专题10 指对幂函数的应用（练习）-2027年贵州高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦指对幂函数应用，以考点分层训练构建从概念关系到不等式应用的逻辑链条，融入真题实现基础巩固与能力提升 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对数函数与指数函数的关系|18题（含2道真题）|函数判断、性质分析（奇偶性/单调性）、图像应用|从指对函数概念关系出发，结合幂函数性质形成概念网络| |指对数不等式|6题（含2道真题）|不等式计算、实际应用（增长/剩余问题）|以指对函数单调性为原理，推导不等式解法并应用于实际情境|

编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题10 指对幂函数的应用 【考点1 对数函数与指数函数的关系】 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义求解. 【详解】选项A：，符合指数函数的一般形式，其中底数且，所以它是指数函数； 选项B：，自变量在底数位置，这是二次函数，不是指数函数； 选项C：，这是一次函数，不是指数函数； 选项D：，这是一次函数，不是指数函数. 故选：A. 2．函数的底数满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】由题目可知，函数的底数，故. 故选：C. 3．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可得解. 【详解】，解得， 故选：. 4．有如下命题，其中真命题为（    ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数（且）的图象恒过定点 C．函数在上单调递减 D．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是． 【答案】BD 【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B选项，根据指数函数恒过定点即可得到；C选项，根据二次函数的单调性可以判断；D选项，由投影向量知识可算得. 【详解】对A选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解得，则，，故A选项错误； 对B选项，函数的图象恒过定点，故B选项正确； 对C选项，函数在上单调递增，故C选项错误； 对D选项，在方向上的投影向量,故D选项正确. 故选：BD. 5．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【分析】求出的值域，根据“同象函数”的定义逐项判断可得答案. 【详解】函数的值域为， 对于A，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故A正确； 对于B，函数，，所以函数，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故B错误； 对于C，函数，，所以，与的值域不一样，所以与不是“同象函数”，故C错误； 对于D，函数，，所以，与的值域一样，所以与是“同象函数”，故D正确. 故选：AD. 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，不满足单调性；BC选项，判断出函数为偶函数，且在上单调递增；D选项，不满足奇偶性. 【详解】A选项，，故在上单调递减，A错误； B选项，的定义域为R，且， 故为偶函数， 当时，，在上单调递增，B正确； C选项，定义域为， ，故为偶函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 故在上单调递增，C正确； D选项，定义域为R，， 故为奇函数，D错误. 故选：BC 【考点2 指对数不等式】 7．某库存每周剩余原来的，两周后剩余比例是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合指数幂的运算即可得解. 【详解】某库存每周剩余原来的， 两周后剩余比例是， 故选：. 8．计算 ，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数幂的运算法则即可求解. 【详解】. 故选：A. 9．某数量按增长，则时为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将代入函数表达式计算即可． 【详解】已知，则时. 故选：D. 10．设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．有最大值 D．是增函数 【答案】ABC 【分析】根据奇偶性的定义可判定A，根据三角函数的周期性可判定B，根据复合函数的单调性可判定C、D. 【详解】对于A，因为的定义域为， 又，所以是偶函数，A选项正确． 对于B，易知， 所以是的一个周期，B选项正确． 对于C，易知，所以，所以有最大值，C选项正确． 对于D，因为在区间单调递减，在上单调递增， 所以在区间单调递减，D选项错误． 故选：ABC 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．是偶函数 D．对任意的， 【答案】CD 【分析】根据指数函数的性质，结合奇函数、偶函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：由，所以该函数的定义域为，因此本选项结论不正确； B：因为， 所以有，因此是偶函数，所以本选项不正确； C：由上可以确定本选项正确； D：， 当时，，而，于是有， 当时，，而，于是有， 综上所述：对任意的，，因此本选项正确， 故选：CD 12．下列函数中，在上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】运用函数单调性及复合函数单调性分析即可. 【详解】对于选项A，因为在上递增，，所以在上递增，故A项正确； 对于选项B，因为，所以在上递减，故B项错误； 对于选项C，因为在上递增，所以在上递增，故C项正确； 对于选项D，因为定义域为，又因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故D项正确. 故选：ACD. 【考点1 对数函数与指数函数的关系】 13．某细菌数量按变化，时数量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入函数解析式计算即可. 【详解】由题意，时数量为. 故选：C． 14．比较与的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性比较大小． 【详解】因为指数函数在上单调递增，且，所以， 故选：A. 15．在指数函数图像上，令 可得到的公共点是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】指数函数，其中且. 令，则，即所有指数函数的图像都经过这个公共点 . 故选：A. 16．已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 【答案】BC 【分析】根据函数图像的变换规律及指数函数单调性即可解得 【详解】由题的图像由的图像向下平移一个单位再将轴下方的图像翻折到上方得到， 如图所示： 选项A：由图可得，函数图像恒过定点，故A错误. 选项B：函数值域为，故B正确. 选项C：都在单调递增，故C正确. 选项D：直线与函数图像有两个公共点，当时不合题意； 时，需满足，即，故D错误. 故选：BC. 17．下列说法正确的是（    ） A．若，则为第三象限角 B．函数的定义域是 C．函数的图象恒过点 D．与角终边相同的角的集合可以表示为 【答案】ACD 【分析】根据象限角的定义即可判断A；根据对数的真数大于零且分母不等于零，即可判断B；根据指数函数的性质即可判断C；根据终边相同的角的定义即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以为第三象限角，故A正确； 对于B，由函数，得，解得且， 所以函数的定义域是，故B错误； 对于C，令，得，则， 所以函数的图象恒过点，故C正确； 对于D，， 所以与角终边相同的角的集合可以表示为，故D正确. 故选：ACD. 18．下列说法正确的是（    ） A．函数在定义域上是减函数 B．函数有且只有两个零点 C．函数的最小值是1 D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 【答案】CD 【分析】利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可. 【详解】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误； 对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；    对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确； 对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确. 故选CD 【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题. 【考点2 指对数不等式】 19．观察底数 ，当 增大时， 的函数值（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．无单调性 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】底数 ，指数函数 单调递减. 所以当 增大时， 的函数值单调递减. 故选：B. 20．下列函数是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】选项A：的自变量在底数位置，是幂函数，不是指数函数. 选项B：完全符合指数函数的定义要求. 选项C：的底数，不符合的要求，不是指数函数. 选项D：的底数，不符合的要求，不是指数函数. 故选：B. 21．若，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性求解即可. 【详解】函数是底数为2的指数函数，底数， 因此在全体实数范围内是严格单调递增的函数. 因为，所以. 故选：A. 22．下列命题是真命题的有（    ） A． B．“”是“”成立的充分条件 C．若幂函数经过点，则 D．若函数的定义域是，则的定义域是 【答案】ABD 【分析】根据对数的运算公式判断A正确；根据不等式的性质判断B正确；根据指数运算判断C错误；根据抽象函数定义域的求法判断D正确. 【详解】A：，故A正确； B：，故B正确； C：代入得，所以，故C错误； D：函数的定义域是，即，所以，所以，所以的定义域是，故D正确. 故选：ABD 23．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及单调性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为为偶函数，且在上单调递增，在单调递减，故A正确； 因为为奇函数，故B错误； 因为为偶函数，令，则 ， 因为，则，，所以， 则，所以在上单调递增，故C正确； 因为为偶函数，由反比例函数的单调性可知在上单调递减，故D错误； 故选：AC 24．下列是（，，）的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】AB选项，可举出反例；CD选项，利用指数函数单调性可进行判断. 【详解】A选项，若，则A错误， B选项，等价为，当时不成立，故B错误， C选项，因为在R上单调递增，而，所以，C正确； D选项，因为在R上单调递增，而，所以，D正确. 故选：CD 1.（2023·贵州·真题T27）下列比较大小中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性求解即可. 【详解】选项A，因为在定义域上单调递增，且， 所以，正确； 选项B，因为在定义域上单调递减，且， 所以，错误； 选项C，因为在定义域上单调递减，且， 所以，正确； 选项D，因为在定义域上单调递增，且， 所以，正确； 故选：ACD. 2.（2025·贵州·真题T25）下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性判断ACD，直接求值判断B，从而得解. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于CD，因为在上单调递增，所以，故C错误，D正确. 故选：ABD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年贵州省高职（专科）院校分类考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年贵州省高职（专科）院校分类考试 《数学一轮讲练测》练习 专题10 指对幂函数的应用 【考点1 对数函数与指数函数的关系】 1．下列函数中是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数的底数满足（　　） A． B． C． D． 3．若，则（　　） A． B． C． D． 4．有如下命题，其中真命题为（    ） A．若幂函数的图象过点，则 B．函数（且）的图象恒过定点 C．函数在上单调递减 D．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是． 5．若函数与的值域相同，但定义域不同，则称与是“同象函数”，已知函数，，则下列函数中与是“同象函数”的有（    ） A．， B．， C．， D．， 6．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【考点2 指对数不等式】 7．某库存每周剩余原来的，两周后剩余比例是（　　） A． B． C． D． 8．计算 ，结果是（　　） A． B． C． D． 9．某数量按增长，则时为（　　） A． B． C． D． 10．设函数，则（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．有最大值 D．是增函数 11．已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．是奇函数 C．是偶函数 D．对任意的， 12．下列函数中，在上单调递增的有（    ） A． B． C． D． 【考点1 对数函数与指数函数的关系】 13．某细菌数量按变化，时数量为（　　） A． B． C． D． 14．比较与的大小，正确的是（　　） A． B． C． D．无法比较 15．在指数函数图像上，令 可得到的公共点是（　　） A． B． C． D． 16．已知函数（，且），则下列结论正确的是（    ） A．函数恒过定点 B．函数的值域为 C．函数在区间上单调递增 D．若直线与函数的图像有两个公共点，则实数a的取值范围是 17．下列说法正确的是（    ） A．若，则为第三象限角 B．函数的定义域是 C．函数的图象恒过点 D．与角终边相同的角的集合可以表示为 18．下列说法正确的是（    ） A．函数在定义域上是减函数 B．函数有且只有两个零点 C．函数的最小值是1 D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称 【考点2 指对数不等式】 19．观察底数 ，当 增大时， 的函数值（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．无单调性 20．下列函数是指数函数的是（　　） A． B． C． D． 21．若，则与的关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 22．下列命题是真命题的有（    ） A． B．“”是“”成立的充分条件 C．若幂函数经过点，则 D．若函数的定义域是，则的定义域是 23．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 24．下列是（，，）的必要条件的是（    ） A． B． C． D． 1.（2023·贵州·真题T27）下列比较大小中，正确的有（ ） A. B. C. D. 2.（2025·贵州·真题T25）下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $