的总长度就是圆的周长，用字母C表示。 2、圆周率π‌：圆的周长和直径的比值是固定的无限不循环小数，叫做圆周率，即π=C÷d，日常计算取近似值‌3.14‌。 3、周长核心公式‌：已知直径求周长：‌C=πd‌；已知半径求周长：‌C=2πr‌。 4、周长变化规律‌：半径扩大多少倍，直径、周长就同步扩大相同倍数，三者扩大倍数完全一致。 5、半圆周长特殊计算‌：绝对不能直接用圆周长除以2，必须额外加上一条直径的长度，公式为‌C半圆=πr+d‌。 6、生活应用场景‌：车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长，行驶速度=车轮周长×单位时间转数。 四、圆的面积 1、面积推导逻辑‌：把圆沿直径等分成若干个小扇形，剪开后拼成长方形，分的份数越多，拼成的图形越接近标准长方形。其中长方形的宽=圆的半径r，长方形的长=圆周长的一半πr。 2、面积核心公式‌：由长方形面积=长×宽，推导得圆的面积‌S=πr²‌。 3、面积变化规律‌：半径扩大a倍，圆的面积就扩大a的平方倍，和半径的平方成正比。 4、半圆面积计算‌：直接用整圆面积除以2即可，公式为‌S半圆=πr²÷2‌。 5、方中圆/圆中方特殊模型‌ 正方形里最大的圆：圆的直径等于正方形边长，圆的面积占正方形面积的78.5%。 长方形里最大的圆：圆的直径等于长方形的宽。 圆中方：圆内最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，正方形面积=2r²。 五、圆环与组合图形 1、圆环定义‌：两个同心圆之间的部分就是圆环，外圆半径用R表示，内圆半径用r表示，环宽=R-r。 2、圆环面积公式‌：‌S圆环=πR²-πr²=π(R²-r²)‌。 【考点一】圆的概念及特点 【典型例题1】图中，直线a平行于线段d，且线段d是圆的直径，那么平行线之间的距离（    ）圆的半径。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【典型例题2】在一张长8分米，宽3分米的长方形纸上剪最大的圆，最多可以剪（    ）个这样的圆。 A．3 B．2 C．1 D．0 【典型例题3】小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 【典型例题4】下图是由5个完全相同的半圆组合而成，半圆的半径是（ ）厘米。 【考点二】画圆 【典型例题1】按要求作图。 在图中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 【典型例题2】画圆。在正方形内部画一个最大的圆；在正方形外部画一个圆，使正方形的四个顶点都在圆上。 【典型例题3】在方格内完成作图。 （1）在方格中画一个周长是24厘米的长方形，且长与宽的比是2∶1。 （2）再在长方形内画一个最大的圆。 【典型例题4】请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 【考点三】与圆相关的轴对称图形 【典型例题1】绘画兴趣小组设计了一系列有创意的图形，其中（    ）的对称轴最多。 A．B． C． D． 【典型例题2】判断下列图形有几条对称轴。 （ ）条   （ ）条   （ ）条   （ ）条 【典型例题3】下面这些图案是怎样形成的？ 图1         图2 （1）图1是由（ ）个小圆和（ ）个大圆组成的。 （2）图2是由（ ）个半圆和（ ）个圆组成的。 【典型例题4】请在图2中画出图1的图案。 【考点四】扇形的认识 【典型例题1】若圆心角，下面（    ）图表示圆心角为。 A． B． C． D． 【典型例题2】下面图形中，图（    ）中的角是圆心角。 A． B． C． D． 【典型例题3】把一个圆按3∶2∶1分成3个大小不等的小扇形，最小的扇形的圆心角是（ ），最大扇形弧长与次大扇形弧长比是（ ）。 【典型例题4】下列图形的阴影部分是扇形的画“√”，不是扇形的画“×”。 （ ）  （ ）  （ ）  （ ） 【考点五】圆的周长图形计算 【典型例题1】求出下面图形的周长。   【典型例题2】求阴影部分的周长。 【典型例题3】计算下面图形涂色部分的周长。 【典型例题4】求出如图阴影部分的周长。（单位：cm） 【考点六】圆的周长的应用 【典型例题1】赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【典型例题2】华华参加夏令营时看到一棵古树，同学们用一根30米长的绳子缠绕在古树的树干上，绕了4圈后还余下4.88米。这棵古树树干的直径是多少米？ 【典型例题3】运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 【典型例题4】淘气去乘坐游乐场的摩天轮，这个摩天轮的半径为55米，淘气坐在摩天轮上转动一周，大约转过多少米？如果摩天轮上大约每7.2米安装一个透明座舱，那么大约可以安装多少个透明座舱？ 【考点七】圆的面积图形计算 【典型例题1】看图计算。 求阴影部分的面积。 【典型例题2】计算下图阴影部分的面积。 【典型例题3】求阴影部分的面积。 【典型例题4】求如图中阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 【考点八】圆环的面积图形计算 【典型例题1】求阴影部分的面积。 【典型例题2】计算如图中阴影部分的面积。 【典型例题3】求下面图形的面积。 如图中大圆半径为R，小圆半径为r，阴影部分面积是30平方厘米，求图中环形的面积。 【典型例题4】计算如图所示图形阴影部分面积。 【考点九】圆的面积的应用 【典型例题1】公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【典型例题2】如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【典型例题3】为了提高教室空间的利用率，刘老师购置了一款五层角柜，正好摆在墙角处（如图）。这款角柜可以放置物品的面积是多少平方米？ 【典型例题4】数学迷拿了张披萨券到披萨店去换一个直径8寸（1寸≈2.5厘米）的披萨，可是老板却说8寸的披萨已经卖完了，给他换两个4寸的。你认为这样换公平吗？请用你喜欢的方式来说明。 【考点十】最大面积问题 【典型例题1】用一张长100cm、宽20cm的长方形纸剪出最大的圆，最多可以剪出（    ）个这样的圆。 A．5 B．6 C．7 D．8 【典型例题2】草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 【典型例题3】两根铁丝都长6.28米，用它们分别围成一个正方形和一个圆，（ ）形的面积大，比另一个大（ ）平方米。 【典型例题4】在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【考点十一】圆中方和方中圆的面积问题 【典型例题1】在一个圆的内接正方形中（如图），涂色三角形的面积是108平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．432π B．216π C．108π D．无法计算 【典型例题2】从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 【典型例题3】一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了（ ）cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是（ ）。 【典型例题4】一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） （1）圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ （2）如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ 【考点十二】转化法求含圆的组合图形的周长或面积 【典型例题1】博物馆外宏伟的巨型钟表分针长4米。研学小组参观了45分钟，这段时间分针扫过的面积为（    ）平方米。 A．50.24 B．12.56 C．37.68 D．25.12 【典型例题2】一只大钟的时针长2分米，分针长3分米，经过3小时后，这根分针的尖端所走的路程是（ ）分米，时针扫过的面积是（ ）平方分米。 【典型例题3】如图，某品牌的商标是由3个相同的圆拼成的，总面积是9.42平方厘米。现在要在它的周围镶上灯带，灯带长多少厘米？ 【典型例题4】下图是汽车挡风玻璃上的雨刷装置。若雨刷左右摇摆最大角度是150°，雨刷长30厘米，那么雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是多少？ 一、选择题 1．下面三个正方形的边长相等，下列关于这三个图形空白部分的说法正确的是（    ）。 A．面积相等，周长也相等 B．面积相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等 D．面积不相等，周长也不相等 2．聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约（    ）米。 A． B． C．55 D．110 3．一个半圆，它的半径是r，这个半圆的周长是多少？（    ） A．2πr B．πr C．（2＋π）r D．πr＋r 4．下列图形中空白部分和涂色部分的周长相等，面积不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 5．两个圆的半径的比是4∶3，其周长的比是（    ）。 A．4∶3 B．16∶9 C．3∶4 D．8∶6 6．如图，三个圆的周长都是12.56厘米，则阴影部分的总面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．37.68 7．如图，在长方形ABCD中，甲、乙两圆面积相等，则丙圆与乙圆的面积比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶4 C．1∶8 D．4∶1 8．圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 9．剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．等腰直角三角形 B．半圆 C．长方形 D．正六边形 二、填空题 10．把圆形纸片沿半径剪成若干等份，拼成一个近似的长方形（如下图）：如果拼成的长方形的周长增加了10厘米，原来这个圆的面积是（ ）平方厘米；如果拼成长方形的长是12.56厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 11．一个5G基站的覆盖范围近似于一个圆形，覆盖半径为0.5千米，其覆盖面的周长为（ ）千米，面积为（ ）平方千米。 12．一个半圆的周长比与它半径相等的整圆周长的一半多6cm，半圆的周长是（ ）cm，整圆的面积是（ ）cm2。 13．大圆的半径是8cm，小圆的直径是6cm，则大圆与小圆的周长比是（ ）∶（ ），小圆与大圆的面积比是（ ）∶（ ）。 14．中国扇子已成为东方美学的独特缩影。非遗手工课上，安安准备制作一把纱面圆形团扇，扇面的半径为10厘米，至少需要（ ）厘米的竹条做圆形扇框，需要（ ）平方厘米的纱做扇面。 15．如图所示，一辆玩具坦克车由一根履带围着4个半径1cm的轮子前进。这辆玩具车的履带长度是（ ）cm。 16．如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 17．下图有（ ）条对称轴；画一条直线把下图分成面积相等的两部分，有（ ）种画法。 18．如图，直角三角形ABC先绕顶点C顺时针旋转到位置②，此时BC边旋转了（ ）°；再如图示方式转动到位置③，点B第二次旋转所经过的路线长是（ ）厘米。 三、计算题 19．求阴影部分的面积。 20．求下面图形中涂色部分的周长。 四、作图题 21．在下面长方形中画一个最大的半圆，再算出半圆的周长和面积。（得数保留两位小数） 五、解答题 22．生活应用：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 23．一辆汽车轮胎的外直径是80厘米，如果车轮每分钟转200圈，4分钟后，汽车能行驶多少千米？（得数保留整数） 24．在河南洛阳洛浦公园内有一个以洛神为主题的公园——洛神公园。公园内有一个直径40m的圆形广场。如图，要在这个广场两侧等长的圆弧上，每隔4m栽一棵树（圆弧两头都栽），广场的上下方共有45.6m的边缘不用栽树，一共要栽多少棵树？ 25．小区物业要建设一个三角形花坛，如图。以花坛的三个顶点为圆心，各画一个半径为2米的圆，圆与花坛重合的部分（图中浅色阴影部分）用来种植月季花，外侧扇形区域（图中深色阴影部分）用来种植草坪。月季花和草坪的面积分别是多少平方米？ 26．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 27．一个工程队派8名工人给学校操场铺设草皮（如图），工作了2天铺设了整个操场面积的，还剩多少平方米没有铺设？ 28．在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 29．为迎接第十五届全国运动会，组委会计划对广州南沙全民文化体育综合体的一个圆形广场进行改造。 （1）该圆形广场的直径是28米。这个广场的占地面积是多少平方米？ （2）给这个圆形广场铺设地砖，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要8天。两队合作，需要多少天可以完成？ 30．公园里有一种“围树座椅”（如图1），可以供游客休息。 （1）这个“围树座椅”椅面的形状如图2，它的面积是多少平方米？ （2）沿着座椅的外沿，每隔1.57米安装一盏地灯，一共要安装多少盏？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 圆 （知识梳理+典型例题+综合训练） 目录 知识梳理 1 一、圆的基础特征 1 二、扇形的认识与特征 2 三、圆的周长 3 四、圆的面积 3 五、圆环与组合图形 4 典型例题 4 【考点一】圆的概念及特点 4 【考点二】画圆 7 【考点三】与圆相关的轴对称图形 10 【考点四】扇形的认识 12 【考点五】圆的周长图形计算 14 【考点六】圆的周长的应用 17 【考点七】圆的面积图形计算 19 【考点八】圆环的面积图形计算 22 【考点九】圆的面积的应用 25 【考点十】最大面积问题 29 【考点十一】圆中方和方中圆的面积问题 31 【考点十二】转化法求含圆的组合图形的周长或面积 34 综合训练 38 一、圆的基础特征 1、核心定义‌：圆是由封闭曲线围成的平面图形，外形易滚动，是生活中最常见的曲线图形。 2、三大基础要素‌ 圆心O：圆中心的点，将圆形纸片对折两次，折痕的交点就是圆心，‌圆心确定圆的位置‌。 半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段，圆规两脚间的距离就是半径，‌半径确定圆的大小‌。同圆/等圆内有无数条半径，所有半径长度完全相等。 直径d：通过圆心且两端都在圆上的线段，是圆内最长的线段。同圆/等圆内有无数条直径，所有直径长度完全相等。 3、核心等量关系‌：同圆或等圆中，直径是半径的2倍，即‌d=2r‌，反过来半径是直径的一半，即‌r=d÷2‌。 4、特殊圆分类‌：半径相等的圆叫等圆，平移后能完全重合；圆心重合、半径不等的圆叫同心圆。 5、轴对称属性‌：圆是轴对称图形，有‌无数条对称轴‌，所有对称轴都是直径所在的直线。半圆、扇形只有1条对称轴，圆环同样有无数条对称轴。 6、标准画圆步骤‌：定半径（调整圆规两脚距离为指定半径）→ 定圆心 → 旋转一周画出完整圆。 二、扇形的认识与特征 1、扇形定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形，扇形是圆的一部分。 2、各部分名称：扇形的曲线部分叫做弧；两条半径的夹角叫做圆心角，圆心角决定扇形的大小。 3、大小规律：在同一个圆中，圆心角越大，扇形越大；圆心角越小，扇形越小。 4、特殊扇形：圆心角是90°的扇形是四分之一圆，圆心角是180°的扇形是半圆，半圆也是特殊的扇形。 5、轴对称特征：扇形是轴对称图形，只有1条对称轴。 三、圆的周长 1、基础定义‌：围成圆的曲线的总长度就是圆的周长，用字母C表示。 2、圆周率π‌：圆的周长和直径的比值是固定的无限不循环小数，叫做圆周率，即π=C÷d，日常计算取近似值‌3.14‌。 3、周长核心公式‌：已知直径求周长：‌C=πd‌；已知半径求周长：‌C=2πr‌。 4、周长变化规律‌：半径扩大多少倍，直径、周长就同步扩大相同倍数，三者扩大倍数完全一致。 5、半圆周长特殊计算‌：绝对不能直接用圆周长除以2，必须额外加上一条直径的长度，公式为‌C半圆=πr+d‌。 6、生活应用场景‌：车轮滚动一周前进的路程就是车轮的周长，行驶速度=车轮周长×单位时间转数。 四、圆的面积 1、面积推导逻辑‌：把圆沿直径等分成若干个小扇形，剪开后拼成长方形，分的份数越多，拼成的图形越接近标准长方形。其中长方形的宽=圆的半径r，长方形的长=圆周长的一半πr。 2、面积核心公式‌：由长方形面积=长×宽，推导得圆的面积‌S=πr²‌。 3、面积变化规律‌：半径扩大a倍，圆的面积就扩大a的平方倍，和半径的平方成正比。 4、半圆面积计算‌：直接用整圆面积除以2即可，公式为‌S半圆=πr²÷2‌。 5、方中圆/圆中方特殊模型‌ 正方形里最大的圆：圆的直径等于正方形边长，圆的面积占正方形面积的78.5%。 长方形里最大的圆：圆的直径等于长方形的宽。 圆中方：圆内最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，正方形面积=2r²。 五、圆环与组合图形 1、圆环定义‌：两个同心圆之间的部分就是圆环，外圆半径用R表示，内圆半径用r表示，环宽=R-r。 2、圆环面积公式‌：‌S圆环=πR²-πr²=π(R²-r²)‌。 【考点一】圆的概念及特点 【典型例题1】图中，直线a平行于线段d，且线段d是圆的直径，那么平行线之间的距离（    ）圆的半径。 A．大于 B．小于 C．等于 D．无法判断 【答案】B 【分析】平行线的特征：两直线互相平行时，从一条直线上任意一点向另一条直线作垂线，所得的平行线间的垂直线段的长度，叫做平行线间的距离；平行线之间的距离处处相等； 从圆心出发到圆上任意一点的距离是圆的半径，可以从圆心O出发作直线a的垂线，然后进行分析。 【解答】如图： 观察发现从圆心O出发的垂线，未连接到圆上任意一点，且离圆上还有些距离，则平行线之间的距离小于圆的半径。 【典型例题2】在一张长8分米，宽3分米的长方形纸上剪最大的圆，最多可以剪（    ）个这样的圆。 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】长方形内剪最大的圆，圆的直径等于长方形较短的边。先确定圆的直径，再用长方形的长÷圆的直径，求出可剪出圆的数量。 【解答】长方形宽为3分米，所以剪出最大圆的直径是3分米。 8÷3＝2……2（分米） 余下的长度不足3分米，无法再剪出一个完整的圆。 结合排列方式，该长方形纸上最多可以剪2个圆。 【典型例题3】小军在整理玩具时，找到了一个直角三角形塑料板和一个中间有圆孔的长方形塑料板（如图）。若他想把直角三角形塑料板从长方形塑料板的圆孔中穿过去，则圆孔的直径至少为（ ）厘米。 【答案】2.4/ 【分析】只要直角三角形最短的高比空心圆孔的直径小，那么直角三角形塑料片就能从空心圆孔中穿过去。最短的高是斜边上的高，可以通过两条直角边的长算出三角形的面积，再求出斜边上的高，即可得到答案。 【解答】直角三角形的面积为4×3÷2＝6（平方厘米） 由三角形的面积求斜边上的高，高＝三角形的面积×2÷底 6×2÷5＝12÷5＝2.4（厘米） 圆孔直径至少等于三角形最短的高2.4厘米。 【典型例题4】下图是由5个完全相同的半圆组合而成，半圆的半径是（ ）厘米。 【答案】16 【分析】根据图示，3条直径的长度加上（8＋8）等于2条直径的长度加上（18＋12＋18）。把直径设为厘米，列方程求解，再除以2算出半径。 【解答】解：设半圆直径的长度是厘米。 半径：32÷2＝16（厘米） 半圆的半径是16厘米。 【考点二】画圆 【典型例题1】按要求作图。 在图中，以点O为圆心，画一个半径是2厘米的圆。 【答案】 【分析】每个小方格边长表示1厘米，所以从圆心O点开始，沿水平或竖直方向数2个小方格的长度。将圆规两脚的长度取为确定好的半径长度（2格），一脚固定在圆心O点，另一脚绕圆心旋转一周画出圆。 【解答】略 【典型例题2】画圆。在正方形内部画一个最大的圆；在正方形外部画一个圆，使正方形的四个顶点都在圆上。 【答案】 【分析】找圆心：连接正方形的两条对角线，对角线的交点就是两个圆共同的圆心。画正方形内部最大的圆：以对角线交点为圆心，正方形边长的一半为半径画圆，得到的就是正方形内部最大的圆；在正方形外部画一个圆：还是以对角线交点为圆心，正方形对角线长度的一半为半径画圆，此时正方形四个顶点都刚好在这个圆上，满足要求。 【解答】略 【典型例题3】在方格内完成作图。 （1）在方格中画一个周长是24厘米的长方形，且长与宽的比是2∶1。 （2）再在长方形内画一个最大的圆。 【答案】见详解 【分析】（1）已知周长为24厘米，根据长方形周长公式：周长＝ （长＋宽）×2，求出长与宽的和：24÷2＝12厘米。已知长与宽的比是2∶1，把长和宽的和（12厘米）平均分成2＋1＝3份，长占2份，宽占1份。用长与宽的和除以总份数，求出1份的长度：12÷3＝4厘米；再分别求长和宽：长＝4×2＝8厘米，宽＝4×1＝4厘米。在方格纸中，以方格边长为1厘米为标准，数出8格作为长、4格作为宽，画出长方形即可。 （2）长方形内画最大的圆，圆的直径不能超过长方形的长和宽，否则圆会超出长方形边界。因为长方形的宽（4厘米）小于长（8厘米），所以圆的直径最大只能等于长方形的宽，即4厘米，对应半径为2厘米（2格）。为了让圆在长方形内居中且最大，以对角线交点为圆心，以2格（2厘米）为半径，用圆规画圆，即可得到长方形内最大的圆。 【解答】根据分析，画图如下： 【典型例题4】请在下面的方格图中，确定一个点为圆心画一个圆，使A、B、C点都在圆上。 【答案】 【分析】由圆的特征可知，圆心到圆上任意一点的距离都相等，即半径相等，A、B、C点都在圆上，连接AC，则AC的中点O就是圆心，最后以点O为圆心，OA的长度为半径画圆即可。 【解答】略 【考点三】与圆相关的轴对称图形 【典型例题1】绘画兴趣小组设计了一系列有创意的图形，其中（    ）的对称轴最多。 A．B． C． D． 【答案】D 【分析】将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线就是它的对称轴，根据对称轴定义找出各图形对称轴的数量。 【解答】 A．该图形有2条对称轴； B．该图形有5条对称轴； C．该图形有6条对称轴； D．该图形有无数条对称轴。 由上可知，的对称轴最多。 【典型例题2】判断下列图形有几条对称轴。 （ ）条   （ ）条   （ ）条   （ ）条 【答案】2 3 2 4 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 【解答】 【典型例题3】下面这些图案是怎样形成的？ 图1         图2 （1）图1是由（ ）个小圆和（ ）个大圆组成的。 （2）图2是由（ ）个半圆和（ ）个圆组成的。 【答案】（1）8 1 （2）4 1 【分析】仔细观察，发现第一幅图案外面是一个大圆，里面是8个完全一样的小圆。第二幅图案外面是一个大圆，里面是4个完全一样的半圆。 【解答】（1）图1是由8个小圆和1个大圆组成的。 （2）图2是由4个半圆和1个圆组成的。 【典型例题4】请在图2中画出图1的图案。 【答案】见详解 【分析】观察图形可知，图案在一个边长为3的正方形内，分别以正方形的四个顶点为圆的圆心，以正方形的边长为圆的半径，画出4个圆的弧长即可。 【解答】如图： 【考点四】扇形的认识 【典型例题1】若圆心角，下面（    ）图表示圆心角为。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】顶点在圆心上，且角的两边是圆的半径，这样的角叫做圆心角；已知，那么可以计算的度数，根据这个度数判断即可。 【解答】2∠1＝2×65°＝130° A．角顶点在圆周，不是圆心，排除； B．是圆心角，但角度约为，不符合要求，排除； C．角顶点不在圆心，不符合定义，排除 D．顶点在圆心的圆心角，角度约为，符合要求。 【典型例题2】下面图形中，图（    ）中的角是圆心角。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】顶点在圆心的角叫圆心角。据此判断。 【解答】A．图中角的顶点不在圆心上，不是圆心角； B．图中角的顶点在圆心上，是圆心角； C．图中角的顶点不在圆心上，不是圆心角； D．图中角的顶点不在圆心上，不是圆心角。 所以图中的角是圆心角。 【典型例题3】把一个圆按3∶2∶1分成3个大小不等的小扇形，最小的扇形的圆心角是（ ），最大扇形弧长与次大扇形弧长比是（ ）。 【答案】60°/60度 3∶2 【分析】圆的圆心角为360°，根据各扇形圆心角的比例关系，求出最小扇形的圆心角； 在同圆中，弧长比等于扇形大小比。 【解答】（1）已知圆按3∶2∶1分成3个大小不等的小扇形，那么这三个扇形圆心角的比也为3∶2∶1；因为圆的圆心角为360°，所以最小扇形的圆心角占圆的圆心角比例为＝，则最小扇形的圆心角为360°×＝60°，最小的扇形的圆心角是60°。 （2） 在同圆中，弧长比等于扇形大小比。最大扇形占3份，次大扇形占2份。比为 3∶2。 【典型例题4】下列图形的阴影部分是扇形的画“√”，不是扇形的画“×”。 （ ）  （ ）  （ ）  （ ） 【答案】 × √ √ × 【分析】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形就是扇形，据此分析。 【解答】 【考点五】圆的周长图形计算 【典型例题1】求出下面图形的周长。   【答案】17.99分米 【分析】半圆的周长＝÷2＋r×2（取3.14，r是半径）。 【解答】2×3.14×3.5÷2＋3.5×2 ＝6.28×3.5÷2＋7 ＝21.98÷2＋7 ＝10.99＋7 ＝17.99（分米） 【典型例题2】求阴影部分的周长。 【答案】20.56厘米 【分析】根据题意，阴影部分的周长可以看成是直径为4厘米的一个圆的周长加上两个4厘米组成的。根据圆的周长C＝πd，计算出圆的周长，再加上2个4厘米即可。 【解答】3.14×4＋2×4 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 所以，阴影部分的周长是20.56厘米。 【典型例题3】计算下面图形涂色部分的周长。 【答案】51.4cm 【分析】由图可知，2个空白部分可以合成一个半圆，半圆的直径相当于长方形的长（20cm），2条圆弧即为圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，再加上长方形的长即可求出涂色部分的周长。 【解答】3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 31.4＋20＝51.4（cm） 所以涂色部分的周长是51.4cm。 【典型例题4】求出如图阴影部分的周长。（单位：cm） 【答案】37.68cm 【分析】通过观察图形可知，这道题的阴影部分可以通过拼接的方式计算周长。通过拼接，阴影部分的周长等于直径是4cm的圆的周长与半径是4cm的圆的周长的和，利用圆的周长公式和，把数据代入公式计算，据此解答。 【解答】根据分析： 直径是4cm的圆的周长： 半径是4cm的圆的周长： 阴影部分的周长： 所以阴影部分的周长是37.68cm。 【考点六】圆的周长的应用 【典型例题1】赵阿姨响应“低碳生活、绿色出行”的号召，她每天骑自行车上班。自行车轮胎的外直径是70cm，平均每分钟转100周。赵阿姨骑自行车通过一座长659.4m的桥，需要多少分钟？ 【答案】3分钟 【分析】利用“”算出车轮转一周走过的距离，然后乘100得1分钟前进的距离，最后用桥长除以每分钟前进的距离可算得需要的时间。 【解答】70cm＝0.7m （分钟） 答：需要3分钟。 【典型例题2】华华参加夏令营时看到一棵古树，同学们用一根30米长的绳子缠绕在古树的树干上，绕了4圈后还余下4.88米。这棵古树树干的直径是多少米？ 【答案】2米 【分析】根据题意，绳子的总长度减去剩余的长度，即为缠绕树干4圈所用的长度；用缠绕4圈的总长度除以4，可得树干一圈的长度（即树干的周长）；最后根据圆的周长＝（取3.14，d是直径），用周长除以圆周率即可求出树干的直径。 【解答】30－4.88＝25.12（米） 25.12÷4＝6.28（米） 6.28÷3.14＝2（米） 答：这棵古树树干的直径是2米。 【典型例题3】运河湾公园，有一个圆形的露天广场，半径是9米，在它的周围建成一条1米宽的环形石子小路。若沿着环形石子小路的外边缘每隔0.4米装一盏地灯，一共要装多少盏地灯？ 【答案】157盏 【分析】地灯安装的位置是环形小路的外边缘，广场半径加上小路宽度即为外圆的半径；然后根据圆的周长公式求出外边缘的总长度；封闭线路，灯的盏数等于间隔数，用总周长除以间隔距离即可求出地灯的数量。 【解答】 （盏） 答：一共要装157盏地灯。 【典型例题4】淘气去乘坐游乐场的摩天轮，这个摩天轮的半径为55米，淘气坐在摩天轮上转动一周，大约转过多少米？如果摩天轮上大约每7.2米安装一个透明座舱，那么大约可以安装多少个透明座舱？ 【答案】345.4米；48个 【分析】摩天轮的运动轨迹是圆形，淘气坐摩天轮转一周的路程就是这个圆的周长，根据圆的周长公式C＝2πr（π取3.14），代入半径55米，求出周长。因为摩天轮是封闭的圆形，装挂座舱的数量用总周长除以每个座舱的间隔距离，得到的结果取整数。 【解答】2×3.14×55 ＝6.28×55 ＝345.4（米） 345.4÷7.2≈48（个） 答：转动一周大约转过345.4米；大约可以安装48个透明座舱。 【考点七】圆的面积图形计算 【典型例题1】看图计算。 求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】首先计算圆心角90°的扇形面积，它是整个圆面积的，用圆面积公式计算整个圆面积；再计算扇形内部的直角三角形面积，因为该三角形两条直角边均等于圆的半径，所以用直角三角形面积公式计算；最后将扇形面积减去直角三角形面积，得到阴影部分的面积。 【解答】观察图形可知，阴影部分面积＝四分之一圆的面积－等腰直角三角形的面积 四分之一圆的面积： ＝0.785×16 ＝12.56（） 等腰直角三角形的面积： ＝2×4 ＝8（） 阴影面积：） 【典型例题2】计算下图阴影部分的面积。 【答案】23.25平方厘米 【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于梯形的面积减去直径为10cm的圆的面积的一半，梯形的高相当于圆的半径。先根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，求出梯形面积，再根据圆的面积公式S＝πr2，求出半圆的面积，然后相减即可。 【解答】（10＋15）×（10÷2）÷2－3.14×（10÷2）2÷2 ＝25×5÷2－3.14×52÷2 ＝125÷2－3.14×25÷2 ＝62.5－78.5÷2 ＝62.5－39.25 ＝23.25（平方厘米） 【典型例题3】求阴影部分的面积。 【答案】13.76cm2 【分析】阴影部分的面积等于边长是8cm的正方形的面积减去直径是8cm的圆的面积，代入数据即可求解。 【解答】根据分析： 8×8－3.14× ＝64－3.14× ＝64－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（） 【典型例题4】求如图中阴影部分的面积。（单位：厘米，π取3.14） 【答案】4.86平方厘米 【分析】观察图形可得：阴影部分的面积＝上底为2厘米、下底为3厘米、高为（2＋3）厘米的梯形的面积－半径为2厘米的圆的面积－底为3厘米、高为3厘米的等腰直角三角形的面积，然后再根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，三角形的面积公式S＝ah÷2进行解答。 【解答】（2＋3）×（2＋3）÷2－×3.14×22－3×3÷2 ＝5×5÷2－×3.14×4－9÷2 ＝5×5÷2－3.14－4.5 ＝12.5－3.14－4.5 ＝9.36－4.5 ＝4.86（平方厘米） 【考点八】圆环的面积图形计算 【典型例题1】求阴影部分的面积。 【答案】31.4 【分析】先求出大半圆和小半圆的半径，再根据圆环面积公式：求出圆环面积，最后求出阴影部分（半圆环）的面积。 【解答】小圆半径：8÷2＝4（cm） 大圆半径：4＋2＝6（cm） ＝3.14×（36－16） ＝3.14×20 ＝62.8（） 62.8÷2＝31.4（） 【典型例题2】计算如图中阴影部分的面积。 【答案】100.48平方厘米 【分析】圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积即可得，公式：S＝πππ（），代入公式计算即可。 【解答】3.14×（12÷2）2－3.14×（4÷2）2 ＝3.14×62－3.14×22 ＝3.14×36－3.14×4 ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100.48平方厘米。 【典型例题3】求下面图形的面积。 如图中大圆半径为R，小圆半径为r，阴影部分面积是30平方厘米，求图中环形的面积。 【答案】94.2平方厘米 【分析】观察图形得出大正方形边长等于大圆半径R，小正方形边长等于小圆半径r，阴影面积为大正方形减小正方形，得到R2－r2；圆环面积等于大圆面积减小圆面积为π（R2－r2），将30整体代入式子直接算出圆环面积，无需分别求R、r的值。 【解答】R×R＝R2 r×r＝r2 R2－r2＝30（平方厘米） πR2－πr2＝π（R2－r2） ＝3.14×30 ＝94.2（平方厘米） 【典型例题4】计算如图所示图形阴影部分面积。 【答案】31.4cm2 【分析】观察图形可知，阴影部分是两个圆环可以组成一个半圆环；则阴影部分的面积等于半圆环的面积，根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【解答】4＋2＝6（cm） 3.14×（62－42）÷2 ＝3.14×（36－16）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝31.4（cm2） 阴影部分面积是31.4cm2。 【考点九】圆的面积的应用 【典型例题1】公园有一个圆形花坛，沿着花坛走一圈是62.8米。现在要在花坛周围铺一条宽1米的环形石子路，这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】65.94平方米 【分析】根据圆的周长公式，可推出r＝C÷π÷2，用内圆半径加上路宽得到外圆半径，用圆环面积公式，即可求出石子路的面积。 【解答】 （米） （米） （平方米） 答：这条石子路的面积是65.94平方米。 【典型例题2】如图是一把半圆形真丝折扇。做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】求半圆环的面积，涂色部分是半径为3分米的大半圆减去半径为3－2＝1分米的小半圆的部分，利用半圆面积公式S＝πr2，π取3.14，用大半圆面积减去小半圆面积，即可求出需要的真丝面料面积。 【解答】3－2＝1（分米） ×3.14×32－×3.14×12 ＝×3.14×9－×3.14×1 ＝×3.14×（9－1） ＝×3.14×8 ＝12.56（平方分米） 答：做这样的一把折扇扇面至少需要真丝面料（涂色部分）12.56平方分米。 【典型例题3】为了提高教室空间的利用率，刘老师购置了一款五层角柜，正好摆在墙角处（如图）。这款角柜可以放置物品的面积是多少平方米？ 【答案】0.628平方米 【分析】根据图可知，一层面积是一个半径是40厘米的圆的面积的，根据圆的面积＝πr2，代入数据，求出一层面积，一共是5层，再乘5，即可解答，注意单位换算。 【解答】3.14×402××5 ＝3.14×1600××5 ＝5024××5 ＝1256×5 ＝6280（平方厘米） 6280平方厘米＝0.628平方米 答：这款角柜可以放置物品的面积是0.628平方米。 【典型例题4】数学迷拿了张披萨券到披萨店去换一个直径8寸（1寸≈2.5厘米）的披萨，可是老板却说8寸的披萨已经卖完了，给他换两个4寸的。你认为这样换公平吗？请用你喜欢的方式来说明。 【答案】不公平；因为两个4寸披萨的面积比一个8寸披萨的面积小 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式求出一个8寸披萨的面积与两个4寸披萨的面积，进行比较即可。 【解答】8×2.5＝20（厘米） 4×2.5＝10（厘米） ＝3.14× ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） ＝3.14××2 ＝3.14×25×2 ＝78.5×2 ＝157（平方厘米） 157＜314 两个4寸披萨的面积比一个8寸披萨的面积小。 答：这样换不公平。 【考点十】最大面积问题 【典型例题1】用一张长100cm、宽20cm的长方形纸剪出最大的圆，最多可以剪出（    ）个这样的圆。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】从长方形中剪出最大的一个圆，圆的直径和长方形的宽相等，长方形的宽是20cm，所以圆的直径也是20cm，只需算出长里面有几个20cm即可，求100里面有几个20用除法，据此解答即可。 【解答】（个） 所以最多可以剪出5个这样的圆. 故答案为：A 【典型例题2】草坪中央有一个360°自动旋转洒水装置，它洒水的最大射程是6米。这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是（ ）平方米。（得数保留整数） 【答案】113 【分析】由题意可知：喷洒的最大面积等于半径是6米的圆的面积，将数据代入圆的面积公式：S＝πr2计算即可。 【解答】3.14×62 ＝3.14×36 ≈113（平方米） 这个自动洒水装置能喷洒的最大面积是113平方米。 【典型例题3】两根铁丝都长6.28米，用它们分别围成一个正方形和一个圆，（ ）形的面积大，比另一个大（ ）平方米。 【答案】圆 0.6751 【分析】正方形的边长＝周长÷4＝6.28÷4＝1.57（米），正方形的面积＝边长×边长；圆的半径＝圆的周长÷2÷π，圆的面积＝πr2；分别求出圆和正方形的面积，做对比即可。 【解答】6.28÷4＝1.57（米） 1.57×1.57＝2.4649（平方米） r＝6.28÷2÷3.14＝1（米） 3.14×1×1＝3.14（平方米） 3.14－2.4649＝0.6751（平方米） 【点睛】此题考查圆的周长公式以及面积公式的应用。 【典型例题4】在下面这张长方形纸上画一个最大的圆，再计算如果把这个圆剪下来，剩余纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】20.375平方厘米 【分析】从长方形中剪最大的圆，圆的直径就是长方形的宽。同一圆内，直径是半径的2倍，据此算出半径。剩余部分的面积＝长方形面积－圆的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2，据此列式解答。 【解答】5÷2＝2.5（厘米） 8×5－3.14×2.52 ＝40－3.14×6.25 ＝40－19.625 ＝20.375（平方厘米） 答：剩余纸的面积是20.375平方厘米。 【考点十一】圆中方和方中圆的面积问题 【典型例题1】在一个圆的内接正方形中（如图），涂色三角形的面积是108平方厘米，圆的面积是（    ）平方厘米。 A．432π B．216π C．108π D．无法计算 【答案】B 【分析】由图可知：涂色三角形是一个等腰直角三角形，两条直角边都是半径：r；即涂色三角形的面积，据此计算出的具体数值，再通过圆的面积公式：，代入数据计算即可。 【解答】，则 所以圆的面积：（平方厘米） 【典型例题2】从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）分米，面积是（ ）平方分米。 【答案】37.68 113.04 【分析】根据题意，最大圆的直径等于正方形的边长，圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，由此代入数据即可解答。 【解答】3.14×12＝37.68（分米） 12÷2＝6（分米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 【典型例题3】一个正方形时钟（如下图）边长为20cm，分针长10cm（忽略分针针尖与时钟的接触）。从中午12时整到12时45分，分针针尖走了（ ）cm；如果分针走了一小时，那么时钟未被分针扫到部分的面积是（ ）。 【答案】47.1 86 【分析】分针针尖走过的路程是扇形的弧长，未被扫到的面积是正方形面积减去圆的面积。 从12时整到12时45分，分针走45分钟，转动了圈，对应的弧长是圆周长的。 分针走了一小时走过的面积是一个以分针长度为半径的圆的面积，未被扫到的面积＝正方形面积－圆的面积。 【解答】12时45分－12时＝45（分钟） 2×3.14×10× ＝6.28×10× ＝62.8× ＝47.1（cm） （） 【典型例题4】一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） （1）圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ （2）如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ 【答案】（1）3.14平方米；2平方米 （2）12人 【分析】（1）圆的面积公式：S＝πr2（r是半径），已知直径2米，可以求出半径再代入公式求出面积。正方形对角线即为圆的直径，把正方形看成2个以对角线为底、对角线一半为高的三角形，因此正方形面积为对角线乘一半的对角线除以2再乘2。 （2）圆的周长公式：C＝πd，代入直径求出周长，每人需要0.5米宽的位置，人数＝周长÷每人所需宽度，不够1人坐的位置需舍弃，因此人数需向下取整数。 【解答】（1）半径：2÷2＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） （2×1÷2）×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 答：圆形桌面的面积是3.14平方米，折叠后正方形桌面的面积是2平方米。 （2）3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.5＝12.56（人） 向下取整为12人。 答：这张圆桌大约能坐12人。 【考点十二】转化法求含圆的组合图形的周长或面积 【典型例题1】博物馆外宏伟的巨型钟表分针长4米。研学小组参观了45分钟，这段时间分针扫过的面积为（    ）平方米。 A．50.24 B．12.56 C．37.68 D．25.12 【答案】C 【分析】分针走一圈是60分钟，扫过的图形是一个圆。研学小组参观了45分钟，分针扫过的面积是圆面积的，即。已知分针长4米，即圆的半径为4米，利用圆的面积公式求出整圆面积，再乘即可求出分针扫过的面积。 【解答】 （平方米） 【典型例题2】一只大钟的时针长2分米，分针长3分米，经过3小时后，这根分针的尖端所走的路程是（ ）分米，时针扫过的面积是（ ）平方分米。 【答案】56.52 3.14 【分析】一只大钟的时针长2分米，分针长3分米，经过3小时，分针转了3圈，时针转圈，根据圆的周长公式：C＝2πr，求出半径是3分米的圆的周长再乘3就是这只大钟分针的尖端走过的路程，再根据圆的面积公式：S＝πr2，求出半径是2分米的圆面积的就是时针扫过的面积。 【解答】3.14×（3×2）×3 ＝3.14×6×3 ＝18.84×3 ＝56.52（分米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝3.14（平方分米） 【典型例题3】如图，某品牌的商标是由3个相同的圆拼成的，总面积是9.42平方厘米。现在要在它的周围镶上灯带，灯带长多少厘米？ 【答案】21.42厘米 【分析】先根据3个相同的圆的总面积，先求出单个圆的面积，再将其乘4还原为对应的整圆面积；接着利用圆的面积公式S＝πr2（π取3.14），求出圆的半径。单个圆的外围是由一段圆弧和两条半径组成，其中圆弧的长度可根据圆的周长公式C＝2πr求出的长度，据此求出单个圆的外围周长；最后将单个圆的外围周长乘3，求出整个商标的灯带总长度。 【解答】9.42÷3÷ ＝3.14÷ ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 12.56÷3.14＝4（厘米） 所以半径是2厘米 （3.14×4×＋2＋2）×3 ＝（3.14＋2＋2）×3 ＝7.14×3 ＝21.42（厘米） 答：灯带长21.42厘米。 【典型例题4】下图是汽车挡风玻璃上的雨刷装置。若雨刷左右摇摆最大角度是150°，雨刷长30厘米，那么雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是多少？ 【答案】1962.5平方厘米 【分析】由图可知，雨刷每次扫过的面积是圆环面积（圆环的面积，表示外圆半径即雨刷长度，表示内圆半径即图中空白扇形的半径）的一部分。根据扇形面积公式“（为半径）”可知雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是：。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1962.5（平方厘米） 答：雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是1962.5平方厘米。 一、选择题 1．下面三个正方形的边长相等，下列关于这三个图形空白部分的说法正确的是（    ）。 A．面积相等，周长也相等 B．面积相等，周长不相等 C．面积不相等，周长相等 D．面积不相等，周长也不相等 【答案】B 【分析】根据图可知：第一个图形空白部分周长：圆的周长，空白部分的面积：一个以正方形边长为直径的圆的面积；第二个图形空白部分的周长是圆的周长加上正方形的两条边长，空白部分的面积：两个以正方形边长为直径的半圆的面积，即以正方形边长为直径的圆的面积；第三个图形空白部分的周长是圆的周长加上正方形的四条边长，空白部分的面积：四个以正方形边长为直径的圆的面积，即以正方形边长为直径的圆的面积；据此即可比较。 【解答】由分析可知，这三个图形空白部分的周长不相等，面积相等。 2．聊城摩天轮“水城之眼”的直径为110米，旋转一周约需30分钟。明明坐在观光舱内，经过15分钟，他移动了大约（    ）米。 A． B． C．55 D．110 【答案】A 【分析】先根据圆的直径求出摩天轮旋转一周的路程（即圆的周长），再根据明明乘坐的时间与旋转一周所需时间的关系，求出移动路程占周长的几分之几，最后计算出移动的路程。 【解答】摩天轮的周长＝110×π＝（米） 经过的时间占旋转一周时间的分率为： 因此，明明移动的路程为旋转一周路程的； （米） 因此，他移动了大约55π米。 3．一个半圆，它的半径是r，这个半圆的周长是多少？（    ） A．2πr B．πr C．（2＋π）r D．πr＋r 【答案】C 【分析】半圆的周长等于同半径圆周长的一半加直径。根据圆周长计算公式“C＝2πr”求出同半径圆周长除以2，再加半径的2倍即直径就是这个半圆的周长。 【解答】2πr÷2＋2r ＝πr＋2r ＝（2＋π）r 因此这个半圆的周长是（2＋π）r。 4．下列图形中空白部分和涂色部分的周长相等，面积不相等的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 的空白部分和涂色部分的周长都等于圆周长的加正方形周长的一半。 空白部分＞涂色部分的周长，面积相等。 空白部分的周长等于圆的周长加正方形周长，涂色部分的周长等于圆的周长，空白部分的面积＜涂色部分的面积。 空白部分和涂色部分的周长相等，面积相等。 【解答】A．空白部分和涂色部分的周长相等；空白部分的面积小于涂色部分的面积。该选项符合题意。 B．空白部分的周长＞涂色部分的周长，面积相等。该选项不符合题意。 C．空白部分的周长＞涂色部分的周长，空白部分的面积＜涂色部分的面积。该选项不符合题意。 D．空白部分和涂色部分的周长相等，面积相等。该选项不符合题意。 5．两个圆的半径的比是4∶3，其周长的比是（    ）。 A．4∶3 B．16∶9 C．3∶4 D．8∶6 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式可知两个圆的周长比等于它们的半径比。 【解答】两个圆的半径的比是4∶3，其周长的比也是4∶3。 6．如图，三个圆的周长都是12.56厘米，则阴影部分的总面积是（    ）平方厘米。 A．6.28 B．9.42 C．12.56 D．37.68 【答案】B 【分析】这三个阴影部分是三个小扇形，我们没法求出每一个扇形的圆心角，但可以看出：原四边形由一个三角形和一个直角三角形组成，而这三个圆心角刚好包含这个任意三角形的三个内角＋直角三角形的两个锐角。任意三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角和为90°，这样就可以计算阴影扇形总圆心角。 圆的面积＝，用阴影扇形总圆心角÷360°可以得到阴影部分的面积是圆的几分之几。 【解答】圆心角：180°＋90°＝270° 圆的半径：12.56÷3.14÷2＝2（厘米） 总扇形面积（阴影部分的面积）： （平方厘米） 7．如图，在长方形ABCD中，甲、乙两圆面积相等，则丙圆与乙圆的面积比是（    ）。 A．2∶1 B．1∶4 C．1∶8 D．4∶1 【答案】D 【解答】甲、乙面积相等，说明甲、乙直径相同；观察图形，长方形左侧宽等于2个小圆直径，而丙圆的直径等于长方形的宽，也就是2个乙圆的直径。 设乙圆直径是2，则半径是1；此时丙圆的直径是2×2＝4，半径是2； 根据圆面积之比等于半径平方之比，可得丙圆面积∶乙圆面积＝22∶12，即4∶1。 8．圆的周长。鹏鹏在课堂测量圆的周长时，采用了滚动法：把圆上点A对准刻度0，圆向右滚动一圈。则点A将落在直尺刻度上的（    ）。 A．2cm~4cm之间 B．4cm~6cm之间 C．6cm~8cm之间 D．8cm~10cm之间 【答案】C 【分析】把这个圆在直尺上滚动一周，滚动的长度就是圆的周长，由图示可知直径d＝2cm，根据圆的周长公式，求出圆的周长，进行判断并选择即可。 【解答】3.14×2＝6.28（cm） 6.28在6cm~8cm之间，所以点A将落在直尺刻度上的6cm~8cm之间。 9．剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．等腰直角三角形 B．半圆 C．长方形 D．正六边形 【答案】D 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两边能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。分别找出等腰直角三角形、半圆、长方形和正六边形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案。 【解答】A．等腰直角三角形是轴对称图形，只有1条对称轴； B．半圆是轴对称图形，只有1条对称轴； C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴； D．正六边形是轴对称图形，有6条对称轴。 6＞2＞1，所以对称轴数量最多的是正六边形。 二、填空题 10．把圆形纸片沿半径剪成若干等份，拼成一个近似的长方形（如下图）：如果拼成的长方形的周长增加了10厘米，原来这个圆的面积是（ ）平方厘米；如果拼成长方形的长是12.56厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 【答案】78.5 50.24 【分析】观察图形可知，把圆形纸片拼成一个近似的长方形，周长增加的部分就是圆的2个半径，即圆的半径为（厘米）。再根据圆的面积公式求出圆的面积； 拼成长方形的长是圆的周长的一半，已知长方形的长是12.56厘米，则圆的周长是（厘米）。根据求出圆的半径，再根据圆的面积公式求出圆面积。 【解答】 （平方厘米）； （平方厘米） 11．一个5G基站的覆盖范围近似于一个圆形，覆盖半径为0.5千米，其覆盖面的周长为（ ）千米，面积为（ ）平方千米。 【答案】3.14 0.785 【分析】基站覆盖是圆形，半径0.5千米。先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，代入数值求出周长。再根据圆的面积公式S＝πr2，代入数值求出面积。 【解答】周长：2×3.14×0.5＝3.14（千米） 面积：3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方千米） 12．一个半圆的周长比与它半径相等的整圆周长的一半多6cm，半圆的周长是（ ）cm，整圆的面积是（ ）cm2。 【答案】15.42 28.26 【分析】半圆的周长公式是“”， 整圆周长的一半公式是“”，两者相差的结果是“”，所以题目中的6cm就是圆的直径，利用“”求出半圆的周长，利用“”求出整圆的面积。 【解答】（cm） 半圆的周长： （cm） 整圆的面积： （cm2） 13．大圆的半径是8cm，小圆的直径是6cm，则大圆与小圆的周长比是（ ）∶（ ），小圆与大圆的面积比是（ ）∶（ ）。 【答案】8 3 9 64 【分析】求大圆与小圆的周长比是多少，根据圆的周长＝πd，分别求出大圆和小圆的周长，然后再相比，根据比的基本性质，化成最简整数比即可； 求大圆与小圆的面积比是多少，根据圆的面积＝π，分别求出大圆和小圆的面积，然后再相比，根据比的基本性质，化成最简整数比即可。 【解答】大圆的周长：2×8×π＝16π 小圆的周长：6π 大圆与小圆的周长比：16π∶6π＝8∶3 大圆的面积：π×＝64π 小圆的面积：π× ＝π× ＝9π 小圆与大圆的面积比：9π∶64π＝9∶64 大圆的半径是8cm，小圆的直径是6cm，则大圆与小圆的周长比是8∶3，小圆与大圆的面积比是9∶64。 14．中国扇子已成为东方美学的独特缩影。非遗手工课上，安安准备制作一把纱面圆形团扇，扇面的半径为10厘米，至少需要（ ）厘米的竹条做圆形扇框，需要（ ）平方厘米的纱做扇面。 【答案】62.8 314 【分析】要计算做扇框的竹条长度，就是求圆的周长，圆的周长公式C＝2πr；要计算做扇面的纱的面积，就是求圆的面积，圆的面积公式S＝πr2。已知半径，π取3.14，代入对应的公式计算即可。 【解答】2×3.14×10 ＝6.28×10 ＝62.8（厘米） 3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 15．如图所示，一辆玩具坦克车由一根履带围着4个半径1cm的轮子前进。这辆玩具车的履带长度是（ ）cm。 【答案】18.28 【分析】根据图示可知，履带的长度等于1个圆的周长加上6条直径的长，利用圆的周长公式计算出圆的周长，加上6个直径的长度即可。 【解答】3.14×1×2＋1×2×6 ＝6.28＋12 ＝18.28（厘米） 16．如图，空白部分是一个直径为6厘米的半圆，把整个半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B旋转至点B＇，则阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】18.84 【分析】观察图形可得：阴影部分的面积＝以AB＇为直径的半圆的面积＋扇形ABB＇的面积－以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB＇；扇形的圆心角是60°，半径为6厘米，然后再根据扇形的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【解答】×3.14×62 ＝×3.14×36 ＝3.14×（36×） ＝3.14×6 ＝18.84（平方厘米） 17．下图有（ ）条对称轴；画一条直线把下图分成面积相等的两部分，有（ ）种画法。 【答案】2 无数 【分析】长方形有2条对称轴，圆的对称轴只有和长方形重合的2条，所以组合图形有2条对称轴。 长方形和圆的中心重合，过这个中心的任意直线都能平分图形，所以有无数种画法。 【解答】下图有2条对称轴；画一条直线把下图分成面积相等的两部分，有无数种画法。 18．如图，直角三角形ABC先绕顶点C顺时针旋转到位置②，此时BC边旋转了（ ）°；再如图示方式转动到位置③，点B第二次旋转所经过的路线长是（ ）厘米。 【答案】150 6.28 【分析】旋转后的图形形状、大小不变，只是方向发生变化；当直角三角形ABC第一次旋转时，下面的边成一条直线，则顶点在C点的三个角组成一个平角，且左右两个角的度数相同，都是30°（如图），则用180°减去右边的角的度数30°，即可求出BC边旋转了的度数； 直角三角形ABC中，AB＝3厘米，∠B是直角，∠ACB是30°，根据三角形内角和是180°，可求出∠A的度数；求点B第二次旋转所经过的路线的长度，就是求以3厘米为半径的圆弧的长度；图形第二次旋转后（如图），因下面的边成一条直线，则顶点在O点的三个角组成一个平角，且左右两个角的度数都与∠A相同，是60°，则用180°减去左边的角的度数60°，即可求出圆弧所对的圆心角的度数；根据圆的周长公式，先求出圆弧所在的圆的周长，再乘圆弧所对的圆心角占周角的几分之几，即可求出圆弧的长度。据此解答。 【解答】180°－30°＝150° 所以，直角三角形ABC先绕顶点C顺时针旋转到位置②，此时BC边旋转了150°； 180°－90°－30°＝60° 180°－60°＝120° 3.14×2×3× ＝6.28×3× ＝6.28（厘米） 所以，点B第二次旋转所经过的路线长是6.28厘米。 三、计算题 19．求阴影部分的面积。 【答案】 【分析】由图可知：空白部分的面积相当于半径4cm的圆的面积的。正方形的面积＝边长×边长；空白部分的面积＝圆的面积÷4＝；阴影部分的面积＝正方形的面积－空白部分的面积。 【解答】 20．求下面图形中涂色部分的周长。 【答案】34.26分米 【分析】由图可知，涂色部分周长包含半径为6分米的半圆弧长、直径为6分米的半圆弧长，以及长度为6分米的直边三部分。圆的周长C＝2πr＝πd，分别代入对应半径、直径数值计算两个半圆弧的长度；将两部分弧长与直边长度相加，即可得到涂色部分总周长。 【解答】大半圆弧长：2×3.14×6÷2 ＝6.28×6÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（分米） 小半圆弧长：3.14×6÷2 ＝18.84÷2 ＝9.42（分米） 涂色部分的周长：18.84＋9.42＋6 ＝28.26＋6 ＝34.26（分米） 四、作图题 21．在下面长方形中画一个最大的半圆，再算出半圆的周长和面积。（得数保留两位小数） 【答案】；10.28厘米；6.28平方厘米 【分析】长方形长的一半是4÷2＝2厘米，长方形宽3厘米，大于长方形长的一半2厘米，所以画最大半圆是以长方形长的一半2厘米为半径，长的中点为圆心，在长方形内画出半圆；半圆周长是圆周长除以2再加上半径，即πd ÷2＋d；半圆面积是圆面积除以2，即π÷2。 【解答】最大半圆如下图： 半圆的周长：3.14×4÷2＋4＝6.28＋4＝10.28（厘米） 半圆的面积：3.14×÷2＝3.14×4÷2＝6.28（平方厘米） 五、解答题 22．生活应用：杂技演员表演“独轮车走钢丝”，为什么独轮车的轮子必须是圆的？如果换成三角形的轮子，演员还能平稳表演吗？为什么？ 【答案】必须是圆的。因为钢丝很细，需要车轮提供稳定的支撑点。如果是三角形轮子，滚动时重心会剧烈起伏，演员根本无法保持平衡，更无法平稳前行。 【分析】当独轮车的轮子是圆形时，轮子滚动时，车轴到钢丝的距离始终保持不变，所以车身平稳，演员能平稳表演。如果换成三角形轮子，滚动过程中，车轴到钢丝的距离会不断变化，所以演员不能平稳表演。 【解答】答：必须是圆的。因为钢丝很细，需要车轮提供稳定的支撑点。如果是三角形轮子，滚动时重心会剧烈起伏，演员根本无法保持平衡，更无法平稳前行。 23．一辆汽车轮胎的外直径是80厘米，如果车轮每分钟转200圈，4分钟后，汽车能行驶多少千米？（得数保留整数） 【答案】2千米 【分析】先根据“”求出车轮的周长，即车轮转1圈行驶的路程，再乘200求出汽车每分钟行驶的路程，最后根据“路程＝速度×时间”求出汽车4分钟行驶的路程，并把单位转化为“千米”，据此解答。 【解答】3.14×80＝251.2（厘米） 251.2×200×4 ＝50240×4 ＝200960（厘米） 200960厘米＝2009.6米 2009.6米＝2.0096千米 2.0096千米≈2千米 答：汽车能行驶2千米。 24．在河南洛阳洛浦公园内有一个以洛神为主题的公园——洛神公园。公园内有一个直径40m的圆形广场。如图，要在这个广场两侧等长的圆弧上，每隔4m栽一棵树（圆弧两头都栽），广场的上下方共有45.6m的边缘不用栽树，一共要栽多少棵树？ 【答案】3.14×40＝125.6（m） （125.6－45.6）÷2＝40（m） 40÷4＋1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 【分析】根据题意可知：可以先求出圆形广场的周长，利用直径×π，代入数据即可求出结果，然后减去不用栽树的距离，再除以2，即可求出每侧需要栽树的距离，每隔4米栽一棵树，即用栽树的距离除以4，求出间隔数，而两头都栽，即栽树棵数需要再加1，最后乘2即可求出两侧的总棵数；据此解答。 【解答】（米） （米） （棵） （棵） 答：一共要栽22棵。 25．小区物业要建设一个三角形花坛，如图。以花坛的三个顶点为圆心，各画一个半径为2米的圆，圆与花坛重合的部分（图中浅色阴影部分）用来种植月季花，外侧扇形区域（图中深色阴影部分）用来种植草坪。月季花和草坪的面积分别是多少平方米？ 【答案】6.28平方米；31.4平方米 【分析】三角形的内角和是180°，所以三个顶点处的浅色扇形拼起来，正好是一个半径为2米的半圆。月季花的面积就是这个半圆的面积。每个圆的圆心角是360°，减去三角形内角对应的扇形圆心角后，三个深色扇形的圆心角总和为900°，所以草坪面积相当于2.5个半径为2米的圆的面积，根据S＝πr2解答。 【解答】月季花的面积： 3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝6.28（平方米） 草坪的面积： （3×360°－180°）÷360° ＝（1080°－180°）÷360° ＝900°÷360° ＝2.5 3.14×22×2.5 ＝3.14×4×2.5 ＝31.4（平方米） 答：月季花的面积是6.28平方米，草坪的面积是31.4平方米。 26．古诗有云：“圆中方有致，檐下燕归梁”，“圆中方”造型的窗户体现了中式建筑之美，现在要做这样一幅木边框的窗户，中间正方形部分需要糊上一层纸，已知该窗户圆形部分周长为3.14米，需要糊纸部分的面积为多少？（边缘宽度不计） 【答案】0.5平方米 【分析】外圆内方中间的正方形对角线长度等于外圆的直径，正方形可以看成两个以对角线为底、半径为高的三角形。已知圆的周长，根据圆的周长公式，求出圆的直径与半径，再根据，求出一个三角形面积，三角形面积乘2即为正方形面积。 【解答】3.14÷3.14＝1（米） 1÷2＝0.5（米） 1×0.5÷2×2 ＝0.5÷2×2 ＝0.25×2 ＝0.5（平方米） 答：需要糊纸部分的面积为0.5平方米。 27．一个工程队派8名工人给学校操场铺设草皮（如图），工作了2天铺设了整个操场面积的，还剩多少平方米没有铺设？ 【答案】7814.4平方米 【分析】先计算整个操场的面积，由图可知，整个操场可以看成由一个长为100米，宽为80米的长方形和一个直径为80米的圆组成。已经铺设了，还剩整个操场的没铺设，用整个操场的面积乘。 【解答】长方形的面积：100×80＝8000（平方米） 圆的面积：3.14×＝3.14×＝3.14×1600＝5024（平方米） 操场面积：8000＋5024＝13024（平方米） 13024×（1－）＝13024×＝7814.4（平方米） 答：还剩7814.4平方米没有铺设。 28．在一场热闹非凡的街头艺术表演活动中，为了给观众带来惊喜和震撼，杂技演员决定挑战高难度项目——独轮车走钢丝，已知车轮的直径是20厘米，要骑过一根15.7米长的钢丝，车轮大约要转动多少周？ 【答案】25周 【分析】圆的周长公式，取3.14，代入直径20厘米算出车轮周长，求骑过一根15.7米长的钢丝车轮大约转动多少周就是求15.7米里有几个周长，用除法计算即可。 【解答】15.7米＝1570厘米 1570÷（3.14×20） ＝1570÷62.8 ＝25（周） 答：车轮大约要转动25周。 29．为迎接第十五届全国运动会，组委会计划对广州南沙全民文化体育综合体的一个圆形广场进行改造。 （1）该圆形广场的直径是28米。这个广场的占地面积是多少平方米？ （2）给这个圆形广场铺设地砖，若由甲工程队单独完成需要12天，由乙工程队单独完成需要8天。两队合作，需要多少天可以完成？ 【答案】（1）615.44平方米 （2）4.8天 【分析】第（1）小题考查圆的面积计算。已知圆的直径，需先根据“半径＝直径÷2”求出半径，再利用圆的面积公式进行计算，取3.14。 第（2）小题考查工程问题。将铺设地砖的总工作量看作单位“1”，甲队单独完成需要12天，则甲队的工作效率为；乙队单独完成需要8天，则乙队的工作效率为。两队合作的工作效率为两队效率之和，根据“工作时间＝工作总量÷工作效率和”即可求出合作需要的天数。 【解答】（1）圆的半径：（米） 圆的面积： （平方米） 答：这个广场的占地面积是615.44平方米。 （2）两队合作需要的天数： （天） 答：两队合作，需要4.8天可以完成。 30．公园里有一种“围树座椅”（如图1），可以供游客休息。 （1）这个“围树座椅”椅面的形状如图2，它的面积是多少平方米？ （2）沿着座椅的外沿，每隔1.57米安装一盏地灯，一共要安装多少盏？ 【答案】（1）9.42平方米 （2）8盏 【分析】（1）椅面的形状是圆环，圆环面积＝。 （2）本题属于“封闭型”植树问题，相当于一端植树一端不植树，地灯的数量＝间距数。根据圆的周长＝πd，求出座椅外沿的周长，再除以1.57，即可求出段数，即地灯的数量。 【解答】（1） （平方米） 答：它的面积是9.42平方米。 （2）3.14×4÷1.57 ＝12.56÷1.57 ＝8（盏） 答：一共要安装8盏。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $