第4卷 二次函数、幂函数（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合幂函数与二次函数核心概念、真题考法及变式训练，通过师生双卷设计实现方法迁移与能力递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2大知识点|定义-图象-性质三步梳理法|从幂函数定义到性质（单调性/奇偶性），再到二次函数解析式与图象性质的递进| |真题精讲|5道真题|考点定向突破法（图象判断/值域求解）|紧扣河北对口升学高频考点，示范性质应用| |举一反三|12道变式题|性质迁移应用法（定义域/单调性/解析式求法）|从基础概念到综合应用，覆盖选择/填空/解答题| |拓展提升|12道综合题|实际问题建模法（利润/运动问题）|结合核心素养，通过跨情境问题提升数学思维与应用能力|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第4卷 二次函数、幂函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 【真题精讲】 考点01 幂函数 1. （2024·河北对口升学）关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图像过点 B. 的图像过点 C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用凑配法，先求得函数解析式，结合幂函数的图像和性质，即可判断求解. 【解析】因为函数，所以， 所以，所以函数的图像过点，故选项A正确，不符合题意； 所以，所以函数图像过点，故选项B正确，不符合题意； 所以幂函数在其定义域上为增函数，故选项C正确，不符合题意； 因为函数的定义域为，不关于原点对称，故函数不是偶函数，故选项D错误，符合题意； 故选D. 2. （2023·河北对口升学）已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为_______. 【答案】 【分析】先由函数是幂函数求解m的值，再由幂函数的图像即可求解函数的单调递增区间. 【详解】因为函数是幂函数，所以，所以幂函数为， 图像如下， 所以该函数的单调递增区间为. 故答案为：. 考点02 二次函数 3.（2026·河北对口升学）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据题意利用换元法结合指数函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】令，则， 所以函数为，图像为开口向上的抛物线，对称轴为， 则函数在上为减函数，上为增函数， 因为，所以在上，的最小值为，无最大值， 所以函数的值域为， 故选：. 4. （2025·河北对口升学）已知函数，则______. 【答案】2 【分析】由内向外代入求值即可． 【详解】函数，则 故． 故答案为： 5．（2024·河北对口升学）函数在其定义域内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论的取值范围，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】对于，当时，，对于，其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故AC错误；当时，， 对于，其图象开口向下，对称轴为，所以在上单调递增，故D错误； 而选项B满足上述函数的性质描述，故B正确. 故选：B. 【举一反三】 1.函数的定义域是 （  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的意义，结合一元二次不等式的解集即可求解. 【详解】由题意得，要使函数有意义，则.即，解得或.即函数的定义域是. 故选：A. 2．下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的性质和指数函数的定义分别判断即可求解. 【详解】对于A：函数，定义域为R，所以值域为R，故A项正确； 对于B：函数为指数函数，故B项错误； 对于C：函数，定义域为，在第一象限内单调递增，又， 则，所以值域为，故C项错误； 对D：函数为指数函数，故D项错误. 故选：A. 3．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案. 【详解】对称轴为, 所以在严格增，所以， 故选：C. 4．已知集合和集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，求出集合A、B，根据交集的运算即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则，所以集合， 因为，所以集合， 所以，即. 故选：B. 5．设二次函数满足顶点坐标为，其图像过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据顶点坐标设二次函数方程，再用待定系数法求解. 【详解】∵二次函数满足顶点坐标为，∴可设二次函数， ∵其图像过点，∴，∴，∴． 故选：C 6．已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于幂函数， 若，函数在上单调递增； 若，函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 其余选项中不满足题意. 故选：D. 7．函数的图象如图所示，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数图像得到奇偶性与单调性，进而判断即可. 【详解】由图象可知函数为偶函数，且在第一象限内单调递减， 所以，解得， 因为，所以，或，或， 当时，为奇函数，不合题意， 当时，为偶函数，符合题意， 当时，为奇函数，不合题意， 所以， 故选：C 8．若函数，则函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数解析式写出复合函数，再根据复合函数定义域即可解得. 【详解】幂函数，, 所以，所以，所以函数的定义域是， 故选：D. 9．函数 的定义域为 . 【答案】 【分析】根据幂函数和对数函数的定义域即可解得. 【详解】由题，函数，则，解得，即函数定义域为. 故答案为： 10.（2021·河北对口升学）如果函数在上是减函数，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解的取值范围. 【详解】在上是减函数，则，解得. 故答案为： 11．已知二次函数在上为减函数，在上为增函数． (1)求函数的解析式； (2)若求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性确定其对称轴，再由对称轴公式列方程求解即可. （2）根据二次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）函数在上为减函数，在上为增函数， 对称轴为， 又函数的对称轴为， ，即． 函数的解析式为． （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值， 当时，函数的值域为． 12. （2021·河北对口升学）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 【答案】（1）； （2）当时，利润最大，此时（元）. 【分析】（1）根据已知函数为一次函数假设出函数详解式，结合已知条件用待定系数法即可求解; （2）利用已知条件求出利润与售价的关系式，再结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设（为常数），由题意可知， 所以. （2（设利润为（元），根据题意，得 ， 则该函数是关于的二次函数，开口向下，对称轴是， 所以当时，利润最大，此时（元）. 【拓展提升】 一、选择题 1. 函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据复合函数单调性求解. 【详解】要使函数有意义，则，解得. 的对称轴为，图像开口向下，当时，单调递增； 当时，单调递减，又在上单调递增，根据复合函数单调性可知，当时，函数单调递增，故函数的单调增区间为. 故选：A. 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式求解定义域即可. 【详解】因为， 则有，解得且，因此的定义域是． 故选：B. 3．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义域和指数函数的值域求交集即可解得. 【详解】，，. 故选：C. 4．若函数是偶函数，则函数的单调递增区间是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性求出参数，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 所以，即，，解得， 所以函数，因为函数的图像开口向下，对称轴方程为， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 5．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 【答案】D 【分析】由点求出解析式，利用幂函数的图像与性质即可得出. 【详解】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入解析式得，解得， ∴，函数的定义域为，是非奇非偶函数，且在上是增函数， 故选：D. 6．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性，以及余弦函数的值域即可解得. 【详解】因为定义域为，又，即为奇函数，且函数在上单调递增， 所以为在定义域上单调递增的奇函数， 因为存在，使得成立，即成立， 即成立，所以存在，使得成立，则成立， 因为，所以， 所以，即； 故选：A 二、填空题 7．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 . 【答案】3 【分析】根据幂函数的概念先求解m的值，再由函数为偶函数确定m的值. 【详解】依题意，解得或， 当时，函数为的定义域为R，所以为偶函数， 当时，函数为的定义域为R，所以为奇函数， 所以的值为. 故答案为：. 8．已知函数，当时是增函数，当时是减函数，则 . 【答案】 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】由题意得，函数，当时是增函数，当时是减函数，则对称轴为，解得. 即，则. 故答案为：. 9．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元． 【答案】60 【分析】根据题意，设涨价金额为自变量元，列出函数关系，即可求解. 【详解】设涨价元时，获得利润为元，根据题意得到，， 化简得. 时，取最大值，此时售价为60元． 故答案为：60. 10．若幂函数（为常数）的图象恒过定点A，直线恒过定点B，则直线的倾斜角是 . 【答案】 【分析】求出A、B的坐标，再求出直线的斜率即可求出倾斜角. 【详解】由题意得：幂函数（为常数）的图象恒过定点A，则， 直线恒过定点B， 直线方程整理得，故， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 三、解答题 11．已知二次函数. (1)若在区间上是增函数，求实数的取值范围； (2)若是偶函数，且，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数单调性即可解得. （2）根据偶函数的性质和二次函数单调性求最值即可解得. 【详解】（1）因为二次函数的对称轴为， 由在上递增，得，解得， 故的取值范围是. （2）因为函数是偶函数， 所以，解得， 则函数，其对称轴为， 所以当时，， ， 所以函数的值域为. 12（2022·河北对口升学）如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】当时，的面积最大，最大面积为 【分析】由题设移动时间为秒时，知米，米，由面积可得二次函数，二次函数在对称轴处取得最值即可得结果. 【详解】解：由题可知移动时间为秒时，知米，米，由三角形面积公式知 ，可知当时， 面积最大，最大为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第4卷 二次函数、幂函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数. 2．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0) y＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 方程 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 【真题精讲】 考点01 幂函数 1. （2024·河北对口升学）关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 图像过点 B. 的图像过点 C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数 2. （2023·河北对口升学）已知是幂函数，则此函数的单调递增区间为_______. 考点02 二次函数 3.（2026·河北对口升学）函数 的值域为（ ） A. B. C. D. 4. （2025·河北对口升学）已知函数，则______. 5．（2024·河北对口升学）函数在其定义域内的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1.函数的定义域是 （  ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域是的幂函数是（ ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（     ） A． B． C． D． 4．已知集合和集合，则等于（ ） A． B． C． D． 5．设二次函数满足顶点坐标为，其图像过点，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数在上单调递减，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象如图所示，则的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 8．若函数，则函数的定义域是(　　) A． B． C． D． 9．函数 的定义域为 . 10.（2021·河北对口升学）如果函数在上是减函数，则实数的取值范围是____________. 11．已知二次函数在上为减函数，在上为增函数． (1)求函数的解析式； (2)若求函数的值域． 12. （2021·河北对口升学）某网点购进一批单价为10元的商品，经过一段时间的经营发现，当售价为12元时，每天可售出100件，当售价为14元时，每天可售出80件，假设每天的销售量（件）是售价（元/件）的一次函数. （1）试写出y与的函数关系式； （2）假定商品无积压，并且不考虑其他因素影响，当售价为多少时，商家每天的利润最大，并求最大利润. 【拓展提升】 一、选择题 1. 函数的递增区间为（ ） A. B. C. D. 2．函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 4．若函数是偶函数，则函数的单调递增区间是（    ）． A． B． C． D． 5．已知幂函数经过点，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是减函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在上是增函数 6．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．函数是幂函数且为偶函数，则m的值为 . 8．已知函数，当时是增函数，当时是减函数，则 . 9．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 元． 10．若幂函数（为常数）的图象恒过定点A，直线恒过定点B，则直线的倾斜角是 . 三、解答题 11．已知二次函数. (1)若在区间上是增函数，求实数的取值范围； (2)若是偶函数，且，求函数的值域. 12（2022·河北对口升学）如图，已知，米，米，动点和同时从点分别沿路径和方向匀速移动.已知动点的速度为米/秒，动点的速度为米/秒.在动点向点移动过程中，当移动时间为多少时，的面积最大，最大面积是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $