2.1.2等式的性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式与不等式的性质，通过回顾实数大小比较依据、作差法等旧知导入，搭建从等式性质类比探究不等式性质的学习支架，帮助学生建立知识间的逻辑联系。 其亮点在于以类比思想为主线，先梳理等式性质的自身特性与运算不变性，再引导学生猜想并从数（作差证明）与形（数轴解释）角度证明不等式性质，培养推理能力与几何直观。归纳小结用表格清晰呈现性质及注意事项，例题与变式训练（如求取值范围）强化应用意识，助力学生形成严谨思维，教师可直接用于教学提升效率。

2.1 等式的性质与不等式的性质 （第1课时） 人教A版2019数学 必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 等式性质与不等式性质 相等关系与不等关系 等式性质与不等式的性质 基本不等式 基本不等式 基本不等式的应用 二次函数与一元二次方程、不等式 一元二次不等式及解法 一元二次不等式的应用 本章知识框图 课标要求 梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础。本单元的学习，可以帮助学生通过类比，理解等式和不等式的共性与差异，掌握基本不等式 03 01 02 能运用不等式的基本性质发现并证明一些不等式的常用性质，并能运用不等式的性质证明一些简单的命题。 梳理等式的基本性质，能从中归纳出数学思想和方法（自身的特性和运算的不变性） 课时教学目标 能类比等式基本性质的研究方法，猜想不等式的基本性质并能加以证明，体会等式基本性质与不等式基本性质的共性与差异性。 问题1：上节课学习了两个实数大小关系的基本事实，并介绍了两个重要的不等式，你能说说分别都是什么？ 环节一 新课导入 作差 → 变形 → 判断符号 → 作出结论 1．比较两个实数大小关系的依据： 2．作差比较法 糖水 不等式 3.重要不等式 4.糖水不等式 环节二 新课探究 问题2：关于两个实数大小关系的基本事实为研究不等式的性质奠定了基 础． 那么， 不等式到底有哪些性质呢？ 因为不等式与等式一样， 都是对大小关系的刻画， 所以我们可以从等式的性质及其研究方法中获得启发． 问题3：你能说说等式都有哪些性质吗？再观察它们的共性． 你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 环节二 新课探究 问题3：你能说说等式都有哪些性质吗？再观察它们的共性． 你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？ 对称性 传递性 加法 乘法 乘法 性质3,4,5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性． 运算的不变性即为性质 性质1,2反映了相等关系自身的特性 环节二 新课探究 问题4：类比等式的基本性质， 你能猜想不等式的基本性质， 并加以证明吗？ 类比等式的对称性，有： 证明：由，得因为正数的相反数是负数， 所以,即，所以 环节二 新课探究 类比等式的传递性，有： 环节二 新课探究 类比等式的可加性，有： 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.把数轴上的两个点与同时沿相同方向移动相等的距离，移动后两点左右位置关系不会改变. 环节二 新课探究 类比等式的可加性，有： 问题5：从形的角度我们已经证明了性质3，你能从数的角度再证明它吗？ 证明: 即 . 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 环节二 新课探究 类比等式的可乘性，有： 证明:因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 同理，因为，所以. 因为, 所以. 所以，则. 本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变； 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变 环节二 新课探究 利用这些基本性质， 我们还可以推导出其他一些常用的不等式的性质. 本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向. 证明:因为由性质3(可加性)，得 ； 由由性质3(可加性)，得 . 再根据性质2(传递性)，即得 环节二 新课探究 证明:因为, ，所以. 因为, 所以bd. 所以. 性质6告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。 环节二 新课探究 证明:因为， ,所以. 以此类推，连续相乘 n 次, 所以 性质7告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别乘方，所得的不等式和原不等式同向。 环节三 应用新知 例1 环节三 应用新知 说明： 变式训练 环节三 应用新知 环节三 应用新知 例2 变式训练 环节三 应用新知 答案：C 变式训练 环节三 应用新知 答案：B 变式训练 环节三 应用新知 环节四 归纳小结 不等式的性质 环节五 作业布置 P42 练习第1,2题； P42 习题2.1第5,6,8,9,11题. 感谢聆听 一般地，，有， 当且仅当时，等号成立． 已知，，则有： 性质1：如果，那么； 性质2 ：如果，，那么； 性质3： 如果，那么； 性质4：如果，那么； 性质5：如果，，那么 由两个实数大小关系的基本事实知： ． 分析：要证明，因为，所以可以先证明．利用已知和性质3， 即可证明 证明：方法一： 因为,所以. 于是,即. 由,得. 证明:方法二： ∴, 已知，，求证：． (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形，变形要等价，同时要注意性质适用的前提条件． (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样，变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件． 已知，，．求证： 证明：因为，可得， 又因为，所以， 所以，即， 因为，所以. 已知，，求及的取值范围． 由，，得，，所以. 【详解】由，得，又，所以； 因为，，所以，， 所以，即 1.已知，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 因为，所以， 故, （2）由（1）知， 且，， 可知，， 所以，即的取值范围是． 3.已知实数x，y满足． (1)若，求实数m，n的值； (2)求的取值范围． 【详解】 因为 ， 则，解得. 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 ⇔ 2 传递性 不可逆 3 可加性 可逆 4 可乘性 c的符号 5 同向可加性 同向 6 同向同正可乘性 同向 7 可乘方性 同正 $