专题5 指数函数与对数函数（讲义）-2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 【解析版】

编写说明：2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 专题5 指数函数与对数函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 指数对数运算 指数对数混合运算 2023-28 计算 7分 指数对数混合运算 2022-28 计算 7分 指对数函数图象 指数对数函数图象分析 2022-12 单选 3分 指对数函数性质 对数比较大小 2024-11 单选 3分 命题轨迹透视： 指数对数混合运算是本模块最重要大题，搭配少量三角函数、阶乘等一起计算，但不是必考题，只有22、23年考过。对数函数定义域几乎为每年必考题目，常与分式或根式混合，属于必拿的基础分。指数对数函数几乎每年小题出现，选择或填空。主要考查求图象识别、比较大小等。 【考点1：指数与对数运算】 3. （2023年浙江T28）计算： 【答案】 【解析】 【分析】由绝对值、对数、根式、阶乘、正切函数的计算法则直接计算即可. 【详解】 . 2（2022年浙江T28）计算：. 【答案】150 【解析】 【分析】根据指数幂的运算、对数运算、三角函数值以及排列数运算进行求解. 【详解】 一、指数运算 1.有理数指数幂的分类 (1)正整数指数幂 (2)零指数幂; (3)负整数指数幂; (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幕的性质 (1); (2); (3); (4). 3.根式的定义: 一般地,如果,那么叫做的次方根,其中叫做根式,叫做根指数,叫被开方数. 4.对于根式记号,要注意以下几点: (1),且; (2)当是奇数,则;当是偶数,则; (3)负数没有偶次方根; (4)零的任何次方根都是零. 5.指数的运算和逆运算,遇到多重根号问题,需要先写成指数形式: . 二、对数运算 1.对数的定义:一般地,如果,且,那么数叫做以为底的对数,记作,读作以为底的对数,其中叫做对数的底数,叫做真数. 2、对数运算法则: (1)外和内乘原理: (2)外差内除原理:; (3)提公次方法:; (4)特殊对数:; (5)指中有对,没心没肺:和如:. 3、换底公式和对数运算的一些方法: (1)常用换底:如:. (2)倒数原理:如:. (3)约分法则:如:. (4)归一法则:. 指数对数运算易错点总结 1. 与； 2. 对数平方写法陷阱：与的区分 :先求，整体平方； :先算再取对数 3. 对数换底公式误用 换底公式 4. 对数运算法则混用：加减乘除颠倒 ; ; 5.幂的指数运算混淆 和 , 题型1 指对幂的运算 1. 将写成分数指数幂的形式为（    ） A． B． C． D． 2. 下列各式中，值为的是（    ） A． B． C． D． 3.（2026浙江省温州市高三中职单独考试一模数学试卷）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（2026浙江省衢州、丽水、湖州市高三高职模拟考试）计算：____________． 5.（2026浙江省职教高考研究联合体第一次联合考）计算：_____． 6.（2024浙江省职教高考研究联合体高三五模）计算：. 7.（2024浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）计算： 【答案与解析】 1【答案】B 【知识点】分数指数幂与根式的互化 【分析】根据分数指数幂与根式的互相转换即可求解. 【详解】解：. 故选：B 2. 【答案】A 【知识点】指数幂的运算、对数的概念判断与求值 【分析】由对数的求值及指数幂的运算即可得解. 【详解】选项，，故正确. 选项，，故错误. 选项，，故错误. 选项，，故错误. 故选：. 3. 【答案】D 【知识点】指数幂的运算、对数的概念判断与求值 【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】，故A错误， ，故B错误， ，故C错误， ，故D正确， 故选：D. 4. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、组合数的计算 【分析】根据指数幂与对数的运算法则结合组合数的运算法则计算即可. 【详解】 ， 故答案为：. 5. 【答案】 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、对数的运算 【分析】由根式和对数的运算即可得解. 【详解】原式． 故答案为：. 6. 【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算、求特殊角的三角函数值、排列数的计算 【分析】根据对数、指数幂、三角函数、阶乘的运算即可解得. 【详解】原式 . 7.【答案】 【知识点】指数幂的运算、对数的运算 【分析】根据指对数的运算即可求解. 【详解】 . 【考点2：指数函数对数函数的图象与性质】 1. （2024年浙江T11）已知，，，则下列不等式正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数函数单调性比较大小即可. 【详解】以为底的对数函数为增函数，则，即； 所以； 以为底的对数函数为增函数，则，即； 所以； 又因为； 综上，； 故选：C. 2. （2022年浙江T12）函数在同一直角坐标系中的图像如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数图像求解. 【详解】由图像，可知它们都是增函数，故有， 又因为当时，函数的图像更接近轴，∴， 由函数的图像知其为减函数，所以，所以， 故选：A. 1、 指数函数 1.指数函数的图象与性质 图象 图像特征 在轴的上方，过定点 当逐渐增大时，图象逐渐上升 当逐渐增大时，图象逐渐下降 性质 定义域 值域 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 范围 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； (1)当底数大小不定时,必须分“”和“”两种情形讨论. (2)当时,;当时. 当时,的值越大,图象越靠近轴,递增速度越快. 当时,的值越小,图象越靠近轴,递减的速度越快. (3)指数函数与的图象关于轴对称. 函数(1); (2); (3); (4)的图象如下图左所示,则; 即时,(底大幂大); 时,. (4)特殊函数:函数的图象如上图右所示. 2.指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法:当指数式的底数和指数各不相同时,需要借助中间量“0”和“1”作比较. (3)分类讨论法:指数式的底数不定时,需要分类讨论底数的情况,在利用指数函数的单调性进行比较. (4)比较法:有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: (1)若; (2)当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断,或即可. 二、对数函数 1.对数函数的图象与性质 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域：(0，＋∞) 值域：R 当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0) 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 在(0，＋∞)上为增函数 在(0，＋∞)上为减函数 对数函数的定义:函数且叫做对数函数,它是指数函数且的反函数. 图象:由于对数函数是指数函数的反函数,所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形,即可获得.同样也分与两种情况归纳: 以与为例 底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内,当时,随的增大,对数函数的图象愈靠近轴;当时,对数函数的图象随的增大而远离轴.(见下图) 2. 比较两个对数值的大小的基本方法 (1)比较同底的两个对数值的大小,常利用对数函数的单调性. (2)比较同真数的两个对数值的大小,常有两种方法: (1)先利用对数换底公式化为同底的对数,再利用对数函数的单调性和倒数关系比较大小; (2)利用对数函数图象的相互位置关系比较大小. (3)若底数与真数都不同,则通过一个恰当的中间量来比较大小. 题型1 指数函数与对数函数图象 1. 函数与（，）的图象在同一坐标系中，可能为（    ） A．   B．   C．   D．   2.当时，在同一个平面直角坐标系中，函数和的大致图像是（　　） A． B． C． D． 3.（2026浙江省单独考试招生考试杭州市三模）函数且和且在同一坐标系内的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 4.（2026浙江省浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知函数（且），（且）．若，则同一坐标系它们的图像可能是（   ） A．  B．   C．  D．   5. 函数恒过定点_______. 6. 若方程有两个不同的实数解，则实数的取值范围是________． 题型2 指数函数与对数函数的性质及应用 7.( 2025浙江省职教高考高三第五次模拟考试) 已知，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8.( 2025浙江省台州市中等职业技术学校高三第一次模拟考试) 下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 9. 设，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10. 如果，那么x的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 11. 已知，那么的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 12. 函数（）的图象如下图所示，函数的解集是（    ）    A． B． C． D． 13. 设，， ，则三者大小关系为_________. 14. 不等式的解集是________． 15.已知函数，若，且，则_________ 16.已知且，则a的取值范围是___________． 17. 已知函数，且.求： (1)的值； (2)不等式的解集. 18. 已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 19. 已知函数是定义在上的奇函数．求： (1)实数的值； (2)不等式的解集． 20.设二次函数是定义在上的偶函数，求： (1)a和b的值； (2)求不等式的解集． 【答案与解析】 1【答案】A 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断指数函数的单调性 【分析】由一次函数和指数函数图像性质及单调性即可解得 【详解】选项A：由图像指数函数单调递增，即且时直线在指数函数图像上方，故正确. 选项B：由图像指数函数单调递减，即，当时指数函数与轴的交点在直线与轴交点的上方，与图像不符，故错误. 选项C：直线在定义域R上单调递增，故错误. 选项D：由图像指数函数单调递增，即，当时指数函数应在直线的下方，故错误. 故选：A 2【答案】C 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断指数函数的单调性、判断对数型函数的图象形状、研究对数函数的单调性 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断函数图像即可. 【详解】因为，所以， 则函数是恒过点，且在R上为增函数， 函数是恒过点，且在R上为减函数， 故选项C符合题意. 故选：C. 3【答案】D 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、比较指数幂的大小、根据对数型函数图象判断参数的范围、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数以及对数函数图像得到的范围，再结合指数函数和对数函数的单调性，求解即可. 【详解】因为指数函数且的图像在定义域上单调递减，所以， 对数函数且的图像在定义域上单调递增，所以， 则，故选项A，B错误， ，则选项C错误，选项D正确. 故选：D. 4【答案】D 【知识点】判断指数型函数的图象形状、判断对数型函数的图象形状 【分析】根据题意结合指数函数及对数函数的性质即可得解. 【详解】函数（且），（且）， ∵，且，∴， ∴， 则图像为    故选：D 5【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数恒过定点需令求解即可. 【详解】在函数中， 令，解得，此时， 所以函数恒过定点. 故答案为：. 6【答案】 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、根据函数零点的个数或分布求参数 【分析】作出函数的图象，数形结合可得解． 【详解】作出函数的图象，如图，    若方程有两个不同的实数解，则函数的图象与直线有两个不同的交点， 由图可知，实数的取值范围是. 故答案为：. 7【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】由指数幂和对数的运算即可判断a，b，c的大小. 【详解】因为， 所以. 故选：D. 8【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较正弦值的大小 【分析】根据指数函数，对数函数和三角函数的性质进行分析即可. 【详解】对A：因为，又， 且函数在上单调递增，所以，故A项错误. 对B：因为指数函数在上单调递增，所以，故B项错误； 对C：因为对数函数在上单调递减，所以，故C项错误； 对D：因为指数函数在上单调递增，所以，故D项正确. 故选：D. 9【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数，指数函数的性质即可求解. 【详解】由指数函数的性质可得， ， . 由对数函数的性质可得， . 综上，. 故选：D. 10【答案】B 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】因为在定义域上为减函数，又， 所以，即x的取值范围是. 故选：B． 11【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据对数函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递增， 由，可得， 解得或， 所以的取值范围是， 故选：D. 12【答案】D 【知识点】函数图像的识别、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数图像和对数函数的单调性即可求解. 【详解】由图像可知当或时，满足， 由可得， 由可得， 综上的解集是. 故选：D. 13【答案】 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据对数函数和指数函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以，即， 又因为， 所以. 故答案为：. 14【答案】 【知识点】指数幂的运算、由指数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】根据指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】∵， ∴原不等式可等价为， ∵指数函数在R上单调递增， ∴，即， 解得， ∴不等式的解集为. 故答案为：. 15【答案】1 【知识点】对数的运算性质的应用、由对数（型）函数的单调性确定定义域或参数 【分析】根据对数函数的性质即可求解. 【详解】由得， 所以， 又， 则在其定义域上单调递增， 所以， 则， 即，则. 故答案为：. 16【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为在单调递增，又， 所以， 因为在单调递减，又， 所以， 综上，. 故答案为：. 17【答案】(1) (2). 【知识点】求对数函数的解析式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）将代入解析式即可求； （2）利用对数函数定义域与单调性解不等式即可. 【详解】（1）∵∴， 解得； （2）由（1）知， ，即， 根据对数函数真数大于零与以为底的对数函数为减函数可知， 解得     所求不等式的解集为. 18【答案】(1) (2) 【知识点】求对数函数的解析式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用待定系数法求出对数函数的解析式； （2）由对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，所以. 因为，且， 所以，即. （2）因为在上单调递增，且， 所以所以 所以，所以原不等式的解集是. 19【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据定义在上的奇函数有，代入函数解析式求值即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 当时，定义域为， 且满足奇函数定义， 所以. （2）由（1）可得，， 则，即，因为， 两边同乘，得， 即，得， 所以，因为在上为增函数， 所以，则原不等式解集为. 20【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求参数、由指数函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据偶函数的定义求解即可. （2）先表示出函数的函数解析式，再根据指数函数的单调性结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）因为二次函数是定义在上的偶函数， 所以，解得， 所以. （2）由（1）知，，所以， 又，则有，即， 因为指数函数在其定义域内为增函数， 则有，即， 可得，解集为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $