第3卷 函数的概念与性质（教师讲解卷） 2027版河北省（对口升学）《数学真题同源卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 立足河北对口升学考纲，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建函数专题训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|5个核心概念|构建定义域、单调性等知识框架|从定义到性质推导，形成逻辑链条| |真题精讲|3考点8题|按考点拆解解题步骤|结合近三年真题，对接高频考点| |举一反三|10题|强化题型变式训练|巩固性质应用，提升推理能力| |拓展提升|15题|综合应用与实际问题解决|从数学思维到应用意识，实现能力迁移|

编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第3卷 函数的概念与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的概念及其表示 （1）函数的定义域 ①在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域　. ②如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数． （2）函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法　、图象法和列表法． （3）分段函数 ①若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． ②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集　. 2.函数的单调性 （1）单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 （2）单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． 3.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 4.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 5.函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 【真题精讲】 考点01 函数的概念 1.（2026·河北对口升学）的定义域为.（ ） A. B. C. D. 2.（2025·河北对口升学）已知是一次函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.（2024·河北对口升学）设函数，则________． 考点02 函数的图象与性质 4.（2026·河北对口升学）已知为奇函数且单调递增，为奇函数,当时，单调递增，且，则的解集为（ ）. A. B. C. D. 5.（2025·河北对口升学）已知奇函数在上单调递减，，若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.（2024·河北对口升学） 函数在其定义域内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7.（2024·河北对口升学）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 考点03 函数的综合应 8.（2024·河北对口升学）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时， 阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 【举一反三】 1.（2023·河北对口升学）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2.（2023·河北对口升学）下列函数在定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 3.（2022·河北对口升学）下列函数为偶函数且在内是增函数的是（ ） A. B. C D. 4.（2024·河北对口升学） 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图像过点 B. 的图像过点 C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数 5．（2026·河北联合体测试）已知函数是偶函数，且在区间上是增函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（2026·河北对口升学），求________ 7．已知一次函数是奇函数，则实数 . 8.（2022·河北对口升学）设，则_______________. 9.（2023·河北对口升学）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 10．已知定义在的函数在单调递减，且. （1）若是奇函数，求m的取值范围； （2）若是偶函数，求m的取值范围. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知和，则在时的值为（    ） A．25 B．36 C．16 D．30 2．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2026·河北承德丰宁模拟）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ）． A． B． C． D． 5．下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 6．函数的定义域为（   ） A．且 B． C．且 D． 7．若奇函数在上单调递减，且最大值为8，那么在上是（    ） A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为 C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为 8．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北张家口模拟）已知函数在区间上是奇函数，则函数在上一定是（    ） A．增函数 B．偶函数 C．减函数 D．奇函数 10．若函数是上的增函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11.（2023·河北对口升学）已知函数，则 _______. 12．已知函数若，则a的值是 ． 13．（2026·河北围场模拟）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时， . 三、解答题 14．已知是定义域为R的奇函数，当时，，求： (1)的值； (2)的解析式． 15. （2020·河北对口升学）某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》专辑，立足河北省对口升学数学真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027版河北省对口升学《数学真题同源卷》 第3卷 函数的概念与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.函数的概念及其表示 （1）函数的定义域 ①在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域　；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域　. ②如果两个函数的定义域相同，并且 对应关系　完全一致，则这两个函数为相等函数． （2）函数的表示法 表示函数的常用方法有 解析法　、图象法和列表法． （3）分段函数 ①若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数． ②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集　. 2.函数的单调性 （1）单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递增　 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上 单调递减　 图象 描述 自左向右看图象是 上升的　 自左向右看图象是 下降的　 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 （2）单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性　，区间D叫做y＝f(x)的 单调区间　． 3.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的 最大值　 M为函数y＝f(x)的 最小值　 4.函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 f(－x)＝f(x)　，那么函数f(x)是偶函数 都有 f(－x)＝－f(x)　，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于 y轴　对称 关于 原点　对称 5.函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 【真题精讲】 考点01 函数的概念 1.（2026·河北对口升学）的定义域为.（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意利用二次根式的性质及分母的性质即可得解. 【详解】，因为恒成立， 所以（等号不同时成立），解得，所以定义域为， 故选：. 2.（2025·河北对口升学）已知是一次函数，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出，进而可得的值． 【详解】由题意，设，∵， ∴，即， ∴且，解得，∴，∴． 故选：A． 3.（2024·河北对口升学）设函数，则________． 【答案】1 【分析】根据分段函数的解析式，由内到外代入求值即可. 【详解】函数，则， 所以， 故答案为：1． 考点02 函数的图象与性质 4.（2026·河北对口升学）已知为奇函数且单调递增，为奇函数,当时，单调递增，且，则的解集为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【分析】利用奇偶性、单调性分析函数正负，再解不等式，求解即可. 【详解】因为为奇函数,当时，单调递增，且， 所以当时，，且， 结合单调性，当时，， 当时，， 是奇函数，单调递增，故， 当时，，当时，， 令，当时， ， 当时， ， 因为，则① ， 或者② ，因此解集为. 故选：A. 5.（2025·河北对口升学）已知奇函数在上单调递减，，若实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】由奇函数的性质求出，根据题意结合奇函数的性质列出不等式即可得解. 【详解】函数为奇函数，，则， 因为函数在上单调递减， 则， 所以，解得，所以的取值范围是， 故选：. 6.（2024·河北对口升学） 函数在其定义域内的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分类讨论的取值范围，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】对于，当时，， 对于，其图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增，故AC错误； 当时，， 对于，其图象开口向下，对称轴为， 所以在上单调递增，故D错误； 而选项B满足上述函数的性质描述，故B正确. 故选：B. 7.（2024·河北对口升学）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列结论正确的是号（ ） A. B. C. 在上单调递增 D. 在上单调递减 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义，结合函数解析式代入求值可判断AB；结合偶函数及二次函数的性质可判断CD. 【详解】∵函数是定义在上的偶函数，∴， ∵当时，， ∴，， ，， ∴，，故A正确，B错误； 当时，，其对称轴，开口向下， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∵函数是定义在上的偶函数，其图象关于轴对称， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴在上不是单调函数，在上单调递增，故CD错误， 故选：A. 考点03 函数的综合应 8.（2024·河北对口升学）某植物园有一块长40米、宽20米的矩形空地（如图），计划种植不同品种的花卉，为了提升观赏效果，需使阴影部分面积最大，求x为多少米时， 阴影部分面积最大？最大面积为多少平方米？ 【答案】当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【分析】设阴影部分的面积为，根据题意列出阴影部分面积的函数，根据二次函数的性质即可求解. 【详解】设阴影部分的面积为， 则， 所以当米时，阴影部分面积最大，面积最大为平方米. 【举一反三】 1.（2023·河北对口升学）已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】换元法得到函数解析式即可. 【详解】设，则，代入原函数得． 即． 故选：B. 2.（2023·河北对口升学）下列函数在定义域内是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质分析即可. 【详解】A项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， B项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， C项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以不是偶函数， D项中的函数的定义域为R，定义域关于原点对称， ，所以是偶函数. 故选：D. 3.（2022·河北对口升学）下列函数为偶函数且在内是增函数的是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【分析】由单调性及奇偶性的图像特点定义即可得解. 【详解】如图所示为的图像,由图可知为偶函数且在内为增函数,选项正确. 如图所示为图像,由图像可知为偶函数,在内不是增函数,故选项错误. 如图所示为的图像,由图可知为既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误. 如图所示为的图像,由图可知既不是奇函数也不是偶函数,在内为增函数,故选项错误. 故选:. 4.（2024·河北对口升学） 关于函数，下列结论错误的是（ ） A. 的图像过点 B. 的图像过点 C. 在其定义域上为增函数 D. 为偶函数 【答案】D 【分析】根据题意，利用凑配法，先求得函数解析式，结合幂函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】因为函数， 所以， 所以，所以函数的图像过点，故选项A正确，不符合题意； 所以，所以函数图像过点，故选项B正确，不符合题意； 所以幂函数在其定义域上为增函数，故选项C正确，不符合题意； 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 故函数不是偶函数，故选项D错误，符合题意； 故选：D. 5．（2026·河北联合体测试）已知函数是偶函数，且在区间上是增函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性以及单调性可知，直接计算即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以当时，， 又因为在上是增函数，所以，解得. 故选：A. 6.（2026·河北对口升学），求________ 【答案】1 【分析】根据函数的解析式代入求解即可. 【详解】已知，则. 故答案为：1. 7．已知一次函数是奇函数，则实数 . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数的定义及一次函数的定义即可得解. 【详解】一次函数定义域为，因为函数为奇函数， 则，解得， 当时，不是一次函数，故舍去，所以， 故答案为：. 8.（2022·河北对口升学）设，则_______________. 【答案】1 【分析】根据自变量的取值范围代入即可求解. 【详解】，， 故答案为：1 9.（2023·河北对口升学）如图，已知等腰直角三角形ABC中，米，现在切去三个角，使剩余部分是一个矩形，问当矩形的长和宽各多少米时，矩形的面积最大?最大面积是多少? 【答案】当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大，最大面积是平方米 【分析】根据矩形的面积公式即可求出矩形的面积，再根据二次函数的性质即可求出最大面积. 【详解】设矩形的长FG为x米，宽EF为y米，因为切去的三个角都是等腰直角三角形， 所以，因为，所以， 所以矩形的面积，所以当时，函数有最大值，即当矩形的长为20米，宽为10米时，矩形的面积最大， 最大面积是平方米. 10．已知定义在的函数在单调递减，且. （1）若是奇函数，求m的取值范围； （2）若是偶函数，求m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的对称性判断单调性，再根据函数的单调性列不等式组求解即可. （2）根据偶函数的对称性判断单调性，再根据函数的单调性列不等式组求解即可. 【详解】（1）若是奇函数，则在上单调递减， 故，即， 解得，故m的取值范围为. （2）若是定义在上的偶函数，因为在上单调递减， 又由可得，， 故，即，由，得，解得， 所以上述不等式的解集为， 故m的取值范围为. 【拓展提升】 一、选择题 1．已知和，则在时的值为（    ） A．25 B．36 C．16 D．30 【答案】A 【分析】根据题意，将代入函数解析式，即可求解. 【详解】因为和，所以时，， 所以. 故选：A. 2．已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义即可得解. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 解得， 故选：. 3．（2026·河北承德丰宁模拟）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，代入解析式中，求出，再由列方程求解即可. 【详解】已知，令，则， 即，由得，解得. 故选：A. 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域的求法求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，即，所以， 所以函数的定义域是. 故选：C. 5．下列函数中，在上为增函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的单调区间，从而可得正确的选项. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，故A错； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，故B对； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，故C错； 对于D，因为在上单调递减，在上单调递增，故D错. 故选：B 6．函数的定义域为（   ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据函数中根式和分式的定义域要求来确定. 【详解】对于函数，被开方数须非负，即，解得. 分母部分不为0，即. 综合以上两个条件，函数的定义域是且，即且. 故选：A. 7．若奇函数在上单调递减，且最大值为8，那么在上是（    ） A．增函数，且最小值为 B．增函数，且最大值为 C．减函数，且最小值为 D．减函数，且最大值为 【答案】C 【分析】根据奇函数的图像的对称性，确定函数的单调性和最值即可. 【详解】已知奇函数在上单调递减，且最大值为8， 由于图像关于原点中心对称， 所以在上单调递减，有最小值. 故选：C. 8．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相同函数的定义逐项判断即可得解. 【详解】选项，两个函数定义域相同都是，对应法则也相同， 所以两个函数为同一函数，故符合题意； 选项，函数，定义域为，函数，定义域为，两个函数定义域相同，但是对应法则不同， 所以两个函数不为同一个函数，故不符合题意； 选项，函数，定义域为，函数，定义域为，两个函数定义域不同，所以不是同一个函数，故不符合题意； 选项，函数，定义域为，函数，定义域为， 两个函数定义域不同，所以不是同一个函数，故不符合题意， 故选：. 9．（2026·河北张家口模拟）已知函数在区间上是奇函数，则函数在上一定是（    ） A．增函数 B．偶函数 C．减函数 D．奇函数 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上是奇函数，所以. 此时. 由于一次函数的，则函数在上一定单调递减，故A错误，C正确； 由一次函数的性质可知，当时，是奇函数，当时，是非奇非偶函数，故B、D错误. 故选：C 10．若函数是上的增函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数是上的增函数且，根据增函数的性质列出关于的不等式组来求解的取值范围. 【详解】函数是上的增函数，且， ，. 所以的取值范围是. 故选：C 二、填空题 11.（2023·河北对口升学）已知函数，则 _______. 【答案】 【分析】根据分段函数和复合函数的概念求函数值即可. 【详解】当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 12．已知函数若，则a的值是 ． 【答案】或5 【分析】分为，两种情况讨论，列出方程求解即可. 【详解】函数，， 当时，，解得； 当时，，解得，所以a的值是或5． 故答案为：或5． 13．（2026·河北围场模拟）已知函数是定义域为R的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可解答. 【详解】已知当时，，则当时，， ，因为是奇函数，所以，即. 故答案为：. 三、解答题 14．已知是定义域为R的奇函数，当时，，求： (1)的值； (2)的解析式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据函数奇偶性，先计算内层，再计算外层，即可求解. （2）根据函数的奇偶性，即可求解. 【详解】（1）由题意知当时，， 所以， 因为是定义域为R的奇函数， 所以， 所以. （2）由题意知当时，， 因为是定义域为R的奇函数， 所以当时，必有； 当时， 令，根据奇函数可得， ， 将代入，得， 综上：. 15. （2020·河北对口升学）某火车站计划使用36米长的栅栏材料在靠墙（墙足够长）的位置设置一块平行四边形的临时隔离区域，如图所示，由于地形条件所限，要求，问AB长为多少米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大的面积是多少平方米？ 【答案】. 【分析】根据设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米，列出关于的二次函数，再求解函数的最值来求最大面积即可. 【详解】设的长为x米，所围成的隔离区域的面积为y平方米， 易知，，因为，所以， 所以平行四边形高， 则平行四边形的面积 ． 故当AB的长为18米时，所围成的隔离区域的面积最大，最大面积为平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $