专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则_________（用含有的式子表示）．    4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 题型2 空间向量的共线、共面问题 6．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示； (2)求证：E，F，B三点共线. 10．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 题型3 空间共线向量定理的推论及应用 11．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 12．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则__________． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 15．（25-26高二上·全国·课前预习）已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 题型4 空间共面向量定理的推论及应用 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 18．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则__________. 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 20．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 题型5 求空间向量的数量积 21．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 22．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 24．（25-26高二上·浙江丽水·期中）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 25．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 题型6 求空间向量的夹角与模长 26．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 28．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 29．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 30．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 题型7 空间向量基本定理及其应用 31．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    34．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量． 35．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 题型8 空间向量运算的坐标表示 36．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 39．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 40．（25-26高二·全国·课后作业）在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 题型9 用坐标法解决平行、垂直问题 41．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 42．（25-26高二上·青海·阶段检测）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 43．（25-26高二下·上海·阶段检测）向量 且 ，则实数 ___________. 44．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 45．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 题型10 用坐标法解决模长、夹角问题 46．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 47．（25-26高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_________. 49．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 50．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量的运算及坐标表示10大重点题型归纳（必考50题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 空间向量的线性运算 1．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量线性运算计算即可. 【解答过程】 因为底面是平行四边形，，所以是、的中点. 由向量的平行四边形法则可得，，， 所以. 故选：D. 2．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【解答过程】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 3．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，点为线段的中点，则_________（用含有的式子表示）．    【答案】 【解题思路】先求出向量的表达式，再利用中点性质得到，最后通过向量减法求出. 【解答过程】，因为是的中点， 所以，但，而， 所以. 故答案为：. 4．（25-26高二上·山东菏泽·阶段检测）如图，在正方体中，化简下列向量表达式：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】根据空间向量的线性运算结合图形计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)， (2)， (3)， 【解题思路】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【解答过程】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    题型2 空间向量的共线、共面问题 6．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【解题思路】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【解答过程】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 7．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【解答过程】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 8．（25-26高二上·安徽亳州·期末）已知是空间的一组基，向量，且四点共面，则__________. 【答案】1 【解题思路】根据四点共面，可得存在实数m，n，使得，根据条件，代入求解，即可得答案. 【解答过程】因为四点共面，所以存在实数m，n，使得， 因为， 所以， 则，解得. 故答案为：1. 9．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若. (1)用表示； (2)求证：E，F，B三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）由已知得，由此可得答案； （2）由已知得 ，由此可得证. 【解答过程】（1）因为， ， 所以， 所以； （2）证明：， ， 又与相交于B，所以E，F，B三点共线. 10．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【解答过程】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 题型3 空间共线向量定理的推论及应用 11．（25-26高二下·全国·课后作业）已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【解题思路】根据三点共线的推理即可求得，. 【解答过程】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B. 12．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【解答过程】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 13．（25-26高二·全国·课后作业）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则__________． 【答案】 【解题思路】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【解答过程】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 14．（2026高一·全国·专题练习）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解题思路】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【解答过程】证明：因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 15．（25-26高二上·全国·课前预习）已知三点共线，为直线外空间任意一点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用共线向量定理，可设，结合向量的减法运算，求得，利用平面向量分解的唯一性，得到，进而证得. 【解答过程】证明：由三点共线，得， 即． 整理得， 又因为， 所以． 所以． 题型4 空间共面向量定理的推论及应用 16．（25-26高二上·广东深圳·期中）空间中有5个点，，，，，若不共线的，，，四点在平面内，，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间共面向量定理的推论求的值即可． 【解答过程】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得． 故选：C． 17．（25-26高二上·天津南开·期中）已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则实数的值是（   ）. A． B．1 C． D．6 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用向量的共面定理及推论，得到，即可求解. 【解答过程】由四点共面，则存在实数，使得， 可得，即， 可得， 因为，即， 所以，解得. 故选：C. 18．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知四面体，空间的一点满足，若共面，则__________. 【答案】 【解题思路】根据向量共面，由共面基本定理即可列方程求解，或者利用共面的结论求解. 【解答过程】方法一：由共面，故存在实数使得 , 故,化简得, 又，所以，解得， 方法二：因为共面，所以，解得. 故答案为:. 19．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面 (2)不共面 【解题思路】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【解答过程】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 20．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【解答过程】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 题型5 求空间向量的数量积 21．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则（   ） A．12 B． C．16 D． 【答案】B 【解题思路】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【解答过程】由平面，平面，得， 由题可知， . 故选：B. 22．（25-26高二上·山东聊城·期中）在棱长为1的正四面体中，点为的中点，点在上，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，将题设中的和分别用线性表示，再根据向量数量积的运算律计算即得. 【解答过程】    如图，设，依题意， 连接，因 ， 又， 则 . 故选：A. 23．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【解题思路】设，则，再根据向量运算求解即可. 【解答过程】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为：. 24．（25-26高二上·浙江丽水·期中）如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【解答过程】（1）点为的中点， ， ， ． （2） ，由（1）得 ． 25．（25-26高二上·湖北·阶段检测）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用向量的线性运算法则计算求解； （2）先利用已知条件求出相关向量数量积，运用向量加减法运算求出，再通过向量数量积运算求解． 【解答过程】（1），． ． 点为的中点， ． （2）， ， ， ． 题型6 求空间向量的夹角与模长 26．（25-26高二上·海南·期末）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【解答过程】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 故选：B. 27．（25-26高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】由题意可知：，， 则， 因为， 则 ， 所以. 故选：C. 28．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【解题思路】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【解答过程】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 故答案为：. 29．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，设.    (1)用表示，并求； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据题意，利用空间向量的线性运算法则，得到，再由向量数量积的运算公式和模的计算公式，求得的值； （2）根据题意，求得，利用数量积的计算公式，求得，进而求得的值. 【解答过程】（1）解：因为，且， 所以， 又因为底面ABCD是边长为1的正方形且， 所以 . （2）解：因为底面是边长为1的正方形，且，， 又由， 所以， 所以. 30．（25-26高二上·江苏南通·期中）如图，在棱长为2的正四面体中，已知是线段的中点，点在线段上，且.    (1)用向量表示； (2)求； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据向量的线性运算法则，准确化简、运算，即可求解； （2）利用向量的模与数量积的关系求解即可； （3）利用向量的夹角公式计算即可求解. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）因为， 所以 . . 由正四面体的棱长为2，可得， 所以. 题型7 空间向量基本定理及其应用 31．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】因为为中点， 所以 . 故选：A. 32．（25-26高二上·河北雄安·期末）如图，在平行六面体中，点为与的交点．若，，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量加减、数乘的几何意义用，，表示出，即可得. 【解答过程】由题意， ， 所以，即. 故选：B. 33．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【解题思路】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【解答过程】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 34．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解题思路】（1）利用空间向量基底的定义，借助反证法推理得证. （2）利用空间向量基本定理列式求解. 【解答过程】（1）证明：由是空间的一个基底，得不共面， 假设向量共面，则必存在唯一的实数对，使得， 即，则共面，与不共面矛盾，因此不共面， 所以是空间的另一个基底. （2）用基底表示向量，则， 又，因此，解得， 所以. 35．（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【解答过程】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 题型8 空间向量运算的坐标表示 36．（25-26高二上·浙江宁波·期末）已知，，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解题思路】根据向量数量积的运算律和向量数量积的坐标表示计算即可. 【解答过程】因为，，， 所以. 所以. 故选：D. 37．（25-26高二上·黑龙江鸡西·期中）已知向量，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由向量的坐标运算即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 所以. 故选：D. 38．（25-26高二上·山西晋中·阶段检测）在空间直角坐标系中，，若点在线段上，且，则点坐标为__________． 【答案】 【解题思路】由题可知，设，然后根据向量坐标运算求出 和的坐标，再利用列出方程，进而求解点M的坐标． 【解答过程】由，得.设， 由，得， 即. 解得，即. 故答案为：． 39．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）已知向量，，，求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2)2 (3)4 【解题思路】（1）根据空间向量的坐标的线性运算即可求解， （2）（3）根据空间向量数量积的坐标运算即可求解， 【解答过程】（1）由，， 得； （2）； （3）. 40．（25-26高二·全国·课后作业）在中，，，. （1）求顶点、的坐标； （2）求； （3）若点在上，且，求点的坐标. 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解题思路】（1）利用向量的坐标运算可求得点、的坐标； （2）计算出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）由可得，可求得向量的坐标，进而可求得点的坐标. 【解答过程】（1）设点为坐标原点，， 则. ，则； （2），则， 又，因此，； （3）设点为坐标原点，，则， 则， 所以，点的坐标为. 题型9 用坐标法解决平行、垂直问题 41．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知向量，且，则的值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解题思路】先求出和的坐标，由两向量垂直得其数量积为零，从而求出的值. 【解答过程】由已知得. 因为， 所以，解得． 故选：C. 42．（25-26高二上·青海·阶段检测）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出向量、的坐标，分析可知，结合空间向量共线的坐标表示可求得实数的值. 【解答过程】因为、、，所以，. 由、、三点共线，可得，可得，解得. 故选：B. 43．（25-26高二下·上海·阶段检测）向量 且 ，则实数 ___________. 【答案】/ 【解题思路】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【解答过程】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为：. 44．（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【解答过程】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 45．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）已知，，，，. (1)求； (2)若与互相垂直，求实数k的值； (3)若，，求的坐标. 【答案】(1). (2)或. (3)或. 【解题思路】（1）首先求出向量，的坐标，进而由向量的夹角公式求解即可； （2）首先求出与的坐标，结合向量垂直的充要条件列方程求解即可； （3）根据向量共线的条件及向量模的公式列方程求解即可. 【解答过程】（1）因为，，， ，， 所以，， 则. （2）因为，， 所以，. 又与垂直， 所以， 解得或. （3）由题可知，， 由，知存在实数，使得，即. 因为，所以，解得， 所以或. 题型10 用坐标法解决模长、夹角问题 46．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）设，，，，且⊥，，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【解题思路】根据向量的垂直和平行关系得到方程，求出，求得，利用坐标求其模即可. 【解答过程】由⊥，可得，解得， ，故可设，即， 则，解得，即， 则， 故. 故选：B. 47．（25-26高二上·安徽淮南·期中）已知空间向量，，若与的夹角是锐角，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】应用夹角是锐角的向量关系计算即可. 【解答过程】因为空间向量，， 若与的夹角是锐角，则且不成立， 所以或. 故选：C. 48．（25-26高二上·陕西渭南·阶段检测）设，，向量，，，且，，则等于_________. 【答案】3 【解题思路】根据向量垂直、平行的坐标运算得出，再利用坐标计算向量的模. 【解答过程】因为，，，所以， 因为，所以，得， 故，故. 故答案为：. 49．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【解答过程】（1）解：(1)因为, 所以. . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. 50．（25-26高二上·宁夏吴忠·期中）已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【解答过程】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $