2027年中考数学一轮复习难题攻克专题解析之专题图形的旋转

**基本信息** 以旋转性质为核心，通过“性质应用—综合证明—动态最值”三级递进，融合全等构造、坐标转化等方法，系统培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择6/填空2|旋转对应关系、全等判定|从旋转定义到性质推导，建立“对应边/角相等”认知| |综合计算|选择5/填空2|勾股定理、坐标变换|结合正方形/等边三角形，实现性质与计算融合| |动态最值|解答5|轴对称转化、垂线段最短|通过动点问题，深化“旋转+路径最短”模型应用|

2027年中考数学复习难题速递之图形的旋转 一．选择题（共11小题） 1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形AEFG绕点A旋转，使点E恰好落在DG上，连接BE．以下结论正确的有（　　） ①BE＝DG； ②BE⊥DG； ③△ADE的面积为△ABE面积的一半； ④点B在DG的垂直平分线上． A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 2．已知△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，，点O是△ABC内一点，则点O到点A，B，C的距离之和的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝14，∠C＝30°，P是BC上的任意一点，连接AP，将AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ，使∠PAQ＝∠BAC，连接BQ．则线段BQ长度的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，且BD＝AB，连接AD，BE⊥AC于点E，将BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接EF交AD于点G，若AB＝6，则DG的长为（　　） A．4 B． C． D．5 5．在三角尺ABC和DEF中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，且BC＝DF．如图，固定三角尺ABC不动，将DF与BC重合，再将三角尺DEF绕BC的中点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（　　） A．当DF∥AC时，α＝30° B．当DF∥AB时，α＝90° C．当DE∥AC时，α＝75° D．当DE∥AB时，α＝150° 6．在数学活动课上，老师用一张三角形纸片△ABC进行旋转实验，如图所示，他将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，连接BB'，CC'，下列结论错误的是（　　） A．AB＝AB' B．BB'＝CC' C．∠ABC＝∠AB'C' D．∠BAB'＝∠CAC' 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转后点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF．当点D运动时，则线段AF的最小值是（　　） A． B． C． D．4 9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，BC＝3AD，AB＝8，CD＝6，将AB绕A顺时针旋转90°得到AF，将DC绕D逆时针旋转90°得到DE，连EF，则EF的长为（　　） A．10 B． C． D．15 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A与原点O重合，AB位于x轴正半轴上，∠C＝90°，点B的坐标为（4，0），点D为AB的中点，进行以下操作：①将△ABC沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到△DPQ，点B，C的对应点分别为P，Q；②将△DPQ绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 11．已知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP，将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线段BE，连接AE，线段AE的最小值为（　　） A．4 B．8﹣4 C．4 D．4 二．填空题（共4小题） 12．如图，在△ABC中，AB＝3，∠B＝60°，30°＜∠BAC＜60°，点D在边BC上，BD＝1，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，交AC于点F，FM⊥AD，垂足为M，FN⊥AE，垂足为N，则FM+FN＝　 　 ． 13．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为A1，经过2次翻滚，点A对应点记为A2，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为　 　 ． 14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，BD⊥AC，E为BD上一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，当△ADF是直角三角形时，DF的长为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应，若点C恰好落在△ADE的边上，则α的度数是 　 　 ． 三．解答题（共5小题） 16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点． （1）如图1，点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，连接DB'． ①若∠A＝α，求∠ADB′的度数（用含α的代数式表示）； ②若AD＝2BD，求AC与BC的数量关系； （2）如图2，E为线段AC上一点，若，S△ADE：S△ACB＝m，AC＝n，求AE的长（用含m、n的代数式表示）． 17．已知A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，其中点A的对应点是点D． （1）如图（1），当m＝4时，线段CD与y轴交于点P，连接PA，PB． ①直接写出点C，D的坐标； ②求三角形PAB的面积． （2）如图（2），当直线CD经过点O时，求m的值． （3）如图（3），当m＝6时，连接AD，BC，动点M（a，ka+3）在四边形ABCD内，连接AM，BM，CM，DM，记三角形MAB的面积为S1，三角形MCD的面积为S2，是否存在k的值，使S1＝nS2，且常数n的值与a无关，若存在，求k，n的值；若不存在，请说明理由． 18．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 19．四边形ABCD和CEFG都是正方形，其中正方形CEFG可以绕顶点C旋转（CE＜CB）． （1）如图1，点E在BC上，点G在CD上，连接BG和DE，取BG的中点P，连接CP，求证：DE＝2CP； （2）如图2，正方形CEFG绕点C旋转到图2位置，连接DE和BG，取线段BG的中点P，连接CP． ①依题意补全图2； ②判断线段CP与DE的关系，并证明你的结论． 20．问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案． 正确的方案是　 　 （填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是　 　 ． 【解决问题】 （2）如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若AB＝6，AC＝7，BC＝8，则△ABP周长的最小值为　 　 ． 【类比探究】 （3）如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营点P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P． ①在图3中作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB＝65°时，求∠CPD的度数． 2027年中考数学复习难题速递之图形的旋转（2026年7月） 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D B B D B D A C A B 一．选择题（共11小题） 1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等），将正方形AEFG绕点A旋转，使点E恰好落在DG上，连接BE．以下结论正确的有（　　） ①BE＝DG； ②BE⊥DG； ③△ADE的面积为△ABE面积的一半； ④点B在DG的垂直平分线上． A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④ 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；正方形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质以及全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAG（SAS），得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，S△BAE＝S△DAG，根据三角形外角的性质可得出∠DEO＝∠BAO＝90°，则BE⊥DG，即可判断①、②；根据已知条件无法证明E是DG中点，即可判断③、④． 【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形（四个内角都是直角，四条边都相等）， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG， ∴∠BAE＝∠DAG， 在△BAE和△DAG中， ， ∴△BAE≌△DAG（SAS）， ∴BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，S△BAE＝S△DAG， 设AD、BE相交于O， ∵∠BOD＝∠ABO+∠BAO，∠BOD＝∠EDO+∠DEO， ∴∠ABO+∠BAO＝∠EDO+∠DEO， 又∵∠ABO＝∠EDO，∠BAO＝90°， ∴∠DEO＝90°， ∴BE⊥DG， 根据已知条件无法证明E是DG中点， ∴△ADE的面积不一定是△ADG面积的一半，则△ADG的面积不一定是△ABE面积的一半；点B不一定在DG的垂直平分线上． 故①②正确，③④不正确， 故选：A． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 2．已知△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，，点O是△ABC内一点，则点O到点A，B，C的距离之和的最小值是（　　） A．3 B． C． D． 【考点】旋转的性质；勾股定理．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】D 【分析】利用旋转的性质将三条线段转化为共线线段，再用勾股定理计算即可得到结果． 【解答】解：如图，△ABC中，AB＝3，∠A＝75°，，将△AOC绕点A逆时针旋转60°，得到△AO′C′，连接OO′，BC′， 则，AO＝AO′，OC＝O′C′，∠OAO′＝∠CAC′＝60°， ∴△AOO′为等边三角形，∠BAC′＝∠BAC+∠CAC′＝135°， ∴OO′＝OA， ∴点O到点A，B，C的距离之和＝OA+OB+OC＝BO+OO′+O′C′≥BC′， 当B，O，O′，C′四点共线时，点O到点A，B，C的距离之和最小，为BC′的长， 作C′D⊥BA，交BA的延长线于点D， 则∠C′AD＝180°﹣∠BAC′＝45°， ∴△ADC′为等腰直角三角形， ∴AD＝C′D＝AC′•sin45°＝3， ∴BD＝AB+AD＝6， 在Rt△BDC′中，由勾股定理，得：， 故点O到点A，B，C的距离之和的最小值是， 故选：D． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝14，∠C＝30°，P是BC上的任意一点，连接AP，将AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ，使∠PAQ＝∠BAC，连接BQ．则线段BQ长度的最小值为（　　） A．2 B．3 C． D．4 【考点】旋转的性质；勾股定理．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】在AC上截取AD＝AB＝8，连接PD，如图，先根据旋转的性质得到AQ＝AP，再证明△AQB≌△APD得到BQ＝DP，根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的值最小，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系求出此时DP的长即可． 【解答】解：在AC上截取AD＝AB＝8，连接PD，如图， ∵AP绕点A按顺时针方向旋转至AQ， ∴AQ＝AP， ∵∠PAQ＝∠BAC， ∴∠PAQ﹣∠ABP＝∠BAC﹣∠BAP， 即∠QAB＝∠PAC， 在△AQB和△APD中， ， ∴△AQB≌△APD（SAS）， ∴BQ＝DP， ∵P是BC上的任意一点，D点为定点， ∴当DP⊥BC时，DP的值最小， ∵∠C＝30°， ∴DP的最小值为CD（AC﹣AD）（14﹣8）＝3， ∴线段BQ长度的最小值为3． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，且BD＝AB，连接AD，BE⊥AC于点E，将BE绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，连接EF交AD于点G，若AB＝6，则DG的长为（　　） A．4 B． C． D．5 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】B 【分析】连接DF，过点D作DH∥AC，交EF于点H，通过证明△ABE≌△DBF，得到对应边，对应角相等，通过证明DH∥BF，得到DH＝DF＝AE，继而证明△DHG≌△AEG，得到DG＝AG，从而在等腰直角三角形ABD中求得． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＞AB，点D为BC上一点，如图，连接DF，过点D作DH∥AC，交EF于点H， ∵∠ABE+∠EBD＝∠DBF+∠EBD＝90°， ∴∠ABE＝∠DBF， ∵AB＝DB，BE＝BF， ∴△ABE≌△DBF（SAS）， ∴AE＝DF， ∵BE⊥AC， ∴∠BFD＝∠BEA＝90°， ∵BE＝BF，∠EBF＝90°， ∴∠BFE＝45°， ∵∠EBF＝∠AEB＝90°， ∴BF∥AC， ∵DH∥AC， ∴DH∥BF， ∴∠HDF＝∠BFD＝90°，∠DHF＝∠BFE＝45°， ∴DH＝DF＝AE， ∵DH∥AC， ∴∠HDG＝∠EAG， ∵∠DGH＝∠AGE， ∴△DHG≌△AEG（AAS）， ∴DG＝AG， ∵AB＝BD，∠ABC＝90°， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质，正确进行计算是解题关键． 5．在三角尺ABC和DEF中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°，且BC＝DF．如图，固定三角尺ABC不动，将DF与BC重合，再将三角尺DEF绕BC的中点O按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），则在旋转的过程中，下列说法错误的是（　　） A．当DF∥AC时，α＝30° B．当DF∥AB时，α＝90° C．当DE∥AC时，α＝75° D．当DE∥AB时，α＝150° 【考点】旋转的性质；平行线的性质；含30度角的直角三角形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意画出图形，利用平行线的性质即可求解． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠A＝60°，∠E＝90°，∠EDF＝45°， ∴∠ACB＝30°， 当DF∥AC时，∠COF＝∠ACB＝90°﹣∠A＝30°，即α＝30°，故A正确； 当DF∥AB时，∠BOD＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴α＝∠BOD＝90°，故B正确； 当DE∥AC时，∠CMO＝∠D＝45°， ∴∠COM＝180°﹣∠C﹣∠CMO＝105°， ∴α＝∠COF＝180°﹣∠COM＝75°，故C正确； 当DE∥AB时，∠DHO＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠DOH＝180°﹣∠D﹣∠DHO＝45°， ∴α＝∠COF＝180°﹣∠DOH＝135°，故D错误； 故选：D． 【点评】本题考查旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 6．在数学活动课上，老师用一张三角形纸片△ABC进行旋转实验，如图所示，他将△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'，连接BB'，CC'，下列结论错误的是（　　） A．AB＝AB' B．BB'＝CC' C．∠ABC＝∠AB'C' D．∠BAB'＝∠CAC' 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】先根据旋转的性质得到AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，则可对A选项、D选项进行判断；再证明△ABC≌△AB′C′得到∠ABC＝∠AB′C′，则可对C选项进行判断；然后证明△ABB′∽△ACC′得到，由于只有当AB＝AC时，BB′＝CC′，从而可对B选项进行判断． 【解答】解：∵△ABC绕顶点A逆时针旋转一定的角度α（0°＜α＜180°）得到△AB'C'， ∴AB＝AB′，AC＝AC′，∠BAB′＝∠CAC′，所以A选项、D选项不符合题意； ∴∠BAB′﹣∠CAB′＝∠CAC′﹣∠CAB′， 即∠BAC＝∠B′AC′， 在△ABC和△AB′C′中， ， ∴△ABC≌△AB′C′（SAS）， ∴∠ABC＝∠AB′C′，所以C选项不符合题意； ∵，∠BAB′＝∠CAC′， ∴△ABB′∽△ACC′， ∴， 只有当AB＝AC时，BB′＝CC′，所以B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O在原点上，AB＝CB＝2，OA＝OC，∠AOC＝60°，AB⊥x轴，将四边形OABC绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，第2026次旋转后点C的坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标；勾股定理．版权所有 【专题】猜想归纳；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】根据题意，求出点C的坐标，再结合所给旋转方式，得出每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现，据此即可解决问题． 【解答】解：连接OB，延长CB交x轴于点N，过点C作x轴的垂线，垂足为M， ∵AB＝CB，OA＝OC，OB＝OB， ∴△OCB≌△OAB（SSS）， ∴∠OCB＝∠OAB． ∵AB⊥x轴， ∴∠OCB＝∠OAB＝90°． ∵∠AOC＝60°， ∴∠CBA＝120°， ∴∠ABN＝180°﹣120°＝60°， ∴∠BNA＝30°． 在Rt△ABN中， BN＝2AB＝4， ∴CN＝CB+BN＝2+4＝6． 在Rt△CMN中， CM， ∵∠OCM＝90°﹣60°＝30°， ∴OM， ∴点C坐标为（）． 由所给旋转方式可知，每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现， ∵2026÷4＝506余2， ∴旋转2026次和旋转2次后点C对应点的坐标相同． ∵旋转180°后所得点C对应点与点C关于原点对称， ∴旋转2次后点C对应点的坐标为（）， ∴第2026次旋转后点C的坐标为（）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图象变化﹣旋转、勾股定理及点的坐标变化规律，能根据题意求出点C坐标及得出每旋转四次，点C对应点的坐标重复出现是解题的关键． 8．如图，△ABC是等边三角形，AB＝6，E在AC上且，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF．当点D运动时，则线段AF的最小值是（　　） A． B． C． D．4 【考点】旋转的性质；解直角三角形；垂线段最短；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．版权所有 【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力． 【答案】A 【分析】过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，证明△DGE≌△EHF（AAS），则HF＝EG，求出，即点F到直线EG的距离为，证明AM∥EG，得到MC＝3，则MG＝MC﹣CG＝3﹣2＝1，即点A到直线EG的距离为1，当A，H，F三点共线时，AF取得最小值，即可求出答案． 【解答】解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EG于点H，过点A作AM⊥BC于点M， 由旋转可得，∠DEF＝90°，DE＝EF， 则∠DEG+∠HEF＝90°， ∵EG⊥BC， ∴∠DGE＝90°， ∴∠EDG+∠DEG＝90°， ∴∠EDG＝∠FEH， 在△DGE和△EHF中， ， ∴△DGE≌△EHF（AAS）， ∴HF＝EG， ∵△ABC是等边三角形，AB＝6，， ∴AC＝6，CE＝4，∠C＝60°， 在Rt△EGC中，，， ∴， 即点F到直线EG的距离为， ∵AM⊥BC，EG⊥BC， ∴AM∥EG， ∵M是BC的中点， ∴MC＝3， ∴MG＝MC﹣CG＝3﹣2＝1， 即点A到直线EG的距离为1， ∵线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF． ∴点F在直线EG的右侧， ∴当A，H，F三点共线时，AF取得最小值，最小值为， 故选：A． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B+∠C＝90°，BC＝3AD，AB＝8，CD＝6，将AB绕A顺时针旋转90°得到AF，将DC绕D逆时针旋转90°得到DE，连EF，则EF的长为（　　） A．10 B． C． D．15 【考点】旋转的性质；梯形．版权所有 【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】C 【分析】先构造平行四边形将梯形转化为直角三角形，求出AD的长度；再建立平面直角坐标系，利用旋转的坐标变化规律求出F、E的坐标；最后用两点间距离公式计算EF的长度． 【解答】解：过点A作 AM∥CD，交BC于点M， ∵AD∥BC， ∴四边形AMCD是平行四边形， ∴AD＝MC，AM＝CD＝6，∠AMB＝∠C． ∵∠B+∠C＝90°， ∴∠B+∠AMB＝90°， ∴△ABM是直角三角形． 在Rt△ABM中，AB＝8，AM＝6， ∴． ∵BC＝3AD，BC＝BM+MC， ∴3AD＝10+AD， ∴AD＝5． 以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（5，0）． 设B（x1，y1），由AB＝8，，sinB， ∴，，即， ∵AB绕A顺时针旋转90°得到AF， ∴． 设C（x2，y2），由CD＝6，，sinC， ∴，，即， ∵DC绕D逆时针旋转90°得到DE， ∴． ∴． 故选：C． 【点评】本题考查旋转的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A与原点O重合，AB位于x轴正半轴上，∠C＝90°，点B的坐标为（4，0），点D为AB的中点，进行以下操作：①将△ABC沿x轴正方向平移，当点A与点D重合时，得到△DPQ，点B，C的对应点分别为P，Q；②将△DPQ绕点D在平面内旋转．当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为（　　） A． B． C． D． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；勾股定理；等腰直角三角形；坐标与图形变化﹣平移．版权所有 【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】A 【分析】过点Q作QH⊥AB于点H，QH交BC于点M．由题意可得AB＝4，由等腰直角三角形的性质可得，∠CAB＝∠CBA＝45°，从而得出AH＝QH，．设BH＝x，则DH＝2﹣x，QH＝AH＝4﹣x．由平移和旋转的性质，得，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【解答】解：如图，过点Q作QH⊥AB于点H，QH交BC于点M． ∵点B的坐标为（4，0），点A与原点O重合， ∴AB＝4． ∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°，， ∴∠QAH＝∠AQH＝45°， ∴AH＝QH． ∵D为AB的中点， ∴． 设BH＝x，则QH＝AH＝4﹣x，DH＝2﹣x， 由平移和旋转的性质，得． 在Rt△DQH中，有DH2+QH2＝DQ2， 即， 解得． ∵BH＜AB， ∴， ∴， ∴当点Q落在射线AC上时，点Q的坐标为． 故选：A． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，勾股定理，等腰直角三角形，坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．已知正方形ABCD边长为8，P在边AD上运动，连接BP，将线段BP绕着点B逆时针旋转45°，到线段BE，连接AE，线段AE的最小值为（　　） A．4 B．8﹣4 C．4 D．4 【考点】旋转的性质；正方形的性质．版权所有 【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】在AB的左侧作BF，使BF＝AB，且∠ABF＝45°，可得△ABP≌△FBE，则AP＝EF，∠F＝∠BAP＝90°，可知点E在过定点F且垂直于BF的直线上运动．延长BA交FE的延长线于点G，过点A作AH⊥FG于点H，则点E与点H重合时，AE取得最小值．结合题意可得∠FGB＝45°，BG，则AG＝BG﹣AB，可得AH，即线段AE的最小值为． 【解答】解：在AB的左侧作BF，使BF＝AB，且∠ABF＝45°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAP＝90°，AB＝8． ∵将线段BP绕着点B逆时针旋转45°得到线段BE， ∴∠EBP＝45°，EB＝PB， ∴∠ABF＝∠EBP， ∴∠EBF＝∠PBA， ∴△ABP≌△FBE（SAS）， ∴AP＝EF，∠F＝∠BAP＝90°， ∴点E在过定点F且垂直于BF的直线上运动． 延长BA交FE的延长线于点G，过点A作AH⊥FG于点H， 则点E与点H重合时，AE取得最小值． ∵∠F＝90°，∠ABF＝45°， ∴∠FGB＝45°，BG， ∴AG＝BG﹣AB， ∴AH， 即线段AE的最小值为． 故选：B． 【点评】本题考查旋转的性质、正方形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 二．填空题（共4小题） 12．如图，在△ABC中，AB＝3，∠B＝60°，30°＜∠BAC＜60°，点D在边BC上，BD＝1，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接DE，交AC于点F，FM⊥AD，垂足为M，FN⊥AE，垂足为N，则FM+FN＝　　 ． 【考点】旋转的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．版权所有 【专题】三角形；平移、旋转与对称． 【答案】． 【分析】过点A作BC边的垂线，利用30°的直角三角形和勾股定理求出AD的长，根据旋转性质判定△ADE为等边三角形，利用面积法将FM+FN转化为△ADE的高即可求． 【解答】解：过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△ABH中，∠B＝60°，AB＝3， ∴∠BAH＝90°﹣60°＝30°， ∴，AH， ∵BD＝1， ∴DH＝BH﹣BD， 在Rt△ADH中，由勾股定理得AD， 由旋转的性质可知AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， 连接AF，作AG⊥DE， ∵S△ADE＝S△ADF+S△AEF， ∴， ∵AD＝AE＝DE， ∴FM+FN＝AG， 在等边△ADE中， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 13．如图，长方形ABCD的两边BC、CD分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点A的坐标为（﹣1，2），将长方形ABCD沿x轴向右翻滚，经过1次翻滚，点A对应点记为A1，经过2次翻滚，点A对应点记为A2，…依次类推，经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为　（3039，0）　 ． 【考点】坐标与图形变化﹣旋转；规律型：点的坐标．版权所有 【专题】规律型；平面直角坐标系；运算能力． 【答案】（3039，0）． 【分析】根据题意，确定图形从开始位置经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，从而结合长方形周长为6，依据2026＝4×506+2即可得到答案． 【解答】解：如图所示： 观察图形可知，经过4次翻滚后点A进行了一次循环回到对应位置，A4（5，2）， ∵长方形的周长为：2×（1+2）＝6， ∴每一次完整循环，相当于A对应点的横坐标+6，纵坐标保持不变， ∵2026＝4×506+2，即经过了506次完整的循环后再向前翻滚2次，是A2（A3）的对应点， ∴经过2026次翻滚后点A对应点A2026的坐标为（﹣1+6×506+4，0），即（3039，0）． 故答案为：（3039，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质、点的坐标规律，熟练掌握以上知识点是关键． 14．如图，△ABC为边长为4的等边三角形，BD⊥AC，E为BD上一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF，当△ADF是直角三角形时，DF的长为 　1或　 ． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】1或． 【分析】先根据等边三角形的性质得到CA＝CB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°，∴AD＝CD＝2，∠CBD∠ABC＝30°，再根据旋转的性质得到CF＝CE，∠FCE＝60°，接着证明△ACF≌△BCE得到∠CAF＝∠CBE＝30°，由于∠DAF不可能等于90°，所以∠AFD＝90°或∠ADF＝90°，然后在Rt△ADF利用含30度角的直角三角形三边的关系求出对应的DF的长． 【解答】解：∵△ABC为边长为4的等边三角形， ∴CA＝CB＝4，∠ACB＝∠ABC＝60°， ∵BD⊥AC， ∴AD＝CD＝2，∠CBD∠ABC＝30°， ∵线段CE绕点C逆时针旋转60°得到线段CF， ∴CF＝CE，∠FCE＝60°， ∵∠ACF+∠ACE＝60°，∠BCE+∠ACE＝60°， ∴∠ACF＝∠BCE， 在△ACF和△BCE中， ， ∴△ACF≌△BCE（SAS）， ∴∠CAF＝∠CBE＝30°， 当∠AFD＝90°时， 在Rt△ADF中，∵∠DAF＝30°， ∴DFAD＝1， 当∠ADF＝90°时， 在Rt△ADF中，∵∠DAF＝30°， ∴DFAD， 综上所述，DF的长为1或． 故答案为：1或． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质和勾股定理． 15．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝80°，将△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE，其中点B与点D对应，点C与点E对应，若点C恰好落在△ADE的边上，则α的度数是 　20°或40°　 ． 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】20°或40°． 【分析】当点C落在边AD上，先利用三角形内角和定理计算出∠BAC＝40°，再根据旋转的性质得到∠BAD等于旋转角，即α＝40°； 当点C落在边DE上，先利用旋转的性质得到∠E＝∠ACB＝80°，AE＝AC，∠EAC＝α，再根据等腰三角形的性质得到∠ACE＝∠E＝80°，然后利用三角形内角和定理计算出∠EAC＝20°，即α的度数是20°． 【解答】解：当点C落在边AD上， ∵∠B＝60°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∵△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE， ∴∠BAD等于旋转角， 即α＝40°； 当点C落在边DE上， ∵△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△ADE， ∴∠E＝∠ACB＝80°，AE＝AC，∠EAC＝α， ∵AE＝AC， ∴∠ACE＝∠E＝80°， ∴∠EAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°， 即α的度数是20°； 综上所述，α的度数是20°或40°； 故答案为：20°或40°； 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 三．解答题（共5小题） 16．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为射线AB上一点． （1）如图1，点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上，连接DB'． ①若∠A＝α，求∠ADB′的度数（用含α的代数式表示）； ②若AD＝2BD，求AC与BC的数量关系； （2）如图2，E为线段AC上一点，若，S△ADE：S△ACB＝m，AC＝n，求AE的长（用含m、n的代数式表示）． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；核心素养；几何直观；推理能力． 【答案】（1）①90°﹣2α； ②AC＝2BC； （2）或． 【分析】（1）①由三角形内角和定理可得∠ABC＝90°﹣α，结合轴对称的性质可得∠CB′D＝∠ABC＝90°﹣α，进而可得∠ADB′＝90°﹣2α； ②由同高的三角形面积与边成比例可得，结合轴对称的性质可得S△ACD＝2S△B′CD，从而得到AC＝2B′C＝2BC； （2）分两类讨论，当点D在线段AB上时，连接CD、DE，则，结合S△ADE：S△ACB＝m可得，进而计算出AE；当点D在线段AB的延长线上时，使用同样的方法进行计算即可． 【解答】解：（1）①∵∠A＝α，∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝90°﹣α， ∵点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上， ∴∠CB′D＝∠ABC＝90°﹣α， ∴∠AB′D＝180°﹣∠CB′D＝90°+α， ∴∠ADB′＝180°﹣∠AB′D﹣∠A＝90°﹣2α； ②∵点B关于直线CD的对称点B'恰好落在AC边上， ∴S△BCD＝S△B′CD，BC＝B'C， ∵， ∴S△ACD＝2S△BCD＝2S△B′CD， ∴AC＝2B′C， 又∵BC＝B'C， ∴AC＝2BC； （2）①当点D在线段AB上时，如图，连接CD、DE， ∵， ∴， ∴， ∵S△ADE：S△ACB＝m， ∴，即， 又∵， ∴； ②当点D在线段AB的延长线上时，如图3，连接CD、DE， ∵， ∴， ∴， ∵S△ADE：S△ACB＝m， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，或． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形内角和定理，轴对称的性质，三角形的面积，分类讨论是解答本题的关键． 17．已知A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，其中点A的对应点是点D． （1）如图（1），当m＝4时，线段CD与y轴交于点P，连接PA，PB． ①直接写出点C，D的坐标； ②求三角形PAB的面积． （2）如图（2），当直线CD经过点O时，求m的值． （3）如图（3），当m＝6时，连接AD，BC，动点M（a，ka+3）在四边形ABCD内，连接AM，BM，CM，DM，记三角形MAB的面积为S1，三角形MCD的面积为S2，是否存在k的值，使S1＝nS2，且常数n的值与a无关，若存在，求k，n的值；若不存在，请说明理由． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】几何综合题；平面直角坐标系；三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）①C（1，1），D（﹣1，5）； ②8； （2）； （3）k＝﹣2，n＝2． 【分析】（1）①根据平移写出点C、D的坐标即可； ②连接AC，BC，过A作AE⊥BC于点E，求出，根据AB∥CD，得出S△PAB＝S△CAB＝8； （2）连接AD交y轴于点G，连接BC交y轴于点H，作CT⊥AD于点T，根据题意得：DG＝m﹣3，CH＝m﹣5，CT＝5﹣1＝4，OG＝5，根据S△DOG＝S△DCG+S△OCG列出关于m的方程解方程即可； （3）过点D作DE⊥CB，交BC的延长线于E点，连接ME，过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于F点，连接MF．求出S△MAB＝S△AMF+S△BMF﹣S△ABF＝8﹣ka﹣2a，S△MCD＝S△CEM+S△DEM﹣S△CDE＝ka+2a+4，根据S1＝nS2，得出a[（k+2）n+（k+2）]＝8﹣4n，根据n的值与a无关，求出k＝﹣2，n＝2即可． 【解答】解：（1）①∵A（3，5），B（5，1），将线段AB向左平移m（m＞0）个单位长度至对应线段DC，且m＝4，点A的对应点是点D， ∴点C的坐标为（1，1），点D的坐标为（﹣1，5）； ②如图，连接AC，BC，过A作AE⊥BC于点E， 依题意得：BC＝AE＝4，AE＝5﹣1＝4， ∴， ∵线段AB平移得线段DC， ∴AB∥CD， ∴S△PAB＝S△CAB＝8． （2）如图，连接AD交y轴于点G，连接BC交y轴于点H，作CT⊥AD于点T， ∵线段AB沿x轴负半轴方向平移m个单位长度至线段CD，A（3，5），B（5，1）， ∴C（5﹣m，1），D（3﹣m，5）， 依题意得：DG＝m﹣3，CH＝m﹣5，CT＝4，OG＝5， ∵S△DOG＝S△DCG+S△OCG， ∴5（m﹣3）4（m﹣3）5（m﹣5）， 解得：m． （3）如图，过点D作DE⊥CB，交BC的延长线于E点，连接ME，过点B作BF⊥DA，交DA的延长线于F点，连接MF， ∵线段AB沿x轴负半轴方向平移m个单位长度至线段CD，A（3，5），B（5，1）， ∴此时C（﹣1，1），D（﹣3，5）， ∵M（a，ka+3）， ， 即S1＝8﹣ka﹣2a， ， 即S2＝ka+2a+4， ∵S1＝nS2， ∴8﹣ka﹣2a＝n（ka+2a+4）， 整理得：a[（k+2）n+（k+2）]＝8﹣4n， ∵n的值与a无关， ∴k+2＝0， 解得k＝﹣2， ∴当k＝﹣2时，8﹣4n＝0， 解得n＝2， 综上，k＝﹣2，n＝2． 【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查平移的性质，坐标与图形的变换﹣平移，三角形的面积，掌握以上知识点是解题的关键． 18．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）根据以上学习，解决问题：已知正数x满足，求x的值． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）13； （2）10； （3）x． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【解答】解：（1）如图2， CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2， 根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值．当A、B、D三点共线时，作DG⊥AC于点G，则有GD＝CF＝12，AG＝AC+CG＝AC+DF＝5， 在直角三角形ADG中，由勾股定理得：AD13， ∴的最小值是13， 故答案为：13； （2）如图3，由 ， AC＝4，DF＝2，CF＝x+8﹣x＝8， ∴AH＝4+2＝6，HD＝CF＝8， 在直角三角形ADH中，由勾股定理得：AD10， ∴（0＜x＜8）的最小值是10； （3）构造△ABC，CD⊥BC于D，AC＝5，BC＝12，如图4， 设CD＝x， 在直角三角形ACD中，由勾股定理得：AD， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD， ∴AB13， ∵52+122＝132， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴5×1213x， 解得：x， ∴方程的解是x． 【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了勾股定理的应用，勾股定理逆定理，解答本的关键是熟练运用数形结合思想进行求解． 19．四边形ABCD和CEFG都是正方形，其中正方形CEFG可以绕顶点C旋转（CE＜CB）． （1）如图1，点E在BC上，点G在CD上，连接BG和DE，取BG的中点P，连接CP，求证：DE＝2CP； （2）如图2，正方形CEFG绕点C旋转到图2位置，连接DE和BG，取线段BG的中点P，连接CP． ①依题意补全图2； ②判断线段CP与DE的关系，并证明你的结论． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】几何综合题；几何直观． 【答案】（1）∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE， 在Rt△BCG中，点P是斜边BG的中点， ∴BG＝2CP， ∴DE＝2CP； （2）解：①补全图形如图2所示， ②线段CP与DE的关系为DE＝2CP，证明： 如图3，延长CP至M使PM＝PC，连接BM，则CM＝2CP， ∵点P是BG的中点， ∴BP＝CP， ∵∠BPM＝∠GPC， ∴△BPM≌△GPC（SAS）， ∴BM＝CG，∠BMP＝∠GCP， ∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠BMP＝180°﹣∠BCM﹣∠GCP＝180°﹣∠BCG， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴BM＝CE，∠DCE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠BCG＝180°﹣∠BCG， ∴∠CBM＝∠BCD， ∴△BCM≌△DCE（SAS）， ∴CM＝DE， ∵DE＝2CP， 【分析】（1）先判断出BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝90°，进而得出△BCG≌△DCE（SAS），得出BG＝DE，最后根据直角三角形的性质，即可得出结论； （2）由题意补全图形补全图形如图2所示， ②线段CP与DE的关系为DE＝2CP，延长CP至M使PM＝PC，连接BM，则CM＝2CP，判断出△BPM≌△GPC（SAS），得出BM＝CG，∠BMP＝∠GCP，再判断出∠CBM＝∠BCD，得出△BCM≌△DCE（SAS），即可得出结论． 【解答】（1）∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCG＝90°，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG＝DE， 在Rt△BCG中，点P是斜边BG的中点， ∴BG＝2CP， ∴DE＝2CP； （2）解：①补全图形如图2所示， ②线段CP与DE的关系为DE＝2CP，证明： 如图3，延长CP至M使PM＝PC，连接BM，则CM＝2CP， ∵点P是BG的中点， ∴BP＝CP， ∵∠BPM＝∠GPC， ∴△BPM≌△GPC（SAS）， ∴BM＝CG，∠BMP＝∠GCP， ∴∠CBM＝180°﹣∠BCM﹣∠BMP＝180°﹣∠BCM﹣∠GCP＝180°﹣∠BCG， ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠ECG＝90°， ∴BM＝CE，∠DCE＝360°﹣90°﹣90°﹣∠BCG＝180°﹣∠BCG， ∴∠CBM＝∠BCD， ∴△BCM≌△DCE（SAS）， ∴CM＝DE， ∵DE＝2CP， 【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，构造成全等三角形是解本题的关键． 20．问题解决 【提出问题】 唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ 【分析问题】 （1）为了解决这个问题，数学小组的同学提出了如下四种确定河边饮马点C的方案． 正确的方案是　④　 （填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是　两点之间，线段最短　 ． 【解决问题】 （2）如图2，在△ABC中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若AB＝6，AC＝7，BC＝8，则△ABP周长的最小值为　13　 ． 【类比探究】 （3）如图3，点P是∠AOB内一定点，将军牵马从军营点P出发，先到河流OA边上一点C饮马，再到草地OB边上一点D吃草，最后回到军营P． ①在图3中作图：使将军走过的路程PC+CD+DP最短．（保留作图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线） ②当将军走过的路程PC+CD+DP最短，且∠AOB＝65°时，求∠CPD的度数． 【考点】几何变换综合题．版权所有 【专题】几何综合题；运算能力；推理能力；生活情境． 【答案】（1）④；两点之间，线段最短； （2）13； （3）①如图，PC+CD+DP最短， 过点P分别作OA，OB的对称点P2，P1，连接P1P2与OA，OB交点即为点C，D， 则P2C＝PC，DP1＝DP， ∴PC+CD+DP＝P2C+CD+P1D＝P1P2； ②如图： ∵∠OCD+∠ODC+∠AOB＝180°， ∴∠OCD+∠ODC＝180°﹣65°＝115°， 由轴对称的性质可得∠ACP2＝∠ACP， ∵∠OCD＝∠ACP2， ∴∠OCD＝∠ACP2＝∠ACP， ∴∠DCP＝180°﹣∠OCD﹣∠ACP＝180°﹣2∠OCD， 同理可得∠CDP＝180°﹣2∠ODC， ∴∠CPD＝180°﹣（∠DCP+∠CDP）＝180°﹣（180°﹣2∠OCD+180°﹣2∠ODC）＝2（∠OCD+∠ODC）﹣180°＝2×115°﹣180°＝50°． 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点A′，连接A′B与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P，由对称轴的性质可得，BP＝CP，AP＝A′P，则A′B＝AC，则△ABP的周长最小值转化为AB+AC的值； （3）①过点P分别作OA，OB的对称点P2，P1，连接P1P2与OA，OB交点即为点C，D，则此时PC+CD+DP最短； ②由三角形内角和定理可得∠OCD+∠ODC＝180°﹣55°＝115°，由轴对称的性质可得∠ACP2＝∠ACP，则∠OCD＝∠ACP2＝∠ACP，故∠DCP＝180°﹣∠OCD﹣∠ACP＝180°﹣2∠OCD，同理可得∠CDP＝180°﹣2∠ODC，再由三角形内角和定理求解． 【解答】解：（1）正确的方案是④， ∵由轴对称的性质可得CA＝CA′， ∴当点B，C，A′三点共线时，CA+CB＝CA′+CB＝A′B， ∴此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短， 故答案为：④；两点之间，线段最短； （2）过点A作直线m的对称点A'，连接A′B与直线m的交点即为△ABP周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得，BP＝CP，AP＝A′P， ∴BP+A′P＝CP+AP， ∴A′B＝AC， ∴△ABP的周长最小值为AB+BP+AP＝AB+BP+A′P＝AB+A′B＝AB+AC＝6+7＝13， 故答案为：13； （3）①如图，PC+CD+DP最短， 过点P分别作OA，OB的对称点P2，P1，连接P1P2与OA，OB交点即为点C，D， 则P2C＝PC，DP1＝DP， ∴PC+CD+DP＝P2C+CD+P1D＝P1P2； ②如图： ∵∠OCD+∠ODC+∠AOB＝180°， ∴∠OCD+∠ODC＝180°﹣65°＝115°， 由轴对称的性质可得∠ACP2＝∠ACP， ∵∠OCD＝∠ACP2， ∴∠OCD＝∠ACP2＝∠ACP， ∴∠DCP＝180°﹣∠OCD﹣∠ACP＝180°﹣2∠OCD， 同理可得∠CDP＝180°﹣2∠ODC， ∴∠CPD＝180°﹣（∠DCP+∠CDP）＝180°﹣（180°﹣2∠OCD+180°﹣2∠ODC）＝2（∠OCD+∠ODC）﹣180°＝2×115°﹣180°＝50°． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了轴对称的性质，两点之间线段最短等知识点，掌握轴对称是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $