26.1 锐角三角函数课件-2026-2027学年冀教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦锐角三角函数，系统讲解正切、正弦和余弦的定义、计算及应用。通过轮船航行问题导入，结合相似三角形性质推导，从正切到正弦、余弦逐步扩展，构建知识支架帮助学生理解概念脉络。 其亮点在于以问题链引导观察抽象（数学眼光），用相似推理证明比值定值（数学思维），结合实际问题应用（数学语言）。如通过格点图形、等腰三角形构造直角三角形，助学生掌握本质，教师教学更高效，学生提升探究与应用能力。

课时1 正切 如图，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距灯塔多少千米？（结果保留两位小数） 在直角三角形中，三边之间具有特殊关系(勾股定理)，两个锐角互余，那么直角三角形的边和角之间是否也有着特殊的关系呢? 角 边 问题1：如图，在两个大小不同的含30°角的直角三角板中，∠C=∠C′= 90°，∠A=∠A′=30°，△ABC和△A′B′C′之间有什么关系？与有怎样的关系？请说明理由. 由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A＝30°， 所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'， AC BC A'C' B'C' ＝ 即 问题2：如图，已知∠EAF＜90°，BC⊥AF，B′C′⊥AF，垂足分别为C，C′.△ABC和△AB′C′之间有什么关系？与有怎样的关系？请说明理由. 由于∠BCA＝∠B′C'A＝90°，∠A＝∠A， 所以Rt△ABC ∽Rt△AB'C'. AC BC AC' B'C' ＝ 即 Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3 可见，在Rt△ABC中，对于锐角A的每一个确定的值，其对边和邻边的比值是唯一确定的． 　　 ＝ ＝ 问题3：观察右图中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，它们之间有什么关系？，与有怎样的关系？ 在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比是确定的. 对任意直角三角形，如果一个锐角确定了，那么这个锐角的对边长度与邻边长度之比是一个常数； 反过来，如果知道一个锐角的对边长度与邻边长度的比值，那么就可以通过一条边的长度求出另一条边的长度. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作tan A， ∠A的对边a A B C ∠A的邻边b 斜边c tan A = ∠A的对边 ∠A的邻边 ————— 即 1.正切是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关.即∠A的正切tan A随着∠A的变化而变化. 2.“tan A”是一个完整的符号，单独写符号tan是没有意义的，表达时有时要省去角的符号“∠” . ①省去“∠”的情况：当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，如：tan A，tan α . ②不能省去“∠”的情况：当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，如：tan ∠ABC，tan ∠1 . 注意： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=8，AB=10，求tan A的值． 在Rt△ABC中， ∵BC=8，AB=10， ∴根据勾股定理，得AC===6. ∴tan A==. A B C ┌ tan A与哪两条边有关？ tan A= ，与BC和AC有关 已知锐角的具体度数，可以利用科学计算器求得这个锐角的正切值. 如图，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5 km到达C处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距灯塔多少千米？（结果保留两位小数） 根据题意，得∠BAC＝90°－35°=55°. 提示：要求的是哪条边？结合已知条件，可以通过哪个角的正切值求得这条边？（可用计算器） 此时轮船距灯塔约7.14 km. ∴BC=AC· 5×tan 55°≈7.14（km）. 在Rt△ABC中，∵tan ∠BAC＝，AC=5 km， 利用科学计算器可以求得tan 55°≈1.428. 求BC长度 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则tan A的值是____. 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tan A= ，则BC=____. 2 1.如图，在Rt△ABC中，锐角A的对边和邻边同时扩大100倍，tan A的值 （ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 A B C ┌ C 2.点在图中相应的格点上，则tan∠ACB的值为__________． 解析：由图形知 3.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8.求 tan B 的值. 解: ∵ ∠ACB＝ ∠ADC =90°， ∴∠B+ ∠A=90°， ∠ACD+ ∠A =90°， ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD = 正切 定义 对边与邻边的比 表示方法 有关计算 与锐角的大小有关， 与三角形边的长短无关 本节课我们学习了哪些知识？ 课时2 正弦 和余弦 如图，已知∠BAC为任意给定的一个锐角，B1，B2为射线AB上的任意两点，过点B1，B2分别作B1C1，B2C2，垂足分别为C1，C2. 由于∠B1C1A＝∠B2C2A＝90°，∠A＝∠A， 所以Rt△AB1C1 ∽Rt△AB2C2. 请说明与，与分别相等. 即=，=. 锐角的对边 斜边 锐角的邻边 斜边 A B1 C1 B2 B C2 C 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，锐角A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值. ∠A的对边a A B C ∠A的邻边b 斜边c sin A = ∠A的对边 斜边 ————— 即 ∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A， cos A = ∠A的邻边 斜边 ————— 即 ∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A， 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. ∠B的正弦是边AC与AB的比值，即sin B=； ∠B的余弦是边BC与AB的比值，即cos B=. sin A=，cos A=， ∵a＜c，b＜c，∴＜1，＜1， ∴sin A＜1，cos A＜1. ∠A的对边a A B C ∠A的邻边b 斜边c 问题2：由a＜c，b＜c，说一说sin A和cos A的值与1的大小关系. 问题1：∠B的正弦和余弦分别是哪两边的比值？ 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求sin A，cos A，tan A的值． 解：在Rt△ABC中， ∵AC=5，BC=12， ∴AB===13. ∴sin A=，cos A==， tan A==. B A C 在直角三角形中，如果已知两条边的长度，即可求出所有锐角的正弦、余弦和正切值. 思考：(1)对于锐角α的每一个确定的值，sin α，cos α和tan α是否有唯一的值和它对应? (2)当锐角α的大小变化时，sin α，cos α，tan α是否变化? 在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比、邻边与斜边的比以及对边与邻边的比，都是唯一确定的； 当锐角α变化时，相应的值也会发生相应的变化. sin α，cos α和tan α的大小只与锐角α的大小有关，与直角三角形的边长无关. 角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为α的三角函数. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，求∠A的度数．（结果精确到1″） 解：在Rt△ABC中， ∵AB=5，BC=4， ∴sin A==0.8. B A C 提示：利用科学计算器，可由已知三角函数值求出它对应的锐角. 由科学计算器求得∠A≈53°7′48″. 1.如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosB的值是（ ） A. B. C. D. A 2.△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosα的值是（ ） A. B. C. D. C 3.已知∠A，∠B为锐角. (1)若∠A=∠B，则sin A sin B; (2)若sin A=sin B，则∠A ∠B. = = 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=2，BC=3. sinA=_______，cosA=_______，tanA=_____， sinB=_______，cosB=_______，tanB=_____. 5. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cos B 及tan B 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于 D. ∵ AB = AC， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中 A B C ∴ D 提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形. ∴ tanB = 正弦 和余弦 锐角三角函数 正弦 余弦 ∠A的对边a A B C ∠A的邻边b 斜边c sin A = ∠A的对边 斜边 ————— cos A = ∠A的邻边 斜边 ————— $