专题5 指数函数与对数函数（B卷·能力提升）-2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数核心考点，通过选择、填空、解答题梯度设计，系统覆盖概念、性质、图像及应用，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10题|图像识别、性质判断、参数范围|概念→性质→图像的递进，突出单调性与奇偶性应用| |填空|5题|定义域、运算、实际应用|从基础运算到实际问题建模，体现数学语言表达| |解答|4题|解析式求解、综合应用|整合函数性质与方程思想，强化逻辑推理与问题解决|

编写说明：2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 专题5 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（  ） A． B． C． D． 2. （    ） A．1 B． C． D．0 3. 如果，那么的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 4. 函数且与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（   ） A． B．C． D． 5. 函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6. 下列关于函数的叙述，正确的是 （     ） A．奇函数，在区间上是增函数 B．奇函数，在区间上是减函数 C．偶函数，在区间上是增函数 D．偶函数，在区间上是减函数 7. 已知函数 （且），若 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 8. 已知，且，那么的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 9. 已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（   ） A． B．2或 C． D．或 10. 若是 R 上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 函数的定义域__________. 12. __________. 13. 某种植物的生长高度（单位：厘米）与生长时间（单位：周）满足指数函数.种植周后植物高度为厘米，种植周后植物高度为厘米.则种植周后植物高度____厘米. 14. 函数的最小值为__________. 15. 已知函数，若，则a的范围是_____________. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 已知指数函数的图像经过点， (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 17. 若函数. (1)若，求实数a的取值范围； (2)当时，求出方程的解. 18. 已知函数在区间上最大值为3，最小值为0. (1)求实数和的值； (2)设函数，试判断函数的奇偶性. 19. 已知二次函数满足，且该函数的图像与轴交于点，在轴上截得的线段长为4. (1)求函数的解析式； (2)若，当时，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 专题5 指数函数与对数函数 （B卷·能力提升） 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2. （    ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质可得结果. 【详解】. 故选：A 3. 如果，那么的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，所以在上为增函数， 所以，又因为在上为减函数， 所以， 因为在上为减函数， 所以， 所以， 故选：D. 4. 函数且与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数图象与性质的分析与判断、判断指数型函数的图象形状 【分析】根据指数函数的图像，结合一次函数的图像分析即可. 【详解】已知且， 当时，为增函数， ，所以时，该函数为增函数， 当时，该函数为减函数， 当时，，则过点， 因为，所以点在点的上方，故C错误， 当时，为减函数， ，所以时，该函数为增函数， 当时，该函数为减函数， 当时，，则过点， 因为，所以点在点的下方，故AB错误，D符合题意， 故选：D. 5. 函数满足，那么函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数是指数函数求参数、求对数型复合函数的定义域、判断对数型函数的图象形状、对数型复合函数的单调性 【分析】由已知求出，得表达式，化简函数式后根据定义域和单调性即可得解. 【详解】因为满足，所以，故， 则， 所以函数定义域是，排除BD， 且在上递减，在上递增，排除A， 而选项C满足上述的性质，故C正确. 故选：C. 6. 下列关于函数的叙述，正确的是 （     ） A．奇函数，在区间上是增函数 B．奇函数，在区间上是减函数 C．偶函数，在区间上是增函数 D．偶函数，在区间上是减函数 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、对数型复合函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性的定义结合对数函数的单调性分析即可. 【详解】已知函数的定义域为， 且，所以该函数为偶函数， 令，且在为增函数， 当 时， 为减函数， 所以在上是减函数， 故选：D. 7. 已知函数 （且），若 ，则 的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．无法确定 【答案】A 【知识点】由对数（型）函数的单调性确定定义域或参数、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】因为且， ， 又因为， 即， 当时，对数函数在上是单调递增的， 此时，不成立； 当时，对数函数在上是单调递减的， 此时，，成立. 综上所述，若 ，则的取值范围是， 故选：A 8. 已知，且，那么的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【知识点】求对数函数在区间上的值域、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由对数函数的性质及基本不等式公式即可得解. 【详解】因为. 所以. 所以. 所以的最大值为. 所以的最大值为. 故选:. 9. 已知函数，（且），若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值为（   ） A． B．2或 C． D．或 【答案】D 【知识点】由指数（型）函数的最值求参数值或范围 【分析】分别讨论和两种情况，再由指数函数的单调性列方程求解即可. 【详解】已知函数， 当时，在上单调递增， 此时，， 因为，则，解得或（舍去)， 当时，在上单调递减， 此时，， 因为，则，解得或（舍去）， 故选：D. 10. 若是 R 上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的单调性、一次函数图象与性质的分析与判断、由指数（型）函数的单调性确定定义域或参数 【分析】根据题意，结合指数函数、一次函数、分段函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是 R 上的单调递增函数， 所以，即， 解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 11. 函数的定义域__________. 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数型复合函数的定义域、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据函数有意义的条件求解即可. 【详解】函数中需满足： ，即， 则函数的定义域为. 故答案为：. 12. __________. 【答案】 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算、运用换底公式化简计算 【分析】根据指数幂和对数的运算求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 13. 某种植物的生长高度（单位：厘米）与生长时间（单位：周）满足指数函数.种植周后植物高度为厘米，种植周后植物高度为厘米.则种植周后植物高度____厘米. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、指数函数的应用 【分析】根据题意，代入数据，求出e，f，再代入，即可求解. 【详解】由题意知种植周后植物高度为厘米，种植周后植物高度为厘米， 则得到， 由第一个方程得，代入第二个方程：， 即，，解得， 若，则，存在，故舍去， 所以，， 所以函数为， 当时，厘米. 故答案为：18. 14. 函数的最小值为__________. 【答案】 【知识点】求二次（型）函数的最值、对数的运算、求对数型复合函数的值域 【分析】由对数运算性质可得，令，有二次函数性质可得最小值. ， 令，则， 当时取等号. 所以函数的最小值为. 故答案为： 15. 已知函数，若，则a的范围是_____________. 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】先判断复合函数的单调性，再解不等式易得答案. 【详解】因为函数， 因为在定义域上是增函数，在定义域上是减函数， 又因为增函数减减函数是增函数，所以在定义域上是增函数， 题目已知，所以， 所以a的范围是. 故答案为：. 三、解答题：本大题共4小题，每小题10分，满分40分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. 已知指数函数的图像经过点， (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指数函数解析式、由指数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据题意，设出函数解析式，将已知点的坐标代入，即可求得a的值，继而求得函数解析式； （2）根据题意，结合指数函数的单调性解不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设指数函数， 因为指数函数的图像经过点， 所以，解得， 所以函数的解析式为； （2）由（1）知， 又，即， 所以， 又指数函数在定义域R上是单调减函数， 所以，即， 可化为，解得或， 即的取值范围是. 17. 若函数. (1)若，求实数a的取值范围； (2)当时，求出方程的解. 【答案】(1) (2) 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由对数（型）函数的定义域求参数、由对数（型）函数的单调性确定定义域或参数、等式的性质与方程的解 【分析】（1）根据对数函数的性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解. 【详解】（1）因为，根据对数函数的性质可知在上单调递减， 因为，所以， 可得， 所以的取值范围为. （2）当，， 则方程， 所以，即， 解得或舍去， 故原方程的解为. 18. 已知函数在区间上最大值为3，最小值为0. (1)求实数和的值； (2)设函数，试判断函数的奇偶性. 【答案】(1)， (2)奇函数 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由对数（型）函数的最值求参数值或范围 【分析】（1）先根据判断函数的单调性，再根据单调性得出函数在区间上的最大值和最小值，进而列出关于和的方程组求解； （2）先求出的表达式，再确定其定义域是否关于原点对称，最后判断与的关系. 【详解】（1）∵，∴函数在区间上单调递增， ∴当时，有最小值0；时，有最大值3， ∴且， ∴两式相减得，即， ∴解得，从而. （2）由（1）可知，，所以， 则， 因为对于任意实数，恒成立， 所以的定义域为，关于原点对称， ， 所以是奇函数. 19. 已知二次函数满足，且该函数的图像与轴交于点，在轴上截得的线段长为4. (1)求函数的解析式； (2)若，当时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】待定系数法、二次函数的图象分析与判断、与二次函数相关的复合函数问题、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由二次函数的图象的性质得出与轴交点坐标为，，再将点代入解析式中列方程组求解即可. （2）根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以的对称轴为， 又因为在轴上截得的线段长为4， 所以与轴交点坐标为，， 且该函数的图像与轴交于点， 由此可得，解得， 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，， 由可得，， 则， 因为在上为增函数， 所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $