第5卷 指数函数、对数函数（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统构建指数函数、对数函数的知识体系与解题方法，培养抽象能力、运算能力及推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2大概念4表格|结构化梳理定义、性质、运算公式|从根式/对数概念生成→性质推导→运算规则构建逻辑链| |真题精讲|10道近3年真题|考点分类突破（运算/定义域/图像性质）|真题覆盖核心考法，体现概念应用的递进关系| |举一反三|13道变式题|题型变式训练（图像辨析/大小比较）|强化概念与题型的对应，提升推理迁移能力| |拓展提升|15道综合题|综合应用（函数性质/参数问题）|从基础应用到复杂情境，培养数学思维与问题解决能力|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数、对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、指数函数 1.根式 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 2.分数指数幂 ①正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． ②正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． ③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3.有理指数幂的运算性质 ①ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； ② (ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； ③ (ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 二、对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　；②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)；③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　；②loga＝ logaM－logaN　；③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【真题精讲】 考点01指数、对数的运算 1.（2025·河北对口升学）已知，，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】根据题意结合对数的定义求出的值即可得解. 【详解】，，所以， 故选：. 2.（2022·河北对口升学）方程的解为_______________. 【答案】 【分析】根据对数函数的运算公式即可求解. 【详解】由题意可知， ， 故答案为： 考点02 指数函数、对数函数的概念 3.（2025·河北对口升学）函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据真数大于零及二次根式的性质列出不等式组即可得解. 【详解】函数，则，解得， 所以定义域为， 故选：. 4.（2024·河北对口升学）已知函数，则________． 【答案】2 【分析】令，可得的值. 【详解】∵函数， ∴令，可得. 故答案为：2. 5. （2024·河北对口升学）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式，结合指数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数.所以.即.因为函数在上是增函数.所以.所以函数的定义域为. 故答案为： 考点03 指数函数、对数函数的的图象与性质 6.（2026·河北对口升学）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意利用换元法结合指数函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 因为，所以在上，的最小值为，无最大值， 所以函数的值域为， 故选：. 7.（2026·河北对口升学）在上，在上，函数图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意利用一次函数与对数函数的性质即可得解. 【详解】在上，的系数为，所以为减函数，故错误；在上，底数，所以为增函数，故错误，正确， 故选：. 8.（2025·河北对口升学）如图，函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据指数函数的图像与性质判断． 【详解】∵函数在上单调递增，过点，且， ∴函数在上单调递减，且过点，且， 故ABC不符，D符合， 故选：D． 9. （2024·河北对口升学） 若，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】利用指数函数与对数函数、正弦函数的单调性即可得解. 【详解】因为，，又，即，所以. 故选：D. 10.（2023·河北对口升学）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据不等式的性质和指数函数，对数函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A选项，当时，则有，所以A错误. B选项，当时，则有，所以B错误. C选项，由于为增函数，且，则，所以C正确. D选项，由于为增函数，当时，，且， 则，所以D 错误. 故选：C. 【举一反三】 1.下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的定义，结合选项判断即可. 【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数叫做指数函数，结合选项从而可判断选项D正确． 故选：D． 2.以下各点在指数函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【详解】依题意分别代入各坐标，只有，所以在图像上. 故选：D. 3．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和分数的运算性质逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误；对于B，，所以B错误，对于C，，所以C错误；对于D，，所以D正确， 故选：D. 4．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式化为指数式，再根据指数幂的运算法则计算可得. 【详解】因为，，所以，，所以. 故选：D 5．若，则必有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合实数指数幂的运算法则，即可求解. 【详解】因为，即，所以. 故选：D． 6．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性计算即可得出结果. 【详解】易知函数在区间上单调递减，所以其最大值为. 故选：A 7. （2021·河北对口升学）若函数（且）图像经过第二、三、四象限则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【分析】根据指数函数的图像性质判断函数（且）的图像经过第二、三、四象限满足的条件. 【详解】因为函数（且）的图像经过第二、三、四象限， 所以函数单调递减，定点在原点下方，则，即且. 故选：D. 8. 函数的图像为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据指数函数的性质即可得解. 【详解】函数是由基本指数函数向上平移 1 个单位得到的，对于指数函数，底数，是单调递增的指数函数，过点；所以函数单调递增，过点；只有A选项符合题意. 故选：. 9．已知函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性即可求得函数的值域 【详解】因函数在时为增函数，故，即， 故的取值范围是. 故选：B. 10．已知，则.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别判断的取值范围即可求解. 【详解】，即；，即； ，即，所以. 故选：A. 11.（2023·河北对口升学） 函数的定义域是_____.（用区间表示） 【答案】 【分析】根据对数的真数大于0结合解含绝对值的不等式的方法即可求解. 【详解】由题意得，，则，即. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12．已知函数，则 ． 【答案】10 【分析】将代入函数，由指数幂和对数运算计算即可. 【详解】． 故答案为:10. 13．已知指数函数（且）经过点． （1）求的解析式及的值； （2）若，求x的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（1）由待定系数法求解析式即可得解. （2）由指数函数的单调性即可得解. 【详解】（1）因为指数函数且过点.所以.解得. 所以.所以. （2）.所以.又因为为增函数.所以.解得.所以的取值范围为. 【拓展提升】 一、选择题 1. 已知，则用含的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则表示即可. 【详解】已知，则，， 故选：B. 2．若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性求解即可. 【详解】因为在上单调递增，所以，而，所以， 因为在单调递增，所以，所以. 故选：B. 3．函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数所过定点，令即可求解. 【详解】因为对数函数（，且）的图象过定点，所以令，解得， 此时，即的图象过定点． 故选：C． 4.（2023·河北对口升学）已知，其中，则、、从小到大顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因其中，所以在为减函数， 因为，且有，所以即. 故选：D. 5．函数与的图像正确的是（    ） A．   B．   C．  D．   【答案】C 【分析】根据一次函数和对数函数的图像与性质即可求解. 【详解】由一次函数单调递减，且过点，选项A、B排除，观察C、D可知单调递增，所以，则选项C满足题意，综上所述可知选项C正确. 故选：C. 6.．将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数平移变换进行求解即可. 【详解】将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数. 故选：B. 7.. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意结合真数大于零及指数幂的运算公式列出不等式组即可得解. 详解】函数，则，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：A. 8.．已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案. 【详解】因为函数为奇函数，且当时，， 所以. 故选：A. 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据必要条件和充分条件的概念，结合对数函数的单调性判断即可 【详解】若，则与无意义，故充分性不成立，若，则有，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 10．已知不等式，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质求解. 【详解】∵，故，对于，底数小于1，函数为减函数.故． 故选：A． 二、填空题 11．已知，，，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】因为，，，所以， 因此. 故答案为：. 12设函数，则满足的值为____________. 【答案】 【分析】将函数分别代入两个解析式求出的值，保留属于所给区间的值即可. 【详解】若，则，，所以符合条件； 若，则，则，所以符合条件； 综上满足的值为； 故答案为：. 13.（2023·河北对口升学）已知，则a，b，c按由小到大的顺序排列为_______. 【答案】 【分析】根据指数函数的性质和对数的运算性质分析即可. 【详解】因为，又在定义域上单调递增， 所以，因为在上单调递增， 又因为，所以a，b，c按由小到大的顺序排列为. 故答案为：. 三、解答题 14.设函数（其中为常数），且 (1)求的值； (2)求在区间上的最小值 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以，解得； 由（1）知，函数，而，所以.， 即在区间上的最小值是. 15.设已知函数（且），. （1）求实数的值及的定义域； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1），（2） 【详解】(1)∵，∴，∴. 得，∴函数的定义域为(－1,3)． ∴当x∈(－1,1]时，是增函数； 当x∈(1,3)时，是减函数， 故函数在上的最大值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数、对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、指数函数 1.根式 根式的概念 符号表示 备注 如果 xn＝a　，那么x叫做a的n次方根 n>1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 正数　，负数的n次方根是一个 负数　 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有 两个　，它们互为 相反数　 ± 负数没有偶次方根 2.分数指数幂 ①正数的正分数指数幂是a＝ 　(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． ②正数的负分数指数幂是a－＝(a＞0，m，n∈N*，n＞1)． ③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． 3.有理指数幂的运算性质 ①ar·as＝ ar＋s　(a＞0，r、s∈Q)； ② (ar)s＝ ars　(a＞0，r、s∈Q)； ③ (ab)r＝ arbr　(a＞0，b＞0，r∈Q)． 4．指数函数的概念、图象和性质 定义 函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)叫指数函数 底数 a>1 0<a<1 图象 性质 函数的定义域为R，值域为(0，＋∞) 函数图象过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，恒有y>1； 当x<0时，恒有0<y<1 当x>0时，恒有0<y<1； 当x<0时，恒有y>1 函数在定义域R上为 增函数 函数在定义域R上为 减函数 二、对数函数 1．对数的概念 (1)对数的定义：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 x＝logaN　，其中 a　叫做对数的底数， N　叫做真数． (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为a(a>0，且a≠1) logaN　 常用对数 底数为 10　 lg N　 自然对数 底数为 e　 ln N　 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 ①loga1＝ 0　；②logaa＝ 1　(其中a>0且a≠1)；③logaab＝ b　(a>0，a≠1，b∈R)． (2)对数恒等式 alogaN＝ N　(其中a>0且a≠1，N>0)． (3)对数的换底公式 logbN＝ 　(a，b均大于零且不等于1，N>0)． (4)对数的运算法则 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ logaM＋logaN　；②loga＝ logaM－logaN　；③logaMn＝ nlogaM　(n∈R)． 3．对数函数的定义、图象和性质 定义 函数 y＝logax(a＞0，且a≠1)　叫做对数函数 图象 a＞1 0＜a＜1 性质 定义域： (0，＋∞)　 值域： (－∞，＋∞)　 当x＝1时，y＝0，即过定点 (1,0)　 当0＜x＜1时，y<0； 当x＞1时， y＞0　 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时， y＜0　 在(0，＋∞)上为 增函数　 在(0，＋∞)上为 减函数　 【真题精讲】 考点01指数、对数的运算 1.（2025·河北对口升学）已知，，则 （ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 2.（2022·河北对口升学）方程的解为_______________. 考点02 指数函数、对数函数的概念 3.（2025·河北对口升学）函数的定义域为 （ ） A. B. C. D. 4.（2024·河北对口升学）已知函数，则________． 5. （2024·河北对口升学）函数的定义域为 ． 考点03 指数函数、对数函数的的图象与性质 6.（2026·河北对口升学）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 7.（2026·河北对口升学）在上，在上，函数图像为（ ） A. B. C. D. 8.（2025·河北对口升学）如图，函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 9. （2024·河北对口升学） 若，，，则a，b，c之间的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10.（2023·河北对口升学）已知为实数，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三】 1.下列函数是指数函数的是（ ） A． B． C． D． 2.以下各点在指数函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 3．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．若，则必有（　　） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 7. （2021·河北对口升学）若函数（且）图像经过第二、三、四象限则（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 函数的图像为（ ） A. B. C. D. 10．已知，则.（    ） A． B． C． D． 11.（2023·河北对口升学） 函数的定义域是_____.（用区间表示） 12．已知函数，则 ． 13．已知指数函数（且）经过点． （1）求的解析式及的值； （2）若，求x的取值范围． 【拓展提升】 一、选择题 1. 已知，则用含的代数式表示为（ ） A. B. C. D. 2．若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 4.（2023·河北对口升学）已知，其中，则、、从小到大顺序为（ ） A. B. C. D. 5．函数与的图像正确的是（    ） A．   B．   C．  D．   6.．将函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 7. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 8.已知函数为奇函数，且当时，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 9．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．已知不等式，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，，则 . 12设函数，则满足的值为____________. 13.（2023·河北对口升学）已知，则a，b，c按由小到大的顺序排列为_______. 三、解答题 14.设函数（其中为常数），且 (1)求的值； (2)求在区间上的最小值 15.设已知函数（且），. （1）求实数的值及的定义域； （2）求在区间上的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $