第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 （教学设计+导学案） 2026--2027学年沪科版八年级数学上册

沪科版八年级数学上册第13章 《三角形中的边角关系、命题与证明》导学案 （配套2024新教材 · 全章6课时 · 预习＋探究＋分层训练 · 对标合肥段考） 使用说明：课前独立完成【自主预习】；课上随教学完成【合作探究】；课后按层次完成【分层小测】（★基础、★★提升、★★★拓展）。每节末附答案与易错警示，建议先做后对。 课时1　13.1.1 三角形中边的关系 【学习目标】 1．认识三角形及边、顶点、内角，会用符号表示三角形；2．掌握三边关系定理，会判断三条线段能否构成三角形；3．会用分类讨论解决等腰三角形边长、周长问题。 【知识梳理】 1．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫三角形，三角形有3条边、3个内角、3个顶点。 2．三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。判断技巧：只需“较短两边之和＞最长边”。 3．按边分类：不等边三角形、等腰三角形（含等边三角形，等边是特殊的等腰）。 【课前自主预习】（★基础） 1．由不在同一直线上的三条线段首尾＿＿＿＿＿＿相接所组成的图形叫做三角形。 2．三角形任意两边之和＿＿＿＿＿＿第三边；任意两边之差＿＿＿＿＿＿第三边。 3．判断三条线段能否组成三角形，只需比较＿＿＿＿＿＿之和与＿＿＿＿＿＿的大小。 【课堂合作探究】 探究1（能拼吗）：三根木棒长（1）3、4、5；（2）2、3、6，能否围成三角形？说明理由。 探究2（取值范围）：已知三角形两边长为5和9，求第三边x的取值范围。 探究3（等腰分类）：等腰三角形一边长4、一边长9，求周长，并说明为什么要分类、要验证。 【分层小测】 1．★ 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　） A．1、2、3　　B．2、3、4　　C．2、2、5　　D．3、3、6 2．★ 已知三角形两边长为3和8，则第三边长可以是（　） A．4　　B．6　　C．11　　D．12 3．★★（合肥生活情境）社区设置三角形共享单车停放架，已知其中两根边架长分别为1.2 m和1.8 m，第三根边架的长取整数米，则第三根边架可以有几种取值？分别是多少？ 4．★★ 等腰三角形周长为20，腰长是底边长的2倍，求三边长。 5．★★★ 等腰三角形一边长为5，周长为21，求其余两边的长（提示：分“5为腰”“5为底”两种情况，并验证能否构成三角形）。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．顺次　2．大于；小于　3．较短两边；最长边。 探究：1．（1）能，3+4＞5；（2）不能，2+3＜6。2．4＜x＜14。3．腰为4时4+4＜9不成立；腰为9时周长=9+9+4=22。 小测：1．B。2．B（5＜第三边＜11）。3．0.6＜x＜3，整数x=1、2，共2种。4．设底为x，腰为2x，x+2x+2x=20，x=4，三边为8、8、4。5．5为腰时底=11，但5+5＜11不成立；5为底时两腰=(21−5)/2=8，三边为5、8、8。 ★易错警示：等腰边长问题必须“先分类、后验证”，求出的每一种组合都要回到三边关系检验能否真正构成三角形。 课时2　13.1.2 三角形中角的关系 【学习目标】 1．掌握三角形内角和定理并了解其证明；2．会按角对三角形分类；3．掌握外角概念与性质并会计算。 【知识梳理】 1．三角形三个内角和等于180°；直角三角形两锐角互余。 2．按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，因此大于任何一个与它不相邻的内角；三角形外角和为360°。 【课前自主预习】（★基础） 1．三角形三个内角的和等于＿＿＿＿＿＿。 2．三个内角都是锐角的三角形叫＿＿＿＿＿＿三角形；有一个角是直角的叫＿＿＿＿＿＿三角形；有一个角是钝角的叫＿＿＿＿＿＿三角形。 3．三角形的一个外角等于与它＿＿＿＿＿＿的两个内角之和。 【课堂合作探究】 探究1（说理）：如图，过顶点A作直线l∥BC，怎样利用平行线性质说明内角和为180°？写出推理。 探究2（分类）：△ABC中∠A=100°、∠B=40°，求∠C并判断按角分类的结果。 探究3（外角）：如图，△ABC中∠A=50°、∠B=60°，延长BC到D，求外角∠ACD。 【分层小测】 1．★ 在△ABC中，∠A=35°、∠B=65°，则∠C=＿＿＿＿＿＿。 2．★★ 如图，△ABC中∠A=50°、∠B=60°，延长BC到D，则外角∠ACD=＿＿＿＿＿＿。 3．★★（三角板情境）一个直角三角形两个锐角度数之比为2∶3，则较大的锐角为＿＿＿＿＿＿。 4．★★ 在△ABC中，∠B=2∠A，∠C=∠A+20°。（1）求三个内角；（2）判断按角分类。 5．★★★ 如图，△ABC中∠A=70°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB且交于点O，求∠BOC的度数。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．180°　2．锐角；直角；钝角　3．不相邻。 探究：1．由l∥BC，内错角相等把三个内角拼成一个平角，故和为180°。2．∠C=40°，钝角三角形。3．∠ACD=∠A+∠B=110°。 小测：1．80°。2．110°。3．54°（两锐角和90°，90°×3/5=54°）。4．设∠A=x，x+2x+x+20=180，x=40°，故∠A=40°、∠B=80°、∠C=60°，锐角三角形。5．∠ABC+∠ACB=110°，∠OBC+∠OCB=55°，∠BOC=125°。 ★易错警示：外角等于“不相邻”的两个内角之和，不要把与外角相邻的那个内角也算进去；求两内角平分线夹角用公式∠BOC=90°+½∠A。 课时3　13.1.3 三角形中的几条重要线段 【学习目标】 1．认识中线、角平分线、高并会规范作图；2．理解中线平分三角形面积；3．会处理高在形内、形外的不同情况。 【知识梳理】 1．中线：顶点与对边中点的线段，三条中线交于重心；一条中线把三角形分成面积相等的两部分。 2．角平分线：内角平分线与对边交点间的线段，三条角平分线交于一点。 3．高：顶点到对边所在直线的垂线段。锐角三角形三条高都在形内；直角三角形两条高就是直角边；钝角三角形有两条高在形外。 【课前自主预习】（★基础） 1．连接三角形顶点与对边＿＿＿＿＿＿的线段叫中线。 2．三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点间的线段叫＿＿＿＿＿＿。 3．从三角形一个顶点向对边所在直线作＿＿＿＿＿＿，顶点与垂足间的线段叫高。 【课堂合作探究】 探究1（画一画）：画出钝角三角形的三条高，观察有几条在形外？三条高所在直线是否交于一点？ 探究2（中线性质）：△ABC中AD是中线，若△ABD面积为6，求△ABC面积并说明理由。 探究3（角平分线）：△ABC中∠B=40°、∠C=60°，AD是角平分线，求∠BAD。 【分层小测】 1．★ 三角形三条中线交于一点，这个点叫三角形的＿＿＿＿＿＿。 2．★★ 如图，在钝角三角形ABC中，BC边上的高为（　） A．AD　　B．BF　　C．CE　　D．AB 3．★★ △ABC中AD是中线，△ABD的周长比△ACD的周长大2，AB=8，则AC=＿＿＿＿＿＿。 4．★★★ 如图，△ABC中∠B=40°、∠C=60°，AD是BC边上的高，AE平分∠BAC。（1）求∠BAC、∠BAE；（2）求∠DAE。 5．★★★（面积分割）△ABC中D是BC中点，E是AD中点，若△ABC面积为24，求△ABE的面积。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．中点　2．三角形的角平分线　3．垂线。 探究：1．两条高在形外，三条高所在直线交于一点。2．中线平分面积，S△ABC=12。3．∠A=80°，∠BAD=40°。 小测：1．重心。2．A。3．BD=CD、AD为公共边，△ABD周长−△ACD周长=AB−AC=2，故AC=8−2=6。4．（1）∠BAC=80°、∠BAE=40°；（2）∠BAD=90°−40°=50°，∠DAE=∠BAD−∠BAE=10°。5．D为中点S△ABD=12，E为AD中点S△ABE=6。 ★易错警示：钝角三角形画高时垂足可能落在边的延长线上，高是“顶点到对边所在直线”的距离，别把垂足强行画在边上。 课时4　13.2 命题与证明（一）：命题 【学习目标】 1．会判断一个语句是否为命题；2．能分清命题的题设与结论，会改写为“如果……那么……”；3．会判断真假命题并举反例。 【知识梳理】 1．对一件事情作出判断的语句（陈述句）叫命题；疑问句、祈使句、作图指令都不是命题。 2．命题由题设（条件）和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”。 3．正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题；判断假命题只需举一个反例。 【课前自主预习】（★基础） 1．对某件事情作出＿＿＿＿＿＿判断的语句叫做命题。 2．命题由＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿两部分组成。 3．正确的命题叫＿＿＿＿＿＿，错误的命题叫＿＿＿＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（识别）：下列哪些是命题：（1）你喜欢数学吗？（2）两点之间线段最短；（3）画线段AB=3 cm；（4）对顶角相等。 探究2（改写）：把“同角的余角相等”改写为“如果……那么……”，指出题设与结论。 探究3（真假）：判断“两个锐角的和一定是钝角”的真假，若假请举反例。 【分层小测】 1．★ 下列语句是命题的是（　） A．连接AB　　B．x＞3　　C．对顶角相等　　D．你好吗 2．★★ 命题“两直线平行，同位角相等”的题设是＿＿＿＿＿＿，结论是＿＿＿＿＿＿。 3．★★ 把“等腰三角形两底角相等”改写成“如果……那么……”形式。 4．★★★ 判断真假，假命题举反例：（1）三角形中可以有两个钝角；（2）若a＞b，则a²＞b²。 5．★★★ 举反例说明“一个角的补角一定大于这个角”是假命题。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．明确　2．题设（条件）；结论　3．真命题；假命题。 探究：1．（2）（4）是命题；（1）疑问、（3）指令不是命题。2．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。3．假，如60°+30°=90°不是钝角。 小测：1．C。2．两直线平行；同位角相等。3．如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等。4．（1）假，三角形内角和180°不可能有两个钝角；（2）假，如a=1、b=−2时1²＜(−2)²。5．如120°角的补角是60°，60°＜120°，故为假命题。 ★易错警示：举反例只要找到“满足条件但结论不成立”的一个例子即可；含字母的命题要特别注意负数、0等特殊值。 课时5　13.2 命题与证明（二）：证明的格式 【学习目标】 1．理解公理（基本事实）、定理、证明的含义；2．掌握“∵……∴……”的规范书写；3．会证明“对顶角相等”等简单命题。 【知识梳理】 1．从已知出发，依据定义、基本事实、已证定理推出结论的过程叫证明；证明要步步有据。 2．基本事实（公理）不需证明，如“两点确定一条直线”“两点之间线段最短”；定理是经过证明的真命题。 3．对顶角相等：两条直线相交，对顶角可借助“同角的补角相等”证明。 【课前自主预习】（★基础） 1．证明中常用“∵”表示＿＿＿＿＿＿，“∴”表示＿＿＿＿＿＿。 2．“两点之间线段最短”属于＿＿＿＿＿＿（填基本事实或定理）。 3．证明过程中每一步推理都要有＿＿＿＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（对顶角）：如图，直线AB、CD相交于点O，借助平角定义证明∠1=∠3。 探究2（规范书写）：直线a、b被c所截，a∥b，∠1与∠2是同位角且∠1=50°，求∠2并注明依据。 探究3（纠错）：某同学证明“同角的补角相等”只写“显然成立”，指出问题并补全。 【分层小测】 1．★ “同角（等角）的补角相等”是＿＿＿＿＿＿（填基本事实或定理）。 2．★★ 已知∠1与∠2互余、∠2与∠3互余，由“同角的余角相等”可得＿＿＿＿＿＿。 3．★★★ 如图，直线AB、CD相交于点O，∠1=70°，求∠3并写出每步依据。 4．★★★ 如图，直线AB、CD相交于O，OE平分∠AOC，∠AOC=80°，求∠AOE与∠BOD。 5．★★★ 已知一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，试画图并判断这两个角的数量关系（相等或互补）。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．因为；所以　2．基本事实　3．依据。 探究：1．∵∠1+∠2=180°、∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠1=∠3（同角的补角相等）。2．∠2=50°（两直线平行，同位角相等）。3．缺依据；设∠1+∠2=180°、∠1+∠3=180°，则∠2=∠3。 小测：1．定理。2．∠1=∠3。3．∠3=70°，依据同探究1。4．∠AOE=½∠AOC=40°；∠BOD=∠AOC=80°（对顶角相等）。5．两边方向分别相同则相等，方向一同一反则互补，即“相等或互补”。 ★易错警示：对顶角必须由“两条直线相交”产生且没有公共边；写证明时“∵”后写条件、“∴”后写结论，括号内注明依据。 课时6　13.2 命题与证明（三）＋本章小结 【学习目标】 1．会证明三角形外角性质；2．会进行较综合的角度推理；3．构建全章知识网络。 【知识梳理】（全章框架） 三角形：边（三边关系、按边分类）→角（内角和180°、外角性质、按角分类）→主要线段（高、中线、角平分线）→命题与证明（命题结构、真假、反例、证明书写）。 【课前自主预习】（★基础） 1．三角形的一个外角等于与它＿＿＿＿＿＿的两个内角之和。 2．三角形的外角和等于＿＿＿＿＿＿。 3．本章研究问题的一般路径是：观察—猜想—＿＿＿＿＿＿。 【课堂合作探究】 探究1（证外角性质）：已知△ABC，延长BC到D，用内角和定理证明∠ACD=∠A+∠B。 探究2（综合）：△ABC中∠B=2∠A、∠C=∠A+20°，求三个内角。 探究3（角平分线综合）：△ABC中∠A=60°，BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于O，求∠BOC。 【分层小测】 1．★ 三角形的一个外角为80°，与它不相邻的两个内角度数比为2∶3，则这两个内角分别为＿＿＿＿＿＿。 2．★★ 如图，△ABC中∠A=55°、∠B=65°，延长BC到D，则外角∠ACD=＿＿＿＿＿＿，并说明依据。 3．★★ 已知△ABC中∠A=90°，∠B、∠C的平分线交于O，求∠BOC。 4．★★★ 已知：△ABC，延长BC到D。求证：∠ACD=∠A+∠B（写出已知、求证、证明，步步注明依据）。 5．★★★（综合提升）如图，△ABC中∠A=50°，BD平分∠ABC，外角∠ACE的平分线交BD延长线于点I，求∠BIC的度数。 【本课时参考答案与易错警示】 预习：1．不相邻　2．360°　3．证明。 探究：1．∵∠A+∠B+∠ACB=180°（内角和），∠ACD+∠ACB=180°（平角），∴∠ACD=∠A+∠B。2．∠A=40°、∠B=80°、∠C=60°。3．∠OBC+∠OCB=½(180°−60°)=60°，∠BOC=120°。 小测：1．32°、48°。2．120°，依据“外角等于不相邻两内角之和”。3．∠BOC=90°+½×90°=135°。4．见探究1（要求写出完整“已知—求证—证明”）。5．∠BIC=½∠A=25°（一内一外角平分线夹角等于第三角的一半）。 ★易错警示：内角平分线夹角∠BOC=90°+½∠A；一内一外角平分线夹角=½∠A；两外角平分线夹角=90°−½∠A，三个模型不要混淆。 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪科版八年级数学上册第13章《三角形中的边角关系、命题与证明》教学设计 （2024版新教材 · 全章4课时 · 含图与场景化教学流程） 一、教材分析 本章是沪科版（2024版）八年级上册第13章，属于"图形与几何"领域"图形的性质"主题。三角形是最基本的多边形，三角形的边角关系是研究其他几何图形（四边形、多边形乃至圆）的性质基础。本章由"13.1 三角形中的边角关系"和"13.2 命题与证明"两节组成：13.1 依次研究三角形三边关系、内角和定理、外角性质以及高、中线、角平分线等主要线段；13.2 引入命题、真命题与假命题、定理、公理、证明等逻辑概念，是学生从"合情推理"走向"演绎推理"的转折点，也是后续学习全等三角形、轴对称等章节证明书写的基础。 二、全章知识结构 全章知识结构图（边、角、主要线段，命题与证明） 三、课标要求与核心素养 课标要求：探索并证明三角形内角和定理；掌握三角形任意两边之和大于第三边；理解三角形的高、中线、角平分线等概念；了解定义、命题、定理、证明的意义，会区分命题的条件与结论，会判断命题的真假，能证明一些简单命题。 本章重点发展：空间观念与几何直观（从实物与图形抽象三角形）、推理能力（命题证明起步）、运算能力（角度的计算）、应用意识（用三边关系、角度关系解决现实问题）。 四、学情分析 学生在小学已认识三角形及其分类，会求三角形内角和；七年级学习了相交线与平行线，初步接触几何说理。但学生对"严谨证明"的认识几乎空白，容易凭直觉判断而缺乏逻辑依据；对"三边关系""外角"等虽能感知却未系统论证。教学中应放慢证明起步的节奏，先让学生经历"猜想—验证—证明"的完整过程，再规范证明书写。 五、教学目标 1．理解三角形及三角形的边、顶点、角等概念，掌握三边关系定理，会判断三条线段能否组成三角形； 2．掌握三角形内角和定理及其推论（直角三角形的两个锐角互余、外角等于不相邻两内角之和），会进行相关计算； 3．理解三角形的高、中线、角平分线的概念，会画这三种线段，了解它们的基本性质； 4．理解命题、真命题、假命题、定理、证明等概念，能区分命题的条件与结论，能证明简单的几何命题。 六、教学重难点 重点：三边关系定理；内角和定理与外角性质；命题的结构与证明的基本方法。 难点：证明思路的探索与规范书写；分类讨论（等腰三角形边角问题）；外角性质的灵活运用。 七、课时安排 课时 教学内容 核心任务 对应教材 第1课时 三角形中边的关系 三边关系定理及应用（含等腰分类） 13.1 第2课时 三角形中角的关系 内角和、外角性质、按角分类 13.1 第3课时 三角形中的主要线段 高、中线、角平分线的概念与画法 13.1 第4课时 命题与证明 命题结构、真假判断、简单证明 13.2 八、分课时教学设计 第1课时　三角形中边的关系（13.1） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）理解三角形及其相关概念，理解三角形按边分类的方法； （2）掌握三角形三边关系定理，能判断三条线段能否组成三角形，会求等腰三角形的边长与周长（含分类讨论）。 2．教学重难点 重点：三边关系定理。难点：等腰三角形边长的分类讨论与三角形存在性验证。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：学校安装校园安全围栏，工人师傅用三根钢管搭建三角支架。现有三组钢管长度：①3 m、4 m、5 m；②2 m、3 m、6 m；③3 m、3 m、3 m。提问：哪一组能搭成三角形？为什么第②组不行？引导学生动手用小棒实验。 情境：三根小棒能否组成三角形的实验 （2）探究新知（16分钟） 探究1（三边关系）：学生动手操作后归纳：三角形任意两边之和大于第三边。追问：结合图形说明，为什么"两点之间线段最短"能解释这一结论？（AC+BC＞AB，即折线比直线长） 探究2（判断方法）：判断三条线段能否组成三角形，只需验证"较短两边之和大于最长边"。辨析：2、3、6不能；2、5、6能。 探究3（按边分类）：三边都不相等→不等边三角形；有两边相等→等腰三角形（腰、底边、顶角、底角）；三边都相等→等边三角形（正三角形）。指出等边三角形是特殊的等腰三角形。 探究：三角形按边分类 （3）例题精讲（14分钟） 例1　已知三角形的两边长分别为4和9。（1）求第三边x的取值范围；（2）若第三边是奇数，求第三边的长；（3）若该三角形是等腰三角形，求它的周长。 解析：（1）9−4＜x＜9+4，即5＜x＜13；（2）奇数x=7、9、11；（3）等腰：若腰为9，则三边9、9、4，满足9+4＞9，周长22；若腰为4，则4+4＜9，不能构成三角形，舍去，故周长=22。 设计意图：强调等腰三角形边长的"先假设、后验证"，渗透分类讨论与方程思想。 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　三条线段的长分别为a−2、a、a+2（a＞4），判断它们能否组成三角形，并求周长范围。（a−2+a＞a+2恒成立，能；周长=3a） 变式2　等腰三角形的周长为20，一边长为6，求另外两边的长。（腰为6：6、6、8；底为6：7、7） （5）课堂小结（4分钟） 三边关系：任意两边之和大于第三边；判断技巧：较短两边之和＞最长边；等腰问题：分类讨论+验证存在性。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：用一根长24 cm的铁丝围成等腰三角形，写出腰长x的取值范围（6＜x＜12）。 第2课时　三角形中角的关系（13.1） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）掌握三角形内角和定理及其证明，理解按角分类； （2）掌握三角形外角的概念与性质，会用内角和外角性质进行计算与推理。 2．教学重难点 重点：内角和定理与外角性质。难点：外角性质"等于不相邻两内角之和"的证明与灵活应用。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：工人师傅在安装三角形木框时，需要计算第三个角的度数。已知其中两个角分别为70°和50°。提问：第三个角是多少度？依据是什么？学生测量三角形纸片内角并求和，发现约为180°，提出猜想。 情境：折叠法验证三角形内角和为180° （2）探究新知（16分钟） 探究1（内角和证明）：引导用"剪拼法"把三个角拼成一个平角；再引导用平行线的性质证明：过点A作BC的平行线l，利用"两直线平行，内错角相等、同旁内角互补"推出内角和180°。 探究2（按角分类）：三个角都是锐角→锐角三角形；有一个角是直角→直角三角形（斜边、直角边）；有一个角是钝角→钝角三角形。推论：直角三角形的两个锐角互余。 探究3（外角性质）：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫外角。证明外角性质：∠ACD=∠A+∠B。追问：外角大于任何一个与它不相邻的内角。 探究：三角形外角及其性质 （3）例题精讲（14分钟） 例2　如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE交于点I。（1）求∠BIC的度数；（2）若∠A=α，用含α的式子表示∠BIC。 解析：（1）∠ABC+∠ACB=110°，∠IBC+∠ICB=55°，∠BIC=180°−55°=125°；（2）∠BIC=180°−½(∠ABC+∠ACB)=180°−½(180°−α)=90°+½α。 例2：两内角平分线夹角问题 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　△ABC中，∠A=2∠B，∠C=∠A+∠B，求各角的度数并判断三角形的形状。（设∠B=x，则∠A=2x，∠C=3x，6x=180°，x=30°，∠A=60°，∠B=30°，∠C=90°，直角三角形） 变式2　如图，D是BC延长线上一点，∠A=50°，∠B=60°，求∠ACD的度数。（外角性质：∠ACD=50°+60°=110°） （5）课堂小结（4分钟） 内角和180°（证明方法：平行线转化）；外角=不相邻两内角之和；直角三角形两锐角互余；角平分线夹角公式∠BIC=90°+½∠A。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：探究两外角平分线夹角∠BPC与∠A的关系（90°−½∠A），并尝试证明。 第3课时　三角形中的主要线段（13.1） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）理解三角形的高、中线、角平分线的概念，会画出任意三角形的三条高、三条中线、三条角平分线； （2）了解重心（三条中线交点）等概念，会利用中线、角平分线进行简单计算。 2．教学重难点 重点：三种线段的画法与概念辨析。难点：钝角三角形高的画法（在三角形外部）。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：学校要在一块三角形空地中确定"中心点"安装旗杆，使旗杆到三边距离都相等；还要找一块"重心点"支起木板模型。提问：这些点分别对应三角形的什么线段交点？ 情境：锐角三角形的高 （2）探究新知（18分钟） 探究1（高）：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫高。学生分别画锐角、直角、钝角三角形的高，归纳：锐角三角形三条高在形内且交于一点；直角三角形两条高是直角边、交于直角顶点；钝角三角形两条高在形外（画延长线），三条高所在直线交于一点。 探究：钝角三角形的两条高在三角形外部 探究2（中线）：连接顶点与对边中点的线段叫中线。三条中线交于一点（重心），重心把每条中线分成2∶1两部分（此结论初中阶段只作了解，不作要求）。追问：中线把三角形分成面积相等的两个三角形，为什么？（等底同高） 探究：三角形的中线与重心 探究3（角平分线）：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等（内心性质在15.4角平分线章节深化）。 （3）例题精讲（12分钟） 例3　如图，AD是△ABC的中线，AB=8，AC=10，BC=12。（1）比较△ABD与△ACD的周长差；（2）若△ABD的周长为19，求AD的长。 解析：（1）BD=CD，周长差=(AB+BD+AD)−(AC+CD+AD)=AB−AC=8−10=−2，即△ACD比△ABD周长长2；（2）BC=12，BD=½BC=6；△ABD周长=8+6+AD=19，AD=5。 例3：中线与周长差、求线段长 （4）变式巩固（8分钟） 变式1　△ABC中，∠A=50°，∠ABC与∠ACB的平分线交于I，求∠BIC。（115°） 变式2　如图，△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=40°，∠C=60°，求∠BAD、∠CAD。（∠BAD=50°，∠CAD=30°） 变式2：高与角度的计算 （5）课堂小结（4分钟） 三条高（所在直线交于一点）、三条中线（交于重心）、三条角平分线（交于内心）；高线的"形内形外"取决于三角形形状。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：用折纸的方法找出三角形的重心，并用悬挂法验证。 第4课时　命题与证明（13.2） 【课型】新授课　　【课时】1课时 1．教学目标 （1）理解命题、真命题、假命题、定理、公理、证明等概念； （2）能识别命题的条件与结论，能判断命题的真假并举出反例； （3）初步掌握证明的一般步骤，能证明简单命题。 2．教学重难点 重点：命题的结构与证明步骤。难点：将文字命题改写为"如果……那么……"形式，并写出严谨的证明过程。 3．教学过程 （1）情境导入（6分钟） 情境：法庭上"证词"必须条理清晰、有依据；数学中"结论"同样需要用道理说服人。出示三句话：①今天天气真好啊！（感叹，不是命题）；②对顶角相等；③如果a＞b，那么a²＞b²。提问：哪些是可以判断真假的陈述句？ 情境：对顶角相等——命题的直观背景 （2）探究新知（16分钟） 探究1（命题概念）：对一件事情作出判断的语句叫做命题。命题由"条件"和"结论"两部分组成，一般写成"如果……那么……"的形式。练习：把"同角的余角相等"改写为"如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等"。 探究2（真假命题）：正确的命题是真命题，错误的命题是假命题。判断"如果a＞b，那么a²＞b²"的真假——举反例：a=1，b=−2，1＞−2但1²＜(−2)²，故为假命题。归纳：说明假命题只需一个反例。 探究3（定理与证明）：经过推理证实的真命题叫做定理，如"三角形内角和定理"；根据已知条件、定义、公理、定理进行推理的过程叫证明。以"对顶角相等"为例示范证明书写：已知：直线AB与CD相交于点O，求证：∠AOC=∠BOD。证明：∠AOC+∠AOD=180°（平角定义），∠BOD+∠AOD=180°（平角定义），∴∠AOC=∠BOD（同角的补角相等）。 （3）例题精讲（12分钟） 例4　写出下列命题的条件和结论，并判断真假：（1）如果两个角相等，那么它们的补角相等；（2）如果a²=b²，那么a=b。 解析：（1）条件：两个角相等；结论：它们的补角相等。真命题（等角的补角相等）。（2）条件：a²=b²；结论：a=b。假命题（反例：a=1，b=−1，a²=b²=1但a≠b）。 例5　已知：如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC，∠AOC=80°。（1）求∠AOE的度数；（2）求∠BOD的度数。 例5：对顶角与角平分线综合图 解析：（1）∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=½∠AOC=½×80°=40°；（2）∵直线AB、CD相交于点O，∠BOD与∠AOC是对顶角，∴∠BOD=∠AOC=80°（对顶角相等）。设计意图：综合考查角平分线定义与对顶角相等，训练规范的“∵……∴……”推理书写。 （4）变式巩固（10分钟） 变式1　写出命题"等腰三角形两底角相等"的条件与结论，并用"如果……那么……"表述。 变式2　下列推理是否正确？"因为a=b，所以a²=b²"（正确）；"因为a²=b²，所以a=b"（不正确）。体会推理的"条件→结论"单向性。 变式3　证明：两直线平行，同旁内角互补。（已知：a∥b，直线c与a、b相交；求证：同旁内角互补。用"同位角相等+邻补角"或"内错角相等+对顶角"完成） （5）课堂小结（4分钟） 命题四要素：判断语句、条件、结论、真假；假命题用反例反驳；证明三要素：已知、求证、证明（步步有据）。 4．作业布置 必做：教材习题；选做：收集生活中3个命题并判断真假，其中至少1个假命题用反例说明。 九、教学评价设计 评价维度 评价方式 评价要点 知识理解 课堂提问、限时小测 三边关系、内角和、外角、命题概念准确 技能操作 板演、作图练习 三种线段作图规范，证明书写步步有据 推理能力 证明题批改、变式训练 能识别条件结论，会举反例，证明过程完整 应用意识 情境探究、项目作业 会用边角关系解决围栏、角度计算等实际问题 十、教学资源与准备 多媒体课件（含围栏搭架、旗杆选址等情境）、三角板、量角器、小棒（探究三边关系）、坐标纸、学生学案与分层练习卷。 （本教学设计依据2024版沪科版八年级上册教材编写，全部图片为教学原创示意图，与课文内容一一对应。） 学科网（北京）股份有限公司 $