5.1 二次函数（教学课件）数学新教材青岛版九年级下册

【新教材】青岛版·九年级下册 第5章 二次函数 5.1二次函数 学 习 目 标 1 2 3 能从现实情境和已有知识出发,体会二次函数的意义，理解二次函数的概念。 通过具体问题情境中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一次函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征。 从现实情境和已有知识经验出发进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点。体验数学来源于生活实际，激发学生学习数学的热情和兴趣。 章引言 在北京冬奥会上，我国选手获得了单板滑雪男子大跳台项目的金牌。在该项目中，运动员在空中滑翔的轨迹是一条优美的平滑曲线。 章引言 这条平滑曲线是否可以用某种函数关系来描述呢？如何计算运动员落地点与起跳点的水平距离？如何计算滑翔过程中达到的最高点与落地点的高度差？ 章引言 要回答以上问题，需要用到二次函数的有关知识。我们已经学习了一次函数的概念与性质，本章将类比一次函数的 研究思路和方法，从实际问题中抽象出二次函数模型，探究二次函数的图象与性质，利用图象研究二次函数与一元二次方程之间的关系，并运用二次函数的知识解决一些实际问题。 你学过哪些函数吗？研究函数的一般思路是什么？ 知识回顾 研究一次函数思路是：实际问题→抽象函数解析式→定义→待定系数法求解析式→研究图象→性质→解决应用问题； 这是研究函数的套路，是后面学习二次函数、反比例的通用思路。 形如y=kx+b（k≠0）的函数叫作一次函数， 当b=0时，函数y=kx（k≠0）叫作正比例函数。 思考 下面我们用这种思路来研究二次函数。 一次函数，正比例函数。 (1)如图,在边长为4的正方形硬纸片中挖去一个半径为 r(0<r≤2)的圆形纸片。写出剩余部分的面积S 与r之间 的函数表达式。 S=16-πr 2 剩余部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积： S=-πr 2+16。 7 （2）如图,一个小球由静止开始沿光滑斜坡向下滚动, 经过0.6s到达斜坡底部。实验测得小球滚动的距离s与时间t 对应的数据如下表所示: s=3t2 思考：当t增加时，s的变化有什么规律?你能写出s与t之间的函数表达式吗? （3）近年来,我国加快推进科技自立自强,2022年全社会研究与试验发展经费投入已达3.1万亿元,稳居世界第二位。如果接下来,全社会研究与试验发展经费投入每10年的增长率均为x,写出到2042年,我国全社会研究与试验发展经费投入y(单位:万亿元)与x之间的函数表达式。 y=3.1（1+x）2 y=3.1x 2+6.2x+3.1。 （1）观察由上面三个问题得出的函数表达式，它们有什 么共同特点? S=-πr 2+16。 s=3t2 y=3.1x 2+6.2x+3.1。 共同特点: ①这些表达式的右边都是关于自变量的整式； ②右边整式中变量的最高次数都是2； ③它们的一般形式是 y=ax2+bx+c(a≠0)。 类比一次函数的定义，你能给二次函数一个定义吗？ 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫作二次函数,其中a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数的概念： 你能分别说出下面三个二次函数表达式中的二次项系数、一次项系数和常数项吗? S=-πr 2+16。 s=3t2 y=3.1x 2+6.2x+3.1。 为什么二次函数的一般形式中y=ax2+bx+c要限制a≠0， b、c 可以为零吗？ 当 a = 0 ，b ≠ 0时， y=bx＋c 当 a ≠ 0 ，b = 0时 ， y=ax2＋c 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ， y=ax2＋bx 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ， y=ax2 总结：二次函数必须满足a ≠ 0 , b,c 可以为任意实数. 一次函数 二次函数的特殊形式 理解二次函数概念注意的问题： 1. 等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； 2. a,b,c为常数，且a≠0； 3. 分等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项； 4. x的取值范围是任意实数. 归纳总结 例1、下列表示y是x的二次函数的是( ) A.y=(x+1)(x-1)-(x-1)2 B.x+y2-1=0 C.y=2x+ D.x2+3y-2=0 解析:A.去括号，整理得:y=2x-2是一次函数，不合题意;B.y是x的二次函是函数，自变量是关于x的二次式，这里正好相反，不合题意;C.等号左边是变量y，于自变量x的整式，而这里是关于x的分式,不合题意;D.符合二次函数的形式. D 典例讲解 1.给出下列函数:①y=;②y=x2-x(1+x); ③y=x2+;④y=x(1- x)。其中是二次函数的有 ， 若把它写成y=ax2+bx+c的形式，则a= , b= ,c= . ④ -1 1 0 跟踪练习 例2、若函数y=(m-3)xm2-3m+2+mx-1是二次函数, 那么m的值是( )。 A.0 B.3 C.0或3 D.1或2 解析：由已知可得m2-3m+2=2且m-3≠0,此处若仅考虑到m2-3m+2=2,就易错选为C,实际上，当m=3时,m-3=0，原函数变为y=3x-1,它是一次函数。 A 典例讲解 2.已知函数y=(m+4)x|m|-2-mx+2是关于x的二次函数，试求m的值。 解:由题意，得|m|-2=2，解得m=4或m=-4, 当m=4时,m+4=8≠0;当m=-4时，m+4=0， 所以m=4时，原函数是二次函数。 跟踪练习 例3、如图,要在一块长为120m、宽为70m的矩形花圃中修两条互相垂直且宽均为x m的小路。如果被小路隔开的四块花圃的面积之和为y m2,求y与x之间的函数表达式,它们是二次函数吗？写出自变量x的取值范围。 典例讲解 思考：通过什么方法来推导剩余草地的面积与小路宽度的关系，并确定自变量的取值范围？ 120m 70m x x 平移法或图形面积减法 典例讲解 解:四块花圃可以拼成一个长为(120-x)m、宽为(70-x)m的矩形, 120m 70m x x 所以y与x之间的函数表达式为： y=(120-x)(70-x) =x 2-190x+8400。 是二次函数。 其中自变量x的取值范围是 。 0<x<70 在实际问题中, 要结合具体情况确定 自变量的取值范围。 练习3.（1）一个圆的半径为r,分别写出它的周长C 和面积S 关于r的函数表达式。它们是二次函数吗? （2）已知正方形的边长是3,当边长增加x时,面积增加y。求y与x 之间的函数表达式,并写出自变量x的取值范围。 跟踪练习 解: （1）C=2πr; S=πr2 不是二次函数。 是二次函数。 （2）y=(3+x)2-32 =x2+6x 是二次函数。 你还记得待定系数法吗？一般步骤呢？ 典例讲解 例4、已知二次函数y=ax2+bx+4。当x=-4时, y=-8; 当x=-2时,y=0。求这个二次函数的表达式。 通过先设定函数解析式（确定函数模型），再根据条件确定解析式中的未知系数，从而求出函数解析式的方法称为待定系数法. 1.设； 2.代； 3解； 4.写。 一般步骤： 解:将x=-4,y=-8和x=-2,y=0分别代入y=ax2+bx+4,得 16a-4b+4=-8, 4a-2b+4=0。 解得 a=- b=1。 所以这个二次函数的表达式为y=-x2+x+4 典例讲解 4.已知直线y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B,二次函数y=-x2+bx+c经过A， B两点，求二次函数的表达式。 解: 在y=-x+3中，令x=0，得y=3;令y=0，得x=3. ∴A(3,0),B(0,3). 把点A(3,0),B(0,3)分别代入二次函数y=-x2+bx+c，得 -9+3b+c=0， c=3 解得 b=2 c=3。 所以这个二次函数的表达式为y=-x2+2x+3. 跟踪练习 24 24 例5、如图,在正方形ABCD中,AB=4,E,F分别是边BC,CD上的动点, 且AE=AF。设EC的长为x,△AEF的面积为y。求y与x之间的函数表达式,并求当y=6时x的值。 分析：在正方形ABCD中，由于AE=AF，结合正方形四边相等和四个角为直角的性质，可通过勾股定理证明△ABE≌△ADF，从而得出 BE=DF。已知EC=x，则BE=4-x，进而推出DF=4-x、FC=x。△AEF的面积无法直接计算，采用间接法:用正方形面积减去直角三角形△ABE、△ADF、△ECF的面积。 探究创新 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠B=∠D; ∵AE=AF, ∴Rt△ABE≌Rt△ADF. ∴BE=DF; ∴FC=EC=x, ∴DF=4-x,BE=4-x, ∵S△AEF=S正方形ABCD-S△ECF-S△ADF-S△ABE ∴S△AEF=16-x2- ×4(4-x)- ×4(4-x)=-x2+4x. ∵0<EC<CD, ∴0<x≤4, ∴y=-x2+4x(0<x≤4) . 探究创新 5.如图，矩形中ABCD中，AB=10cm，BC=5cm，点M以1cm/s的速度从点B向点C运动，点N以2cm/s的速度从点C向点D运动． 两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形ABMND的面为Scm2．写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； 解：五边形ABMND的面积等于矩形总面积减去直角三角形CMN的面积: S=50-S△CMN=50-(-t2+5t)=t2-5t+50 因此S与t的函数关系式为S=t2-5t+50， 自变量t的取值范围是0<t<5。 跟踪练习 当堂练习 1.找出下列函数中的二次函数,并分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)y=3x2-2x;(2)y=3x(x2-x+7);(3)y=(x-1)2-2。 解：(1)y=3x2-2x是二次函数，二次项系数是3、一次项 系数是-2，常数项是0； (2)y=3x(x2-x+7)=3x3-3x2+21x,化简后最高次数为3， 不是二次函数。 (3)y= (x-1)2-2=x2-x-是二次函数，二次项系数是、一次项系数是-，常数项是-. 当堂练习 2.当x=2时,二次函数y=ax2+x的值为-2。求a的值。 解:将x=2,y=-2代入y=ax2+x,得 4a+2=-2, 解得a=-1, ∴a的值是-1. 3.某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米. (1)若平行于墙的一边的长为y米,直接写出y关于x的函数表达 式及自变量x的取值范围; (2)若设矩形苗圃园的面积为S,请写 出S关于x的函数表达式. 当堂练习 解:(1)y关于x的函数表达式为 y=30-2x(6≤x<15). (2)S关于x的函数表达式为 S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x. 当堂练习 二次函数 定义 一般 形式 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0)的函数叫作二次函数,其中a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0) 确定变量间的等量关系 应用 课堂小结 32 【新教材】青岛版·九年级下册 感谢聆听! $