第一章 特殊平行四边形基础过关自测卷《知识解读·题型专练》2026-2027学年九年级数学上册（北师大版）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形性质与判定，通过基础选择、综合解答及创新实践题（如“圆满四边形”探究），分层考查几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|矩形菱形性质比较（第1题）、判定（第3题）|基础巩固，辨析易混性质| |填空|4/12|菱形周长计算（11题）、正方形判定条件（12题）|强化核心公式应用| |解答题|7/58|正方形中全等证明（15题）、菱形周长计算（16题）、“圆满四边形”探究（21题）|综合推理与创新应用，体现几何直观与模型意识|

第一章 特殊平行四边形基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】根据菱形和矩形的性质判断即可． 【详解】解：选项：菱形四边相等，矩形四边不一定相等； 选项：菱形对角线互相垂直，矩形对角线不一定互相垂直； 选项：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等； 选项：菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分对角． 2．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质构造直角三角形，结合勾股定理求边长，进而计算周长． 【详解】解：如图，菱形的对角线、相交于O，且，， ∴，，，， 在中，， ∴菱形的周长为． 3．如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，然后逐项判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴A项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是菱形， ∴B项不符合题意， ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， ∴C项符合题意， ∵，无法判定平行四边形是矩形， ∴D项不符合题意． 4．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分求解即可． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ，， 又， ． 5．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（     ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵在中，，是边上的中线， ∴， ∵， ∴． 6．下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角 【答案】B 【分析】矩形和菱形都是特殊的平行四边形，只需对比各选项，找出两者共有的性质即可得到答案． 【详解】解：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，逐一分析各选项： A对角线互相垂直是菱形特有的性质，矩形对角线不互相垂直，故A不符合题意； B平行四边形对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，因此都具有对角线互相平分的性质，故B符合题意； C对角线相等是矩形特有的性质，菱形对角线不相等，故C不符合题意； D每条对角线平分一组对角是菱形特有的性质，矩形不具备该性质，故D不符合题意． 7．如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】矩形的对角线相等且互相平分，据此可得的长，再由三角形中位线定理可得的长． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，相交于点， ∴， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴． 9．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半和正方形面积公式求解即可． 【详解】解：在中，D是斜边的中点，， ， 正方形的面积为． 10．如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正方形的性质算出，用面积法求出，再利用勾股定理求出，通过证明得到，最后用算出． 【详解】解：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ，， ， ， 解得， ， ，， ， 在和中， ， ， ． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为________． 【答案】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质得到直角三角形的两条直角边长，再用勾股定理求出菱形边长，即可计算周长． 【详解】 解：如图，设菱形的两条对角线，,对角线交于点． 菱形的对角线互相垂直平分， ，，，, 在中，由勾股定理得： ， 菱形四条边长度相等， 菱形周长为． 12．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 【答案】有一个内角为直角（答案不唯一） 【分析】菱形是特殊的平行四边形，只需额外添加符合正方形判定的条件即可． 【详解】解：∵菱形已经满足四条边相等，属于平行四边形， ∴要使菱形成为正方形，只需要添加正方形相对于菱形的额外判定条件： 若菱形有一个内角是直角，根据平行四边形对角相等、邻角互补的性质，可得四个内角均为直角，符合正方形的定义，此时菱形是正方形； 若菱形对角线相等，结合菱形对角线互相垂直平分的性质，可判定该菱形满足正方形的判定要求，此时菱形也是正方形． 因此本题可填写的条件为有一个内角为直角或对角线相等． 13．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】根据平行线的性质求得，再根据折叠的性质即可解答． 【详解】解：在矩形中，， ， ， 根据折叠可得． 14．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 【答案】证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ． 【分析】利用四边形性质得出，，结合题目条件通过证明，从而． 【详解】略． 16．如图，在菱形中，，．求的周长． 【答案】12 【分析】根据菱形的性质得到，，所以，由题干条件可得，所以是等边三角形，，周长即可求得． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 17．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点D为等腰的底边的中点， ，即， 四边形是矩形 (2) 【分析】（1）先根据对角线互相平分证明为平行四边形，再由三线合一得到，即可证明为矩形； （2）先证明是等边三角形，然后利用勾股定理求解，即可求解周长． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等腰三角形，，， 是等边三角形， ， 点D是的中点， ， ， ， 矩形的周长． 18．已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质． （1）根据矩形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出； （2）根据直角三角形得出，根据勾股定理求出，根据矩形的面积公式求出矩形的面积即可． 【详解】（1）解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ； （2）解：∵在中，， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：． 19．如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：由题意得：，即； ∵，， ∴四边形是平行四边形； ∵； ∴四边形是矩形； (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）由题意得：，即；结合，，即可求证； （2）由题意得：，求出，即可； 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴四边形的面积； 20．如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 【答案】 证明：连接，如图： ∵对折矩形纸片，为折痕， ，， 垂直平分 沿折叠，使点D落在矩形内部点M处， 为等边三角形 ． 【分析】本题考查矩形的性质、垂直平分线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 连接，根据对折矩形纸片，为折痕，证得垂直平分，沿折叠，使点D落在矩形内部点M处，证得，进而证得，根据直角三角形的性质，证得即可． 【详解】略 21．综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． (1)【概念理解】 在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号） (2)【性质探究】 如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长． (3)【判定探究】 如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形为“圆满四边形”． 【答案】(1)① (2)14 (3)证明：平分，于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“圆满四边形”． 【分析】（1）根据“圆满四边形”定义即可解决问题； （2）证明，得，根据“圆满四边形”定义和勾股定理即可解决问题； （3）证明，得，然后证明，即可解决问题． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解“圆满四边形”定义． 【详解】（1）解：矩形的四个内角都是， 矩形的两组对角的和为， 矩形是“圆满四边形”； 菱形的对角相等，若内角不是，则对角和不为，故菱形不一定是“圆满四边形”， 因此选①；   （2）解：，，， ， ， 四边形是“圆满四边形”， ， ， ，， ， 四边形的周长； （3）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 特殊平行四边形基础过关自测卷 （考试时间：60分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列选项中，矩形具有菱形不一定具有的性质是（     ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 2．菱形的两条对角线长分别为、，则它的周长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件，使它为矩形，则添加的条件可以是（     ） A． B． C．D． 4．在矩形中，对角线，相交于点O，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是边上的中线，且，则的长是（     ）． A．4 B．6 C．8 D．10 6．下列性质中，矩形和菱形都具有的性质是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．每一条对角线平分一组对角 7．如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点，分别是，的中点，连接．若，则的长为（     ） A． B．3 C．4 D．5 9．如图，在中，D是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，是边上一点，且，于点，，交于点，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 2． 填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 11．已知菱形的两条对角线长分别为6和4，则菱形的周长为________． 12．对于菱形，当满足______________时，它可成为正方形． 13．如图，将矩形沿折叠，使点与点重合，已知，则的度数为___________． 14．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 三．解答题（本题共7小题，第15-第20题每小题8分，第21题10分，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，在正方形中，E，F分别是，上的点，连接，，若，求证：． 16．如图，在菱形中，，．求的周长． 17．如图，是等腰三角形，，点D、E分别是、的中点，连接并延长至点F，使，连接、、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求矩形的周长． 18．已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． (1)求的度数； (2)求矩形的面积． 19．如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 20．如图，四边形是一张长方形纸片，将纸片折叠，使点A与点D，点B与点C重合，得到折痕EF后再把纸片展平；在CD上选一点P，沿AP折叠，使点D恰好落在折痕EF上的点M处．求证：． 21．综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． (1)【概念理解】 在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号） (2)【性质探究】 如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长． (3)【判定探究】 如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形为“圆满四边形”． 1 学科网（北京）股份有限公司 $